SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM ThS Trịnh Thanh Hải-Đỗ Thị Trinh Trịnh Thị Phương Thảo ĐHSP Thái Nguyên Đặt vấn đề Trong đề thi học sinh giỏi THPT, đề thi đại học thường xuất dạng phương trình mà ẩn hàm số- Phương trình hàm Để giải phương trình hàm sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp sử dụng giới hạn - Phương pháp sử dụng điểm bất động - Phương pháp sử dụng tính chất đối xứng - Phương pháp - Phương pháp dùng đa thức phụ Trong phạm vi viết này, đề cập đến việc tìm hướng giải phương trình hàm với hỗ trợ phần mềm MathCAD cách:  Bước 1: Quan sát dạng đề để có vài nhận xét đặc biệt, từ nhận xét ta dự đoán dạng hàm số cần tìm  Bước 2: Dùng phần mềm MATHCAD kiểm tra dự đoán Nếu kết với dự đoán sở để tìm cách giải toán Một số ví dụ minh hoạ Do tập phương trình hàm khó đa số học sinh nên tài liệu dành cho THPT giới thiệu vài dạng phương trình hàm đơn giản hàm số liên tục mà chủ yếu hàm số dạng đa thức 2.1 Ví dụ 1: Tìm tất hàm liên tục f : ¡ → ¡ thoả mãn f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ ¡ - Ta có nhận xét biểu thức f(x + y) = f(x) + f(y) gợi nhớ cho ta đến tính chất dạng tuyến tính nên ta đưa đoán: Có khả f(x)=ax+b ? Để thử nghiệm đoán trên, ta sử dụng đoạn lệnh sau với MathCAD: Khai báo dạng tổng quát f(x): f(a,b,x) :=a.x+b Khai báo giả thiết toán: VP:=f(a,b,x) +f(a,b,y) → a.x+2.b+a.y VT:=f(a,b,(x+y)) → a.(x+y)+b Giải phương trình hệ số a, b Given Khai báo phương trình: VT=VP  a 0 Giải phương trình: u:=Find(a,b) →   Kết luận: Hàm cần tìm có dang: u0.x + u1 → a.x Kết chạy chương trình MathCAD cho kết f(x)=ax Từ kết ta tìm hướng giải toán sau: Từ giả thiết f(x+y)=f(x)+f(y) với ∀x, y ∈ ¡ nên lấy nhiều giá trị x, y ta có dãy kết Hình ảnh dãy gợi nhớ cho ta đến phương pháp sử dụng giới hạn, cụ thể: • Bước 1: Đặt x = y = ta có f(0) = f(0) ⇔ f(0) = Cho x = y = ta có f(2) = 2f(1) Cho x = 2; y = ta có f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) Quy nạp ta f(n) = nf(1) Kí hiệu f(1) = a, ta có f(n) = na với n∈ ¥ + Cho x = n; y = - n ta có = f(0) = f(n) + f(-n) ⇒ f(n) = - f(- n) ⇒ f(-n) = a(- n) Vậy f(n) = an ∀n ∈ ¢ Đặt x = y ta có: f(2x) = 2f(x); f(3x) = 3f(x) f(mx)= mf(x)  n an = f (n) = f  m ÷ = m f  m với m ∈ ¥ , x ∈ ¡ Hay: n n n  ÷ ⇔ f  ÷ = a m m m Vậy f(x) = ax, ∀x ∈ ¤ xn = x • Bước 2: Với ∀x ∈ ¡ tồn { xn } n∈¥ , xn ∈ ¤ cho nlim →+∞ nên f ( xn ) = axn Qua giới hạn ta thu kết quả: f ( x) = ax ∀x ∈ ¡ • Bước 3: Thay vào ta có: Vế trái = f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) = Vế phải 2.2.Ví dụ 2: Tìm tất hàm liên tục f : ¡ → ¡ thoả mãn điều kiện f(x2) + f(x) = x2 + x ∀x ∈ ¡ Ta có nhận xét: Giả sử f(x) có dạng đa thức bậc f(x) lớn f(x2) có bậc lớn (trái giả thiết) Mặt khác bậc f(x) không vế phải đa thức có bậc Như f(x) đa thức bậc nhất? Sử dụng MathCAD để thử nghiệm dự đoán chương trình sau: Khai báo dạng hàm số lấy giá trị để xác định hệ phương trình: h(a,b,x):=a.x+b x1:=5 y1:=3 BT1:=h(a,b,x1 ) → 25.a+b BT2:=h(a,b,x1) → 5.a+b BT3:=h(a,b,y12) → 9.a+b BT4:=h(a,b,y1) → 3.a+b t1:= x + x substitute x= x1 → 30 t2:= x2 + x substitute x= y1 → 12 Giải hệ phương trình Given BT1+BT2=t1 BT3+BT4= t2  1 0 u:=Find(a,b) →   Kết f(x) có dạng: uox + u1 → x Sau biết trước kết quả, tương tự ví dụ 1, ta vận dụng phương pháp sử dụng giới hạn để tìm kết f(x)=x 2.3.Ví dụ 3: Tìm hàm số f(x) g(x) xác định hệ sau:  f (3x − 1) + g (6 x − 1) = 3x  2  f ( x + 1) + x g ( x + 3) = x + x (1) (2) ∀x ≠ ±1 Ta có nhận xét sau: Giả sử f(x), g(x) hàm số có dạng đa thức từ (1) ta có nhận xét khả xảy bậc f(x) g(x) 1? Mặt khác từ (2) ta thấy g(x) không bậc x2g(2x+3) Ta dự đoán có khả f(x) = ax+b g(x) =c ? Ta sử dụng MathCAD để kiểm nghiệm dự đoán Khai báo hàm số giả thiết ban đầu: f(a,b,x):= a.x+b BT1:=f(a,b,(3.x+1)) → a.(3.x-1)+b BT2:=f(a,b,(x+1)) → a.(x-1)+b Thiết lập giải hệ phương trình: Given BT1 +c = 3.x BT2+x2.c= 2.x2+x BT2+x=x+2  1   u:=Find(a,b,c) → −1     Kết : f(x):=u0x + u1 → x-1 g(x):=u2 → Từ kết gợi ý cho ta đến việc đặt ẩn phụ để giải toán: Trong (1) đặt 3x - = t + Khi : 6x - = 2t + Từ (1) ta có f(t + 1) + g(2t + 3) = t + hay f(t + 1) = t + - g(2t + 3) (1') Thay (1') vào (2) ta có: x + - g(2x + 3) + x2g(2x + 3) = 2x2 + x ⇔ (x2 - 1)g(2x + 3) = 2x2 - ⇔ g hàm ⇔ g(2x + 3) = ∀x ≠ ±1 ⇔ g(x) = ∀x ∈ ¡ \ { ±1} (*) Thay (*) vào (1') ta có f(x + 1) = x Đặt x + = t -> x = t - Khi : f(t) = t - hay f(x) = x - Thay f(x) = x - g(x) = vào hệ phương trình ta thấy f(x) g(x) thoả mãn đầu Vậy hàm cần tìm là: f(x) = x - g(x) = 2.4 Ví dụ 4: Đối với dạng toán xác định đa thức f(x) có bậc n biết giá trị f(x) n+1 giá trị cụ thể, học sinh giải với trường hợp n=2, toán đưa việc giải hệ ba phương trình với ba ẩn số hệ số a, b, c Tuy nhiên với n lớn học sinh thường gặp khó khăn chẳng hạn cần n=3 ta phải giải hệ phương trình ẩn (Các máy tính điện tử bỏ túi học sinh thường dùng hỗ trợ giải hệ phương trình, ẩn) Trong trường hợp ta sử dụng phương pháp dùng đa thức phụ: Chẳng hạn: Tìm đa thức f(x) bậc biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = • Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = ⇔ a, b, c nghiệm hệ phương trình: 0 = 10 + c a =   0 = 12 + a + b + c ⇔ b = −7 0 = + 4a + 2b + c c = −10   Vì ta đặt g(x) = f(x) + 5x2 - 7x - 10 với g(0) = g(1) = g(2) = • Bước 2: Do bậc f(x) = nên bậc g(x) = g(x) chia hết cho x, (x - 1), (x - 2) Gọi m hệ số x3 đa thức f(x) g(x) = mx(x - 1)(x - 2) ⇒ f(x) = mx(x - 1)(x - 2) - 5x + 7x + 10 Mặt khác theo giả thiết f(3) = ⇒ m = 5/2 Vậy đa thức cần tìm là: f ( x) = 25 x − x + 12 x + 10 2 Sử dụng MathCAD để kiểm tra lại kết với chương trình sau: Khai báo hàm số thiết lập điều kiện ban đầu theo giả thiết f(a,b,c,d,x) → a.x3 +b.x2 +c.x +d f(a,b,c,d,0) → d f(a,b,c,d,1) → a+b+c+d f(a,b,c,d,2) → 8.a+4.b+2.c+d f(a,b,c,d,3) → 27.a+9.b+3.c+d Giải hệ phương trình để tìm hệ số a,b,c,d: Given d=10 a+b+c+d =12 8.a+4.b+2.c+d = 27.a+9.b+3.c+d=1 u:=Find(a,b,c,d)       −25   →      12   10  Kết quả: u0.x3 + u1.x2+u2.x+u3 → 25 x − x + 12x + 10 2 Kết luận Qua ví dụ phần thấy hỗ trợ phần mềm toán MathCAD việc kiểm tra tính đắn dự đoán toán học cách nhanh chóng, xác đưa thông tin quan trọng hỗ trợ để trình tìm tòi lời giải toán Mặt khác, qua ví dụ phần minh hoạ cho ý tưởng kết hợp tư toán học với việc sử dụng công cụ phần mềm nghiên cứu, học tập môn toán Theo chúng tôi, khả phần mềm toán học lớn ta khai thác chúng nhiều góc độ khác Việc nghiên cứu giảng dạy cho sinh viên cách sử dụng số phần mềm toán thông dụng MAPLE, MathCAD, Cabri Geometry, SketchPad cần thiết đem lại hiệu thực Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXB GD 2005 [2] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 1998 [3] Tạp chí toán học tuổi trẻ số 08/2003, 11/2003 ... dụ phần thấy hỗ trợ phần mềm toán MathCAD việc kiểm tra tính đắn dự đoán toán học cách nhanh chóng, xác đưa thông tin quan trọng hỗ trợ để trình tìm tòi lời giải toán Mặt khác, qua ví dụ phần. .. Khai báo phương trình: VT=VP  a 0 Giải phương trình: u:=Find(a,b) →   Kết luận: Hàm cần tìm có dang: u0.x + u1 → a.x Kết chạy chương trình MathCAD cho kết f(x)=ax Từ kết ta tìm hướng giải toán... việc sử dụng công cụ phần mềm nghiên cứu, học tập môn toán Theo chúng tôi, khả phần mềm toán học lớn ta khai thác chúng nhiều góc độ khác Việc nghiên cứu giảng dạy cho sinh viên cách sử dụng số phần