ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2014 Môn thi : Toán Thời gian làm :150 phút Câu I Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn: y y2 y4 8y4 + + + =4 x + y x + y x + y x8 − y Chứng minh rằng: 5y = 4x Giải hệ phương trình: 2  2 x − y + xy = 12  2  6 x + x y = 12 + y + y x Câu II Cho x, y số nguyên lớn cho 4x2y2 – 7x + 7y số phương Chứng minh rằng: x = y Giả sử x, y số thực không âm thỏa mãn: x + y3 + xy = x2 + y2 Tìm giá trị P= 1+ x + x + + y 1+ y lớn nhỏ biểu thức: Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tam giác thỏa mãn PB = PC D điểm thuộc cạnh BC (D khác B D khác C) cho P n ằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB E khác B Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC F khác C Chứng minh bốn điểm A, E, B, F thuộc đường tròn Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF Gọi K giao điểm đường thẳng AE đường thẳng QB Chứng minh rằng: · · · · QKL + PAB = QLK + PAC Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử dãy gồm m tập hợp A thỏa mãn đồng th ời điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp thuộc dãy có hai phần tử ii) Nếu hai tập hợp thuộc dãy có chung hai phần tử s ố phần tử hai tập hợp khác Chứng minh rằng: m ≤ 900 -Hết - ... -Hết -