Chuyên đề Điểm cực trị hàm số Nội dung  Tóm tắt lý thuyết  Một số ý  Ví dụ minh hoạ  Bài tập tự giải Tóm tắt lý thuyết Điểm cực trị hàm số  Cho hàm số y = f(x); Tìm điểm cực trị hàm số • • Cách 1: - Tìm f’(x) - Tìm điểm tới hạn - Xét dấu f’(x) suy điểm cực trị Cách 2: - Tìm f’(x); f’’(x) - Tìm điểm tới hạn, giả sử x0 f '(x ) 0  x điểm cực tiểu  f ''(x )  0  f '(x ) 0  x điểm cực đại  f ''(x )  0  Điểm cực trị hàm số  Một số ý: Đối với cách • Nếu x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm x0 điểm cực đại • Nếu x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ âm qua dương x0 điểm cực tiểu • Đạo hàm y’ khơng đổi dấu qua nghiệm kép • Nếu x0 điểm cực trị hàm số f(x0) giá trị cực trị, M(x0; f(x0)) điểm cực trị đồ thị hàm số Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa - Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x - có cực trị Lời giải  y’ = 3mx2 + 6mx – (m – 1) =  m =  = (Vô lý)  Hàm số khơng có cực trị  m  Để hàm số có cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt   ' 9m2  3m  m  1   3m  4m  1   m  hc m  hàm số có cực trị  Kết luận: Vậy m  hc m   Chú ý: Một số học sinh thường mắc sai lầm có điều kiện ’  vì: • Hệ số a = 3m chứa tham số nên cần phải xét a = a  • Nếu a  0, tính ’ sai  = y’ = có nghiệm kép mà qua nghiệm kép y’ khơng đổi dấu nên có điều kiện: ’ > Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ y  x  m  x  m  x  Giá trị m để hàm số     Cho hàm số 3 đạt cực đại x = Lời giải f '(0) 0 x   Hàm số đạt cực đại  f ''(0)  Ta có f '(x) x   m  1 x   m   f ''(x) 2x   m  1)  f '(0) 3  m   ; f "     m  1 3  m   0 Thay vµo hƯ :    m      m 2  m  Vậy m = hàm số đạt cực đại x = Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + có cực trị Lời giải Ta có: y ' 4x  12mx   m  1 x 0  x 0    2x  6mx  3(m  1) 0 (1) (2) Để hàm số có cực trị  (2) vơ nghiệm có nghiệm kép có nghiệm phân biệt có nghiệm (2) vơ nghiệm có nghiệm kép  ’   9m2  6(m  1) 0  1 m  1 Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ (2) có nghiệm phân biệt có nghiệm  1 1  '  m  m      3  m  3(m  1)   m    1 1  m  ; Vậy với      1 hàm số có điểm cực trị   Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ x  2mx  Cho hàm số y  Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x 1; mx  x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4x1.x2 Lời giải mx  2x  4m Ta có: y '    f(x)  mx  2x  4m 0 (mx  1)  m 0   Để hàm số có cực đại, cực tiểu x1; x    '   1 f   0   m   m 0  1  4m    4m  0  m Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa – Ví dụ (tt) m 0  1   1   m   m   ;  \  0 (*)    2  m  x  x   Theo Vi-ét ta có:   x  x  4x x   16  m  m 2 m  x x 4  Tho¶ mãn (*) hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4x1.x2 Vậy m  Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ x2  x  m Cho hàm số y  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm x 1 phía Oy Lời giải x  2x   m Ta có y '  0  f(x) x  2x   m 0 để hàm số có cực (x  1) đại, cực tiểu nằm phía Oy  x1   x f(x) = có nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn  x   af(0)     f(  1)   1  m   m 1   m   Điểm cực trị hàm số Bài tập tự giải Bài 1: Tìm điểm cực trị (nếu có) hàm số sau: a y 2x  3x  c y  x  4x  3x  x 1 x x2  x  g y  x x i y  x e y b y  x  x  3x  d y  x  2x  x 3 x x  3x  h y  2x  x  x  x  2x  j y  x 1 f y Bài 2: (ĐH Huế Khối A - 98) Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m - 1)x +2 đạt cực tiểu x = Điểm cực trị hàm số Bài tập tự giải (tt) Bài 3: Tìm m để hàm số y  x  mx  4x  1đạt cực đại, cực tiểu x 1; x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = x  2mx  m Bài 4: Cho hàm số y  xác định m để x m a) Hàm số khơng có cực trị b) Hàm số có cực trị c) Hàm số có điểm cực trị có hồnh độ dương d) Hàm số có điểm cực trị nằm phía oy e) Hàm số có điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x12  x 22 3 f) Hàm số có điểm cực tiểu thuộc khoảng (0; m) với m > ... 4: Cho hàm số y  xác định m để x m a) Hàm số khơng có cực trị b) Hàm số có cực trị c) Hàm số có điểm cực trị có hồnh độ dương d) Hàm số có điểm cực trị nằm phía oy e) Hàm số có điểm cực trị có... điểm cực trị hàm số f(x0) giá trị cực trị, M(x0; f(x0)) điểm cực trị đồ thị hàm số Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa - Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x - có cực trị Lời giải ...  m  ; Vậy với      1 hàm số có điểm cực trị   Điểm cực trị hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ x  2mx  Cho hàm số y  Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x 1; mx  x2 thỏa mãn