Khảo sát gián tiếp Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số [ ( )]y f g x= bằng phơng pháp gián tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới ( )t g x = để đa hàm số ban đầu về dạng ( )y f t = đơn giản hơn. Với chú ý, ta phải đi tìm tập giá trị của hàm số ( )t g x = , giả sử tập giá trị đó là D. sau đó tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f t = trên miền D. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau = + + + + 2 2 2 4 sin cos 1. 1 1 x x y x x Giải: Đặt 2 2 sin 1 x t x = + ta có 2 2 1 1 1 x x + và [ 1;1] ( ; ). 2 2 Do đó + + 2 2 2 2 sin( 1) sin sin1 sin1 sin sin1. 1 1 x x x x Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng: = + + = 2 2 2 ( ).y t t f t Miền xác định D = [ sin1; sin1]. Đạo hàm = + = = 1 '( ) 4 1, '( ) 0 D. 4 f t t f t t = = + 2 D min =min{ ( sin1); (sin1)} ( sin1) 2sin 1 sin1 2 t y f f f đạt đợc khi = = = + 2 2 sin1 1 1. 1 x t x x D 1 1 17 max max{ ( ); ( sin1); (sin1)} ( ) 4 4 48 t y f f f f = = = đạt đợc khi = = + 2 1 2 1 sin . 4 1 4 x t x Chú ý: Đối với bài trên ta có rhể giải cách thông thờng là áp dụng tính chất của tam thức bậc 2. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + + + + 4 4 2 2 4 4 2 2 a b a b a b ( ) . b a b a b a y Giải: Đặt a b b a t = + , điều kiện 2.t Khi đó 2 2 2 2 2 a b 2 b a t + = và + = 4 4 2 2 4 4 a b ( 2) 2. b a t Vậy = + = + + 2 2 2 4 2 ( 2) 2 ( 2) 5 4.y t t t t t t Xét hàm số = + + 4 2 ( ) 5 4.f t t t t Miền xác định D=(- ; 2] [2;+ ). Đạo hàm + 3 '( )=4 10 1.f t t t 2 ''( )=12 10 0f t t t > thoả mãn 2.t '( )f t luôn đồng biến. Vậy: - Với 2t ta có '( ) '(2) 13 0 ( )f t f f t = > luôn đồng biến . - Với 2t ta có '( ) '( 2) 11 0 ( )f t f f t = < luôn nghịch biến. Bảng biến thiên t -2 2 + '( )f t - + ( )f t + -2 + 2 Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có D min min ( ) 2 t y f t = = , đạt đợc khi = + = = a b 2 2 0. b a t a b Ví dụ 5: Cho , 0x y và 1x y + = . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau: S = + + + . 1 1 x y y x ( HVQHQT - 1999 ) Giải: Ta có: + + + = + = = + + + + + + ( 1) ( 1) 2 2 S . 1 1 1 2 x y x x y y xy y x xy x y xy Đặt t xy = ta có 0t và vì : 1 1 2 4 x y xy xy = + hay 1 0 . 4 t Xét hàm số 2 2 ( ) 2 t f t t = + trên 1 D =[0; ]. 4 Đạo hàm 2 6 '( ) 0 D (2 ) f t t t = < + Hàm số nghịch biến trên D. Do đó D 1 2 minS = min ( ) = ( ) 4 3 t f t f = đạt đợc khi 1 4 t = . + = = = = 1 1 2 1 1 . 4 2 x y x xy y Chú ý: Đôi khi ta cần phải biến đổi hoặc sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, ., đa hàm số cần tìm GTLN, GTNN về một hàm số trung gian khác. Ví dụ 6: Cho các số thực , , 0x y z thoả mãn điều kiện 1x y z + + = . P 2xy yz zx xyz = + + . Tìm maxP. ( TH & TT) Giải: Ta có P 2 (1 2 ) ( )xy yz zx xyz xy z z x y = + + = + + 2 ( ) (1 2 ) (1 ) 2 x y z z z + + ( Bất đẳng thức Cauchy) = + = + + 2 3 2 1 1 ( ) (1 2 ) (1 ) ( 2 1). 2 4 z z z z z z Do vai trß , ,x y z b×nh ®¼ng, nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö ≤ ≤ ≤ 0 .z x y 1 1 3 0 3 x y z z z ⇒ = + + ≥ ⇒ ≤ ≤ . Ta xÐt hµm sè 3 2 1 ( ) ( 2 1) 4 f z z z= − + + trªn 1 [0; ] 3 . Ta cã: = − + = − = ⇔ = = 2 1 1 1 '( ) ( 6 2 ) (1 3 ), '( ) 0 0, . 4 3 3 f z z z z z f z z z B¶ng biÕn thiªn z 0 1/3 '( )f z 0 + 0 ( )f z 7 / 27 1/ 4 Nhê b¶ng biÕn thiªn trªn ta thÊy: 7 ( ) 27 f z ≤ víi 1 [0; ] 3 z ∈ hay + + − ≤ 7 2 . 27 xy yz zx xyz 7 max P = 27 ⇒ khi:  =   = ⇔ = = =   + + =   1 3 1 . 3 1 z x y x y z x y z . các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, ., đa hàm số cần tìm GTLN, GTNN về một hàm số trung gian khác. Ví dụ 6: Cho các số thực , , 0x y z thoả mãn điều. tập giá trị của hàm số ( )t g x = , giả sử tập giá trị đó là D. sau đó tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f t = trên miền D. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất,