PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Oxy ta đặt hai vectơ đơn vị ji, . Với mọi vectơ v trong mp: jyixvyxv );( +=⇔= . Khi đó 22 yxv += . Với mọi điểm M trong mp: );();( yxOMyxM =⇔ . Nếu );(),;( NNMM yxNyxM thì ).;( MNMN yyxxMN −−= Khi đó 22 )()( MNMN yyxxMN −+−= . 1. Hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Oxyz ta đặt ba vectơ đơn vị kji ,, . Với mọi vectơ v trong mp: kzjyixvzyxv ++=⇔= );;( . Khi đó 222 zyxv ++= . Với mọi điểm M trong mp: );;();;( zyxOMzyxM =⇔ . Nếu );;(),;;( NNNMMM zyxNzyxM thì ).;;( MNMNMN zzyyxxMN −−−= Khi đó 222 )()()( MNMNMN zzyyxxMN −+−+−= 2. Các phép toán vectơ Cho );();;( 2211 yxbyxa == . Khi đó );( 2121 yyxxba ±±=± ; 2211 . yxyxba += . 2. Các phép toán vectơ Cho );;();;;( 222111 zyxbzyxa == . Khi đó );;( 212121 zzyyxxba ±±±=± ; 212121 . zzyyxxba ++= ; );;(],[ 22 11 22 11 22 11 yx yx xz xz zy zy ba = ; baba ,],[ ⊥ . Nhắc: ),cos( . bababa = Nhắc: ),cos( . bababa = Hệ quả: . . . ),cos( 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba ba ++ + == 0. =⇔⊥ baba . Hệ quả: . . . ),cos( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ba ba ba ++++ ++ == 0. =⇔⊥ baba . 3. Phương trình đường thẳng: Viết ptdt (d) qua điểm );( 00 yxM và có 3. Phương trình đường thẳng: Viết ptdt (d) qua điểm );;( 000 zyxM và có + VTCP );( bau = . Ta viết PTTS + VTCP ),;( cbau = . Ta viết PTTS 1    += += btyy atxx d 0 0 :)( + Nếu a, b khác 0. Ta viết được PTCT b yy a xx d 00 :)( − = − .      += += += ctzz btyy atxx d 0 0 0 :)( + Nếu a, b khác 0. Ta viết được PTCT c zz b yy a xx d 000 :)( − = − = − . + VTPT );( BAn = . Ta viết PTTQ 0)()(:)( 00 =−+− yyBxxAd . + Nếu biết (d) là giao tuyến của hai mp (P), (Q) nào đó thì ta viết được PTTQ của (d) chính là hệ hai phương trình của (P) và (Q) Phương trình mặt phẳng Viết ptdt (P) qua điểm );;( 000 zyxM và có VTPT ),;( CBAn = . Ta viết PTTQ 0)()()(:)( 000 =−+−+− zzCyyBxxAP 4. Khoảng cách Khoảng cách từ điểm );( 00 yxM đến đường thẳng 0:)( =++∆ CByAx là: 22 00 ),( BA CByAx Md + ++ =∆ . 4. Khoảng cách Khoảng cách từ điểm );;( 000 zyxM đến mặt phẳng 0:)( =+++ DCzByAx α là: 222 000 ),( CBA DCzByAx Md ++ +++ = α . 5. Góc Góc giữa các yếu tố cùng loại dùng cos, khác loại dùng sin. 5. Góc Góc giữa các yếu tố cùng loại dùng cos, khác loại dùng sin. 6. Đường tròn + Dạng chính tắc: α =−+− 2 0 2 0 )()( yyxx Tâm );( 00 yxI Bán kính α = R . + Dạng tổng quát: 022 22 =+−−+ cbyaxyx Tâm );( baI Bán kính cbaR −+= 22 . 6. Mặt cầu + Dạng chính tắc: α =−+−+− 2 0 2 0 2 0 )()()( zzyyxx Tâm );;( 000 zyxI Bán kính α = R . + Dạng tổng quát: 0222 222 =+−−−++ dczbyaxzyx Tâm );;( cbaI Bán kính dcbaR −++= 222 . NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN + Để tính đạo hàm thông thường (không yêu cầu dùng định nghĩa), ta nhớ (bảng 1): 2 0)'( = C '.)'( ukku = 1 .)'( − = αα α xx x x 1 )'(ln = '')'( vuvu +=+ xx ee = )'( xx cos)'(sin = uvvuvu '')'.( += xx sin)'(cos −= x x x 2 2 tan1 cos 1 )'(tan +== 2 ' '' v uvvu v u − =       x x x 2 2 cot1 sin 1 )'(cot −−= − = + Từ định nghĩa nguyên hàm và bảng 1, ta suy ra ngay các nguyên hàm cơ bản sau: ∫ = dxC .0 ∫ ∫ = dxxukdxxuk ).(.).(. ∫ + + = + C a x dxx a a 1 1 Cxdx x += ∫ ln 1 ∫∫∫ +=+ dxxvdxxudxxvxu ).().()).()(( xx edxe = ∫ Cxxdx +−= ∫ cossin ∫ += Cxxdx sincos Ctgxdxxtgdx x +=+= ∫∫ )1( cos 1 2 2 Cgxdxxgdx x +=−−= − ∫∫ cot)cot1( sin 1 2 2 * Nói thêm gặp một bài toán tìm nguyên hàm ta định hướng như sau: - Nếu là tổng (hiệu) của nhiều biểu thức thì tách 3 ra làm nhiều bài nhỏ - Nếu là tích (thương) của các biểu thức thì có các cách sau: + Tích phân từng phần với các biểu thức dạng ∫∫ ∫ dxxdxedxx x .ln( .).;.( .).;.sin( .). hoặc ; sin;.sin.ln ∫ ∫ dxexdxxx x + Đổi biến loại 2 với các biểu thức dạng a 2 + x 2 ; a 2 – x 2 ; + Đổi biến loại 1 với các tích dạng khác. 4 . PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Oxy ta đặt hai vectơ đơn vị ji, . Với mọi vectơ v trong mp: jyixvyxv. điểm M trong mp: );();( yxOMyxM =⇔ . Nếu );(),;( NNMM yxNyxM thì ).;( MNMN yyxxMN −−= Khi đó 22 )()( MNMN yyxxMN −+−= . 1. Hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Oxyz