Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên Chuyên đề: Hình học Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm di động cung nhỏ BC Vẽ MH  BC H, MI  AB I, MK  AC K a) Chứng minh I, H, K thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm M để tổng BC AC AB nhỏ   MH MK MI Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) AB  AC  R M điểm di động cung nhỏ AC D giao điểm AM BC a) Chứng minh AM.AD không đổi b) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD nằm đường cố định c) Xác định vị trí điểm M để 2AM  AD nhỏ Câu 3: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định, CD đường kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến (O) B cắt AC, AD E, F a) Tính BE.BF theo R b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE di động đường cố định Câu 4: Cho tam giác ABC có A  60o Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F ID cắt EF K Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC M, N a) Chứng minh tứ giác IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường tròn (I), S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r Chứng minh S IMN  S Câu 5: Cho BC dây cung cố định đường tròn (O;R) ( BC  2R) A điểm chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn AD, BE, CF đường cao tam giác ABC cắt H I trung điểm BC Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Chứng minh bốn điểm E, F, D, I thuộc đường tròn S ABC  BC AC.AB 4R b) Xác định vị trí điểm A cho chu vi tam giác DEF lớn c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HG  R d) AO cắt BC T Chứng minh DB TB AB  2 DC TC AC Câu 6: Cho điểm A nằm đường tròn (O;R) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O)(B, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE (D, E thuộc (O), D nằm A E Tia AD nằm hai tia AO AB) AO cắt BC H, cắt (O) I, L (I nằm A L) a) Chứng minh P, H, O, E thuộc đường tròn b) Vẽ dây DK song song với BC Chứng minh K, H, E thẳng hàng c) Từ D vẽ đường thẳng song song với BE, cắt AB F cắt BC G Chứng minh D trung điểm FG d) Chứng minh đường thẳng BC, DL, EI đồng quy Câu 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tia AB, DC cắt E; tia AD, BC cắt F Gọi M giao điểm (khác C) hai đường tròn (BCE); (CDF) Chứng minh rằng: a) E, M, F thẳng hàng b) A, D, E, M thuộc đường tròn c) EA.EB  FA.FD=EF2 d) OM  EF Câu 8: Cho BC dây cung cố định đường tròn (O;R), A di động cung nhỏ BC a) Xác định vị trí A để diện tích tam giác ABC lớn b) Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn c) Xác định vị trí A để AB2  AC nhỏ d) Giả sử BAC  ACB  90o Chứng minh AB2  BC  4R Câu 9: Cho BC dây cung cố định đường tròn (O;R) ( BC  2R) A điểm di động cung lớn BC I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt đường tròn (O) M, cắt BC D a) Chứng minh MD.MA không đổi b) Xác định vị trí A để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn c) Gọi r1 , r2 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD, ACD Xác định vị trí A để r1  r2 lớn Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 10: Cho tam giác ABC M điểm di động cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt AB D, giao điểm CD BE N Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt AC E Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác NBC, NDE cắt N, K Xác định vị trí M để tổng KB  KC  KM đạt giá trị nhỏ Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) Xét tứ giác BIHM ta có: BIM  BHM  90o Hai góc nhìn cung BM hai góc nên BIHM tứ giác nội tiếp Tương tự tứ giác HCKM, ta có: MKC  MHC  180o Hai góc đối có tổng số đo 180o nên tứ giác HCKM nội tiếp Mặc khác tứ giác ABMC tứ giác nội tiếp nên ABM  MCK (tính chất góc ngoài)  IMB  KMC (cùng phụ với góc nhau) IMB  IHB (hai góc nội tiếp tứ giác nội tiếp chắn cung) KMC  KHC lại có:  Vậy: IHB  CHK mà chúng vị trí đối đỉnh nên: I, H, K thẳng hàng b) Gọi D điểm thuộc cạnh BC cho CMD  BMA AC AB BD DC BC     MK MI MH MH MH BC AC AB BC    MH MK MI MH Ta có hệ thức: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Mà BC cố định, để biểu thức đạt giá trị nhỏ MH phải đạt giá trị lớn  H nằm cung nhỏ BC Câu 2: a) Theo giả thiết ta có AB  AC  R Xét AOC có OA  OC  R, AC  R  AOC vuông cân O Tương tự suy AOB vuông cân O  BOA  AOC  BOC  90o  90o  180o  B, O, C thẳng hàng, ABC vuông cân A Xét AMB & ABD ta có: ABDchung  AMB  ABD  AMD(=sdAB)  ABD(g.g) AM AB   AM AD  AB  2R AB AD b) Ta có AMB  45o (góc nội tiếp chắn cung AB) BMC  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  CMD  180o  AMB  BMC  180o  45o  90o  45o Mặc khác CMD góc nội tiếp chắn cung CD đường tròn (I)  sdCD  CID  90o lại có CID cân I Vậy CID vuông cân I ABC  ICD=45o (ở vị trí đồng vị, AB//CI) Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Điểm A, B, C cố định, tâm I di động đường thẳng song song với AB c) Ta có 2AM  AD  2AM AD  4R  4R Vậy M nằm A D 2AM  AD đạt giá trị nhỏ Câu 3: a) Ta có: CAB  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Áp dụng hệ thức lượng vào AEF vuông A đường cao AB: BE.BF  AB2  4R b) Xét tam giác ABF vuông B có đường cao BD DFB  DBA (cùng phụ với DBA ) Mặc khác DBA  DCA (hai góc nội tiếp chắn cung AD) Vậy DFB  DCA  DFB  DCE  180o  Tứ giác CEFD nội tiếp c) Gọi G trung điểm dây EF IEF cân I  IG  EF Mà EF  AB( gt )  AB / / IG Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vậy I nằm đường thẳng d vuông góc với AB cố định hay song song với EF (1) Gọi H giao điểm CD AG Ta có: AG đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác AEF vuông H  GE  GF  GA  GAE  GEA Dễ dàng chứng minh AFB  ACH mà AFB  AEF  90o  HAC  HCA  90o Hay AH  CD Tứ giác AOIG có cặp cạnh đối song song  AOIG hình bình hành  AO  IG  R(2) Từ (1) (2) ta suy Tâm I (CDE) di động đường thẳng song song EF cách EF khoảng bán kính Câu 4: a) Dễ dàng chứng minh hai tứ giác MKIF IKEN tứ giác nội tiếp Vì vậy, FMI  FKI (góc nội tiếp chắn cung FI) lại có FKI góc tứ giác IKEN nội tiếp nên FKI  INA Vậy: FMI  INA  IMAN tứ giác nội tiếp b) Ta có IE  IF=r  IEF cân I Vậy ta dễ dàng chứng minh IFK  IMK  KNI  KEN nên IMN cân I, mặc khác MK  IK Vậy K trung điểm MN Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chứng minh AMN ABC( MN / / BC)  Tia AK qua trung điểm BC hay A, K, J thẳng hàng c)Xét IFA vuông F có IAF=30o , mà IF=r  AF=IF.tanAIF=IF.tan60=r 2 Vậy S AEIF  2dtAIF  AF IF  r.r  r 3(dvdt ) r2 AEF Xét IMF vuông F, ta có IM  IF S Vậy ta có dtIMN   dpcm Và diện tích IEF  dt AEIF  dt  Câu 5: a)Ta có: EBD  EFC=HFD; EBD  EOC  cungEC  EFD  Tứ giác EFDI nội tiếp Vẽ đường kính AK AD AB AB AC   AD  AC AK AK 1 AB AC AB AC.BC  BC AD  BC  2 AK 4R DAB S ABC CAK  Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2 b) Ta chứng minh OA  EF  SOEAF  OA.E F  R.EF 1 S ABC  R.( DE  EF+DF)= chu vi tam giác DEF 2 Vậy chu vi tam giác DEF lớn A điểm cung lớn BC c) Sử dụng đường thẳng Euler tam giác ABC nội tiếp (O) có AK đường kính : KCA  KBA  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tứ giác BHCK ta có : BH // CK ( vuông góc với AC ) CH // BK ( vuông góc với AB ) Do tứ giác BHCK hình bình hành ===> H , I , K thẳng hàng IH = IK Ta lại có: OI  GI  AH ( đường trung bình KAH ) GA (tính chất trọng tâm ABC) HAG  GIO (so le AH // OI ) Do GAH GIO(c.g.c) HGA  IGO (góc tương ứng hai tam giác đồng dạng ) Chúng vị trí đối đỉnh nên H, G, O thẳng hàng Và từ hai tam giác đồng dạng  HG  2GO  OH Mà OH  R nên HG  R  dpcm d) Áp dụng định lý Ptoleme, ta suy hệ thức sau : DB AB KC TB AB KB ;   DC AC KB TC AC KC DB TB AB  KC KB     Nên :   DC TC AC  KB KC  KC KB KC KB  2 2 KB KC KB KC DB TB AB Vậy :    dpcm DC TC AC Theo Cauchy Câu 6: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán a) ABO vuông B có BH  AO nên AB2  AH AO(1) ABD AEB( g.g ) nên AB2  AD AE(2) Từ (1) (2)  AD.AE  AH AO nên tứ giác DHOE nội tiếp hay điểm D, H, O, E thuộc đường tròn b) Dễ dàng chứng minh DKCB hình thang cân mà AH đường trung trực BC nên AH trục đối xứng hình thang cân DKCB Khi đó: AHK  AHD Mặc khác: AHD  AEO (Vì tứ giác DHOE nội tiếp) = ODE (vì tam giác ODE cân O) = OHE (góc nội tiếp chắn cung OE) Do đó: AHK  OHE Mà OHE  EHA  180o nên AHK  EHA  180o Từ suy ba điểm H, K, E thẳng hàng c) Gọi M giao điểm DE BC Tam giác HDE có HM, HA phân giác tam giác HDE  MD AD DH (vì )  ME AE DE DF AD  DF / / BE     BE AE Mặc khác   DG / / BE  DG  MD   BE ME Từ điều suy DF  DG nên D trung điểm FG d) Dễ chứng minh DL tia phân giác HDE Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vậy I điểm cung nhỏ DK nên EI tia phân giác DEH Xét HDE có HB, EI, DL đường phân giác tam giác nên chúng đồng quy Câu 7: a) Từ tứ giác ABCD, BCME, DEMF nội tiếp nên: EMC  CBA  CDF  180o  CMF  EMC  CMF  180o nên E, M, F thẳng hàng b) Tứ giác EMCB nội tiếp nên FM FE  FC.FB Tứ giác ABCD nội tiếp nên FD.FA  FC.FB Do FM FE  FD.FA(1) suy tứ giác ADME nội tiếp nên điểm A, D, M, E thuộc đường tròn c) Chứng minh tương tự câu b ta có EB.EA  EM EF(2) Cộng theo vế (1) (2) ta suy FA.FD  EB.EA  EM E F  FM FE=EF2 d) Ta có: AOC  2ADC  ADC  ADC  EBC  EMA Do đó: AOC  AMC  EBC  EMA+AMC  180o nên tứ giác AMCO nội tiếp Tứ giác AMCO nội tiếp có OA  OC nên MO tia phân giác AMC Mặc khác: AME  ADE  DMF Nên OME  90o Hay OM  EF  dpcm Câu 8: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán a) Vẽ AH  BC (H  BC ) Vì BC cố định nên diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn AH lớn  H nằm cung BC b) Chứng minh tương tự câu a, ta suy H nằm cung BC c) Vẽ trung tuyến AM ABC Ta có AM  2( AB  AC )  BC 2 Do BC cố định nên AB2  AC nhỏ AM nhỏ Lúc A nằm cung nhỏ BC d) Vẽ đường kính BD đường tròn (O) Vì BAC  BDC  180o BAC  ACB  90o nên ACB  BDC  900 mà DBC  BDC  900 nên ACB  DBC suy CD  AB Do đó: AB2  BC  CD2  BC  BD2  4R Câu 9: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 11 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a)Xét ABM & BDM có: AMB chung  ABM  MBD  BAM  BDM ( g.g ) MA MB   MA.MD  MB MB MD A di động I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên M cố định điểm cung BC Vậy MB cố định b) Dựng IS  AB S (S thuộc AB) Vậy IS bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC BAC Mặc khác, AI  AM  MI  AM  MB  2R  MB IS  AI sin BAI  AI sin Vậy để bán kính nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn AM đường kính, tức A điểm cung lớn BC c) Vẽ O1T  AB T (T thuộc AB) BAC BAC Tương tự: r2  ( AC  AD  CD) tan BAC Do đó, r1  r2  ( AB  AC  2AD  BC ) tan Vậy: r1  O1T  AT tan TAI  AT tan r1  r2 lớn AB  AC lớn AD lớn Tức A điểm cung lớn BC Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 10: Tứ giác ADNE nội tiếp Gọi I giao điểm AK BC Dễ chứng minh IB2  IC  IK IA  I trung điểm BC  IK  IB  điểm K cố định IA Gọi H hình chiếu K BC, ta có KM  KH Do đó, KB  KC  KM  KB  KC  KH Vậy để tổng đạt giá trị nhỏ M chân đường vuông góc hạ từ K đến BC Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/ OnThiLop10ChuyenToan Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 14 ... Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng... Nên OME  90 o Hay OM  EF  dpcm Câu 8: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán a) Vẽ... r2 lớn Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 10: Cho tam giác ABC M điểm di động cạnh