SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 Đề thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 22/3/2017 Câu 1(2 điểm) Cho a = 1 ,b= 2 1 Tính a7 + b7 Câu (4 điểm) a) Cho hàm số y = ax + b (a  0) có đồ thị (d) Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) qua điểm A(1 ; 2) cắt trục hoành điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung điểm C có tung độ dương thỏa mãn (OB + OC) nhỏ (O gốc tọa độ) b) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : 3x – 16y – 24 = x  16 x  32 Câu (3 điểm) Giải phương trình : 4x3 + 5x2 +1 = 3x   3x Câu (3 điểm) 2   y 2x 1   y  6x  Giải hệ phương trình :   2 y (5 x  17 x  6)   15 x Câu (6 điểm) Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB ( M  A, M  B, MA < MB) Tia phân giác AMB cắt AB C Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM thứ tự D, H a) Chứng minh CA = CH b) Gọi E hình chiếu vuông góc H tiếp tuyến A (O), F hình chiếu vuông góc D tiếp tuyến B (O) Chứng minh E, M, F thẳng hàng c) Gọi S1, S2 thứ tự diện tích tứ giác ACHE BCDF Chứng minh CM2 < S1.S2 Câu ( điểm) Cho ba số a, b, c  thỏa mãn 32abc = 18 (a + b + c) + 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P= a2 1 b2  c2 1   a b c - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm LỜI GIẢI Câu Câu 2,0 điểm Nội dung 1 1 , b Tính a  b7 2 1 Ta có a  b  2;a.b  ;a  b  (a  b)  2ab    2 Cho a  a 0,5   a  b   3ab(a  b)  (a  b2 )2  2a b2   a 3b3 (a  b) 0,5  1 17 169      23            16  64 64 64      Cho hàm số y  ax  b  a   có đồ thị (d) Lập phương trình đường thẳng 0,5 (d) biết đường thẳng qua điểm A(1; 2) cắt trục hoành điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung điểm C có tung độ dương thỏa mãn (OB + OC) nhỏ Do (d) qua điểm A(1; 2) (d): y = ax + - a 0,5 a2  ;0  căt trục Oy C  0;  a   a  Vì điểm B có hoành độ dương C có tung độ dương nên a  a2 Khi ta có OB  OC    a  1   a a a 2 2  3   a     a   a a Suy OB + OC nhỏ a   Vậy phương trình (d) có dạng: y   2x   Có (d) căt trục Ox B  b 0,5 Lại có a  b7  (a3  b3 )(a  b4 )  a3b3 (a  b)   Câu 4,0 điểm Điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x  16y  24  9x  16x  32 (1) ĐK: 3x 16y  24  3x  16y  24  9x  16x  32   3x  16y  24   9x  16x  32   3x  16y  24    9x  16x  32  0,25   9x  48y  72   81x  144x  288   9x  48y  72    9x  8  224 2   9x  48y  72    9x  8  224 0,25 0,25   9x  48y  72  9x   9x  48y  72  9x    224  18x  48y  64  48y  80   224  32  9x  24y  32  3y    224   9x  24y  32  3y    7 0,25 Với x, y nguyên  3y   ước (-7) chia cho dư   3y    1  3y    7 Câu 3,0 điểm 0,25 + TH1:  3y    1  y = -2  x  1 0,25 + TH1:  3y    7  y = -4  x  7 0,25 Vậy cặp nghiệm nguyên (x;y) (-1;-2); (-7;-4) Giải phương trình: 4x3  5x   3x   3x Đk: x  1 0,25 0,25 4x  5x   3x   3x  4x  5x   3x   3x  0,5  4x  5x  x   2x  1  3x    2x  1   3x  1  x  2x  1  3x   4x  5x 0,5 4x  x   4x  x   x  1  0  2x  1  3x      4x  x   x  1  0 2x   3x      Với x  0,5 * 1  x  1  >0  2x  1  3x  x  (*)  4x  x    (thỏa mãn điều kiện)  x  1  Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x   2   y 2x    5y  6x  Giải hệ phương trình   2y (5x  17x  6)   15x 0,5 0,25 Câu 3,0 điểm 0,5 Điều kiện xác định x  Biến đổi phương trình thứ hai 2y4 (5x  2)(x  3)  3(2  5x) suy x  (loại) 2xy4   6y4 0,5 2   y 2x   2x   5y  Ta đưa hệ phương trình  4  2xy   6y Nhận thấy y  không nghiệm hệ phương trình nên chia hai vế phương trình thứ cho y phương trình thứ hai cho y có 0,5  3  2x   2x    y y   2x     y4 Đặt a  2x  1; b  với a  0, b  y2 a  ab  b  Ta có hệ phương trình  2 a  b  ta a  5b thay vào (2) 1 b 5b ( )  b   b  2b3  3b  20b  20   (b 1)(b  2)(b2  5b  10)  1 b a  a   b  b  Suy  0,5 0,5 0,5  a  x  + Với   b  y    a  + Với  b  x    y         0,5     Kết luận  x; y    ;   ; 1;  Câu 6,0 điểm       Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A, M ≠ B, MA < MB) Tia phân giác AMB cắt AB C Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM thứ tự D, H a) Chứng minh CA = CH b) Gọi E hình chiếu vuông góc H tiếp tuyến A (O); F hình chiếu vuông góc D tiếp tuyến B (O) Chứng minh E, M, F thẳng hàng c) Gọi S1 ; S2 thứ tự diện tích tứ giác ACHE BCDF Chứng minh CM2  S1.S2 Câu 6,0 điểm D F M E H I A C O B a) Do MC phân giác AMB, theo tính chất đường phân giác AC AM   (1) BC BM 0,75 Xét BHC BAM có BCH  BMA  90O ABM chung  BHC đồng dạng với BAM HC AM   (2) BC BM 0,5 0,75 Từ (1) (2)  AC = HC b) Tứ giác ACHE hình vuông  AH = EC 0,5 Gọi AH cắt EC I Xét AMH vuông M  MI  AH EC  MI   EMC  90O 2 Chứng minh tương tự: CMF  90O Vậy EMF  90O  90O  180O  E, M, F thẳng hàng CE c) Do tứ giác ACHE hình vuông  CH  2 CE  S1  CH   2S1  CE 2 Tương tự: 2S2  CF2 Xét FCE vuông C, đường cao CM, theo hệ thức lượng tam giác 1   vuông ta có: 2 CE CF CM CE CF2 2S S 2S1.S2  CM     S1.S2 2 CE  CF S1  S2 S1.S2 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 Dấu “=” xảy  S1  S2  AM = BM (vô lý MA < MB) Vậy CM  S1.S2 Câu 2,0 điểm 0,5 Cho ba số a, b,c  thoả mãn 32abc  18  a  b  c   27 Tìm giá trị lớn a 1 b2  c2    a b c + Sử dụng bất đẳng thức: Với x, y, z  ta có biểu thức P  x  y  z  3(x  y  z) + Từ bất đẳng thức cho ta có P  1 1   1  1 1      3       =      b c  a b c b c  a  a 1 1 Suy P       a b c 0,5  Từ giả thiết 32abc  18  a  b  c   27  18  1  27     32 (*)  ab bc ca  abc 1 1 1 1 1 1 Ta có             ab bc ca  a b c  abc 27  a b c  1 0,5 1 Đặt t      Từ (*) ta có a b c  t2   t3  18    27    32  t  6t  32    t   t     t  3  27  0,5 1 1 Suy P         22  a b c Dấu „=‟ xảy khi a  b  c  Vậy giá trị lớn P 0,5 ...  9x  48y  72    9x  8  224 2   9x  48y  72    9x  8  224 0,25 0,25   9x  48y  72  9x   9x  48y  72  9x    224  18x  48y  64  48y  80   224  32  9x... trình: 3x  16y  24  9x  16x  32 (1) ĐK: 3x 16y  24  3x  16y  24  9x  16x  32   3x  16y  24   9x  16x  32   3x  16y  24    9x  16x  32  0,25   9x  48y  72   81x... = EC 0,5 Gọi AH cắt EC I Xét AMH vuông M  MI  AH EC  MI   EMC  90 O 2 Chứng minh tương tự: CMF  90 O Vậy EMF  90 O  90 O  180O  E, M, F thẳng hàng CE c) Do tứ giác ACHE hình vuông  CH