Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006 Một bài toán có nhiều cách giải *************************** Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi khi giảng dạy việc tìm tòi các cách giải khác nhau của một bài toán là cần thiết vì thông qua đó giáo viên có thể đánh giá học sinh về độ rộng, sâu, chắc kiến thức, khả năng nhanh nhạy của học sinh mà việc đó rất cần với học sinh giỏi. Đây là vấn đề khó xong nếu ngời làm toán mà đam mê, ham học hỏi mà thành công đợc thì tự nhiên nó trở thành một nhu cầu cần thiết. Tôi xin đa ra một ví dụ về một bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản mà có nhiều cách giải để các bạn yêu toán tham khảo. Bài toán : Cho a , b , c là ba số dơng thoã mãn : a > c , b > c. Chứng minh rằng : ( ) ( ) c a c c b c ab + . (1) Lời giải 1 : ( Sử dụng phép biến đổi tơng đơng) (1) ( ) ( ) c a c ab c b c . Do a > c , b > c nên hai vế cùng dơng, ta bình phơng hai vế : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 0 0 c a c ab c b c abc b c ab bc ac abc b c bc a b c abc b c bc a b c + + + Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. Lời giải 2 : ( Sử dụng phếp biến đổi tơng đơng). ở cách này ta không chuyển vế nh cách trên mà ta thấy hai vế cùng dơng nên bình phơng luôn. (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2c a c c b c c a c b c ab + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 0 ac c bc c c a c b c ab ab ac c bc c c a c b c a b c c b c c a c b c c a c b c c a c b c c a c b c c + + + + + + Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê Đình Kiên 1 Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006 Lời giải 3 : (Đặt ẩn phụ). Ta thấy dới dấu căn của vế trái các nhân tử có quan hệ đặc biệt nh sau : ( ) a a c a+ = ; ( ) b b c b+ = . Do đó ta có thể đặt ẩn phụ nh sau : 0 0 0 c c a c a b c b = > = = > = + = > = + Thay vào bất đẳng thức đã cho và biển đổi tơng đơng : (1) ( ) ( ) + + + Hai vế cùng dơng bình phơng hai vế ta có : (1) ( ) ( ) ( ) 2 + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 + + + + + + + Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. Lời giải 4 : (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) Đặt : c b c = = a c x c y = = áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 4 số x , y , , : 2 2 2 2 .x y x y x y + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . . ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) . c a c b c c c b c c a c c a c c b c c a c c b c c a c c b c b a ab + + + + + + + = Đây chính là điều phải chứng minh. Lời giải 5 : (Phơng pháp hình học). Theo giả thiết bài toán tồn tại một tam giác ABC nh sau : AB = a ; AC = b ; AH = c (Hình vẽ : AH là đờng cao hạ xuống BC). áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông ABH, ACH ta GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê Đình Kiên 2 h c a b a b c a c b c Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006 tính ngay đợc : BH = a c ; CH = b c Ta có : 2. 2. 2. ABC ABH ACH S S S= + V V V Hay : ( ) ( ) c a c c b c ab + . ã sin BAC . Vậy : ( ) ( ) c a c c b c ab + (Do ã sin BAC 1 ). Dấu = xẩy ra khi ã BAC = 1V. Khi đó : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 . ab c a b c a b = + = + Lời giải 6 : (Phơng pháp lợng giác) Do ab > 0 nên chia hai vế của (1) cho ab ta có : ( ) ( ) 1 c a c c b c ab ab + . . 1 .(1 ) .(1 ) 1 c a c c b c b a a b c c c c b a a b + + Nhận thấy : 0 c a > ; 1 c b < . Do vậy đặt : 2 2 cos cos c b c t a = = (Có thể chọn 0 < ; t < 2 ) Khi đó : 2 2 2 2 1 1 cos sin 1 1 cos sin c b c t t a = = = = Vậy: 2 2 2 2 cos .sin cos .sin 1t t + cos .sin cos .sin 1 sin( ) 1. t t t + + Bất đẳng thức này đúng.(đpcm) Đây là bài toán không khó mà Tôi đã tìm hiểu và su tầm. Chúc các bạn thành công trong việc tìm kiếm các lời giải khác nhau cho một bài toán trong bồi dỡng học sinh giỏi. GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê Đình Kiên 3 C©u l¹c bé to¸n häc HuyÖn Yªn §Þnh Sè 04 - 2006 GV : NguyÔn Thanh H¶i Tr êng THCS Lª §×nh Kiªn 4 . Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006 Một bài toán có nhiều cách giải *************************** Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là. đúng.(đpcm) Đây là bài toán không khó mà Tôi đã tìm hiểu và su tầm. Chúc các bạn thành công trong việc tìm kiếm các lời giải khác nhau cho một bài toán trong bồi