BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC THỊNH CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HUẾ, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC THỊNH CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS-TS PHAN NHẬT TĨNH HUẾ 2014 LỜI NÓI ĐẦU Tối ưu hóa ngành tốn học ứng dụng nhiều người quan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng vào thực tiễn Bài tốn tối ưu kết việc mơ hình hóa vấn đề nảy sinh từ thực tế, chúng diễn đạt dạng tốn học tìm biến số thỏa mãn điều kiện định đồng thời làm cho hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại) Năm 1965, A Ya Dubovitskii A A Mylyutin đưa lý thuyết điều kiện tối ưu ngơn ngữ giải tích hàm cho ta phương pháp giải tích hàm hiệu để nghiên cứu toán tối ưu điều khiển Cơng trình tiếng Dubovitskii- Mylyutin đánh dấu bước phát triển quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Do nhu cầu kinh tế kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa phát triển ngày mạnh mẽ thu nhiều kết quan trọng Người ta thường quan tâm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2, cấp cao Nếu điều kiện cần cấp dùng cho việc tìm tập tất điểm dừng điều kiện cần cấp lại hiệu việc loại bỏ điểm dừng không tối ưu Chúng giúp ta xác định điểm cho cực tiểu (hay cực đại) Cuối nhờ vào điều kiện đủ ta tìm nghiệm tốn tối ưu Do điều kiện tối ưu cấp tỏ hữu ích việc tìm nghiệm tốn tối ưu Sau điều kiện tối ưu cấp kiểu Fritz John Kuhn-Tucker lý thuyết điều kiện tối ưu cấp mở rộng nhiều hướng khác đặc biệt toán với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập hợp Với mong muốn tìm hiểu, nghiên cứu thêm điều kiện tối ưu gợi ý, hướng dẫn PGS.TS Phan Nhật Tĩnh, chọn đề tài: Các điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Về mặt cấu trúc, luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp khả vi liên tục Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất đẳng thức trường hợp Lipschitz địa phương Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán tối ưu khái niệm cực tiểu Xét toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức ràng buộc tập sau  f0 (x) −→    x∈X (P) : fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m    hj (x) = 0, j = 1, 2, , q hàm f0 : X → R gọi hàm mục tiêu, hàm fi : X → R, i = 1, 2, , m hj : X → R, j = 1, 2, , q gọi hàm ràng buộc Tập chấp nhận  C = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m; hj (x) = 0, j = 1, 2, , q Với x ∈ C , tập số tích cực I(x), tập số khơng tích cực J(x) định nghĩa tương ứng sau  I(x) = i ∈ {1, 2, , m} fi (x) =  J(x) = i ∈ {1, 2, , m} t(x) véctơ n chiều, α hàm thực x cho lim α(x, x) = x→0 Véc tơ t(x) Định nghĩa gọi Gradient f x kí hiệu ∇f (x) Định lý 1.1 (Định lý giá trị trung bình, [7] Tr 204) Cho f hàm thực khả vi tập lồi mở X ⊂ Rn x, y ∈ X Khi tồn số thực t ∈ (0, 1) cho f (y) − f (x) = h∇f (x + t(y − x)) , y − xi 1.3 Gradient suy rộng không gian Banach Cho X tập mở không gian Banach E f : X → R Kí hiệu E ∗ khơng gian tôpô đối ngẫu E , h·, ·i tích vơ hướng E ∗ E Ta có khái niệm tính chất sau Định nghĩa 1.3 Hàm f : X → R gọi Lipschitz địa phương x ∈ X tồn lân cận U x số L > cho |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ Lkx1 − x2 k, ∀x1 , x2 ∈ U (1.1) Nếu bất đẳng thức (1.1) với phần tử tập V ⊂ X L độc lập với biến x ta nói f Lipschitz V Định nghĩa 1.4 [3] Giả sử f : X → R hàm Lipschitz địa phương x ∈ X với số K (lúc để đơn giản ta nói f Lipschitz gần x với số K ) Với v ∈ X , ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng f x theo hướng v , kí hiệu f (x, v), định nghĩa sau f (x, v) = lim sup y→x,t→0+ f (y + tv) − f (y) t Do tính Lipschitz địa phương hàm f nên giới hạn luôn tồn Định nghĩa 1.5 [3] Dưới vi phân Clarke (hay Gradient suy rộng Clarke), f x, kí hiệu ∂ C f (x), tập X ∗ xác định  ∂ C f (x) = ξ ∈ X ∗ f (x, v) ≥ hξ, vi, ∀v ∈ X 1.4 Jacobi suy rộng Rn Định nghĩa 1.6 ([10] Tr 15) Cho f : Rn → Rn hàm véctơ Lipschitz địa phương x Jacobi suy rộng Clarke hàm véctơ f x, kí hiệu ∂f (x) định nghĩa sau n o ∂f (x) = co lim ∇f (xi ) |x i ∈ Ω, xi → x , i→∞ Ω tập điểm mà f khả vi Định nghĩa 1.7 ([6] Definition 2.1) Cho f : Rn → R khả vi cho ∇f Lipschitz địa phương Rn x ∈ Rn Ma trận Hessian suy rộng f x, kí hiệu ∂ f (x) định nghĩa sau n o ∂ f (x) = co lim ∇2 f (xi ) xi ∈ Ω, xi → x , Ω tập điểm mà f khả vi lần Nói cách khác Jacobi suy rộng Clarke ∇f x 1.5 Đạo hàm theo hướng Với R tập số thực, ta kí hiệu R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} Bên cạnh phép tốn thơng thường ta thừa nhận 0.(±∞) = (±∞).0 = Định nghĩa 1.8 [10] Cho X ⊂ Rn f : X → R Đạo hàm theo hướng (Dini) hàm f x ∈ X theo hướng u ∈ Rn , kí hiệu f+0 (x, d) f−0 (x, d), phần tử thuộc R, định nghĩa sau f+0 (x, u) = lim sup t→0+ f (x + tu) − f (x) , t f−0 (x, u) = lim inf + t→0 f (x + tu) − f (x) t Định nghĩa 1.9 ([12] Definition 2) Cho X ⊂ Rn f : X → R Đạo hàm theo hướng (Dini) f x ∈ X theo hướng u ∈ Rn , kí hiệu f (x, u), phần tử thuộc R, định nghĩa sau f (x, u) = lim+ t→0 f (x + tu) − f (x) t (1.2) Hàm f gọi khả vi theo hướng (Dini) X f (x, u) tồn với x ∈ X u ∈ Rn Nếu giới hạn (1.2) tồn với t ∈ R, không thiết dương, có tốn tử tuyến tính liên tục ∇G f (x) cho f (x, u) = ∇G f (x)u với u ∈ Rn f gọi khả vi Gâteaux x ∈ X Ta thường kí hiệu ∇G f (x)u h∇G f (x), ui Định nghĩa 1.10 [4] Giả sử hàm f : X → R với X tập mở Rn khả vi điểm x ∈ X Đạo hàm cấp theo hướng (Dini) f x ∈ X theo hướng u ∈ Rn , kí hiệu f 00 (x, u), phần tử thuộc R định nghĩa sau  2 f 00 (x, u) = lim+ f (x + tu) − f (x) − t h∇f (x), ui t→0 t Hàm f gọi khả vi cấp theo hướng (Dini) X f 00 (x, u) tồn với x ∈ X hướng u ∈ Rn Định nghĩa 1.11 ([12] Definition 4) Cho X tập mở không gian Banach E Giả sử f : X → R hàm Lipschitz địa phương Đạo hàm cấp theo hướng Hadamard f x 00 (x, d), phần tử thuộc R theo hướng d ∈ E , kí hiệu fH − định nghĩa sau  2 00 0 (x, d) = lim inf f (x + td ) − f (x) − tf (x, d) fH − (t,d0 )→(0+ ,d) t2 f (x, d) đạo hàm theo hướng suy rộng f x theo hướng d, t ⊂ (0, +∞), t → 0+ d0 ∈ E cho kd0 − dk → Định nghĩa 1.12 [12] Cho X tập mở không gian Banach E Giả sử f : X → R hàm Lipschitz địa phương Đạo hàm cấp theo hướng Hadamard f x theo hướng d ∈ E , 00 (x, d), phần tử thuộc R định nghĩa sau kí hiệu fH  2 00 0 fH (x, d) = lim f (x + td ) − f (x) − tf (x, d) (t,d0 )→(0+ ,d) t2 Hàm f gọi khả vi cấp theo hướng Hadamard x theo 00 (x, d) tồn với x ∈ X hướng hướng d ∈ E fH d ∈ E 1.6 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi Định nghĩa 1.13 [7] Một hàm thực f xác định tập X ⊂ Rn gọi tựa lồi điểm x ∈ X ∀y ∈ X   
f (y) ≤ f (x) =⇒ f (1 − t)x + ty ≤ f (x) ∀t ∈ [0, 1]   (1 − t)x + ty ∈ X Hàm f gọi tựa lồi X tựa lồi x ∈ X Định nghĩa 1.14 [7] Cho hàm f : X → R với X tập mở Rn Hàm f gọi giả lồi x ∈ X khả vi x  ∀y ∈ X =⇒ f (y) ≥ f (x) h∇f (x), y − xi ≥  ∀y ∈ X =⇒ h∇f (x), y − xi < f (y) < f (x) Hàm f gọi giả lồi X f giả lồi x ∈ X Định nghĩa 1.15 [4] Xét hàm f : X → R với X tập mở Rn , khả vi x ∈ X khả vi cấp theo hướng x ∈ X theo hướng y − x cho y ∈ X , f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = Ta gọi f giả lồi cấp (gọi tắt 2-giả lồi) x ∈ X với y ∈ X ta có: f (y) < f (x) =⇒ h∇f (x), y − xi ≤ f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = =⇒ f 00 (x, y − x) < Giả sử f khả vi X khả vi cấp theo hướng x ∈ X theo hướng y − x cho y ∈ X , f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = Ta gọi f 2-giả lồi X 2-giả lồi x ∈ X Từ định nghĩa ta có hàm giả lồi khả vi 2-giả lồi Điều ngược lại khơng (Ví dụ ??) Định nghĩa 1.16 [4] Cho X ⊂ Rn tập mở, hàm f : X → R khả vi x ∈ X khả vi cấp theo hướng x ∈ X theo hướng y − x cho y ∈ X , f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = Ta gọi f 2-giả lồi chặt x ∈ X với y ∈ X, y 6= x, ta có f (y) ≤ f (x) =⇒ h∇f (x), y − xi ≤ f (y) ≤ f (x), h∇f (x), y − xi = =⇒ f 00 (x, y − x) < Mỗi hàm 2-giả lồi chặt 2- giả lồi Định nghĩa 1.17 ([12] Definition 7) Cho X tập mở f : X → R Lipschitz địa phương x ∈ X Hàm f gọi giả lồi cấp (gọi tắt 2-giả lồi) x ∈ X với y ∈ X ta có f (y) < f (x) =⇒ f (x, y − x) ≤ 0, 00 f (y) < f (x), f (x, y − x) = =⇒ fH (x, y − x) < − Hàm f gọi giả lồi cấp X f giả lồi cấp x ∈ X 1.7 Một số khái niệm tính chất khác Định nghĩa 1.18 [12] Xét X tập mở Ta nói hàm f : X → R quy x ∈ X f Lipschitz gần x, tồn đạo hàm f (x, d) theo hướng d ∈ X f (x, d) = f (x, d), ∀d ∈ X Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI LIÊN TỤC Xét toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập sau  f0 (x) −→ (P ) : x ∈ X  fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m X ⊂ Rn fi , i = 0, 1, , m, hàm thực xác định X Các kết đưa thu từ tốn khơng trơn dựa đạo hàm cấp theo hướng Để có điều kiện tốt hơn, ta thừa nhận nhân tử Lagrange phụ thuộc vào hướng  Tập chấp nhận S = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m Định nghĩa 2.1 Xét toán (P ) với fi , i = 0, 1, , m, hàm thực khả vi x ∈ S Một hướng d ∈ Rn gọi tới hạn điểm x ∈ S thỏa mãn h∇f0 (x), di ≤ h∇fi (x), di ≤ 0, ∀i ∈ I(x) Với véctơ cố định x ∈ S hướng tới hạn d ∈ Rn ta đặt n o I0 (x, d) = i ∈ {0} ∪ I(x) h∇fi (x), di = 2.1 Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục Trong mục ta giả sử fi , i = 0, 1, , m, hàm thực xác định không gian Euclide hữu hạn chiều Rn Định lý 2.1 Cho X ⊂ Rn tập mở, fi (i = 0, 1, , m) hàm thực xác định X x điểm chấp nhận Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) khả vi x khả vi cấp theo hướng x theo hướng tới hạn d ∈ Rn , f0 2-giả lồi x, fi (i ∈ I(x)) tựa lồi x Nếu hướng tới hạn d ∈ Rn tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm cho λi fi (x) = 0, i = 1, 2, , m, ∇L(x) = 0, L00 (x, d) ≥ L(x) = f0 (x) + m P λi fi (x) hàm Lagrange x i=1 cực tiểu tồn cục tốn (P ) Định lý 2.1 tổng quát hóa kết Định lý 2.2 sau Mangasarian đưa [7] hàm giả lồi khả vi 2-giả lồi Định lý 2.2 ([7] Theorem 10.1.2) Cho X ⊂ Rn tập mở, fi (i = 0, 1, , m) hàm thực xác định X x điểm chấp nhận Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) khả vi x, f0 giả lồi x, fi (i ∈ I(x)) tựa lồi x Nếu tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm cho λi fi (x) = 0, i = 1, 2, , m, ∇L(x) = L(x) = f0 (x) + m P λi fi (x) hàm Lagrange x i=1 cực tiểu tồn cục tốn (P )  f0 (x) → Ví dụ 2.1 Xét tốn đơn giản sau , f1 (x) ≤ hàm f0 : R → R, f1 : R → R định nghĩa tương ứng 11 ... (x, d), ∀d ∈ X Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI LIÊN TỤC Xét toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập sau  f0 (x)... SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC THỊNH CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Về mặt cấu trúc, luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc bất