Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Giới hạn hàm số 1.1.1 Mở đầu Định nghĩa 1 Ta gọ i lâ n cậ n củ a điem a là bat cứ khoả ng mở nà o chứa điem a, ký hiệ u U(a) Định nghĩa 2 Ta gọ i δ-lâ n cậ n củ a điem a, ký hiệ u Uδ(a), là khoả ng (a – δ, a + δ) Định nghĩa Giả sử ( ) xá c định trong mộ t lâ n cậ n nà o đó củ a điem a (có the khô ng xá c định tạ i a) Ta viet lim có the là m cho giá trị ( ) gan L tù y ý bang cá ch chọ n x ≠ a đủ gan a (cả hai → ( ) = , và nó i ( ) dần đến L x dần đến a, neu phı́a) Ta cũ ng có the viet ( ) → → Trong hı̀nh trê n, cả ba trường hợp ta đeu có lim → ( ) = , mặ c dù trường hợp (b) thı̀ f(a) ≠ L, cò n trường hợp (c) thı̀ hà m khô ng xá c định tạ i a Ví dụ Phỏ ng đoá n lim → Lời giải x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 f(x) 0.526316 0.502513 0.500250 0.500025 0.500003 x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 Đặ t ( ) = Theo bả ng bê n, ta nhậ n thay x → (theo cả hai phı́a) thı̀ ( ) → 0.5 Đieu đó f(x) 0.476190 0.497512 0.499750 0.499975 0.499998 cũ ng phù hợp với đo thị củ a ( ) được vẽ ở bê n dưới Bâ y giờ ta thay đoi chú t ı́t, bang cá ch xé t hà m sau, cò n được gọ i là da n xuat củ a ( ) −1 ≠ ( )= −1 =1 Tat nhiê n, hà m mới nà y cũ ng có cù ng giới hạ n là 0.5 khi x→1 như hà m ( ) Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Đieu đó cũ ng nó i lê n rang, khi x → a, giới hạ n củ a mộ t hà m ( ) (neu ton tạ i) khô ng phụ thuộ c việ c có hay khô ng giá trị củ a ( ) tạ i a, tức là ( ) Ví dụ Phỏ ng đoá n lim Lời giải Đặ t ( ) = √ √ → Ta cũ ng tı́nh cá c giá trị củ a ( ) với cá c giá trị x gan 0 Că n cứ và o bả ng bê n trá i, ta ket luậ n rang lim √ → = Nhưng với bả ng bê n phả i, khi x đủ nhỏ thı̀ ta thay cá c giá trị củ a ( ) lạ i bang 0 Có van đe gı̀ ở đâ y? x ±0.1 ±0.01 ±0.001 ±0.0001 ±0.00001 f(x) 0.166620 0.166666 0.166667 0.166667 0.166667 x ±0.000001 ±0.0000001 ±0.00000001 ±0.000000001 ±0.0000000001 f(x) 0.166533 0.177636 0.000000 0.000000 0.000000 Thực ra, ( ) → khi x → 0 Nhưng khi x đủ nhỏ thı̀ √ + 9 rat gan 3, và với má y tı́nh cá c giá trị đó là bang 3, vı̀ the tử so bang 0 trong khi ma u so va n khá c 0 Vı̀ vậ y phé p chia cho ket quả bang 0 Sử dụ ng má y tı́nh đe vẽ đo thị củ a hà m nà y trê n 4 mien gan điem 0, ta được ket quả sau: Ví dụ Phỏ ng đoá n lim Lời giải Ta tı́nh mộ t so giá trị củ a ( ) = sin trong lâ n cậ n củ a điem 0 (1) = sin → sin = 0, (1/2) = sin = 0, (1/3) = sin = 0, (1/4) = sin = Tương tự, f(0.1) = f(0.01) = f(0.001) = f(0.0001) = … = f(0.0000001) = 0 Vậ y ta phỏ ng đoá n lim → sin = 0? Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Nhưng nhı̀n và o đo thị củ a sin , ta thay ton tạ i vô hạ n giá trị củ a x gan điem 0 mà giá trị củ a ( ) lạ i bang 1 Và thực te là , hà m sin khô ng có giới hạ n khi x → 0 Cá c vı́ dụ trê n nó i lê n rang, đe tı̀m giới hạ n củ a hà m so, khô ng the dựa và o dã y cá c giá trị tı́nh toá n bang má y tı́nh đe phỏ ng đoá n, mà phả i bang giả i tı́ch Ví dụ Hà m Heaviside được định nghı̃a như sau 0 Định nghĩa 4 Chú ng ta viet lim [hay ( ) = , và nó i giới hạ n trá i củ a ( ) khi x dan đen a → nó i giới hạ n củ a ( ) khi x dan đen a từ bê n trá i] bang L neu ta có the là m cho giá trị củ a ( ) gan giá trị L tù y ý bang cá ch chọ n cá c giá trị củ a x đủ gan a nhưng bé hơn a Tương tự, chú ng ta có giới hạ n phả i củ a ( ) khi x dan ve a, lim → ( ), neu ton tạ i Định lý Khi x dan ve a, giới hạ n củ a ( ) ton tạ i khi và chı̉ khi giới hạ n trá i và giới hạ n phả i cù ng ton tạ i và bang nhau, Định lý 1 có the viet như sau: lim ( ) = ⇔ lim → Ví dụ → ( ) = lim ( )= → Dựa và o đo thị hà m so ( ) hı̀nh dưới đâ y, hã y kha ng định (neu ton tạ i) (a) lim (c) lim → → ( ) ( ) (b) lim → ( ) Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc (d) lim → ( ) (e) lim → ( ) (f) lim → ( ) Lời giải (a) lim → ( ) = 3 (b) lim → ( ) = 1 (c) lim → ( ) khô ng ton tạ i (d) lim → ( ) = 2 (e) lim → ( ) = 2 (f) lim → ( ) = 1.1.3 Giới hạn vô Xé t quá trı̀nh x → 0 củ a hà m ( ) = Khi x đủ gan thı̀ x2 rat bé , và đó 1/x2 rat lớn Nhı̀n và o đo thị, ta thay ( ) khô ng the dan đen mộ t giá trị nà o, và vı̀ vậ y ta nó i rang khô ng ton tạ i lim the sử dụ ng ký hiệ u lim có Đe bieu thị đieu đó , ta → = ∞ → Định nghĩa 5 Giả sử ( ) xá c định trong lâ n cậ n nà o đó củ a điem a, có the loạ i trừ tạ i điem a Khi đó lim cá ch cho x đủ gan a, nhưng khá c a [Ta cũ ng có the viet ( ) → ∞ khi → ] → ( ) = ∞ có nghı̃a là có the là m cho giá trị củ a ( ) lớn tù y ý bang Viet the nhưng khô ng được hieu là giới hạ n nà y ton tạ i, cũ ng như khô ng the xem ∞ là mộ t con so Đó thuan tú y chı̉ là mộ t ký hiệ u Tuy nhiê n theo thó i quen, ta va n có the nó i " ( ) dan đen vô cù ng khi x dan đen a", hoặ c "giới hạ n củ a ( ) x dan tới a bang vô cù ng", hoặ c " ( ) khô ng bị chặ n trê n khi x dan đen a" Định nghĩa 6 Giả sử ( ) xá c định trong lâ n cậ n nà o đó củ a điem a, có the loạ i trừ tạ i điem a Khi đó lim bang cá ch cho x đủ gan a, x ≠ a [Ta cũ ng có the viet ( ) → −∞ khi → ] Ta va n có the nó i "( ) dan đen â m vô cù ng khi x dan → ( ) = −∞ có nghı̃a là có the là m cho giá trị củ a − ( ) lớn tù y ý đen a", hoặ c "giới hạ n củ a ( ) khi x dan tới a bang â m vô cù ng", hoặ c " ( ) khô ng bị chặ n dưới khi x dan đen a" De kiem tra rang ( ) = − → −∞ khi → Tương tự, chú ng ta có the đưa ra cá c khá i niệ m giới hạ n vô cù ng mộ t phı́a bởi cá c ký hiệ u lim → ( ) = ∞, lim → ( ) = ∞, lim → Cá c dạ ng đo thị tương ứng là ( ) = −∞, lim → ( ) = −∞ Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc ng x = a được gọ i là tiệ m cậ n đứng củ a hà m ( ) neu xả y ra ı́t nhat Định nghĩa 7 Đường tha mộ t trong cá c trường hợp sau ( ) = ∞, lim ( ) = ∞, lim → lim → ( ) = −∞, lim → → ( )= −∞ Ví dụ Tı̀m lim Lời giải Khi x dan đen 3 nhưng nhỏ hơn 3 thı̀ x – 3 luô n â m và dan ve 0, trong khi đó và lim → → tử so dan ve 6, vı̀ vậ y phâ n thức lim dan ve â m vô cù ng, tức là = −∞ → Tương tự, khi x dan ve 3 nhưng lớn hơn 3 thı̀ x – 3 luô n dương và dan ve 0, trong khi đó tử so ve dương vô cù ng, tức là lim dan ve 6, vı̀ vậ y phâ n thức dan = ∞ → Nhı̀n và o đo thị ta thay hà m = Ví dụ Tı̀m cá c tiệ m cậ n đứng củ a = tan Lời giải Bởi vı̀ tan = có tiệ m cậ n đứng là = có the có tiệ m cậ n khi cos = 0 → ( /2) thı̀ cos → , và sin → 1, vı̀ vậ y tan = ∞ Khi → ( /2) thı̀ cos → , và sin → 1, vı̀ Cụ the, lim →( / ) vậ y lim →( / ) tan = −∞ Do tan là hà m tuan hoà n chu kỳ π nê n đo thị củ a = tan có cá c đường tiệ m cậ n đứng là = + với n là so nguyê n 1.2 Quy tắc tìm giới hạn hàm số Định lý Giả sử c là hang so và cá c giới hạ n lim ( ) và lim ( ) cù ng ton tạ i Khi đó → → lim [ ( ) + ( )] = lim ( ) + lim ( ) → → → lim [ ( ) − ( )] = lim ( ) − lim ( ) → → → lim [ ( )] = lim ( ) → → lim [ ( ) ( )] = lim ( )lim ( ) → lim → → ( ) ( = ) → → ( ) ( ) → nếu lim ( ) ≠ → De thay, lim [ ( )] = lim ( ) , lim = , lim = , lim → → → → → = (n nguyê n dương), Chương – Toán lim Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc ( )= → lim ( ) (n nguyê n dương, và f(x) > 0 khi n cha → n) Nă m quy ta c đó có the phá t bieu bang lời như sau: Quy ta c cộ ng: Giới hạ n củ a tong bang tong cá c giới hạ n Quy ta c trừ: Giới hạ n củ a hiệ u bang hiệ u cá c giới hạ n Quy ta c thừa hang so: Thừa hang so có the đưa ra ngoà i phé p lay giới hạ n Quy ta c tı́ch: Giới hạ n củ a tı́ch bang tı́ch cá c giới hạ n Quy ta c thương: Giới hạ n củ a thương bang thương cá c giới hạ n (khi giới hạ n củ a ma u khá c 0) Ví dụ Tı̀m lim → Đặ t ( ) = + − 1 và ( ) = − Ta có lim ( ) = lim (4 ) + lim (2 ) − lim = lim + lim Lời giải → → → → → → − lim → = 4(−2) + 2(−2) − = −32 + − = −25 lim ( ) = lim − lim (3 ) = lim − lim = − 3(−2) = 11 → → Vậ y lim = → → ( ) → ( ) → → = → =− Tong quá t: Neu a thuộ c mien xá c định củ a phâ n thức hữu tỷ ( ) = lim ( ) = ( ) = → ( ) ( ) ( ) ( ) thı̀ Ví dụ Tı̀m lim Lời giải Chú ng ta khô ng the thay trực tiep x = 1 và o bieu thức bởi phâ n thức khô ng → xá c định tạ i x = 1 Cũ ng khô ng the sử dụ ng quy ta c thương bởi giới hạ n củ a ma u so bang 0 Vı̀ vậ y chú ng ta can bien đoi đạ i so Vı̀ x → 1 nê n x ≠ 1, khi đó lim = lim → ( )( ) → → Neu ( ) = ( ) với ≠ thı̀ lim ( ) = lim ( ) (neu ton tạ i) Tổng quát → Ví dụ Tı̀m lim Lời giải ( )= √ → √ → = √ √ √ = √ Định lý lim ( ) = ⇔ lim ( ) = lim ( ) = Ví dụ Tı̀m lim | | → → Ta có | | = − lim | | = lim (− ) = − lim → lim | | = lim → → → ≥0 , vı̀ vậ y Xé t sự ton tạ i củ a lim ( ) Cho ( ) = √ − → 8−2 0 sao cho | ( ) − 5| < 0.1 khi | − 3| < và x ≠ 3 Neu x ≠ 3 thı̀ 0 < | − 3|, vı̀ vậ y mệ nh đe trê n tương đương với | ( ) − 5| < 0.1 ℎ < | − 3| < Ta có | ( ) − 5| = |2 − − 5| = 2| − 3| Đe | ( ) − 5| < 0.1 thı̀ 0 < | − 3| < 0.05 Vậ y f(x) sai khá c 5 mộ t lượng ε = 0.1 khi x sai khá c 3 mộ t lượng nhỏ hơn δ = 0.05 Tương tự, neu ta thay ε = 0.01, ta sẽ tı̀m được δ = 0.005 đe cho neu x sai khá c với 3 mộ t lượng nhỏ hơn δ thı̀ f(x) sai khá c 5 mộ t lượng nhỏ hơn ε | ( ) − 5| < nếu 0 < | − 3| < Tong quá t, ta thay rang, so δ có the lay là ε/2, tức là δ phụ thuộ c ε | ( ) − 5| < nếu 0 < | − 3| < = ε/2 Định nghĩa 1 Giả sử ( ) xá c định trong mộ t lâ n cậ n nà o đó củ a a, có the loạ i trừ tạ i a Ta nó i ( ) có giới hạ n là L khi x dan tới a, và viet lim ( ) = , neu → ∀ > 0, ∃ > 0 | 0 < | − | < ⇒ | ( )− | < Người ta cò n gọ i đâ y là định nghı̃a giới hạ n theo "ngô n ngữ − " Các bước tìm giới hạn f(x) x → a (a) Dự đoá n giới hạ n củ a f(x) khi x → a là L (b) Với ε > 0, xuat phá t từ bat đa ng thư|́ c ( ) − | < , bien đoi tương đương hoặ c tı̀m đieu kiệ n đủ , da n tới bat đa ng thư 0, ∃ > 0 | 0 < | − | < ⇒ | ( ) − | < Tı̀m giới hạ n củ a ( ) = − + 1 khi x → 2 Ví dụ Lời giải (a) Dự đoá n giới hạ n là L = 1 | ( ) − 1| < ⇔ | − | < ⇔ | || − 2| < (b) Vı̀ x → 2 nê n khi 1 < x < 3 thı̀ | || − 2| < ⇐ 0 < 3| − 2| < ⇔ < | − 2| < /3 Lay δ = ε/3 (c) Như vậ y ta đã chứng minh được rang ∀ > 0, ∃ = /3 > 0 | 0 < | − 2| < ⇒ | ( ) − 1| < Theo định nghı̃a, ( ) = − + 1 → 1 khi x → 2 Tương tự, ta có định nghı̃a chı́nh xá c ve giới hạ n mộ t phı́a và giới hạ n vô cù ng Định nghĩa lim → ( )= ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 | − < < ( )= ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 | < < + lim → ⇒ | ( )− |< ⇒ | ( )− |< Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Định nghĩa 3 Giả sử f(x) xá c định trong mộ t lâ n cậ n củ a a, có the loạ i trừ tạ i a Ta nó i f(x) dan tới dương vô cù ng khi x dan tới a, và ta viet lim ( ) = ∞, neu với mọ i so dương → M, luô n tı̀m được so δ > 0 sao cho neu 0 < | − | < thı̀ ( ) > Định nghĩa 4 Giả sử f(x) xá c định trong mộ t lâ n cậ n củ a a, có the loạ i trừ tạ i a Ta nó i f(x) dan tới â m vô cù ng khi x dan tới a, và ta viet lim → ( ) = −∞, neu với mọ i so dương M, luô n tı̀m được so δ > 0 sao cho neu 0 < | − | < thı̀ ( ) < − 1.4 Sự liên tục hàm số Định nghĩa 1 Hà m ( ) được gọ i là liê n tụ c tạ i a neu lim → ( ) = ( ) Như vậ y, đe f(x) liê n tụ c tạ i a thı̀ ba đieu kiệ n sau phả i lan lượt thỏ a mã n: Hà m f(x) xá c định trong mộ t lâ n cậ n củ a a, ke cả tạ i a Ton tạ i giới hạ n củ a f(x) khi x → a, lim → ( ) Giới hạ n đó bang giá trị củ a hà m tạ i điem a, lim ( )= → ( ) Ta nó i hà m f(x) giá n đoạ n tạ i a [hay a là điem giá n đoạ n củ a hà m f(x)] neu f(x) khô ng liê n tụ c tạ i a Định nghĩa 2 Giả sử a là điem giá n đoạ n củ a f(x) Khi đó ta nó i a là điem giá n đoạ n (a) loạ i khử được neu lim (b) loạ i 1 neu lim ( ) = lim → ( ) ≠ lim → → ( ) ( ) (cù ng ton tạ i nhưng khá c nhau) → (c) loạ i 2 trong cá c trường hợp cò n lạ i Định nghĩa 3 Hà m f(x) được gọ i là (a) liê n tụ c trá i tạ i a neu lim → ( ) = ( ) (b) liê n tụ c phả i tạ i a neu lim ( ) = ( ) → Như vậ y, hà m f(x) liê n tụ c tạ i a ⇔ liê n tụ c trá i và liê n tụ c phả i tạ i a Định nghĩa 4 Hà m f(x) được gọ i là (a) liê n tụ c trê n khoả ng mở (a, b) neu nó liê n tụ c tạ i mọ i x0 ∈ (a, b) (b) liê n tụ c trê n khoả ng đó ng [a, b] neu nó liê n tụ c trê n khoả ng mở (a, b), đong thời liê n tụ c phả i tạ i a và liê n tụ c trá i tạ i b Định lý (a) Định lý Neu cá c hà m f(x) và g(x) cù ng liê n tụ c tạ i a thı̀ cá c hà m sau cũ ng liê n tụ c tạ i a: + (b) − (c) (d) (c – const) Cá c hà m sau đâ y đeu liê n tụ c trê n mien xá c định củ a nó : Đa thức Phâ n thức hữu tỷ Că n thức (e) / [g(a) ≠ 0] Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Cá c hà m lượng giá c và cá c hà m ngược củ a chú ng Cá c hà m mũ Cá c hà m logarithm Định lý Neu hà m liê n tụ c tạ i b và lim Nó i khá c đi, lim → Ví dụ Tı̀m lim arcsin Lời giải Khi x → 1 thı̀ x ≠ 1 nê n Do arcsin liê n tụ c tạ i 1/2 nê n → lim arcsin ( ) = ( ) → ( ) = (lim ( )) → √ ( ) = thı̀ lim → √ → √ √ = √ = arcsin lim √ √ → = √ → = arcsin = Định lý Neu liê n tụ c tạ i a và liê n tụ c tạ i ( ) thı̀ hà m hợp ∘ liê n tụ c tạ i a Định lý Neu liê n tụ c trê n [a, b] và N là giá trị nam trong khoả ng giữa f(a) và f(b) thı̀ ton tạ i c ∈ [a, b] sao cho f(c) = N Neu liê n tụ c trê n [a, b] và ( ) ( ) < 0 thı̀ ton tạ i c ∈ (a, b) đe ( ) = Tức là phương trı̀nh ( ) = 0 có nghiệ m trong khoả ng (a, b) Hệ Tı̀m nghiệ m gan đú ng củ a phương trı̀nh 4 − + − = 0 trê n [1, 2] Ta thay rang (1) = −1 và (2) = 12 nê n phương trı̀nh có nghiệ m trê n [1, Ví dụ Lời giải 2] Ta tı́nh giá trị f(c) với c là trung điem củ a [a, b] Neu f(c) < 0, tức trù ng dau với f(a) thı̀ ta đặ t a = c, trá i lạ i đặ t b = c, tức là thu hẹ p đoạ n chứa nghiệ m lạ i Lặ p lạ i quá trı̀nh trê n cho tới khi hiệ u b – a đủ nhỏ Quá trı̀nh tı́nh được the hiệ n trong bả ng dưới đâ y Sau 11 bước lặ p nhậ n được a = b = 1.221 (là m trò n 3 chữ so), vậ y nghiệ m xap xı̉ là 1.221 n a b c 1.50 1.000 2.000 1.50 1.000 1.250 1.25 1.000 1.125 1.12 1.250 1.188 1.18 1.250 1.219 f(c) n a b c f(c) 2.500 1.219 1.234 1.227 0.034 1.219 1.227 1.223 0.010 1.219 1.223 1.221 -0.003 0.188 -0.523 -0.200 -0.015 10 1.221 1.223 1.222 0.003 10 1.221 1.222 1.221 0.000 Chương – Toán 1.21 Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.250 1.234 0.084 11 1.221 1.221 1.5 Giới hạn vô cực tiệm cận ngang 1.5.1 Giới hạn vô cực Trong cá c phan trước chú ng ta chı̉ xé t quá trı̀nh x dan tới giá trị hữu hạ n a Neu trong quá trı̀nh đó giá trị củ a ( ) dan ra vô cù ng (â m hoặ c dương) thı̀ ta gọ i đường tha ng = là tiệ m cậ n đứng Trong phan nà y ta xé t quá trı̀nh x dan ra vô cù ng (â m hoặ c dương), neu ( ) dan tới giới hạ n hữu hạ n L nà o đó thı̀ đường tha ng = được gọ i là tiệ m cậ n ngang củ a = ( ) Chú ng ta xé t hà m ( ) = Vı̀ −1< + nê n ( ) < De thay rang x cà ng lớn thı̀ giá trị ( ) cà ng gan 1 hơn Đe bieu thị đieu đó ta có the viet lim → = Định nghĩa 1 Giả sử ( ) xá c định trong mien (a, ∞) Ta viet lim ( ) = , và nó i ( ) có → giới hạ n là L khi x dan ra dương vô cù ng neu có the là m cho ( ) gan L tù y ý bang cá ch chọ n giá trị x đủ lớn [Hoặ c viet ( ) → → ∞] Định nghĩa 2 Giả sử ( ) xá c định trong mien (-∞, a) Ta viet lim ( ) = , và nó i ( ) có → giới hạ n là L x dan â m vô cù ng neu có the là m cho ( ) gan L tù y ý bang cá ch chọ n giá trị x â m đủ lớn [Hoặ c viet ( ) → → −∞] Định nghĩa Đường tha ng y = L được gọ i là tiệ m cậ n ngang củ a đường cong = ( ) neu lim ( ) = lim ( ) = → Ví dụ → Tı̀m cá c đường tiệ m cậ n ngang và tiệ m cậ n đứng củ a hà m ( ) = 11 √ Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc √ Lời giải Với x > 0: = Vậ y có tiệ m cậ n ngang = √ Với x < 0: √ →− √ √ Vậ y có tiệ m cậ n ngang = − lim √ →( / ) = −∞ √ khi x → ∞ = → khi x → −∞ lim √ = ∞ →( / ) Vậ y = là tiệ m cậ n đứng 1.5.2 Giới hạn vô vô cực Ký hiệ u lim ( ) = ∞ bieu thị ( ) trở lê n rat lớn khi x rat lớn → Y nghı̃a tương tự cũ ng dà nh cho cá c ký hiệ u lim ( ) = −∞, lim ( ) = ∞ và lim ( ) = −∞ → → → Định nghĩa 4 Giả sử ( ) xá c định trong khoả ng (a, ∞) Ta nó i ( ) có giới hạ n là L khi x dan đen dương vô cù ng, và viet lim ( ) = , neu → Y ∀ > 0, ∃ | ∀ > ⇒ | ( ) − | < nghı̃a hı̀nh họ c được mô tả trong hı̀nh vẽ dưới đâ y Đe chứng minh lim ( ) = khi sử dụ ng Định nghı̃a 4, ta tien hà nh theo trı̀nh tự sau → (a) Xá c định bieu thức củ a N theo ε: Từ bat đa ng thư|́ c ( ) − | < , ta bien đoi tương đương hoặ c tı̀m đieu kiệ n đủ (tức là chı̉ được sử dụ ng cá c bien đoi "⇔" hoặ c "⇐") đe da n đen bat đa ng thức dạ ng x > B(ε), trong đó bieu thức B(ε) → ∞ khi ε → 0 Ta lay N = B(ε) (b) Chı̉ ra so N như trê n là thỏ a mã n Định lý 4, tức là ∀ > 0, ∃ = ( ) | ∀ > ⇒ | ( ) − | < Ví dụ Sử dụ ng Định nghı̃a 4, chứng minh rang lim → 12 = Chương – Toán Lời giải Xá c định N theo ε: Xé t với x > 1 Khi đó , ∀ε > 0, − Lay Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc < ⇔ ) ( < ⇔ ) ( < ⇐ < − < ⇔ < ⇔ > = Vậ y ta đã chứng minh được rang ∀ > 0, ∃ = | ∀ > ⇒ > ⇒ = Theo Định nghı̃a 4, lim → Định nghĩa 5 Giả sử ( ) xá c định trong khoả ng (-∞, a) Ta nó i ( ) có giới hạ n là L khi x dan đen â m vô cù ng, và viet lim ( ) = , neu → ∀ > 0, ∃ | ∀ < ⇒ | ( )− | < Đe chứng minh lim ( ) = sử dụ ng Định nghı̃a 5, ta tien hà nh theo trı̀nh tự → sau (c) Xá c định bieu thức củ a N theo ε: Từ bat đa ng thư|́ c ( ) − | < , ta bien đoi tương đương hoặ c tı̀m đieu kiệ n đủ (tức là chı̉ được sử dụ ng cá c bien đoi "⇔" hoặ c "⇐") đe da n đen bat đa ng thức dạ ng x < B(ε), trong đó bieu thức B(ε) → -∞ khi ε → 0 Ta lay N = B(ε) (d) Chı̉ ra so N như trê n là thỏ a mã n Định lý 5, tức là ∀ > 0, ∃ = ( ) | ∀ < ⇒ | ( ) − | < Ví dụ Sử dụ ng Định lý 5, chứng minh rang lim Lời giải Xé t với x < 0 Khi đó , ∀ε > 0, = → − < ⇔ < + + < < 0, do đó |4 + + 2| > |4 − − 1| = |4 + + 1| < Với x < -1 thı̀ 4 Đong thời, |−4 Khi đó , Lay ∀ > 0, ∃ Theo Định nghı̃a 5, lim < ⇐ | | < ⇔| |< ⇔| |> ⇐ = − Vậ y ta đã chứng minh được rang = − | ∀ < → ⇒ 0, = ≠ 1) ... −∞, neu với mọ i so dương M, luô n tı̀m được so δ > 0 sao cho neu 0 < | − | < thı̀ ( ) < − 1.4 Sự liên tục hàm số Định nghĩa 1 Hà m ( ) được gọ i là liê n tụ c tạ i a neu lim → ( ) = ( ) Như vậ... 0.003 10 1.221 1.222 1.221 0.000 Chương – Toán 1.21 Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.250 1.234 0.084 11 1.221 1.221 1.5 Giới hạn vô cực tiệm cận ngang 1.5.1 Giới hạn vô cực Trong cá c phan trước chú... tan có cá c đường tiệ m cậ n đứng là = + với n là so nguyê n 1.2 Quy tắc tìm giới hạn hàm số Định lý Giả sử c là hang so và cá c giới hạ n lim ( ) và lim ( ) cù ng ton tạ