KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường Tel: 0904.15.16.50 (Tài liệu lưu hành nội bộ) http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh không trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên toán quy hoạch tuyến tính, toán tối ưu, toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trò biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu toán có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Trên quy tắc giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh thực hiểu quy tắc qua ví dụ bình luận phần sau BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI (CAUCHY) Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 …… xn ≥ ta có: x1  x2  xn n  x1 x2 xn n x1  x2  xn  n n x1 x2 xn  Dạng 1:  Dạng 2:   x  x2  xn  Dạng 3:   n   n  x1 x2 xn Dấu “ = ” xảy khi: x1  x2 Hệ 1: Nếu:   xn S Max  P  x1x2 xn     n x1  x2   xn  S n x1  x2   xn  S  const Hệ 2: Nếu: x1 x2 xn  P  const thì: Min  S  x1  x2  x2   n n P x1  x2 Dạng cụ thể ( số, số ): n = 2:  x, y ≥ đó: 2.1 2.2 n thì:   xn  n P n = 3:  x, y, z ≥ đó: x y  xy x  y  xy x y z  xyz x  y  z  3 xyz Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 2.3  x y    xy    x y z    xyz   2.4  x  y   xy  x  y  z   27 xyz 1   x y x y  xy  x  y 2 1    x y z x y z  xyz  x  y  z 3 2.5 2.6 Bình luận:  Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN)  Dạng dạng đặt cạnh tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC thức CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Chứng minh rằng: a  b2  b2  c  c  a   8a 2b2c a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng:  x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a  b  2ab  2 2 2 2 2 b  c  2bc  a  b b  c c  a  8a b c a, b, c (Sai) c  a  2ca  2  2  Ví dụ: 3  5  24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 4       Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ a  b  ab    2 b  c  bc    2 c  a  ca  a x2 y = 2|xy| ta có:  b2  b2  c2  c  a   8| a 2b2c |  8a 2b2c a, b, c (Đúng) Bình luận:  Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không âm x2 y  Cần ý rằng: x2 + y2 ≥  Nói chung ta gặp toán sử dụng BĐT Cô Si toán nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cô Si Trong toán dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số  = 2|xy| x, y âm hay dương Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người Bài : Chứng minh rằng:   a  b  64ab(a  b)2  a,b ≥ Giải     a  b   a  b    a  b   ab    4 CôSi   2  a  b  ab   24.22.ab. a  b      64ab(a  b)2 Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 1.a.b 3.3 a.b.ab  9ab Bình luận:  = 3.3 gợi ý sử dụng Côsi cho ba số, cặp Mỗi biến a, b xuất ba lần, sử dụng Cô Si cho ba số khử thức cho biến Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ Giải Côsi Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3  33 a3b3 = 9ab2 Bình luận:  9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để áp dụng BĐT Côsi ta có b2 Khi có định hướng việc tách hệ số khó khăn a, b, c, d   Bài 5: Cho:  1 1 1  a   b   c   d   CMR : abcd  81 Giải Từ giả thiết suy ra:  1      b c d Côsi bcd  1    33 Vậy:   1    1  = 1 a  1 b   1 c   1 d  1 b 1 c 1 d 1  b  1  c  1  d   bcd 3  1 b 1 c  1 d 1 a  cda  1 b  3  c  d  a       dca  1 c  3  d  c  a      abc  3 1 d 1 a  1 b 1 c          abcd     0 0  0 abcd  81 1 a  1 b 1 c  1 d  1 a  1 b 1 c  1 d   0 81 Bài toán tổng quát 1: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người  x1 , x2 , x3 , , xn   Cho:  1 1 1  x   x   x    x  n  n  CMR : x1 x2 x3 xn   n  1 n Bình luận:  Đối với toán có điều kiện biểu thức đối xứng biền việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng giúp ta xử lí toán chứng minh BĐT dễ dàng a, b, c  1    CMR :  1 1 1  a  b  c  Bài 6: Cho  a  b  c  (1) Giải VT (1)  1 a 1 b 1 c b  c c  a a  b  a b c a b c Côsi  bc ca ab  (đpcm) a Bài toán tổng quát 2:  x1 , x2 , x3 , ., xn   x1  x2  x3   xn  1 CMR :  Cho:   x1   1  1  x2 1  a bc  Bài 7: CMR: 1       2     b  1   xn 1   x3  c   Côsi    Giải       1 c   (2) Côsi    abc   abc   (1)         abc   3   33 a 2b2c  33 abc  abc   abc Ta có: n  1  a  1  b  1  c    abc  abc a, b, c     a  b  c   1  a    b  1  c   Côsi  1 a 1 b Ta có: 1           Ta có:  a  b  c  1  ab  bc  ca  a  b  c  abc      1   n  1 (3)  Dấu “ = ” (1) xảy  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy  ab = bc = ca a = b = c  a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy  abc =1  abc = Bài toán tổng quát 3: Cho x1, x2, x3,……., xn ≥ CMR:  1   n            x1  x2   xn    1  x1 1  x2  1  xn    n x1 x2 .xn  n      n 3  2n x1x2 xn Bình luận:  Bài toán tổng quát thường sử dụng cho số, áp dụng cho toán BĐT lượng giác tam giác sau  Trong toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí điều kiện mang tình đồng đối xứng quan trọng, giúp ta định hướng hướng chứng minh BĐT hay sai Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có kỹ thuật nhỏ hay sử dụng Đó kĩ thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo a b Bài 1: CMR:   a.b  b a Giải a b ab   2 b a ba a2   a  R a2 1 Côsi Ta có: Bài 2: CMR: Giải Côsi a   a  1  1   a2 1   a2 1 2 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 Dấu “ = ” xảy  a    a 1   a  a 1 a  a  b  b a  b Ta có: Bài 3: CMR: Giải Ta có nhận xét: b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b đo hạng tử đầu a phân tích sau: a Côsi 1  b   a  b   3 b. a  b   a  b  b a  b b a  b b  a  b Dấu “ = ” xảy  Bài 4: CMR: b  a  b  a b a  b  a = b = 3  a b0 a  b b     (1) Giải Vì hạng tử đầu có a cần phải thêm bớt để tách thành hạng tử sau sử dụng BĐT rút gọn cho thừa số mẫu Tuy nhiên biểu thức mẫu có dạng  a  b  b  1 (thừa số thứ đa thức bậc b, thừa số thức bậc hai b) ta phải phân tích thành tích đa thức bậc b, ta tách hạng tử a thành tổng hạng tử thừa số mẫu Vậy ta có:  a  b  b  1 = (a - b)( b + 1)( b + 1)  ta phân tích a theo cách sau: 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) a +1 = Từ ta có (1) tương đương : VT + = a 1 Côsi  a  b  b 21  b 21 b 1 b 1 4    a  b   2  a  b   b 1 b  1  a  b  b 1  4.4  a  b  b 1 b 1   ĐPCM 2  a  b   b  1 b  1 Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 2a  3 4b(a  b) Bài 5: CMR :  a   a 1  b Giải Nhận xét: Dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a Chuyển đổi tất biểu thức sang biến a điều mong muốn việc sử lí với biến đơn giản Biến tích thành tổng mặt mạnh BĐT Côsi Do đó: Ta có đánh giá mẫu số sau: Vậy: 4.b  a  b   a  b    a b  4.       a2 2a  Côsi 2a3  a3  a3  1 Côsi    a  a   a.a  2 4b(a  b) a a a a b  a  b  Dấu “ = ” xảy    a   a2  a    b   Bình luận:  Trong việc xử lí mẫu số ta sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b  Đối với phân thức việc đánh giá mẫu số, tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phụ thuộc vào dấu BĐT Bài 6: Bài toán tổng quát Cho: x1  x2  x3  ., xn   k  Z CMR: a1  an  a1  a2   a2  a3  . an1  an  k k k  Giải VT = an   a1  a2    a2  a3     an1  an   a  n k   n 1 k  2 n1 k 2 a      n 1 k   n 1 k      k    n  k  a1  a2   a1  a2   an1  an   an1  an  k  k k k k k  a2  a3   an1  an  k  k   k  k  an  a1  a2   k  n 1 k     an  a1  a2   a2  a3   an1  an  k k  an a  a   k k  a1  a2     a1  a2     an1  an     an1  an   k  k    n 1 k   n 1 k      k k k  a2  a3   an1  an   n 1 k     Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để chuyển sang TBN phần chứa biến số bị triệt tiêu lại số Tuy nhiên kỹ thuật tách nghịch đảo toán có điều kiện ràng buộc ẩn việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm Một kỹ thuật thường sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” BĐT Côsi quy tắc tính đồng thời dấu “ = ”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến Bài 1: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ (GTNN) S a Giải Sai lầm thường gặp học sinh: Dấu “ = ” xảy  a a=1 a S a a a ≥ a =2 a  vô lí giả thiết a ≥ Cách làm đúng: Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy a = a Có hình thức tách sau:  1   a;  (1)   a   1   a;  (2) a  1   a, a         a;  (3)   a    a;   (4)  a  Vậy ta có: Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): (sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm) 1  a    1   a 2    a 3a a 3a 3.2   1  S    2 a 4a 4   = Dấu “ = ” xảy  a = Bình luận:  Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” điểm rơi a = dựa quy tăc biên để tìm  =  Ở ta thấy tính đồng thời dấu “ = ” việc áp dụng BĐT Côsi cho số a = 2, tức chúng có điểm rơi a = Bài 2: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a , a 3a đạt giá trị lớn S  a  12 a Giải a      a=2   1 1  a Sơ đồ chọn điểm rơi:     = Sai lầm thường gặp: S  a a 7a 7a 7.2  a  7a    2          MinS =  8a a 8 a  8a 8.2 4 Nguyên nhân sai lầm: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người Mặc dù chọn điểm rơi a = MinS = 2   8a 8.2 số: Nếu a ≥ đáp số cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu đánh giá sai Để thực lời giải ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng BĐT Côsi khử hết biến số a mẫu số Lời giải đúng: S  a Với a = Min S =  a a  6a Côsi a a 6a 6a 6.2      2      88a 8 a2  8 a2  a, b, c   Bài 3: Cho  Tìm giá trị nhỏ a  b  c   1 S  abc   a b c Giải Sai lầm thường gặp: 1 1 11 S  a  b  c     6 a.b.c  a b c a b c  Min S = Nguyên nhân sai lầm : Min S =  a  b  c    1  a  b  c   a b c trái với giải thiết Phân tích tìm tòi lời giải: Do S mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt điểm rơi Sơ đồ điểm rơi: a bc   a  b  c          a  b  c  a bc     4  Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: a bc    a   b   c    1     a b c   2   4     4 2  Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau:  1 1 11 S   4a  4b  4c       a  b  c   6 4a.4b.4c   a  b  c  a b c a b c  15  12   Với a  b  c  2 MinS = a, b, c   Bài 4: Cho  Tìm GTNN a  b  c    15 S  a2  1  b2   c  2 b c a Giải Sai lầm thường gặp: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người     S  33 a  12 b2  12 c  12  36  a  12   b2  12   c  12  b c a b        b  c  a   36  a 12   b2 12   c2 12   36  c   MinS = a  Nguyên nhân sai lầm: MinS =  a  b  c    1  a  b  c   a b c Phân tích tìm tòi lời giải Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt  2 a  b  c         a  b2  c   trái với giả thiết a bc     16  Lời giải S  a2  1    16 b  16b2  b2  16  1717 a  16 16 16  a2 b2 c2 a b c 17 17  17  17  17  17 16  17 16  17 16 16 32 16 32 16 32  16 b 16 c 16 a 16 c 16 a  16 b a 17 b 17 c 16 16 b 168 c16 168 a16 17  1   16 a  16a2  1 1 1  1717 b2  1717 c 2 16 b 16b 16 c 16c 16 a 16a2     17 3 17   c2  16 16  1717 1    16 c  16c2  15  2a  2b  2c     2.17   17  a 17   17 17 5  16 a b c 2.17 2a 2b2c    Dấu “ = ” xảy a bc       Min S = 17 Bình luận:  Việc chọn điểm rơi cho toán giải cách đắn vềmặt toán học cách làm tương đối cồng kềnh Nếu áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski toán nhanh gọn đẹp  Trong toán dùng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều dấu BĐT không phụ thuộc vào chiều đánh phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm mẫu số hay tử số Bài 5: Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S a b c d bcd cd a a bd a bc        bc d cd a a b d a bc a b c d Giải Sai lầm thường gặp: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 10 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 3.5 Kỹ thuật nhân thêm số đánh giá từ TBN sang TBC b 1  b  a 1  ab Bài 1: Chứng minh rằng: a a, b  Giải Bài hoàn toàn chia vế cho ab sau áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC phần trước trình bày, nhiên ta áp dụng phương pháp mới: phương pháp nhân thêm số  a  Ta có :   b Côsi b 1  a b 1.1  a  b 1   ab 2 Côsi  a 1   a 1  b  a 1  b  ab ab ab  a  b  1  b  a 1  +  ab 2 b  b   Dấu “ = ” xảy     a   a  Bình luận:  Ta thấy việc nhân thêm số vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, lại nhân thêm mà Thực chất vấn đề chọn điểm rơi BĐT theo quy tắc biên a = b = 1/2 Nếu không nhận thức rõ vấn đề học sinh mắc sai lầm VD sau a, b, c  Bài 2: Cho  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhất: S  ab  bc  ca Giải Sai lầm thường gặp:   ab      bc     ca    a  b  Côsi b  c  Côsi  c  a  Côsi     a  b 1 b  c  1  ab  bc  ca  c  a  1 2a  b  c   2 Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy  a + b = b + c = c + a =  a + b + c = trái với giả thiết Phân tích tìm tòi lời giải: Do vai trò a, b, c biểu thức điểm rơi BĐT Max S = 6.a+b=b+c=c+a=  số cần nhân thêm a bc Vậy lời giải là: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người từ ta dự đoán 14 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người    ab      bc      ca     a  b  2 b  c   2 c  a  2 Côsi   a  b 3 Côsi b  c   3 Côsi  c  a   3  a  b  c   3 ab  bc  ca    2 a, b, c  Bài toán cho đầu theo yêu cầu sau học sinh có định hướng tốt hơn: Cho  a  b  c  minh rằng: S  a  b  b  c  c  a theo hướng giải 0  x  Cho  Bài 3: 0  y  Chứng  Tuy nhiên nắm kỹ thuật điểm rơi việc viết đầu Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y) Giải Côsi    2x   12  y    2x+3y     36 A =   x 12  y  x  y         x  Dấu “ = ” xảy  -2x = 12 - 3y = 2x + 3y =    y  Bình luận:  Việc chọn điểm rơi toán học sinh thường bị lúng túng Tuy nhiên cắn vào yêu cầu đánh giá từ TBN sang TBC cần phải triệt tiêu hết biến vào hệ số tích ta nhân thêm vào thừa số thứ điều hợp lý  x  y Bài 4: Cho x, y > Tìm Min f(x, y) = xy Giải Ta có: 3  1  4x+2y+2y  4 xy   4x  y  y    x  y    x  y      16 16  16  27   3 x  y x  y   4  f(x,y) = f( , )  Min x y   = 27 xy x  y  27  27 Dấu “ = ” xảy  4x = 2y = 2y  y = 2x > Đó tập hợp tất điểm thuộc đường thẳng y = 2x với x dương Thực việc để hệ số tùy ý cho sau áp dụng BĐT Côsi ta biến tích thành tổng x + y ( Có thể nhân thêm hệ số sau: 2x.y.y) Bình luận: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 15 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người  Trong toán yêu cầu tìm Min nên ta sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC cho phần mấu số đánh giá từ TNB sang TBC đánh giá với dấu “ ≤ ” nên nghịch đảo “ ≥ ” Ta đánh giá tử số từ TBC sang TBN để có chiều “ ≥ ”  Bài toán tổng quát 1: x  x  x  x   Min f  1 23  n Cho x1, x2 , x3 x4 Bài 5: Chứng minh rằng: n  Tìm n  1 n 2 x x x33 xnn (1) n  N (n  1) n Giải Với n = 1, ta nhận thấy (1) Với n ≥ ta có: n n  n n n.1.1   n  n  1  1  n   n  2 n  n   1 n n n  m  n N (1) n n 2 Bài toán tổng quát 2:  m    1 Chứng minh rằng: 1    1   m  n  n2 n Giải  Ta biến đổi (1) bất đẳng thức tương đương sau: n 1    Ta có: n 1   m 1   1 m n m   1 1 1 1   n 1   1   1   1.1 .1 m m  m m   nm     m m   Côsi  nm    1  1   1 1    1    1       m 1    n  m m  m m m      1 n n n Bình luận  Cần phải bình luận dấu “ = ”: toán ta coi 1/m = a dấu BĐT Côsi xảy 1+ a =  a = Nhưng thực tế điều tương đương với m tiến tới +∞, m hữu hạn dấu “ va abc = : 1   1 2a 2b 2c Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: 1 a b c 1 1 1    1 2a 2b 2c 2a 2b 2c x y z x y z Đặt a  ; b  ; c  ; thỏa điều kiện a.b.c   Bất đẳng thức cho tương đương với: y z x y z x x y z   1 x  y y  2z z  2x 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:  x  x  y   y  y  z   z  z  x   x x2 y  y y2 z  z z2 x    x  y  z   x  x  y  z  x  y  z 1 y z       x  x  y   y  y  2z   z  z  2x  x  y  z   x  y y  2z z  2x     3.9 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ TBC sang TBN: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 22 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người S  a2  3.9.1 Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3.9.2 Cho < a ≤ 3.9.3 Cho 3.9.4 Cho  3.9.5 Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3.9.6 3.9.7 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  2a  2 a a, b  Tìm giá trị nhỏ S  ab   ab a  b  a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ S  abc  S Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3.9.9 S  1  3.9.11 abc ab ab  ab a  b a, b, c  1  Cho  Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c  a  b  c a  b  c   a, b, c  1  2 Cho  Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c  a  b  c a  b  c   3.9.8 3.9.10 18 a 2a   2b   2c   2d  1 1 1 3b   3c   3d   3a   a, b, c  1 2 Cho  Chứng minh rằng: S        81 a b c ab bc ca a  b  c   a, b, c  Cho  a  b  c  Chứng minh rằng: S a b2 c 1       28 b c a a b c Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ TBN sang TBC: 3.9.12 3.9.13 3.9.14  a  b 1  ab  CMR: -   1  a 1  b2  a, b, c  Cho  Chứng minh ab  bc  ca  abc  a  b  c  a, b, c  Cho  Chứng minh 16abc  a  b a  b  c  27 Kỹ thuật chọn điểm rơi nhân thêm số đánh giá từ TBN sang TBC 3.9.15 a  ab c   bc a   ca b   Cho b  Tìm Max S  2 c   3.9.16  x  y  z Cho x, y, z >0 Tìm Min f(x, y, z) = 3.9.17 Chứng minh rằng: xy z n n  1 n (1)   n  N Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 23 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 3.9.18 3.9.19 3.9.20 1 3 1 n 1    n  n 1 n n 1 ( Gợi y: CMR n  1 ) n k a, b, c, d  Cho  Tìm Max S  a  b  c  b  c  d  c  d  a  d  a  b a  b  c  d  Chứng minh rằng: S  1 a, b, c, d  3.9.21 Cho  3.9.22 Cho a ≥ 2, b ≥ 6; c ≥ 12 Tìm Min a  b  c  d  Tìm Max S  2a  b  2b  c  2c  d  2d  a S  bc a   ca b   ab c 12 abc Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số 3.9.23 3.9.24 a, b, c  Cho  CMR : a  b  c  a, b, c  Cho  CMR: a  b  c  1 1    ab bc ca 1    a  2bc b  2ca c  2ab Cho tam giác ABC, M thuộc miền tam giác Gọi MA, MB, MC thứ tự giao với BC, AC, AB 3.9.25 D, E, F Chứng minh: a) d) MD ME MF    1; DA EB FC MA MB MC 8 MD ME MF b) e) MA MB MC    2; DA EB FC DA EB FC    9/ 2; MA MB MC MA MB MC    6; MD ME MF MD ME MF f)    3/ MA MB MC c) MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Áp dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình Bài 1: Giải phương trình x  y 1  z   ( x  y  z) Giải Điều kiện : x  0, y  1, z  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: x  x.1  x 1 ( y 1)  ( z  2)  z 1  z    z    2 x  y 1  z    x  y  z  y 1  ( y 1).1  Suy : x  x    Dấu “=” xảy  y     y  z   z    Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3) Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 24 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 1 x  1 x  1 x Bài 2: Giải phương trình: =3 Giải Điều kiện: -1 ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 x2  1 x  1 x  1 x  1 x 1 x 1  x  1 x 1  x   x  x  Cộng (1), (2), (3) ta được:  x   x   x Mặt khác, lại theo bất đẳng thức Côsi ta có: (1  x)   x     x  (1  x).1  2    x  (1  x).1  (1  x)    x  2 Từ (4) (5) suy ra: (1) (2) (3)  1 1 x  1 x 1 1 x  1 x  1  2 x 2 x  3 2 1 x  1 x  1 x   1 x  1 x  Dấu “=” xảy khi: 1  x  1  x    x0 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài3: x2  x 1  x  x   x  x  Giải phương trình: (1) Giải  ( x  x  1)  x  x x  x     2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  2  x  x   ( x  x  1)   x  x   2 x  x 1  x  x   x   (2) Kết hợp (1) (2) ta có: x  x   x   ( x  1)   x  Thử lại ta có x = nghiệm phương trình 2 ( x  1) y  ( y  1) x  xy  Bài 4: Giải hệ phương trình:   x y   y x   xy Điều kiện: x  1, y  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  ( x  1) x xy   y x 1  2 y xy y -1   x y 1  (2) 2 x y 1  y x 1  xy x   1.( x 1)  Tương tự: Cộng (1), (2) ta Giải (1) Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 25 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người  x   Dấu “ = ” xảy   y    x  y  Thử lại thấy: x = y = thỏa mãn phương trình thứ hệ Vậy hệ có nghiệm (2;2)  1 1  x1   x2   x2      1 1  x2   x3   Bài 5: Cho số nguyên n >1 Giải hệ phương trình:  x3  2      x   x   n  x1    Giải Từ hệ cho suy x1, x2, … , xn dấu Giả sử xi > với i Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 1 x1   x2    Tương tự: xi  với i 2 x2  1    x1 x2 xn 1 x1  x2   xn     x1 x2 xn Cộng n phương trình hệ theo vế ta được: Vì xi  nên xi  với i, suy ra: xi x1  x2   xn  Dấu “=” xảy x1 = x2 = … = xn = Bài 6:  x2 y  1  x  y2 Giải hệ phương trình:  z 1  y  2z2 x  1  z Giải Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = Với x,y,z  0, từ hệ cho suy x>0, y>0, z>0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2x 2 x2  x 1 x2 x y2 2z2    z z y x 1 y2 1 z  x2  x  y  Tương tự: Vậy : y ≤ x ≤ z ≤ y, suy x = y = z Thay y = x vào phương trình thứ ta được: x2  x  x   x  x  ( x  0) 1 x Vậy hệ có hai nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)} Bài 7: Tìm số nguyên dương n số dương a1 = a2 = … = an thỏa điều kiện Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 26 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người a1  a   a n   1  a  a   a  n  (1) (2) Giải:    Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:  a1  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:   1  1 1    a2      an    a1   a2  an   2 với i = 1, 2, … , n Suy  2n hay n ≤ 2: a1   Với n = 1: hệ  vô nghiệm; a   a1  a2   Với n = 2: hệ  có nghiệm a1 = a2 = 1 a  a  2  Vậy: n = a1 = a2 = Sau số tập tương tự giúp học sinh ôn luyện kiến thức BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH VẬN DỤNG Giải phương trình sau: a) ( x  1)( y  2)( z  8)  32 xyz b) x  2-x  y  y  16 1225    82  x   y 1  z  665 x-3 y 1 z  665 x  4( y  1) y 1    10 ( y  1) x c) d) ( x, y, z  0) Giải phương trình: a) b) x -1  x   2( x  3)2  x  x y z    2x  y  z y  z  x 2z  x  y  x2 y  1  x  y3 z Giải hệ phương trình:  1  y  y  4z4 x  1  z  z  z Xác định số nguyên dương n số dương x1, x2 , … , xn thỏa:  x1  x   x n   1 1  x  x   x  n  Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 27 http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người  x  y  z  Giải hệ phương trình:   x  y  z  xyz  nk   x1   x2    xn  n n  Giải hệ phương trình:  nk    x1   x2    xn  n n  4 Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người 28 ... TBN có kỹ thuật nhỏ hay sử dụng Đó kĩ thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi... sai lầm Một kỹ thuật thường sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi...http://Toancapba.net _ Chia Kiến Thức Cho Mọi Người NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách