Chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức là một dạng toán khó và cũng có rất nhiều phơng pháp để giải bài toán này. Phơng pháp đạo hàm là một phơng pháp giải đợc nhiều bài toán mà ta sử dụng các phơng pháp khác sẽ rất khó. Nhờ phơng pháp này ta cũng có thể sáng tạo ra một lớp bài toán bất đẳng thức. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Cho 0 2 x < < . Chứng minh rằng : a. <sin ;x x b. > tan .x x Giải: a. Xét hàm số ( ) sinf x x x= với 0 . 2 x = '( ) cos 1 0 [0; ] 2 f x x x Hàm số nghịch biến trên (0; ). 2 Do đó ( ) (0) ( ; ) sin 2 f x f x o x x < < với 0 2 x < < . b. Xét hàm số ( ) tanf x x x= với <0 . 2 x 2 2 1 '( ) 1 tan [0; ) cos 2 f x x x x = = Hàm số đồng biến trên (0; ). 2 Do đó ( ) (0) ( ; ) tan 2 f x f x o x x > > với < <0 . 2 x Chú ý: Nhiều khi chúng ta phải biến đổi, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski rồi mới chọn hàm số cho phù hợp. Ví dụ 2: Cho hai số thực ,x y bất kỳ thoả mãn các điều kiện + 2 2 3 ,y x x 2 2 .y x Chứng minh rằng: 2 2 2x y+ . ( Đề 39 câu III - 150 đề tuyển sinh) Giải: Từ giả thiết: + 2 2 2 2 3 y x y x x + 2 2 2 6 0 5 6 0 2 3 5 2 0 0. 0 x x x x x x y y y Do đó + + + = + 2 2 2 2 2 4 3 2 ( 2 3 ) 4 12 10 .x y x x x x x x Đặt 4 3 2 ( ) 4 12 10f x x x x= + , với 6 0 . 5 x = + = = = = 3 2 5 '( ) 16 36 20 , '( ) 0 0, 1, . 4 f x x x x f x x x x Ta có bảng biến thiên sau: x 0 1 6/5 5/4 '( )f x + 0 - ( )f x 2 0 1224 625 Từ bảng biến thiên 2 2 2x y + ( đpcm ). Chú ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định ngay đợc rằng hàm số ( )f x đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Trong trờng hợp nh vậy một thủ thuật hay dùng là chúng ta liên tiếp lấy đạo hàm của hàm số ( )f x để xét tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số ( )f x . Ví dụ 3: Chứng minh rằng với > 0x ta có < 3 sin . 6 x x x Giải: Xét hàm số 3 ( ) sin 6 x f x x x= với 0.x Ta có : 2 '( ) 1 cos , ''( ) sin 2 x f x x f x x x= = + . = + < >'''( ) 1 cos 0, 0.f x x x ''( )f x nghịch biến với 0 ''( ) ''(0)x f x f> < với > 0.x <''( ) 0f x với > 0x nên '( )f x nghịch biến với > 0.x '( ) '(0)f x f < với 0 '( ) 0x f x> < với 0x > Nên '( )f x nghịch biến với > 0.x Do đó ( ) (0)f x f< với 0 ( ) 0x f x> < với > 0x < > < > 3 3 sin 0 0 sin , 0 6 6 x x x x x x x x ( đpcm ). Chú ý: Trong các ví dụ trên ta thờng dùng chiều thuận tức là nếu ( )f x đồng biến trên (a;b) thì a b (a) ( ) (b)x f f x f< < < < . Ngợc lại nếu ( )f x đồng biến mà < < < <(a) ( ) (b) a b.f f x f x Ví dụ 4: Chứng minh rằng < < 0 1 7 sin20 . 3 20 (4.1) Giải: Ta có : = 0 0 3 0 sin60 3sin 20 4sin 20 . Do đó 0 sin20 là nghiệm của phơng trình : = 3 3 3 4 . 2 x x Xét hàm số 3 ( ) 3 4f x x x= , có = 2 '( ) 3 12 .f x x = = = 1 1 '( ) 0 , . 2 2 f x x x Bảng biến thiên: x -1/2 1/2 + '( )f x - 0 + 0 - ( )f x + 1 -1 Ta có 0 1 7 1 1 sin20 , , ( ; ) 3 20 2 2 là khoảng đồng biến của hàm số ( ).f x Nên 0 0 1 7 1 7 sin20 ( ) (sin20 ) ( ) 3 20 3 20 f f f< < < < 3 23 3 21 7 4( ) 27 2 20 20 < < đúng (4.1) đúng . Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực =( 1,2, ., ) k x k n không âm . Khi đó : + + + 1 2 1 2 . . n n n x x x x x x n (4.2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = = 1 2 . n x x x . Giải: Trờng hợp 1: = =0 ( 1,2, ., ) i x i n thì 1 2 VT 0 = . n n x x x đpcm. Trờng hợp 2: > =0 1,2, ., i x i n . Đặt = = = 1 2 1 2 , , ., n t t t n x e x e x e và = + + + 0 1 2 1 ( . ). n t t t t n Khi đó + + + 1 2 n 0 (4.2) . n . t t t t e e e e (4.3) Xét hàm số 0 0 0 ( ) ( ) t t t g t e e t t e= với [0; )t + , = 0 '( ) t t g t e e ; = = = 0 0 '( ) 0 0 t t g t e e t t với biến +[0; ).t Bảng biến thiên : t 0 0 t + '( )g t - 0 + ( )g t 0 Từ bảng biến thiên ( ) 0 [0; )g t t + . Dấu = xảy ra = 0 .t t Cho t lần lợt các giá trị từ 1 t đến n t ta đợc: 1 0 0 2 0 0 1 1 0 2 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 t t t t t t g t e e t t e g t e e t t e = = . = 0 0 0 ( ) ( ) 0 n t t t n n g t e e t t e Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có: = = = = = + + + = + + + 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 ( . ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0. . . i i i n n t t t n i n n t t t i i i n n t t t i i i tt t t e ne t t t t t t e e ne t nt e e ne t nt e e e e ne Chứng tỏ (4.3) đúng đpcm. Dấu = xảy ra = = = = = = = 1 2 0 1 2 . n n t t t t x x x . Ví dụ 6: Cho A, B, C là 3 góc của tam giác. Chứng minh rằng 3 cosA cosB cosC 2 + + . Giải: Ta có VT + = + = + A B C A B 2cos cos cosC 2sin cos cosC. 2 2 2 2 A B Vì < 0 cos 1 2 A B và > + C C A B sin 0 VT 2sin cos cosC. 2 2 2 Xét hàm số +( ) = 2sin cos 2 x f x x với 0 x < < . Khi đó = = ='( ) = cos sin cos (1 2sin ), '( ) 0 . 2 2 2 3 x x x f x x f x x Bảng biến thiên: x 0 / 3 '( )f x + 0 - ( )f x 3 2 1 1 Từ bảng biến thiên: 3 ( ) 2 f x đpcm. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ABCV là tam giác đều. Nhận xét: Qua cách chứng minh trên ta nghĩ tới lớp các bất đẳng thức trong tam giác mà dấu bằng xảy ra khi là tam giác đều. Chúng liên quan đến hàm số có đạo hàm phụ thuộc vào 2cos 1x hoặc 2sin 3x hoặc cos sin 2 x x ., đạo hàm triệt tiêu khi = . 3 x Ví dụ: Xuất phát từ 2 2cos 1 '( ) sin x f x x = . Bằng cách lấy nguyên hàm. Suy ra = = = 2 ( ) cot (0; ) max ( ) ( ) 3. sin 3 f x x x f x f x 2 cot A 3. sin A Do đó: + + + 1 1 1 (cot A+cot B cot C) 2( ) 3 3 sin A sin B sinC . . Chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức là một dạng toán khó và cũng có rất nhiều phơng. tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Cho 0 2 x < < . Chứng minh rằng : a. <sin ;x x b. > tan .x x Giải: a. Xét hàm số ( ) sinf x