Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức (BĐT) kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu vực Quốc tế coi “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành nhiều lời giải thảo luận nhiều diễn đàn tạp chí Toán học Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen đạo hàm phần kiến thức quan trọng thiếu nhiều toán đại số BĐT Nó thực công cụ hiệu có ứng dụng rộng rãi giải toán, phương pháp chuẩn mực ta gặp phải BĐT thông thường Các tài liệu viết BĐT nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT giải toán tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) có tính hệ thống tính phân loại tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng cần thiết Do chọn chuyên đề nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG tỉnh nhà Các nhiệm vụ đề tài Chuyên đề nghiên cứu trình bày nội dung sau: Phần I: Các kiến thức cần thiết Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bất đẳng thức biến số Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị hàm số để tìm tập giá trị hàm số Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Dạng 3: Kết hợp với BĐT khác BĐT AM-GM, BĐT CauchySchwarz, Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng Dạng 2: Kết hợp với BĐT khác AM-GM, BĐT CauchySchwarz, BĐT Chebyshes,… Dạng 3: Khảo sát theo hàm số biến Mở rộng số toán thi vô địch Quốc tế Mục đích đề tài Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán trình bày theo ý tưởng kỹ vận dụng đạo hàm vào việc giải lớp toán chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN loại Qua ví dụ cụ thể chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm “cái nhìn” định hướng phương pháp giải toán Đồng thời thông qua lời giải toán giúp học sinh thấy chất Toán học ẩn chứa Giúp cho học sinh hình thành phương pháp giải toán chứng minh BĐT, Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN GTNN đạo hàm, học sinh có kỹ năng, kỹ xảo cần thiết để nâng cao lực giải toán Chuyên đề góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả tư linh hoạt, có suy luận logic, xác, tinh thần vượt khó Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu sở lý luận có liên quan đến đề tài - Nghiên cứu dạng thức toán nhằm rút phương pháp giải - Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trình giảng dạy bồi dưỡng HSG trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu thân Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu: SGK, STK, đề thi ĐH HSG cấp,… - Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên học sinh đội tuyển HSG tỉnh, đội tuyển HSG Quốc gia Những đóng góp đề tài - Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết tư phương pháp việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đồng thời, thông qua chuyên đề hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh Địa bàn Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên Lịch sử nghiên cứu Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG trường, tỉnh luyện thi Đại học Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức B NỘI DUNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục [a; b] *) Nếu f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] f(x) đồng biến [a; b] ta có f ( x) = f ( a); m ax f ( x) = f (b) x∈[ a ;b ] x∈[ a ;b ] *) Nếu f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] f(x) nghịch biến [a; b] ta có f ( x) = f (b); m ax f ( x) = f (a) x∈[ a ;b ] x∈[ a ;b ] Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y = f(x) xác định lân cận đủ bé x0 ∈ [ a; b ] có đạo hàm điểm x0 Khi hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 f ′( x0 ) = Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định [a; b] x0 Trong lân cận đủ bé ε x0 , f ′( x0 ) thay đổi dấu x qua x0 (có thể không tồn f ′( x0 ) ) f(x) đạt cực trị x0 *) Nếu f ′( x) < 0, ∀x ∈ [ x0 − ε ; x0 ] f ′( x) > 0, ∀x ∈ [ x0 ; x0 + ε ] x0 điểm cực tiểu *) Nếu f ′( x) > 0, ∀x ∈ [ x0 − ε ; x0 ] f ′( x) < 0, ∀x ∈ [ x0 ; x0 + ε ] x0 điểm cực đại Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định [a; b] x0 ∈ [ a; b] Trong lân cận đủ bé ε x0 , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời f ′( x0 ) = f ′′( x) ≠ x0 điểm cực trị hàm số *) Nếu f ′( x0 ) = f ′′( x) > x0 điểm cực tiểu hàm số *) Nếu f ′( x0 ) = f ′′( x) < x0 điểm cực đại hàm số Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bất đẳng thức biến số 1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị hàm số để tìm tập giá trị hàm số Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997) Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C Tìm GTNN hàm số x − sin A x − sin B + −1 x − sin C x − sin C Giải: Ta có A > B > C ⇔ a > b > c ⇔ sin A > sin B > sin C (1) f ( x) = Hàm số xác định  x − sin A  x − sin C ≥  x < sin C ⇔  (*)   x > sin A  x − sin B ≥  x − sin C Ta có f ′( x) = sin A − sin C x − sin C sin B − sin C x − sin C + 2( x − sin C )2 x − sin A 2( x − sin C )2 x − sin B Do (1) nên f ′( x) > 0, ∀x thỏa mãn (*) Ta có bảng biến thiên x −∞ +∞ sinC f’(x ) f(x) sinA +∞ 1 Vậy f ( x) = f (sin A) = f(sinA) sin A − sin B −1 sin A − sin C Chú ý: Từ kết ta suy phương trình x − sin A + x − sin B = x − sin C có nghiệm [ sin A; +∞ ) Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < ( < sinA – sinB < sinA – sinC) Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Chứng minh với số tự nhiên n > ta có n 1+ n n n n n + 1− n + 1, ∀n ≥ 36 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức C KẾT LUẬN Mỗi toán có đặc trưng riêng, có toán mà đặc thù sở để chứng minh mang tính kỹ thuật trở nên hữu dụng Thường chứng minh hấp dẫn tính đơn giản Tuy nhiên, việc tìm chứng minh đẹp đẽ đa số trường hợp mơ hồ Trái lại, phương pháp sử dụng đạo hàm cồng kềnh, nặng nề tính toán lại đường dễ thực Chuyên đề hệ thống phân loại toán áp dụng đạo hàm vào giải, đồng thời thông qua ví dụ cụ thể giúp học sinh đứng trước toán liên quan đến đạo hàm biết cách vận dụng Các toán chuyên đề chọn lọc kĩ càng, đa dạng phong phú Thông qua giúp học sinh hình thành phương pháp giải toán gặp toán loại Chuyên đề đưa vào giảng dạy cho đội tuyển HSG Quốc gia tỉnh Hưng Yên từ năm 2007 đến Và gây hứng thú, say mê học tập, kích thích ham hiểu biết, tìm tòi sáng tạo học sinh Kết năm gần đội tuyển Toán tỉnh ta đạt giải HSG Quốc gia như: giải năm 2009, giải năm 2010, giải năm 2011, giải năm 2012, giải 2013 Chuyên đề “ Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh BĐT” viết với tinh thần trách nhiệm cao, với mong muốn phần giúp thầy cô dạy Toán, em THPT, em ĐTQG có tài liệu tham khảo học tập, hi vọng thầy cô giáo em tìm thấy nhiều bổ ích lí thú chuyên đề Tuy nhiên chuyên đề chắn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận động viên, đóng góp chân thành quý thầy cô em học để ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 37 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vẻ đẹp Bất đẳng thức kì thi Olympic Toán học, Trần Phương, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010 [2] Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, Trần Phương, 2009 [3] Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, 2006 [4] Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 298, 299, năm 2002 [5] Các đề thi HSG Quốc gia, thi tuyển sinh Đại học 38