Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình học 12 Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 MỤC LỤC MỤC LỤC HÌNH NÓN - KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT B – BÀI TẬP HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 20 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 20 B – BÀI TẬP 21 MẶT CẦU – KHỐI CẦU 39 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 39 B – BÀI TẬP 41 File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 HÌNH NÓN - KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1) Mặt nón tròn xoay + Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d, Δ cắt O chúng tạo thành góc β với < β < 900 Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi gọi mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1) + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay mặt nón Đường thẳng Δ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh 2) Hình nón tròn xoay + Cho ΔOIM vuông I quay quanh cạnh góc vuông OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón tròn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2) + Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM đáy hình nón 3) Công thức diện tích thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh ℓ có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l + Diện tích đáy (hình tròn): Str=π.r2 + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq 1 + Thể tích khối nón: Vnón = Str.h = π.r2.h 3 4) Tính chất: Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng không qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến đường tròn + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến đường parabol File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 B – BÀI TẬP Câu 1: Hình ABCD quay quanh BC tạo ra: A Một hình trụ B Một hình nón C Một hình nón cụt D Hai hình nón Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm BC AD Khi quay hình ABCD quanh BC tức tam giác vuông OBA quanh OB tam giác vuông OCD quanh OC Mỗi hình quay tạo hình nón nên hình tạo tạo hình nón Chọn đáp án D Câu 2: Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện tích xung quanh hình nón : D a A a B 2a C a 2 Hướng dẫn giải: a a r  ; l  a; S xq  rl  nên 2 Chọn đáp án C Câu 3: Một hình nón có đường cao h  20cm , bán kính đáy r  25cm Tính diện tích xung quanh hình nón đó: B 25 41 C 75 41 D 125 41 A 5 41 Hướng dẫn giải: Đường sinh hình nón   h  r  41 cm Diện tích xung quanh: S xq  r  125 41 cm Chọn đáp án D Câu 4: Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a, biết B, C thuộc đường tròn đáy Thể tích khối nón là: 3a3 3a 3 a3 A a 3 B C D 24 Hướng dẫn giải: a a Bán kính đáy khối nón , chiều cao khối nón , suy 2  a  a a 3 V     , 2 24 Chọn đáp án C File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 5: Gọi S diện tích xung quanh hình nón tròn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b quay xung quang trục AA’ Diện tích S là: A b B b 2 C b D b Hướng dẫn giải: S =  rl với r = b ; l = b S =  b2 nên Chọn đáp án D Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SC  a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón tròn xoay Thể tích khối nón tròn xoay là: 4a a3  a3 a3 A B C D 6 Hướng dẫn giải: Ta có AC  a  SA  SC  AC  6a  2a  2a Hình nón tròn xoay tạo thành hình nón tích là: 1 4 a V   R h   AC SA   2a 2a  3 3 Chọn đáp án A Câu 7: Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh 900 Cắt hình nón mặt phẳng (P) qua đỉnh cho góc (P) mặt đáy hình nón 600 Khi diện tích thiết diện :  2a  2 3 a D a B a C A 3 Hướng dẫn giải: Gọi S đỉnh hình nón,O tâm đường tròn đáy; I trung điểm AB , Góc tạo mp thiết diện đáy góc SIO Suy luận OA=OS= a a a 2a a ; OI= ; AB= ; SI= ; AI= ; 3 2a Chọn đáp án A Câu 8: Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành ? B Hai A Một D Không có hình nón C Ba Hướng dẫn giải: Khi quay ta bên cạnh, hình tạo thành từ hai hình nón Chọn đáp án B Std   File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 9: Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 900 Thể tích khối nón xác định hình nón trên: h 2h 6h A C B D 2h3 3 Hướng dẫn giải: Do góc đỉnh hình nón 900 nên thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân Suy bán kính đáy hình nón R  h h3 Thể tích khối nón : V  R h  3 Chọn đáp án A Câu 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO  300 ; SAB  600 Tính diện tích xung quanh hình nón ? 3 B D 3 A 4 C 2 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm AB OI  AB; SI  AB; OI    AO  SA.cos SAO  SA Lại có   AI  SA.cos SAI  SA  AI  Từ ta có Mặt khác AO AI  cos IAO  sin IAO    OA  AO OA OA  2 Mà SA  cos30 Diện tích xung quanh cần tính là: S xq  .OA.SA  4 Chọn đáp án A Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAB  600 Thể tích hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD là: a3 a a a3 A B C D 12 12 6 Hướng dẫn giải: Tam giác SAB  SA  a; SO  SA2  AO  a  2a a  ; a 2 a 2 a a3  V  ( )  2 12 Chọn đáp án B R  AO  File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 12: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Một hình nón có đỉnh tâm hình vuông ABCD có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: a a 2 a a B C D A Hướng dẫn giải: a Hướng dẫn: Độ dài đường sinh bằng: a  ( a)  2 a a a  Diện tích xung quanh hình nón bằng: rl   2 Chọn đáp án C Câu 13: Trong không gian, cho tam giác ABC cân A, AB = a 10 , BC = 2a Gọi H trung điểm BC Tính thể tích V hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH A V  2a B V  3a C V  9a3 D V  a Hướng dẫn giải: + Đường sinh l  AB  a 10 BC + Bán kính đáy r   a  đường cao h  l  r  3a + Thể tích hình nón tạo thành V  hr  a3 Chọn đáp án D Câu 14: Cho hình tròn có bán kính Cắt bỏ hình tròn bán kính OA, OB, ghép bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng : 81 9 81 B C 8 Hướng dẫn giải: 12 81 r  ;h  l2  r2  ;V  r h  nên 2 2 Chọn đáp án A A D 9 File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vuông ABCD có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: a a 2 a a A B C D 2 Hướng dẫn giải: a ;l= a S = S =  rl với r = a nên 2 Chọn đáp án C Câu 16: Một hình nón cắt mặt phẳng (P) song song với đáy Mặt phẳng chia với mặt xung quanh hình nón thành hai phần có diện tích Tỉ số thể tích hình nón phía mặt phẳng (P) hình nón cho trước số nào? 1 B C D A 8 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm đáy, mặt phẳng (P) cắt SO O’ S' S'  SO '     Theo đề  S S ' S '  SO  SO ' V '  SO '         SO V  SO  2 Chọn đáp án C a OC   OAB  Xét hình nón tròn xoay đỉnh C, đáy đường tròn tâm O, bán kính a Hãy chọn câu sai A Đường sinh hình nón B Khoảng cách từ O đến thiết diện (ABC) C Thiết diện (ABC) tam giác D Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450 Hướng dẫn giải: Tam giác OAB vuông cân O nên AB  a a 3a a OAC : AC  OA2  OC  a   , AC  Vì AB  AC : 2 Chọn đáp án C Câu 18: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là: a  a 2 a a A S xq  B S xq  C S xq  D S xq  3 Hướng dẫn giải: Kẻ SO   ABC  ; SH  BC  OH  BC Câu 17: Cho tứ diện OABC có OAB tam giác vuông cân OA  OB  a, OC  2 a a AH   3 3 a S xq  .OA.SA   .a a Sxq  B Chọn đáp án C Ta có: OA  File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 19: Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm bán kính đáy r  5cm Khi thể tích khối nón là: 325 A V  100 cm3 B V  300 cm3 C V   cm3 D V  20 cm3 Hướng dẫn giải: Chiều cao h khối nón h  132  52  12cm Thể tích khối nón: V  .52.12  100 cm3 Chọn đáp án A Câu 20: Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là: A S xq  360 cm B S xq  424 cm C S xq  296 cm D S xq  960 cm Hướng dẫn giải: S xq  2..8.10  .8.17  296 cm Chọn đáp án C Câu 21: Một hình nón có bán kính đáy R, đường cao 4R Khi đó, góc đỉnh hình nón 2 Khi khẳng định sau khẳng định ? 3 A tan   B cot   C cos   5 Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ bên 4R 5R Khi HC  R, SH   SC  3 HC Ta có sin    SC Chọn đáp án A D sin   Câu 22: Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 450 Hình tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD, có diện tích xung quanh là: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A S xq  2a B S xq  a a C S xq  Hình học 12 a D S xq  Hướng dẫn giải: Hình tròn xoay hình nón Kẻ SO   ABCD  O tâm hình vuông ABCD Do SOA vuông cân O nên a AB a a SA  OA   a , S xq   SA   .a  2 2 Chọn đáp án C Câu 23: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a Diện tích xung quanh hình nón a 3a a 2 A B D a C 2 Hướng dẫn giải: Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ) Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SA  SB  a a Do đó, AB  SA2  SB  a SO  OA  AB  2 Vậy, diện tích xung quanh hình nón : a a 2 S xq  rl   .a  2 Chọn đáp án B Câu 24: Cho hình nón S, đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón   300 , SAB   600 Tính diện tích xung quanh hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 3a a B S xq  2 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm AB A S xq  OI  AB,SI  AB,OI  a Ta có OA  C S xq  a D S xq  a SA SA ,AI  2 AI AI   , mà  cos IAO OA OA    a  OA  a , SA  a  sin IAO OA 2 Vậy S xq  .OA.SA   a Từ Chọn đáp án D Câu 25: Cho hình cầu bán kính 5cm, cắt hình cầu mặt phẳng cho thiết diện tạo thành đường kính 4cm Tính thể tích khối nón có đáy thiết diện vừa tạo đỉnh tâm hình cầu cho (lấy   3,14 , kết làm tròn tới hàng phần trăm) A 50, 24 ml B 19,19 ml C 12,56 ml D 76,74 ml Hướng dẫn giải: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 + Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE R  IC  CF  IF CD CE  DE 2 SA IF MF   ; NO      IF  NO  2 2 NO MO 11 nên R  + Vậy diện tích mặt cầu cần tính S mc  4R  11 Chọn đáp án B Mà CF  Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 16a 3 14 2a 3 14 64a 3 14 64a 3 14 A B C D 49 147 49 Hướng dẫn giải: 2a a 14 Gọi O tâm đáy , ta có: SO  4a   Gọi M trung điểm SB, ta có: SI.SO = SM.SB= SB 4a   2a 2 4a 2a 2a R  SI   = Vậy SO a 14 14 4 4a 4.64a  64a 14 V  R3  .( )   3 147 14 3.14 14 Chọn đáp án C Câu 28: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 5a 5a 15 5a 15 4a 3 A B C D 18 54 27 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB Gọi G, G' trọng tâm tam giác ABC, SAB Dựng d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; d' trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d d' cắt I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC a a a Ta có: GH   IH  ; GH  6 a 15 Bán kính mặt cầu: r  IH  HA2  5a 15 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: V  r  54 Chọn đáp án B Câu 29: Cho mặt cầu  S  bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A h  R B h  R C h  R Hình học 12 D h  R Hướng dẫn giải: Gọi O O tâm hai hình tròn đáy hình trụ, xét thiết diện ABCD qua trục hình trụ hình vẽ h2 2  Ta có OO  h; IA  R, AO  r  r  R  Diện tích xung quanh hình trụ h2  R2  h2 S  2rh  h R  h   , (dùng BĐT a  b2 ab  ) Vậy S max  2R  h  R  h  h  R Chọn đáp án A   600 Hình chiếu vuông góc Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD S mặt phẳng (ABCD) trung điểm M cạnh AB Biết SD= a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD 25 28 25 28 a B V  a C V  a D V  a A V  81 81 81 Hướng dẫn giải: a 10 3a Tính SM= , SA=SB= 2 Gọi P trung điểm SA, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (Q  SM)  = SM = Ta có cos ASM SA 10 SP 5a =  SQ=  QM= a  cosASM Gọi d1 trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (T tâm tam giác ABD) d2 đường thẳng qua Q vuông góc (SAB) O=d1  d2 a MQOT hình chữ nhật, OQ=MT= , OT=MQ= a a Bán kính mặt cầu R=OA= OT  AT = 28 Do V= R = a 81 Chọn đáp án D Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 37 a 93 a 29 5a A R  B R  C R  D R  12 12 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Gọi H trung điểm AD suy SH  ( ABCD ) Dễ thấy tâm I mặt cầu nằm trục d qua trung điểm O MN vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I S phía so với mp (ABCD) Nếu đặt x  OI IK  OH  a 10 S a 2 OC  OI  R  IK  KS    x2     d  a 10   a  3a    x   x     12     M B K a 2 a 93  R x     12   A Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, cho H (0;0;0),  a 3 a  A  ;0;0  , M (a;0;0) S  0;0;  Khi trung   2    a 3a  điểm E  ; ;0  trung điểm MN Do IE  ( ABCD ) nên 4  5a a 93 IS  IA2  t   R  IA  12 12 Chọn đáp án B H I C O N D  a 3a  I  ; ; t  Từ 4  Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  BC  a ,   SCB   90o khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a Tính diện tích mặt SAB cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a A S  3a B S  16a C S  2a D S  12a Hướng dẫn giải: Gọi D hình chiếu vuông góc S ( ABC ) AB  SA, AB  SD  AB  ( SAD )  AB  AD Tương tự CB  ( SCD)  BC  DC Suy ABCD hình vuông Gọi H hình chiếu D SC  DH  ( SBC )  d ( A,(SBC )  d ( D,( SBC )  DH  a 1    SD  a 2 SD SH DC Gọi I trung điểm SB ta có IA  IB  IC  IS nên I tâm mặt cầu Suy bán kính mặt cầu SC r  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: S  4r  12a 2 Chọn đáp án D Câu 33: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a 11 A a B a C 2a D a 3 Hướng dẫn giải: Gọi M Trung điểm AB Vì Tam giác ADB tam giác ABC tam giác  DM  AB; CM  AB Do có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với =>   900 Góc DMC File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD => H,G đồng thời trọng tâm tam giác ABC ABD   H  CM ; CH  CM  G  DM ; DG  DM  Kẻ Đường vuông góc với đáy (ABC) từ H Đường vuông góc với (ABD) từ G Do hai đường vuông góc thuộc (DMC) nên chúng cắt O => O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG R = OC 3 a  CH  a; HM  a Tam giác ABC  CM  CB.sin  600   CMTT ta có GM  a Từ nhận thấy OGMH hình vuông  OH  a Tam giác OHC vuông H → Áp dụng định lý Pitago ta có: 3 CM  CB.sin  60   a  CH  a; HM  a , OC  CH  OH  aR 12  V  4R  a Chọn đáp án A Câu 34: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác cạnh chung BC = Cho biết mặt bên (DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 2 mà cos    Hãy xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A O trung điểm AB B O trung điểm AD C O trung điểm BD D O thuộc mặt phẳng (ADB) Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm cạnh BC Vì ABC DBC tam giác nên trung truyến a AM DM vuông góc với BC AM  DM  Trong MAD : 3a 3a   2a AD  AM  DM  AM DM cos 2  AD  2.2 4 Ta có: BA2  BD  a  a  2a  AD  ABD  900 Tương tự: CA2  CD  AD  ACD  900 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O trung điểm cạnh AD Chọn đáp án B   1200 Gọi K Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có AB  a, AC  2a, AA '  BAC trung điểm cạnh CC’ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK bằng: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A a 21 B a 21 C a 21 Hình học 12 D a 21 Hướng dẫn giải: '    Ta chứng minh trung điểm A’B tâm mặt cầu BAA A ' KB  A ' B ' B  900 ABC có: BC  AB  AC  AB AC cos1200  7a  BK  BC  CK  a  a   12a A ' K  A ' C '2  C ' K  a  a  a A ' B  A ' A2  AB  20a  a  21a Suy A ' B  A ' K  BK  A ' BK vuông K Ta có  A ' KB   A ' B ' B  900 => điểm A ', B',K, B' nằm mặt cầu đường kính A’B Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E trung điểm A’B a 21 bán kính R  A ' B  2 Chọn đáp án B Câu 36: Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Biết hình chiếu vuông góc A' (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC a 2a a a A R  B R  C R  D R  3 Hướng dẫn giải: * Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d || A ' H cắt AA' E * Gọi F trung điểm AA', mặt phẳng (AA'H) kẻ đường thẳng trung trực AA' cắt (d) I => I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bán kính R  IA a Ta có: Góc AEI 600, EF  AA '  6 a IF  EF tan 600  a R  AF  FI  Chọn đáp án C Câu 37: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD = 3a, hình chiếu vuông góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết côsin góc tạo 21 hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ A a B a C 3a D 3a Hướng dẫn giải: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 a  A ' C ' nên tam giác A’BC’ vuông B 2 Vì B ' D '  ( A ' BC ') nên B’D’ trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’ Gọi G tâm tam giác A’C’D’ Khi GA’ = GC’ = GD’ GA’ = GB =GC’ nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’ 2 3a mặt cầu có bán kính R = GD’= OD '   a 3 Chọn đáp án A Vì BO  Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  Mặt phẳng    qua A vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD điểm M , N , P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP 64 2 32 108 125 A V  B V  C V  D V  3 Hướng dẫn giải: Ta có: CB   SAD  , AM   SAB   AM  CB 1     SC, AM      AM  SC   Từ 1 ,    AM   SBC   AM  MC   AMC  90 Chứng minh tương tự ta có  APC  90  Có AN  SC  ANC  90 Ta có:  AMC   APC   APC  90 S N  mặt cầu đường kính AC mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP AC Bán kính cầu r  2 32 Thể tích khối cầu: V  r  3 Chọn đáp án A P M D A B C Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, BC = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a a3 21 a 7a 21 A B C D 54 54 54 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB,G trọng tâm tam giác SAB=>G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC  O trung điểm CB Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với mp  ABC   d / / SH Qua G dựng đường thẳng vuông góc với mp(SAB) cắt d I,ta có: IA  IB  IC  ID  R =>R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 1 a a a a 21 Ta có: IO=GH= SH   ,OB= , R=IB= IO  OB  3 6 7a 21 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp : V= R  54 Chọn đáp án D Câu 40: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a Trên cạnh AB AD lấy hai điểm H K cho BH = 3HA AK  3KD Trên đường thẳng (d) vuông góc (ABCD) H lấy điểm S cho   300 Gọi E giao điểm CH BK Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SBH SAHEK a 13 54a 13 52a 13 52a 12 A B C D 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: + AD  AB AD  SH nên AD  SA   SAK = 900 + SH  HK nên  SHK = 900 + CH  BK BK  SH nên BK  (SKE)   SEK = 900 Vậy SAHEK nội tiếp mặt cầu có đường kính SK Theo giả thiết ta có: BH = 3a; HA = a; AK = 3a KD  A ∆ SHB vuông H có  SBH = 300 nên SH = BH.tan300 = a Ta có SK2 = SH2 + HK2 = 3a2 + 10a2 = 13a2  SH = a 13 4 4 52a 13 R  (a 13)3  3 Chọn đáp án C Vậy Vmc  Câu 41: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA  2a, SA   ABCD  Kẻ AH vuông góc với SB AK vuông góc với SD Mặt phẳng (AHK) cắt SC E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK a 4a 8a a A B C D 3 Hướng dẫn giải: Đây toán quen thuộc giải hình không gian 12, luyện tập nhiều vẽ xong hình nhận AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK Tuy nhiên trình bày để quý độc giả hiểu rõ Để xác định khối cầu ngoại tiếp đa giác, ta tìm đường thẳng mà đỉnh đa diện nhìn đường thẳng góc vuông Ở ta xác định đường AC, nên xin cách chứng minh sau: Ta nhận thấy B, D nhìn AC góc 900 File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 56 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 AD a3 a   , Dễ tính SD  a 5, KD  SD a 5 SC  SA2  AC  a Do đề cho độ dài cạnh rõ ràng nên ta dùng định lý Pytago để chứng minh AKC  900 1 2a    AK  Ta có 1 2 SA AD AK Ta có SC  SD  CD  tam giác SCD vuông D Khi tam giác 2KDC vuông D a KC  CD  KD  2 Ta có AK  KC  AC Vậy AKC  900 Chứng minh tương tự AHC  900 Đến ta kết luận AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK a 4 Mà AC  a  OA   a , V  .OA3  .a 3 2 Chọn đáp án A Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD SA  a Gọi E trung điểm CD Mặt cầu qua bốn điểm S, A, B, E có điện tích Smc 41a Hướng dẫn giải: A S mc  B S mc  25a 16 C S mc  41a 16 D S mc  25a để tính Smc ta phải xác định bán kính Muốn xác định bán kính trước hết tìm tâm mặt cầu Bài giải: tâm mặt cầu qua diểm A,B,E,S giao điểm đường trung trực SA đườg thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE Gọi I trung điểm AB M trung điểm AE Từ xác định tâm ngoại tiếp ABE điểm K, IK=3/8a Qua K kẻ Kx//SA Trung trực SA cắt Kx N N tâm hình cầu NAlàbánkinh R= 41 NA  NK  KA2  SA2  KA2  SA2  AI  KI  (a)  (a / 2)  (1a / 2)  a 64 Vậy Smc=4πR2=C Chọn đáp án C Câu 43: Trong hình nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R , hình hộp tích lớn bằng: 8 R R B C R D 8R 3 3 3 Hướng dẫn giải: Hình vẽ bên minh họa hình hộp ABCD ABC D nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R Vì tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu hình hộp chữ nhật Do đặt ba kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Khi thể tích hình hộp chữ nhật V  abc A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 57 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có a  b  c  3 abc  V   abc    a  b  c 2          3  a  b  c    R   64 R 64 R R V        V     27 27 3     Chọn đáp án B B C Câu 44: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác Tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón là: A B C D Hướng dẫn giải: Giả sử đường sinh hình nón có độ dài a Gọi G trọng tâm tam giác thiết diện, G cách đỉnh cạnh tam giác thiết diện, nên G tâm khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón, suy bán kính R, r khối cầu ngoại tiếp khối cầu a a nội tiếp khối nón , Gọi V1 , V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón Vậy V1 R3   Chọn đáp án A V2 r V1 , V2 V1 tổng tích bóng đá, V2 thể tích hộp đựng bóng Biết đường tròn lớn bóng nội tiếp mặt hình vuông hộp V  V  V  V  A  B  C  D  V2 V2 V2 V2 Hướng dẫn giải: Gọi R bán kính mặt cầu, cạnh hình lập phương 2R Ta Thể tích hình lập phương V2  R , thể tích bóng Câu 45: Có hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp bóng đá Tính tỉ số 4R V    V2 Chọn đáp án B Câu 46: Một khối cầu nội tiếp hình lập phương có đường chéo 3cm Thể tích khối cầu là: 256 A V  B V  64 3 32 D V  16 3 C V  V1  Hướng dẫn giải: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 58 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Cho đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ hình vẽ gọi M, N tâm hình vuông ABB’A’ ADD’C’ Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Ta có A ' C  AA '2  AC  AA '2  AB  AD  3a  3.42  a  16  a  MN  BC  a   bán kính khối cầu R  32 Thể tích khối cầu V  .23  3 Chọn đáp án C Câu 47: Khi cắt mặt cầu S  O, R  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình tròn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R  , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  để khối trụ tích lớn 6 3 ,h B r  ,h C r  ,h D r  , h 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2  r  R A r    h  R  1  r   h O’ A’ R Thể tích khối trụ là: V  r h  (1  h ) h  f (h)  f '(h)  (1  3h )   h  h 3 f'(h) h + O r A 3  2 f(h) 0 2 (đvtt) r  h  3 Chọn đáp án C Vậy: MaxV   ;1 File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 59 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 48: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình tròn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng S diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số bằng: S2 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi R bán kính bóng Diện tích bóng S  4.R , suy S1  3.4R Chiều cao hộp hình trụ lần đường kính bóng bàn nên h  3.2r S Suy S  2R.3.2 R Do  S2 Chọn đáp án A Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = BC = a , góc   SCB   900 khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp SAB hình chóp S.ABC A 2a B 8a C 16a D 12a Gọi H trung điểm SB Do tam giác SAB vuông A, SBC vuông C suy HA  HB  HS  HC Suy H tâm mặt cầu Gọi I hình chiếu H lên (ABC) Do HA=HB=HC, suy IA  IB  IC Suy I trung điểm AC Gọi P trung điểm BC, tam giác ABC vuông cân, suy IP  BC   IHP   BC , dựng IK  HP  IK   HBC  a a  IK  2 1    IH  a Áp dụng hệ thức 2 IK IH IP d  A,  SBC    a  d  I ,  SBC     a  3a Suy AH  AI  IH    3a , suy   2   R  a , suy S  4R  12a Chọn đáp án D 2 Câu 50: Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ 7a 21 7a 3 7a 7a 21 A B C D 54 54 54 18 Hướng dẫn giải: 2 a 21 7a 21 a  a   Suy Ta có R      V  R   54  2   Chọn đáp án A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 60 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 51: Cho hình chóp S.ABC có SA = a , AB = a , AC = a , SA vuông góc với đáy đường trung tuyến AM tam giác ABC tích khối cầu tạo mặt cầu (S) là: A V   6a B V  2 2a Hướng dẫn giải: a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể C V  2 3a3 D V  2 6a 3 a BA AC.BC Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: r  a 4.S ABC Từ công thức tính độ dài trung tuyến ta suy được: BC = a  S ABC   SA  Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC ta có: R     r  a   ⇒ Thể tích khối cầu V   6.a Chọn đáp án A Câu 52: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, AB  AC  a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC a 21a a 21a3 A B C D 54 54 54 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB  G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC  O trung điểm CB Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với mp  ABC   d / /SH Qua G dựng đường thẳng vuông góc với mp(SAB) cắt d I, ta có: IA  IB  IC  ID  R  R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1 a a a Ta có: IO  GH  SH   , OB  3 a 21 R  IB  IO  OB  7a 21 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp : V= R  54 Chọn đáp án D Câu 53: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là: a a a a A B C D 12 File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 61 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Hướng dẫn giải: Gọi H tâm tam giác BCD E trung điểm CD Ta có AH Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là: AH  ( BCD) Gọi I, r tâm bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện ABCD I giao AH phân giác góc AEB AEB Ta có a BE a AE  BE  ; HE   a AH  AE  HE  Áp dụng tính chất đường phân giác: IH EH IH EH    IA EA IH  IA EH  EA EH AH a  r  IH   EH  EA 12 Chọn đáp án A Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) góc đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) 300 Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vuông góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD N, E, F Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF a a a a B C D A Hướng dẫn giải: MN  SE    MN   SNE   MN  SN Tương tự MF  SF MN  NE  Từ đó, SNM, SEM SFM tam giác vuông nhận SM cạnh huyền chung Suy gọi I trung điểm SM I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF bán kính mặt cầu a R  SM  Chọn đáp án B Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA  a Đáy ABCD hình thang vuông A B, AB  BC  AD  a Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD 19 a 30 a A R  a B R  C R  D R  a Hướng dẫn giải: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 62 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Phân tích: Để tính bán kính mặt cầu khối chóp mà hình dạng đặc biệt phương pháp chung là: - Xác định đường cao khối chóp SH Xác định K tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Dựng trục đường tròn đáy: Là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy vuông góc với đáy (đường thẳng song song với đường cao khối chóp) - Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt trục đường tròn điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp (Thông thường ta xác định tâm I theo cách kẻ IE vuông góc với SA1 tai trung điểm E SA1 ) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo công thức sau: R  IA12  IK  KA12 1 SA12 SA 2  IE   KF   IK  EF    với K hình chiếu E lên đáy 4 Quay lại với toán trên, ta làm theo cách: cách dựng cách lại dùng phương pháp tọa độ hóa  Cách 1: Trình bày theo phương pháp hình học không gian R2  Trước tiên ta tính toán số liệu toán: AC  CD  a 2, SC  SA2  AC  2a Gọi K trung điểm cạnh CD Dựng trục đường tròn đáy đường thẳng qua K song song với SA (chiều cao hình chóp) Gọi E trung điểm SC, qua E kẻ đường thẳng vuông góc với SC cắt trục đường tròn đáy I Ta có I tâm mặt cầu hình chóp ngoại tiếp S.CDE Kẻ EF / / SA suy EF   ABCD  Theo công thức nói ta có:  a 6 SC SC 2 2 2  R  a   IK   a R  IE   KF  IK  EF      4  2  a 6 a2 2 2  R  a   IK    2a R  IK  KD  IK    2 2 19  4a   a  Từ phương trình ta có IK  R       a 6  6    Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa Trong mặt phẳng không gian cho hệ tọa độ Oxyz với O  A , tia AD trùng với tia Oy, tia AB trùng với tia Ox, tia AS trùng với tia Oz 4a   Khi ta có: A  0;0;0  , AB  a  B  a;0;0  , AD  2a  D  0;2a;0  , AS  a  S 0;0; a , BC  a  C  a; a;0  Vì E trung điểm AD nên E  0; a;0  Khi toán trở thành viết phương trình mặt cầu qua điểm S,E,D,C biết tọa độ chúng Để không phức tạp tính toán em nên cho a  tọa độ điểm  E  0;1;0  , C 1;1;0  , D  0; 2;0  , S 0;0;  Phương trình mặt cầu qua điểm có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  (với d  a3  b2  c  R2 ) Lần lượt thay tọa độ điểm S,D,E,C vào phương trình ta có hệ phương trình sau: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 1  a     2b  d   3   19   6c  d   b  R  a  b2  c  d      4b  d   2   a  2b  d   c     d  Chọn đáp án D Câu 56: Một chậu nước hình bán cầu nhôm có bán kính R=10 đặt khung hình hộp chữ nhật (như hình vẽ) Trong chậu chứa sẵn khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h=2 Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (như hình vẽ) Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu hình cầu (O;R) có chiều cao h là: Vchỏm h   h  R   , bán kính viên bi: 3  A r  B r  C r  1,5 D r  Hướng dẫn giải: Phân tích: Ta tích phần nước dâng lên thể tích viên bi ném vào Do ta có: h  Thể tích nước ban đầu: V1  h  R   ; 3  h  Khi thể tích nước sau ném viên bi vào thể tích V2  V1  r  h  R    r (1) 3  “Bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi” 2r   Do thể tích sau kh bỏ viên bi vào tính công thức: V2  .(2r )  R   (2)   h 2r  h    Từ (1) (2) ta có phương trình: h  R    r  4r  R    4r  Rr  h  R   3 3  3    =0 Khi thay giá trị mà đề cho vào phương trình bấm máy tính giải ta r  1.019450 (chọn A) Bấm máy tính ta thấy có nghiệm, nhiên việc bán kính viên bi xấp xỉ chậu nước điều vô lí (  9.90486 ) Chọn đáp án A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64 ... qua trục hình vuông Xét hai mặt cầu sau:  Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ  Mặt cầu qua hai đường tròn đáy hình trụ, ... Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón Nếu cắt mặt nón tròn. .. quanh trục cố định Δ đường thẳng ℓ sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ + Đường thẳng Δ gọi trục + Đường thẳng ℓ gọi đường sinh + Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ 2)