Đang tải... (xem toàn văn)
Trong phương pháp “The hill–climbing” mà Solver áp dụng cho bài toán tìm giá trị cực đại, một điểm dừng đầu tiên sẽ được chọn, sau đó hướng thử tăng dần được thực hiện bằng cách phỏng chừng các mức thay đổi ban đầu dọc theo đường giá trị tối ưu (Optimal Value – OV) tăng dần, tới điểm cao nhất có thể đạt được của đường này. Phương pháp này sẽ kết thúc khi các mức thay đổi phỏng chừng theo tất cả các hướng (đạo hàm riêng cấp 1) tiến dần về 0 (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn). Những điểm này khi đó sẽ luôn là “điểm cực trị địa phương” hoặc điểm “tối ưu địa phương”. Những điểm tối ưu khác được tiếp tục tìm kiếm bằng cách khởi động lại chương trình tối ưu hóa, bắt đầu tại một điểm khởi sự khác cho giá trị ban đầu các biến số của mô hình.
TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN CHƯƠNG Financial Modeling 3.1 GiỚI THIỆU MÔ HÌNH PHI TUYẾN • Trên thực tế có nhiều vấn đề kinh tế hoạt động kinh doanh có mối liên hệ với mối quan hệ tuyến tính mà phi tuyến • Sự tồn mối quan hệ không theo tỷ lệ ( doanh số đạt không theo tỷ lệ với giá bán giá bán tăng doanh số giảm • Sự tồn mối quan hệ không mang tính cộng bổ sung (rủi ro danh mục khác với bình quân gia quyền chứng khoán danh mục • Sự hiệu không hiệu theo quy mô (khi sản lượng tiêu thụ vượt mức giới hạn tổng định phí biến phí đơn vị thay đổi) Financial Modeli 3.1 GiỚI THIỆU MÔ HÌNH PHI TUYẾN • Bất giá trị x mà đạo hàm riêng = gọi điểm dừng • Tại giá trị tối ưu địa phương (tối thiểu tối đa) tất đạo hàm riêng phải = Điểm tối ưu cực đại cực tiểu điểm dừng • Việc thiết lập đạo hàm riêng cấp hàm n biến tạo n hệ phương trình Ngoại trừ trường hợp hệ phương trình tuyến tính, trường hợp hàm phi tuyến (ví dụ hàm số gốc hàm bậc 3) không dễ dàng tìm lời giải không khả thi giải tay • Điều kiện đủ thứ phức tạp, yêu cầu phải tính toán định thức ma trận đạo hàm riêng cấp Trên thực tế, trường hợp hàm f có hay hai biến số phức tạp dường khả giải thủ công toán tối ưu Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Giải pháp tối ưu mô hình phi tuyến luôn góc mô hình tuyến tính Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Giải pháp tối ưu mô hình danh mục đầu tư Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Trong phương pháp “The hill–climbing” mà Solver áp dụng cho toán tìm giá trị cực đại, điểm dừng chọn, sau hướng thử tăng dần thực cách chừng mức thay đổi ban đầu dọc theo đường giá trị tối ưu (Optimal Value – OV) tăng dần, tới điểm cao đạt đường • Phương pháp kết thúc mức thay đổi chừng theo tất hướng (đạo hàm riêng cấp 1) tiến dần (điều kiện thứ thỏa mãn) Những điểm “điểm cực trị địa phương” điểm “tối ưu địa phương” Những điểm tối ưu khác tiếp tục tìm kiếm cách khởi động lại chương trình tối ưu hóa, bắt đầu điểm khởi khác cho giá trị ban đầu biến số mô hình Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Sự so sánh LP NLP • Có vài điểm tương đồng LP NLP Ví dụ: • Một gia tăng (hay giảm) RHS bất phương trình ràng buộc ≤ (≥) nới lỏng điều kiện ràng buộc Điều không làm co lại mở rộng vùng khả thi • Việc nới lỏng điều kiện ràng buộc không làm tổn hại giúp gia tăng giá trị mục tiêu tối ưu • Việc thắt chặt điều kiện ràng buộc không giúp ích gây tổn hại giá trị mục tiêu tối ưu • Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Giá trị tối ưu địa phương (cực trị địa phương) so với giá trị tối ưu toàn cục (cực trị toàn cục) • Trong mô hình LP cực trị địa phương cực trị toàn cục • Trong mô hình NLP vừa có cực trị địa phương vừa có cựa trị toàn cục • Giá trị cực đại toàn cục điểm cực đại theo ràng buộc toàn cục giá trị hàm mục tiêu điểm lớn so với tất điểm khả thi khác • Trong mô hình NLP để tìm cực trị toàn cục từ cực trị địa phương cần phải bổ sung điều kiện điều kiện lồi điều kiện lõm Những điều kiện phải thỏa mãn để đảm bảo giá trị tối ưu hóa địa phương giá trị tối ưu hóa toàn cục Financial Modeli 10 8.3 MÔ HÌNH CHỨNG KHOÁN • Từ số liệu giá đóng cửa vào cuối tháng (tuần, ngày) cổ phiếu, tính toán tỷ suất sinh lợi hàng tháng (tuần, ngày) cổ phiếu PAt rAt = ln P A,t −1 • Đây công thức tính theo kỳ ghép lãi liên tục, trường hợp có cổ tức, tính: PAt + Divt rAt = ln PA,t −1 Financial Modeli 29 8.3 MÔ HÌNH CHỨNG KHOÁN • Giả định liệu tỷ suất sinh lợi 12 tháng qua thể phân phối tỷ suất sinh lợi cổ phiếu tháng (tuần, ngày) tới n • Tính1TSSL mong đợi sau: r= r ∑ N j=1 j • Tính phương TSSL: N sai Var = (r ∑ N j =1 j − r) • Tính hiệp phương sai chứng khoán A,B Cov (rA , rB ) = [r ∑ N At − E (rA )] * [rBt − E (rB )] t Financial Modeli 30 8.3 MÔ HÌNH CHỨNG KHOÁN • Sử dụng hàm Average( ), Varp( ), Stdevp( ) COVAR() Excel để tính TSSL mong đợi, Phương sai, độ lệch chuẩn hiệp phương sai • Tính toán hệ số tương quan chứng khoán: ρ AB = Cov(rA , rB ) σAσB • Hoặc dùng hàm Correl () Excel • Hệ số tương quan luôn nằm +1và –1 hay –1≤ ρAB≤+1 • Nếu hệ số tương quan +1, tỷ suất sinh lợi chứng khoán có tương quan xác định hoàn toàn • Nếu hệ số tương quan –1, tỷ suất sinh lợi chứng khoán có tương quan phủ định hoàn toàn Financial Modeli 31 8.3 MÔ HÌNH CHỨNG KHOÁN • Giá trị trung bình tỷ suất sinh lợi danh mục bình quân gia quyền với trọng số tỷ lệ vốn đầu tư vào cổ phiếu thành phần • Gọi xA tỷ trọng vốn đầu tư vào cổ phiếu A, ta có: • E(rp) = xAE(rA) + (1–xA)E(rB) • Phương sai danh mục bình quân gia quyền phương sai (vì có mối tương quan biến động TSSL cổ phiếu) • Var(rp) = xA2 Var(rA) + (1– xA)2 Var(rB) + xA(1– xA)Cov(rA,rB) • σp2 = xA2 σA2 + (1– xA)2 σB2 + xA(1–xA)ρABσAB Financial Modeli 32 8.3 MÔ HÌNH CHỨNG KHOÁN • Đường hiệu danh mục: Financial Modeli 33 8.3 MÔ HÌNH CHỨNG KHOÁN • CÂU HỎI: • Giả định thị trường có loại chứng khoán A B, đường hiệu danh mục có phải đướng biên hiệu thị trường không? • YÊU CẦU: • ĐỌC PHỤ LỤC SÁCH MÔ HÌNH TÀI CHÍNH Financial Modeli 34 8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN • Trong trường hợp tổng quát với N chứng khoán (hay N tài sản), giả định tỷ lệ vốn đầu tư vào chứng khoán i danh mục xi, ta có ma trận cột X tỷ trọng vốn đầu tư vào danh mục sau: x1 x 2 X = x x n • Chúng ta viết XT ma trận đảo ma trận cột X: • XT = [x1, x2, x3, ….xn] Financial Modeli 35 8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN • Bây ta viết E(r) ma trận cột tỷ suất sinh lợi chứng khoán E (r1 ) E ( r ) E (r ) = E (r3 ) E ( rN ) • E(r)T ma trận hàng tỷ suất sinh lợi chứng khoán: • E(r)T = [E(r1), E(r2), E(r3), ….E(rn)] Financial Modeli 36 8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN • Tỷ suất sinh lợi mong đợi danh mục dạng công thức ma trận sau: N E (rp ) = ∑ x i E (ri ) = X T E (r ) = E (r ) T X i −1 • Hoặc dùng hàm SUMPRODUCT () vector hàng vector cột Financial Modeli 37 8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN • Phương sai danh mục: • Gọi ma trận có σij hàng thứ i cột thứ j ma trận phương sai – hiệp phương sai: σ11 σ12 σ13 σ1N σ σ σ σ 2N 21 22 23 S = σ 31 σ 32 σ 33 σ N σ N1 σ N σ N σ NN • Phương sai danh mục Var(rp) = XTSX Financial Modeli 38 8.4 MÔ HÌNH NHIỀU CHỨNG KHOÁN • Hiệp phương sai danh mục: • Nếu gọi ma trận X = [x1, x2, x3,… ,xN] tỷ trọng vốn đầu tư vào danh mục • Ma trận Y = [y1, y2, y3,… ,yN] tỷ trọng vốn đầu tư vào danh mục 2, • Hiệp phương sai danh mục Cov(1,2) = X S YT • YÊU CẦU: • Xây dựng đường biên hiệu thị trường gồm chứng khoán (sử dụng số liệu thực tiễn) Financial Modeli 39 8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI • Cách 1: • Dựa công thức thống kê hàm Excel, tính ma trận phương sai – hiệp phương sai: • A ma trận chênh lệch tỷ suất sinh lợi chứng r − r1 rN − rN r − r r − r 12 N2 N A= r1M − r1 rNM − rN khoán11 Financial Modeli 40 8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI • Ma trận chuyển vị ma trận A: r11 − r1 r12 − r1 r1M − r1 rN1 − rN rN − rN rNM − rN • Ma trận phương sai – hiệp phương sai tính sau: [ ] T A A S = σ ij = M Financial Modeli 41 8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI • Sử dụng hàm COVAR kết hợp với hàm Offset • Hàm Covar(array1;array2…): dùng để tính hiệp phương sai mảng liệu (2 chuỗi TSSL quan sát) • Hàm Offset(initial cells, rows, columns) tham chiếu khối ô tương đồng hình dáng với ô gốc ban đầu thay đổi vị trí sang hàng cột khác Financial Modeli 42 8.5 TÍNH TOÁN MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI • Mô hình số đơn • Giả định mô hình tỷ suất sinh lợi tài sản hồi quy tuyến tính từ ~ số thị ~ trường: ~ R i = α i + β i R x + εi • Từ đó, có lập luận: lập luận thứ giống mô hình CAPM lập luận thứ dùng để tính ma trận phương sai – hiệp phương sai: ~ ~ E(R i ) = α i + β i E(R x ) σ ij = β i β j σ 2x Financial Modeli 43 ... toán tối ưu Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Giải pháp tối ưu mô hình. .. mô hình phi tuyến luôn góc mô hình tuyến tính Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ • Giải pháp tối ưu mô hình danh mục đầu tư Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ... tối ưu địa phương” Những điểm tối ưu khác tiếp tục tìm kiếm cách khởi động lại chương trình tối ưu hóa, bắt đầu điểm khởi khác cho giá trị ban đầu biến số mô hình Financial Modeli 3.2 TỐI ƯU