HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINE & COSINE Dương Trác Việt Ngày 30 tháng năm 2017 Tóm tắt nội dung Trên ba phương diện tự luận, bán tự luận - điền khuyết trắc nghiệm, viết đề cập trình tư duy, thao tác bấm máy cách trình bày giải phương trình lượng giác cổ điển sine cosine Mở đầu Xét phương trình C cos(ax + b) + S sin(ax + b) = m (1) • C hệ số cos; • S hệ số sin; • m số thực thỏa mãn m2 ≤ C + S 2∗ Nội dung đề cập cách giải phương trình dạng (1) theo ba hình thức tự luận, trắc nghiệm khách quan giao thoa chúng Qua đó, giúp người đọc đúc kết số kỹ thuật máy tính tương ứng, phù hợp với hoàn cảnh kiểm tra Định hướng tự luận Ví dụ Giải phương trình √ √ − cos 3x π + √ + √ 6+ sin 3x π + √ = (2) ∗ Trong trường hợp ngược lại, phương trình vơ nghiệm, dẫn đến thao tác bấm máy đề cập nội dung làm xuất dịng chữ "Math ERROR" 2.1 Lời giải 2.1.1 Giải theo sine ɔ Tư ǎ Bấm máy Hệ số sine √ √ S = + Hệ số cosine √ √ C = − Trình bày Trong w1, nhập √ Pol 6+ √ √ √ 2, − bấm = Bấm Q)=, máy X = Ta có Vì tính theo sin nên +Y Bấm Qn=, máy Y= Thu gọn biểu thức Chuyển qua vế phải √ = sin(bao nhiêu)? π π + = π 12 12 √ √ 3 Bấm = √ −1 = π Bấm sin Bấm 5π qua vế phải 12 Chia hai vế họ nghiệm thứ cho x=− π 4π +k 18 3x 5π + 12 ⇔ sin 3x 5π + 12 ⇔ sin 3x 5π + 12 √ =2 √ = = sin π 3x 5π π + = + k2π,  12 ⇔ 3x 5π π + = π − + k2π 12 π 5π −1 − = π 12 12 π 5π Bấm π − − = π 12 Chuyển qua w2 Bấm 3x π = − + k2π,  12 ⇔ 3x π = + k2π  Nhập − Vậy họ nghiệm thứ ⇔ sin  u = v + k2π, u = π − v + k2π Chuyển 3x π π + + 12 √ =2 π 12 Nhớ lại sin u = sin v ⇔ (2) sin + i ì ữ 12 bấm =, máy − π + πi 18 ⇔ x=− π 4π +k , 18 Chia hai vế họ nghiệm thứ hai cho Vậy họ nghiệm thứ hai x= Bm + i ì ữ =, máy π 4π +k  π + πi π 4π +k , 18 π 4π x = +k x=− (k ∈ Z) Nhớ ghi điều kiện k 2.1.2  ⇔ Giải theo cosine ɔ Tư ǎ Bấm máy Hệ số cosine √ √ C = − Hệ số sine √ √ S = + Trình bày Trong w1, nhập Pol √ 6− √ √ √ 2, + bấm = Bấm Q)=, máy X = Ta có Vì tính theo cos nên −Y Bấm Qn=, máy Y= Thu gọn biểu thức Chuyển qua vế phải √ = cos(bao nhiêu)? π 12 π 5π − = − π 12 12 √ √ 3 Bấm = √ −1 Bấm cos = π Bấm Nhớ lại cos u = cos v ⇔ π qua vế phải 12 ⇔ cos 3x π 5π + − 12 √ =2 3x π − 12 √ =2 √ ⇔ cos 3x π − 12 = ⇔ cos 3x π − 12 = cos π 3x π π − = + k2π,  12 ⇔ 3x π π − = − + k2π 12  u = v + k2π, u = −v + k2π Chuyển − (2) ⇔ cos π π + = π 12 π π Bấm − + = − π 12 12 Bấm 3x π = + k2π,  ⇔ 3x π = − + k2π 12  Chia hai vế họ nghiệm thứ cho Chuyển qua w2 Nhập π + i × 2π ÷ bấm =, máy Vậy họ nghiệm thứ x= 4π π +k x=− π 4π +k , Bấm − + i ì ữ 12 =, máy π 4π +k 18 −  π + πi 18  ⇔ π 4π +k , π 4π x =− +k 18 x= (k ∈ Z) Nhớ ghi điều kiện k 2.2 x= ⇔ π + πi Chia hai vế họ nghiệm thứ hai cho Vậy họ nghiệm thứ hai Tiểu kết Khi giải tự luận phương trình (1), ta dùng hàm Pol(, lượng giác ngược gán k = i để hỗ trợ sau 2.2.1 Giải theo sine Trong w1, nhập Pol(S, C) =† , (1) ⇔X sin(u + Y ) = m m ⇔ sin(u + Y ) = X Bấm máy sin−1 m X = máy góc φ, từ ta có ⇔ sin(u + Y ) = sin φ Tiếp đến, ta vận dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác hàm sine sin u = sin v ⇔ u = v + k2π, u = π − v + k2π, để dẫn đến kết cuối Chú ý gán k = i w2 để biến đổi nhanh cho k † Giải theo sine nhập hệ số sin trước 2.2.2 Giải theo cosine Trong w1, nhập Pol(C, S) =‡ , (1) ⇔X cos(u − Y ) = m m ⇔ cos(u − Y ) = X Bấm máy cos−1 m X = máy góc φ, ⇔ cos(u − Y ) = cos φ Tiếp đến, ta vận dụng cơng thức nghiệm phương trình lượng giác hàm cosine u = v + k2π, u = −v + k2π, cos u = cos v ⇔ để dẫn đến kết cuối (có thể gán k = i cần biến đổi nhanh cho k) Định hướng bán tự luận Ví dụ Điền khuyết Phương trình √ 6− √ 3x π + cos √ + √ 6+ sin 3x π + √ = có hai họ nghiệm x = x = 3.1 3.1.1 Lời giải Giải công thức nghiệm Trong w1, bấm Pol Vì có √ 6− 3x π + nên ta gán √ √ √ 2, + =; A, π B; Qua w2, nhập vào hình i × 2π+ cos bấm =, máy −1 √ X +Y −B ÷A π + πi ‡ Giải theo cosine nhập hệ số cos trước Sửa hình thành i × 2π− cos bấm =, máy − −1 √ X ÷A π + πi 18 Vậy hai họ nghiệm phương trình cho x = 3.1.2 +Y −B π 4π π 4π +k x = − + k (k ∈ Z) 18 Giải theo Newton-Raphson Tính chu kì 3x π + , ta có a = 4π 2π • Chu kỳ T = = • Xét Tìm khoảng chứa nghiệm • Trong w1, nhập vào hình √ √ − cos 3x π + √ + √ 6+ sin 3x π + √ −2 • Thực rX = 0; 1; 2; 3; ta thấy f(0) f(1) trái dấu nên phương trình có nghiệm (0; 1); đồng thời f(4) ≈ −0.04 ≈ nên phương trình có nghiệm gần với Tìm nghiệm họ nghiệm • Bấm qr(SOLVE) X = 0.5§ máy X = 0.5235987756 Gán giá trị vào biến nhớ A Bấm A ÷ π = ta 0.1666666667 Nhập 0.16666666666667 =, máy Vậy π x1 = • Bấm qr(SOLVE) X = 4, máy X = 4.01425728 Gán giá trị vào biến nhớ 23π B ta có x2 = 18 A−B • Kiểm tra 4π = −0.8333333333 ∈/ Z nên x1 x2 thuộc hai họ nghiệm khác Vậy phương trình cho có hai họ nghiệm x = π 4π 23π 4π +k x = +k (k ∈ Z) 18 23π 4π Chú ý Có thể chuẩn hóa họ x = +k không vượt nửa chu kỳ cách qr(SOLVE) 18 phng trỡnh 23 +Xì 18 Đ Là trung điểm (0; 1) để nghiệm X Sau sửa hình thành¶ 4π 23π + Intg(X) × 18 bấm = ta − π 18 Vậy dạng chuẩn hóa nửa chu kỳ họ x = 3.2 23π 4π π 4π +k x = − + k 18 18 Tiểu kết Khi điền khuyết hai họ nghiệm phương trình (1), ta dùng cơng thức nghiệm (thiết lập kết Pol(, lượng giác ngược gán k = i) phương pháp Newton-Raphson (với chu kỳ T) sau 3.2.1 Giải công thức nghiệm Kết luận 2.2 cho thấy dù giải theo sine hay cosine họ nghiệm thu giống Theo chúng tôi, biến đổi nghiệm theo cosine dễ thao tác với máy hơn, đó, cơng thức giải nhanh phương trình (1) thiết lập theo cosine Quy trình tương ứng gồm có bước Trong w1, bấm Pol(C, S) =; Gán a A, b B ; Qua w2, nhập vào hình∗∗ i × 2π+ cos−1 Vế phải X +Y −B ÷A Vế phải X +Y −B ÷A bấm =, ghi nhận họ nghiệm thứ Sửa hình thành i × 2π− cos−1 bấm =, ghi nhận họ nghiệm thứ hai 3.2.2 Giải theo Newton-Raphson Nếu không muốn nhớ công thức, ta dùng phương pháp Newton-Raphson để xác định nghiệm họ, sau cộng thêm bội nguyên chu kỳ để họ nghiệm hoàn chỉnh Quy trình chiến lược chúng tơi đề xuất theo bước sau Tính chu kì T = ¶ 2π a Bấm Qp để có Intg( Có thể bỏ qua a = b = ∗∗ Đối với phương trình (1) m "vế phải" Tìm khoảng chứa nghiệm • Trong w1, nhập Vế trái(1) − Vế phải(1) vào hình; • Thực rX = 0; 1; để tìm khoảng chứa nghiệm Tìm nghiệm họ nghiệm • Bấm qr(SOLVE) X = trung điểm khoảng chứa nghiệm thứ để tìm nghiệm x1 họ nghiệm thứ nhất; • Bấm qr(SOLVE) X = trung điểm khoảng chứa nghiệm thứ hai để tìm nghiệm x2 họ nghiệm thứ hai; Kết luận (1) ⇔ x = x1 + kT, (k ∈ Z) x = x2 + kT Chú ý Nếu hàm số y = f(x) có f(x0 ) ≈ x0 gần nghiệm x0 f(x); Nếu hàm số liên tục y = f(x) có f(a) · f(b) < hàm số có nghiệm x0 ∈ (a; b); Hai nghiệm x1 x2 thuộc hai họ nghiệm khác x1 − x2 = ∈/ Z T Để chuẩn hóa nghiệm x1 (trong họ nghiệm x = x1 + kT) thành x1 để khơng vượt q nửa chu kỳ, ta giải phương trình sau theo ẩn k T x1 + k Khi đó, x1 = x1 + [k] T với hàm [ ] máy Intg() Định hướng trắc nghiệm 4.1 Hồi cổ tự luận Ví dụ Cho phương trình √ 6− √ cos 3x π + √ + √ 6+ sin 3x π + √ = Chọn khẳng định khẳng định sau √ √ 3x π 3x 3π A (3) ⇔ sin + = B (3) ⇔ sin + = 2 √ √ 3x π 3x 5π C (3) ⇔ cos D (3) ⇔ cos − = + = 12 2 12 Lời giải Chọn đáp án C (3) 4.1.1 Lời giải chi tiết Sử dụng Pol( giải theo sine mục 2.1.1 ta (3) ⇔ sin √ 3x 5π + 12 = nên loại hai phương án A, B theo sine đồng thời loại phương án D theo cosine 4.1.2 Lời giải chi tiết Sử dụng Pol( giải theo cosine mục 2.1.2 ta 3x π − 12 (3) ⇔ cos 4.2 = √ Trắc nghiệm giai đoạn sơ khai Ví dụ Cho phương trình √ 6− √ cos 3x π + √ + √ 6+ 3x π + sin Chọn khẳng định khẳng định sau   4π 2011π +k , x=   18 A (4) ⇔  B (4) ⇔  (k ∈ Z) 2015π 4π x= +k 18   4π 2017π +k , x=   C (4) ⇔  (k ∈ Z) D (4) ⇔  2023π 4π x= +k 18 √ = 2017π 18 2021π x= 18 2017π x= 2015π x= 18 4π , 4π +k 4π +k , 4π +k 3x π + √ −2 x= +k (4) (k ∈ Z) (k ∈ Z) Lời giải Chọn đáp án D Lời giải chi tiết Nhập vào hình √ 6− √ cos 3x π + √ + √ 6+ sin rX = 2011π 2015𠆆 ; ta loại phương án A (vì kết khác 0) chọn phương 18 18 −12 án D (do kết −5.09 · 10 ≈ 0) †† Các nghiệm đại diện phương án 4.3 Trắc nghiệm giai đoạn Ví dụ Cho phương trình √ 6− √ cos 3x π + √ + √ 6+ sin 3x π + √ = (5) Số nghiệm phương trình (5) [0; 4π] A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Lời giải Chọn đáp án B Lời giải chi tiết Vận dụng chiến lược giải mục ta  4π π x = +k ,  k (5) ⇔  π 4π x =− + 18 (k, ∈ Z) π π < nên họ x < xk , tức x trước, xk sau 18 Vì điều kiện x ∈ [0; 4π] nên toán trở thành đếm số giá trị Dễ thấy − f( ) = − + , 18 g(k) = + k , [0; 4] Vào w7, nhập f(X) = − +X× 18 g(X) = + X × cho X chạy từ Start = đến End = 5, bước nhảy Step = Số giá trị thuộc [0; 4] bảng kết đáp số cần tìm 4.4 Tiểu kết Với hình thức trắc nghiệm, học sinh có dịp vận dụng nhiều kỹ thuật hình thành giải tốn dạng tự luận bán tự luận Ngồi ra, em cịn sử dụng phương án phần giả thiết, từ đó, việc thay chúng vào phương trình để kiểm tra tính đúng/sai chiến lược hữu ích số tình định Tuy nhiên, để hạn chế chiến lược này, Ví dụ phát triển thành Ví dụ việc đổi yêu cầu thành đếm số nghiệm phương trình khoảng (đoạn, nửa khoảng) cho trước Đây hướng nghiên cứu mà quan tâm thời gian tới 10 Kết luận Tùy vào hình thức kiểm tra đánh giá mức độ phức tạp đề mà việc sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ phần tồn q trình tìm phương án Với dạng thức điền khuyết, tối ưu hóa đường tự luận cách dùng công thức hệ hướng tiếp cận an toàn tạo thêm áp lực ghi nhớ cho người học Ở phương diện khác, phương pháp Newton-Raphson khắc phục hồn tồn hạn chế nói lại địi hỏi tư linh hoạt xử lý khoảng chứa nghiệm - vốn lạ lẫm với đa số học sinh đại trà Ở câu hỏi trắc nghiệm khó, thí sinh cần trang bị thêm kỹ chuẩn hóa họ nghiệm loại bỏ nghiệm thuộc họ để vượt qua phương án nhiễu xác định phương án Bên cạnh đó, lực “quy lạ quen” cứu cánh trước dạng tập mà em chưa gặp bao giờ, cần phải tơi luyện kỹ Nhìn chung, học sinh nên cân nhắc việc sử dụng máy tính cầm tay cách hợp lý, tránh phụ thuộc hồn tồn vào cơng cụ Đồng thời giáo viên cần quan tâm mức đến vấn đề tối ưu hóa cách giải tự luận theo định hướng trắc nghiệm khách quan nhằm đáp ứng thực tiễn bối cảnh Hướng nghiên cứu Tìm số nghiệm (a; b) ([a; b], (a; b] hay [a; b)) phương trình lượng giác thuộc ba dạng f(x) = 0; f(x) · g(x) = (tăng nghiệm); f(x) = (giảm nghiệm) g(x) Ghi Trong viết này, sử dụng CASIO fx-570VN Plus VINACAL 570ES Plus II Tài liệu [1] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải (2010), Giải tốn máy tính CASIO fx-570MS lớp 10-11-12, NXB Đại học Sư phạm, Tiền Giang 11 ... thấy dù giải theo sine hay cosine họ nghiệm thu giống Theo chúng tôi, biến đổi nghiệm theo cosine dễ thao tác với máy hơn, đó, cơng thức giải nhanh phương trình (1) thiết lập theo cosine Quy trình. .. cho k † Giải theo sine nhập hệ số sin trước 2.2.2 Giải theo cosine Trong w1, nhập Pol(C, S) =‡ , (1) ⇔X cos( u − Y ) = m m ⇔ cos( u − Y ) = X Bấm máy cos? ??1 m X = máy góc φ, ⇔ cos( u − Y ) = cos φ... 5π + 12 = nên loại hai phương án A, B theo sine đồng thời loại phương án D theo cosine 4.1.2 Lời giải chi tiết Sử dụng Pol( giải theo cosine mục 2.1.2 ta 3x π − 12 (3) ⇔ cos 4.2 = √ Trắc nghiệm