ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa vectơ:  Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối  Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu : AB  Vectơ kí hiệu là: a, b, x, y ,  Vectơ – không vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí B a hiệu x A Hình 1.1 Hai vectơ phương, hướng  Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ  Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ gọi hướng chúng phương chiều  Hai vectơ phương hướng ngược hướng A F B C D Hình 1.2 H E G Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 1.2) hai vectơ AB CD hướng EF HG ngược hướng  Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ  Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB AC phương Chứng minh: Nếu A, B, C thẳng hàng suy giá AB, AC đường thẳng qua ba điểm A, B, C nên AB, AC phương Ngược lại AB, AC phương đường thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A, B, C thẳng hàng  0973.637.952 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Hai vectơ A  Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , kí hiệu B AB C Vậy AB Hình 1.3 AB D  Hai vectơ chúng hướng độ dài Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phương pháp giải  Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ-không có điểm đầu điểm cuối đỉnh tứ giác Lời giải: Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định hai vectơ khác vectơ-không AB, BA Mà từ bốn đỉnh A, B, C , D tứ giác ta có cặp điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB a) Có vectơ khác vectơ - không phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Có vectơ khác vectơ - không hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A, B Lời giải: (Hình 1.4) A' A a) Các vectơ khác vectơ không phương với MN N P NM , AB, BA, AP , PA, BP , PB b) Các vectơ khác vectơ - không hướng với AB AP , PB, NM  0973.637.952 B' B M C Hình 1.4 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 c) Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' NP Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B vectơ NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy điểm A ' cho AA ' hướng với NP AA ' NP Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A vectơ NP Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau MD , MN Lời giải: Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông N D C MAD ta có DM AM AD a 2 a2 5a DM a O a Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB Suy MD A P MD M B Hình 1.5 P Khi tứ giác ADNP hình vuông PM PA AM a a 3a Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông NPM ta có MN NP Suy MN PM MN a 3a 2 13a2 MN a 13 a 13 Bài tập luyện tập Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-không có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Lời giải: Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định hai vectơ khác vectơ-không AB, BA Mà từ năm đỉnh A, B, C , D, E ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O a) Bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB Lời giải:  0973.637.952 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn a) AB DC , OB Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 DO b) BO, DO, OD Bài 3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Lời giải: a) A nằm đoạn BC b) A nằm đoạn BC Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt a) Nếu AB BC có nhận xét ba điểm A, B, C b) Nếu AB DC có nhận xét bốn điểm A, B, C, D Lời giải: a) B trung điểm AC b) A, B, C, D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết tính sai câu sau đây? a) AB e) AB BC BC b) AB f) OA c) OA DC OC d) OB OA BD Lời giải: Bài 6: a) Sai b) Đúng e) Sai f) c) Đúng d) Sai Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC Lời giải: a) FO, OC , ED Bài 7: b) CO, OF , BA , DE Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB.Tính độ dài vectơ AB , OA OB  0973.637.952 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Lời giải: (hình 1.40) Ta có AB AC AC AB2 BC E a a a OA OA AC , OM OM 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành A hình vuông D Ta có OA OB Bài 8: a; AB OE OA OB OE AB B O C Hình 1.40 a Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG Tính độ dài vectơ AG , BI Lời giải: (Hình 1.41)Ta có AB AB a A Gọi M trung điểm BC Ta có AG AG AM AB2 BM 2 BI BI BM MI a a 2 a a I G a 3 B a 21 M C Hình 1.41 Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Phương pháp giải Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB DC AD BC Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MN QP Lời giải: (hình 1.6) Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN / / AC MN AC (1) A Q D P M B N C Hình 1.6 Tương tự QP đường trung bình tam giác ADC suy QP / / AC QP  0973.637.952 AC (2) Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Từ (1) (2) suy MN / /QP MN QP tứ giác MNPQ hình bình hành Vậy ta có MN QP Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B ' cho B' B AG a) Chứng minh: BI IC b) Gọi J trung điểm BB ' Chứng minh: BJ IG Lời giải: A (hình 1.7) B' a) Vì I trung điểm BC nên BI CI BI hướng với IC hai vectơ BI , IC hay BI G J B IC C I Hình 1.7 b) Ta có B ' B AG suy B ' B AG BB '/ / AG Do BJ , IG hướng (1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên IG Vì BJ AG , J trung điểm BB ' suy BJ BB ' IG (2) Từ (1) (2) ta có BJ IG Bài tập luyện tập Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N trung điểm DC , AB ; P giao điểm AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh DP PQ QB Lời giải: (Hình 1.43) Ta có tứ giác DMBN hình bình hành DM NB Suy DM AB, DM / / NB N A B Q NB P Xét tam giác CDQ có M trung điểm DC MP / /QC P trung điểm D M C Hình 1.43 DQ Tương tự xét tam giác ABP suy Q trung điểm PB Vì DP  0973.637.952 PQ QB từ suy Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn DP Bài 2: PQ Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 QB Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB 2CD Từ C vẽ CI DA Chứng minh: a) DI CB b) AI IB DC Lời giải: D (Hình 1.44) a) Ta có CI DA suy AICD hình bình hành AD Ta A IC có DC AB Ta có DC C AI mà AB 2CD B I Hình 1.44 I trung điểm AB AI IB DC / / IB tứ giác BCDI hình bình hành Suy DI CB b) I trung điểm AB AI IB AI IB tứ giác BCDI hình bình hành IB DC suy DC C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Hãy tính số vector ( khác ) mà điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm phân biệt cho trường hợp sau: a) Hai điểm ; b) Ba điểm ; c) Bốn điểm ; Bài Cho hình vuông ABCD tâm O Liệt kê tất vactor (khác ) nhận đỉnh tâm hình vuông làm điểm đầu điểm cuối Bài Bài Gọi C trung điểm đoạn thẳng AB Các khẳng định sau hay sai? a) AC BC hướng ; b) AC AB hướng ; c) AB BC ngược hướng ; d) AB BC ; e) AC f) AB BC BC ; Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A , B C trường hợp sau: a) AB AC hướng AB AC ngược hướng ; b) AB AC phương  0973.637.952 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Bài Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Có ba điểm phân biệt thẳng hàng A , B , C Trong trường hợp hai vector AB AC hướng ? trường hợp hai vector ngược hướng ? Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O a) Tìm vectơ khác phương với OA b) Tìm vectơ AB c) Vẽ vectơ AB có điểm đầu B, F , C điểm cuối F , D, C Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác hình bình hành AB DC Bài Cho tứ giác ABCD , chứng minh AB Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P Q lần lược trung điểm cạnh AB , BC , CD DA Chứng minh NP Bài 10 MQ PQ Cho hình bình hành ABCD Dựng AM minh AQ DC AD BC NM BA , MN DA , NP DC , PQ BC Chứng D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  0973.637.952 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ a) Định nghĩa:  Cho hai vectơ a ; b Từ điểm A tùy ý vẽ AB từ B vẽ BC a b vectơ AC gọi tổng B a b hai vectơ a ; b  Kí hiệu AC a b (Hình 1.9) a A a b C b Hình 1.9 b) Tính chất :  Giao hoán : a  Kết hợp : (a b b) b c a a (b  Tính chất vectơ – không: a c) a, a Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối vectơ  Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng độ dài với vectơ a  Kí hiệu a Như a 0, a AB a BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: Hiệu hai vectơ a b tổng vectơ a vectơ đối vectơ b Kí hiệu a b a b Các quy tắc:  Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC AC  Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành AB  Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AD AC AB  Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1 , A2 , , An A1 A2  0973.637.952 A2 A3 An An A1 An Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ  Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vuông để xác định độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Xác định tổng hai vec tơ NC MC ; AM CD ; AD NC ; AM AN Lời giải Vì MC AN nên: NC Vì CD BA nên: AM CD AM BA Vì NC AM nên AD NC AD AM MC NC AN AN NC BA AC AM BM AN AC AE với E đỉnh hình bình hành DAME Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên AM Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB, AC BC Xác định hiệu AM AN ; MN PN ; BP CP NC ; MN Lời giải Ta có: AM Vì NC AN NM MP nên: MN NC Vì PN NP nên: MN Vì CP PC nên: BP CP MN PN MP MN BP PN NP PC BC , AC BC , AB M N MP BC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A có ABC AB A B 30 BC C P a Tính độ dài vectơ AC Lời giải: (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có AB Mà sin ABC AC BC AC B D AC BC BC.sin ABC a 5.sin 300 a C A  0973.637.952 Hình 1.10 Trang 10 ThS Nguyễn Đăng Tuấn Do AB AC Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 BC BC AC Ta có AC AC CB AB2 a AC AB BC BC AB AC 5a 5a a 15 a 15 Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành Vì AC BC AB AB Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD Vì tam giác ABC vuông A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD Vậy AB AC AD AD BC a a Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD có tâm O cạnh a M điểm a) Tính AB AD , OA CB , CD DA b) Chứng minh u MA MB MC MD không phụ thuộc vị trí điểm M Tính độ dài vectơ u Lời giải: (hình 1.11) a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB Suy AB AD AD AC AC AC C' Áp dụng định lí Pitago ta có AC AB2 Vậy AB BC AD 2a AC 2a a + Vì O tâm hình vuông nên OA OA CB CO CB Vậy OA CB BC Mà BD CD DA BA BD AD AB2 A B BC a O + Do ABCD hình vuông nên CD CD DA CO suy BA suy BD AD2 D C Hình 1.11 a suy a b) Theo quy tắc phép trừ ta có  0973.637.952 Trang 11 ThS Nguyễn Đăng Tuấn u MA Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 MC MB MD CA DB Suy u không phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy DB Do u CA Vì u AC ' CC ' AC ' CC ' BC BC ' a 2a a Bài tập luyện tập Bài 1: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ AB AC AC , AB Lời giải: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có AB AC CB AB AC C BC A' a O Gọi A ' đỉnh hình bình hành ABA ' C O tâm hình nình hành Khi ta có AB AB2 Ta có AO Suy AB Bài 2: AC a OB2 a2 AA ' AO A AA ' AC B Hình 1.45 a a Cho hình vuông ABCD có tâm O cạnh a M điểm a) Tính AB OD , AB OC OD b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MD Lời giải: (Hình 1.46) B' a) Ta có OD BO AB OD AB OC AC AO Ta có OC AB OD AB BO AO a 2 AB OC AB OD B O AO suy OD A D AO OD OB OD C Hình 1.46 0 b) Áp dụng quy tắc trừ ta có MA MB MC MD MA MB MC MD AB ' BB ' BA DC BA DC Lấy B ' điểm đối xứng B qua A Khi  0973.637.952 DC AB ' BA DC BA Trang 12 ThS Nguyễn Đăng Tuấn Suy MA Bài 3: Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 MB MC MD BB ' Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD BB ' 2a 600 Gọi O tâm hình thoi Tính AD , OB DC AB Lời giải: Ta có AB AD OB DC AD 2a cos 300 a a cos 600 CO a 3, Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ  Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Các ví dụ Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B, C , D, E Chứng minh: a) AB CD b) AC EA CD EC CB ED AE DB CB Lời giải: a) Biến đổi vế trái ta có VT AC CB CD ED DA DA CB ED AC CD CB ED AD DA CB ED VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với AC AE CD CB EC DB DB EC BD EC BD DB (đúng) ĐPCM Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh: a) BA  0973.637.952 DA AC Trang 13 ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 b) OA OB OC c) MA MC OD MB MD Lời giải: (Hình 1.12) a) Ta có BA AB DA AD AC AB AD AC A B AC Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC suy BA DA AC O D AC AC Hình 1.12 b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: OA Tương tự: OB OD OA OB OC CO OD c) Cách 1: Vì ABCD hình bình hành nên AB MA MC MB MB C BA MD MD BA OA OC OA AO 0 DC BA DC BA AB DC DC MB MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với MA MB MD MC CD (đúng ABCD hình bình hành) BA Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh: a) BM CN AP b) AP AN AC BM c) OA OB OC OM ON OP với O điểm Lời giải: (Hình 1.13) a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy tứ giác BMNP hình bình hành BM PN N trung điểm AC CN A NA Do theo quy tắc ba điểm ta có BM CN PA AP AP PN NA N P AP b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo quy hình bình hành ta có AP AN AM , kết hợp với B M Hình 1.13 C tắc quy tắc trừ  0973.637.952 Trang 14 ThS Nguyễn Đăng Tuấn AP AN Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 AC BM AM AC BM CM Mà CM BM M trung điểm BC Vậy AP AN AC BM BM c) Theo quy tắc ba điểm ta có OA OB OC OP PA OM ON OP PA OM ON OP BM Theo câu a) ta có BM OM MB ON NC NC CN CN MB AP suy OA OB OC AP OM ON AD CD OP Bài tập luyện tập Bài 1: Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh: a) DA CA DB CB b) AC BD DA AD CD BA Lời giải: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có DA CA DB CB DA DB CA CB BA (đúng) BA b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có AC DA DC Bài 2: BD BD AD CD BA DA AC BD BA BD CD (đúng) Cho điểm A, B, C , D, E, F Chứng minh: AD BE CF AE BF CD Lời giải: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với AD AE ED FE DF EF FE (đúng) Cách 2: VT Bài 3: BE BF CF CD 0 AD BE CF AE BF CD ED AE BF CD VP FE AE ED BF FE CD DF DF Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh: a) AB OD OC b) BA  0973.637.952 BC OB AC OD Trang 15 ThS Nguyễn Đăng Tuấn c) BA BC Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 OB MO MB Lời giải: a) Ta có OD BO AB OD OC AB BO OC AO OC A AC B b) Theo quy tắc hình bình hành ta có BA BC OB BD OB c) Theo câu b) ta có BA OB BC OB Theo quy tắc trừ ta có MO Mà OD Bài 4: BO suy BA BD D OD MB BC O OD C Hình 1.47 BO OB MO MB Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh: a) NA PB MC b) MC BP NC BC Lời giải: (Hình 1.48) a) Vì PB AP , MC NA MC PB b) Vì MC A PN nên NA AP PN NP PN BM kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình B bình hành ta có MC Bài 5: BP N P NC BM BP NC BN NC C M Hình 1.48 BC Cho hai hình bình hành ABCD AB ' C ' D ' có chung đỉnh A Chứng minh: B ' B CC ' D' D Lời giải: Theo quy tắc trừ quy tắc hình bình hành ta có B ' B CC ' AB Bài 6: AD D' D AC AB AB ' AB ' AD ' AC ' AC AC AD AD ' Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh OA OB OC OE OF Lời giải: Đặt u OA OB OC OE OF Vì ngũ giác nên vectơ OA OB OC OE phương với OF nên u phương với OF Tương tự u phương với OE suy u  0973.637.952 Trang 16 ThS Nguyễn Đăng Tuấn Bài 7: Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Cho hình bình hành ABCD Dựng AM minh rằng: AQ BA , MN DA, NP DC , PQ BC Chứng Lời giải: Theo quy tắc ba điểm ta có AQ Mặt khác BA BC BD, DA AM DC MN NP PQ DB suy AQ BA BD DA DB DC BC Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vec tơ Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A B Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện sau a) MA MB BA b) MA MB c) MA d) MA MB AB AM Lời giải a) MA MB BA BA BA Vậy điểm M thỏa mãn b) MA MB AB BA AB A B Vậy điểm M thỏa mãn c) MA MB d) MA AM MA MB Vậy M trung điểm đoạn thẳng AB A M Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC Lời giải Ta có: MA MB MC BA MC Vậy M xác định hệ thức CM AB MC BA hay M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho a) MA MB MC b) MA MC Lời giải a) Ta có: MA MB MC MA CB MA BC Vậy M cách điểm A đoạn BC không đổi nên tập hợp điểm M đường tròn tâm A , bán kính R b) Ta có: MA MC BC MA MC Vậy M cách hai điểm A C nên tập hợp điểm M đường trung trực đoạn AC Ví dụ 4: Cho hai điểm MA MB  0973.637.952 MA A B Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MB Trang 17 ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Lời giải Vẽ hình bình hành AMBN Gọi O giao điểm hai đường chéo, ta có: MA MB MN MA MB BA Điều kiện tương đương 2MO MA MA MB MB AB hay MO Tập hợp điểm M có tính chất: MA MB MN MO AB AB MA MB đường tròn đường kính AB C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Cho tam giác ABC Hãy xác định vectơ a) AB BC ; b) CB e) BA CA ; Bài c) AB CA ; d) BA CB ; f) CB CA ; g) AB CB ; h) BC NP c) MN PQ MQ ; MN b) NP MN MQ ; QP PN MQ Cho hình bình hành ABCD với tâm O Mỗi khẳng định sau hay sai? a) AB AD BD ; BD BC ; d) BD AC AD c) OA OB OC e) OA OB AB ; f) CO OB g) AB AC ; h) CD CO AD OD ; b) AB BC ; BA ; BD BO Bài Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh AB Bài Cho hình bình hành ABCD điểm M tùy ý Chứng minh MA Bài AB Cho bốn điểm M , N , P, Q Chứng minh đẳng thức sau: a) PQ Bài BA ; MC MB BC CD AE DE MD Chứng minh tứ giác ABCD ta có a) AB BC CD DA 0; b) AB AD CB CD Bài Cho năm điểm A , B , C , D E Hãy tính tổng AB Bài Cho bốn điểm A , B , C D Chứng minh AB CD Bài Cho tam giác ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ , BCPQ, CARS Chứng minh RJ Bài 10 IQ PS BC CD AC DE BD Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh a) CO OB  0973.637.952 BA ; b) AB BC DB ; Trang 18 ... Hình Học 10 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính... CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phương pháp giải  Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào tình... NGHIỆM  0973.637.952 Trang ThS Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ a) Định nghĩa:  Cho hai vectơ a ; b Từ điểm A tùy