PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2016-2017 Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= − + x +1 x x +1 x - x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh P ≥ Bài 2: (2 điểm) Chứng minh n3 - n chia hết cho với n ∈ Z Bài 3: (4 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = a) Tính giá trị biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15    1   b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1+ ÷ 1+ ÷ x y Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = Bài 5: (2 điểm) Tìm tất số có chữ số abcde cho abcde = ab Bài 6: (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, O giao điểm hai đường chéo M trung điểm cạnh AB Trên cạnh BC, CD lấy hai điểm G H cho hai đường thẳng MG AH song song với a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA · b) Tính số đo góc HOG - HẾT - Lưu ý : Cán coi thi không giải thích thêm PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4đ) HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) a) ĐKXĐ: x ≥ − + P= x +1 x x +1 x - x +1 − + = x +1 x +1 x - x +1 x - x +1 )( ) x - x +1 − + ( x +1) = = ( x +1) ( x - x +1) ( 0,25 0,5 ( x+ x )( 1,0 ) x +1 x - x +1 x x - x +1 b) x ≥ = 0,75 0,5   x - x +1 =  x − ÷ + ≥ 2 4  x ≥0 P= x - x +1 P= n3 - n = n(n2 -1) = n(n+1)(n-1) Bài (2đ) Bài (4đ) 3 0,5 0,5 Ta có n(n+1) M2 => P M2 n(n+1)(n-1) M3=> PM3 Mà (2,3) = => P M6 0,5 0,5 0,5 0,5 a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15 = x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15 = x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15 = (x +y)2 + 2000(x + y) + 15 = 12 + 2000.1+15 = 2016 0,5 0,5 0,5 0,5  1   + b) P = 1+ ÷1+ ÷ = + + + = + y x xy xy xy  x  y  =1+ 1 1 + =1+ xy xy xy x+y 0,5 0,5 Ta có: x + y ≥ xy 1 ≥ xy  ≥ xy ≥4  xy ≥ 1+ 2.4=9 P=1+ xy Vậy GTNN P  x = y = 0,5 0,25 0,25 Bài (3đ) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 =  (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 =  (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = Đặt t = x2 + 5x + ta phương trình: t(t + 2) - 24 =  t + 2t - 24 =  t2 - 4t + 6t - 24 =  t(t - 4) + 6(t - 4) =  (t - 4)(t + 6) =  t = t = -6 Với t = ta x2 + 5x + =  x = 0; x = -5 Với t = -6 ta x2 + 5x + = -6  x2 + 5x + 10 =  (x + Bài (2đ) 15 ) + = Pt vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = -5 Đặt x = ab , y = cde ta có abcde = 1000x + y 1000 31< x 1000x ≤ x3 < 1000x+1000 => 1000 ≤ x2 < 1000+ 0,25 0,5 0,25 0,25 A M B O G D H C a) ∆ADH ∆GBM có: · · = GBM (=900) ADH · · = GMB ( cặp góc có cạnh tương ứng song song) AHD => ∆ADH ∆GBM (g-g) => DH AD = BM GB => DH.GB = BM.DA b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a) 2 ∆ADO vuông cân O => AD = DO 2 DH.GB = BM.DA = BO DO =BO.DO ∆MBO vuông cân M => BM = BO 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 => => => => => DH DO · · = mà ODH = GBO (=450) BO GB ∆ODH ∆GBO (c-g-c) · · = BGO DOH · · · · · · + HOG + GOB = BGO + GOB + OBG (=1800) DOH · · = OBG = 450 HOG Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 ...PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4đ) HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) a) ĐKXĐ: x ≥ − + P=... 2000.1+15 = 2016 0,5 0,5 0,5 0,5  1   + b) P = 1+ ÷1+ ÷ = + + + = + y x xy xy xy  x  y  =1+ 1 1 + =1+ xy xy xy x+y 0,5 0,5 Ta có: x + y ≥ xy 1 ≥ xy  ≥ xy ≥4  xy ≥ 1+ 2.4 =9 P=1+ xy... 1000x+1000 => 1000 ≤ x2 < 1000+ 0,25 0,5 0,25 0,25 A M B O G D H C a) ∆ADH ∆GBM có: · · = GBM ( =90 0) ADH · · = GMB ( cặp góc có cạnh tương ứng song song) AHD => ∆ADH ∆GBM (g-g) => DH AD = BM GB