Đang tải... (xem toàn văn)
Möc löc Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 Khæng gian x¡c su§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Mët sè kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Vectì ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. H m °c tr÷ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 K¼ vång i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Qu¡ tr¼nh Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 C¡c d¤ng hëi tö cõa d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . 14 1.5 ành ngh¾a ë o ergodic, qu¡ tr¼nh døng, ë o d§u . . . 15 1.6 Mët sè k¸t qu£ cê iºn v· ành lþ giîi h¤n trung t¥m . . . 16 2 ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ i·u ki»n v ùng döng 18 2.1 ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. i·u ki»n c¦n v õ cho mët d¢y døng têng qu¡t . 19 2.1.2. i·u ki»n c¦n v õ cho d¢y c¡c tam gi¡c . . . . . 29 2.1.3. Phi¶n b£n h m cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Ùng döng cõa ành lþ giîi h¤n trung tr¥m câ i·u ki»n . . 43 2.2.1. Chùng minh c¡c m»nh · v h» qu£ . . . . . . . . . 43 2.2.2. ×îc l÷ñng h¤ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Phö löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 T i li»u tham kh£o 62
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ————————–o0o————————– ĐỖ THỊ LAN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỐI VỚI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CÓ ĐIỀU KIỆN Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số : 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ————————–o0o————————– ĐỖ THỊ LAN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỐI VỚI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CÓ ĐIỀU KIỆN Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số : 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn "Điều kiện cần đủ định lý giới hạn trung tâm có điều kiện" nhận hướng dẫn, giúp đỡ động viên nhiều cá nhân tập thể, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất cá nhân tập thể tạo điều kiện giúp đỡ Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Toán ứng dụng - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đem lại cho kiến thức bổ trợ, vô có ích năm học vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Nguyễn Văn Hùng - người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người bên tôi, động viên khuyến khích trình thực đề tài nghiên cứu Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô, bạn bè người quan tâm để luận văn hoàn thiện phát triển Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Đỗ Thị Lan Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 5 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Vectơ ngẫu nhiên 1.1.3 Hàm đặc trưng 1.2 1.3 Kì vọng điều kiện Quá trình Wiener 12 14 1.4 1.5 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa độ đo ergodic, trình dừng, độ đo dấu 14 15 1.6 Một số kết cổ điển định lý giới hạn trung tâm 16 Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện ứng dụng 2.1 18 Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện 2.1.1 Điều kiện cần đủ cho dãy dừng tổng quát 18 19 2.1.2 Điều kiện cần đủ cho dãy tam giác 2.1.3 Phiên hàm định lý giới hạn trung tâm có 29 điều kiện Ứng dụng định lý giới hạn trung trâm có điều kiện 37 43 2.2.1 Chứng minh mệnh đề hệ 2.2.2 Ước lượng hạch 43 50 Phụ lục 60 2.2 Tài liệu tham khảo 62 Mở đầu I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nghiên cứu mở rộng định lý giới hạn trung tâm cần thiết lý thuyết xác suất thống kê toán học Đề tài luận văn tập trung vào tìm số điều kiện cần đủ cho định lý giới hạn trung tâm có điều kiện Theo hướng tiếp cận Lindeberg, thu điều kiện cho dãy dừng biến ngẫu nhiên thực bình phương khả tích thỏa mãn định lý giới hạn trung tâm (CLT) Trong trường hợp thích nghi, điều kiện yếu tiêu chuẩn hình chiếu bắt nguồn từ định lý Gordin [Dokl Akad Nauk SSSR 188 (1969) 739–741] xấp xỉ martingale Hơn nữa, tiêu chuẩn tương đương với định lý giới hạn trung tâm có điều kiện (conditional central limit theorem), từ suy hội tụ ổn định (theo nghĩa Renyi) tới phân phối trộn phân phối chuẩn Chúng ta xây dựng phiên hàm hình tam giác định lý Từ kết tổng quát này, đưa điều kiện đủ dễ dàng kiểm tra so sánh với kết khác biết Cuối cùng, giới thiệu ứng dụng cho ước lượng mật độ hạch (kernel density) số lớp trình với thời gian rời rạc II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU • Tìm số điều kiện cần đủ cho định lý giới hạn trung tâm có điều kiện; • Các ứng dụng định lý giới hạn trung tâm có điều kiện III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Định lý giới hạn trung tâm cổ điển, • Khái niệm hội tụ ổn định biến ngẫu nhiên Rényi; • Các biến ngẫu nhiên Rademacher ; • Martingale, trình Wiener,các dãy trộn, • Phương sai có điều kiện; • Quá trình dừng mạnh IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU • Hội tụ ổn định biến ngẫu nhiên có tính dừng; • Tìm điều kiện đủ mạnh để đảm bảo tổng riêng tiệm cận giống martingale: sử dụng mixingale; • Hội tụ trộn trình tổng riêng tới chuyển động Brown hội tụ trùng với hội tụ ổn định, V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Xấp xỉ martingale; • Hội tụ theo phân phối, hội tụ ổn định; • Sử dụng tính chất dừng VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị để thực nội dung chương sau: không gian xác suất, kì vọng điều kiện, dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên số kết định lí giới hạn trung tâm Chương 2: Là nội dung luận văn, nghiên cứu tìm điều kiện cần đủ định lý giới hạn trung tâm có điều kiện Tiếp theo nêu số ứng dụng định lý Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Một số khái niệm Xét tập Ω khác rỗng Định nghĩa 1.1.1 Một σ-đại số Ω tập hợp F tập Ω với tính chất: ∅, Ω ∈ F Nếu A ∈ F Ac ∈ F, Ac := Ω\A phần bù A Nếu A1 , A2 , ∈ F ∞ ∞ Ak ∈ F, k=1 Ak ∈ F k=1 Mỗi phần tử F gọi biến cố Định nghĩa 1.1.2 Giả sử F σ-đại số tập Ω Ta gọi P : F → [0, 1] độ đo xác suất nếu: P(∅) = 0, P(Ω) = Nếu A1 , A2 , tập đôi rời F ∞ ∞ Ak = P k=1 P(Ak ) k=1 Điều kéo theo A, B ∈ F A ⊆ B P(A) ≤ P(B) Định nghĩa 1.1.3 Một ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Ω tập bất kì, F σ -đại số tập Ω P độ đo xác suất F Giả sử A, B ∈ F hai biến cố, với P(B) > 0, xác suất để biến cố A xảy biết biến cố B xảy P(A|B) := P(A ∩ B) P(B) Định nghĩa 1.1.4 Hai biến cố A B gọi độc lập P(A ∩ B) = P(A)P(B) Định nghĩa 1.1.5 Cho Fi ⊆ F dãy σ-đại số, với i = 1, 2, Ta nói σ-đại số {Fi }∞ i=1 độc lập với ≤ k1 < < km biến cố Aki ∈ Fki ta có: P(Ak1 ∩ ∩ Akm ) = P(Ak1 ) P(Akm ) Định nghĩa 1.1.6 Cho (Ω, F, P) không gian xác suất Một ánh xạ: X:Ω→R gọi biến ngẫu nhiên B ∈ B (với B tập tập Borel R), ta có X −1 (B) ∈ F Khi ta nói X F-đo Định nghĩa 1.1.7 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác định theo công thức: FX (x) = P{X ≤ x}, x ∈ R Nếu hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có đạo hàm f (x) = F (x) với x ∈ R ta gọi f (x) hàm mật độ X Với tập A ∈ F, ta định nghĩa hàm tiêu tập A sau 1 w ∈ A IA (w) = 0 w ∈ A k Giả sử Ai ∈ F, i = 1, , k dãy biến cố F Khi X = IAi i=1 gọi biến ngẫu nhiên đơn giản giá trị thực (ai ∈ R) Ta định nghĩa: k XdP := P(Ai ) i=1 Ω Nếu X biến ngẫu nhiên không âm, ta định nghĩa: XdP := sup Y dP Y ≤X,Y đơn giản Ω Ω Cuối cùng, X : Ω → R biến ngẫu nhiên bất kì, ta viết: Ω X − dP X + dP − XdP := Ω Ω tích phân bên phải hữu hạn, X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X = X + − X − Định nghĩa 1.1.8 Biến ngẫu nhiên X gọi khả tích |X|dP < ∞, Ω E(X) := XdP Ω gọi giá trị trung bình hay kì vọng X Định nghĩa 1.1.9 Nếu E[X ] < ∞ ta gọi |X − E(X)|2 dP D(X) := Ω phương sai X Trường hợp biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) kì vọng phương sai tính công thức: +∞ EX = xf (x)dx −∞ D(X) = E(X − (EX)2 ) = EX − (EX)2 Định nghĩa 1.1.10 Cho Xi : Ω → R dãy biến ngẫu nhiên (i = 1, 2, ) Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , gọi độc lập với với số nguyên k ≥ tập Borel B1 , , Bk ∈ R ta có: P(X1 ∈ B1 , , Xk ∈ Bk ) = P(X1 ∈ B1 ) P(Xk ∈ Bk ) Định lí 1.1.11 Các biến ngẫu nhiên X1 , , Xm : Ω → R độc lập khi: FX1 , ,Xm (x1 , xm ) = FX1 (x1 ) FXm (xm ), tính dừng nên nt ∞ ∞ E(Yi,n Yj,n |M0,n ) 1≤ P0 (Xi,n ) i=0 ΛN P0 (Xk,n ) 2 k=N Kết hợp với (2.53) bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có lim N →N1 (X) lim sup n→∞ nt E(Yi,n Yj,n |M0,n ) 1= 0, ΛN suy S2(c) Vậy hệ 2.2.2 chứng minh Nhận xét 2.2.3 Nếu Xi,n = Xi điều kiện Lindeberg giả định (2.52) thỏa mãn, hệ 2.2.2 trường hợp mở rộng mệnh đề 2.1.3 cho dãy tam giác Điều kiện sau mở rộng điều kiện (2.10): m lim lim sup sup (2.58) N →∞ n→∞ E(Xk,n |M0,n ) X0,n N ≤m≤n 1= k=N Nếu điều kiện (2.58) thỏa mãn định nghĩa R(N, X) N2 (X) sau: m R(N, X) = lim sup sup n→∞ E(Xk,n |M0,n ) X0,n N ≤m≤n 1, k=N N2 (X) = inf {N > : R(N, X) = 0} Nếu N2 (X) hữu hạn dãy (Xi,n ) tiệm cận (N2 (X) − 1)- điều kiện trung tâm loại Mệnh đề 2.2.4 Cho Xi,n Mi,n định lý 2.1.8 Vn (t) mệnh đề 2.2.1 Nếu điều kiện (2.43) (2.58) thỏa mãn S2(a∗ ) Chứng minh Cho Sn∗ (t) (2.44) định nghĩa tập G(t, M, n) xác √ định G(t, M, n) = Sn∗ (t) > M nt Từ mệnh đề Dedecker Rio (2000), ta có, với số nguyên dương N , 48 √ 1 nt N −1 ∗ (2.59) E (Sn (t) − M nt)+ ≤ 8E IG(t,M,n) |Xk,n Xk+i,n | nt nt k=1 i=0 m +8 sup E(Xk,n |M0,n ) X0,n N ≤m≤nt k=N +1 Từ (2.58) ta chọn N ( ) đủ lớn để hạng tử thứ hai vế phải nhỏ Cho M = sử dụng giả định (2.43) suy tồn số thực hữu hạn B cho B lim sup E((Sn∗ (t))2 ) ≤ B để lim sup P(G(t, M, n)) ≤ M2 n→∞ n→∞ nt Điều với (2.43) suy lim sup lim sup E IG(t,M,n) M →∞ t∈[0,1] n→∞ nt nt N −1 |Xk,n Xk+i,n | = 0, k=1 i=0 đó, từ (2.59) suy √ E((Sn∗ (t) − M nt)2+ ) ≤ M →∞ t∈[0,1] n→∞ nt Lập luận tương tự cho dãy (−Xi )i∈Z để (2.60) cho S n (t) Vậy S2(a∗ ) (2.60) lim sup lim sup chứng minh Hệ 2.2.5 Cho Xi,n Mi,n định lý 2.1.8 Giả sử (2.58) S2(b) thỏa mãn Hơn nữa, giả sử với ≤ k ≤ N2 (X), tồn độ đo M0,inf biến ngẫu nhiên λk cho (2.52) Khi điều kiện S2∗ với N2 (X)−1 η = λ0 + λk k=1 Chứng minh Từ điều kiện (2.52) suy (2.43), S2(a∗ ) suy từ mệnh đề 2.2.4 Ta cần chứng minh S2(c) Từ bất đẳng thức (2.56) cho số nguyên hữu hạn N ≤ N2 (X), ta có 49 (2.61) lim N →N2 (X) lim sup n→∞ nt E(Xi,n Xj,n |M0,n ) 1= ΛN Sử dụng giả thiết M0,n ⊆ Mi,n tính dừng dãy, ta 1 E(Xi,n Xj,n |M0,n ) ≤ Xi,n E(Xj,n |Mi,n ) nt ΛN nt ΛN m ≤ sup E(Xk,n |M0,n ) X0,n N ≤m≤n k=N (2.61) suy từ (2.58) Vậy hệ 2.2.5 chứng minh Nhận xét 2.2.6 Xét trường hợp cụ thể, N1 (X) = (tương ứng N2 (X) = 1) Điều kiện (2.42) [tương ứng (2.58)] (2.52) thỏa mãn điều kiện R1 (tương ứng R1’) R2 thỏa mãn: R1 limn→∞ n k=1 Lk E(Xk,n |M0,n ) 2= n k=1 Lk X0,n E(Xk,n |M0,n ) = [nt] R2 Với t ∈ [0, 1] bất kỳ, i=1 Xi,n hội tụ đến λ L nt R1’ limn→∞ 2.2.2 Ước lượng hạch Một số kết Cho Y biến ngẫu nhiên giá trị thực với mật độ chưa biết ẩn f , định nghĩa dãy dừng (Yi )i∈Z = (Y ◦ T i )i∈Z Trong phần này, mục tiêu ước lượng f x từ kiện Y1 , , Yn Xét fn (x) = nhn n K i=1 x − Yi hn Định nghĩa 2.2.7 Hàm Borel K đo từ R vào R hạch (2.62) K ∞< ∞, lim |u|K(u) = |u|→∞ 50 K(u)du = Định nghĩa 2.2.8 Cho x thuộc Rd số thực dương M bất kỳ, ký hiệu L1M,x không gian hàm khả tích từ Rd vào R mà miền giá trị khối lập phương [x1 − M, x1 + M ] × × [xd − M, xd + M ] Nếu f thuộc L1M,x , ký hiệu f 1,M (Rd , B(Rd )) định nghĩa µ ∞ (x) = limM →0 µ (x) định mức f Với độ đo dương µ µ ∞,M ∞,M (x) = sup {µ(|f |) : f (x) Nếu µ ∞ 1,M (x) ≤ 1} (x) < ∞ µ thuộc L∞ x Với i ∈ Z, ký hiệu µi = (Y0 , Yi ) Xét giả định sau: A1 Y có mật độ f liên tục x A2 Với i ∈ Z, µi thuộc L∞ (x,x) Mệnh đề 2.2.9 Cho K hạch, hn dãy số dương cho hn tiến đến nhn tiến đến vô n tiến đến vô Cho Yi dãy dừng ngặt thỏa mãn A1 A2 Định nghĩa Mi,n = Mi = σ(Yj , j ≤ i), x − Yi x − Yi (2.63) Xi,n = √ −E K , K hn hn hn Un định lý 2.1.12 Giả sử hai (2.42) (2.58) S2(b) Nếu k 2 Cov(X0,n , Xi,n ) = 0, n→∞ k≤n n i=1 trình Un thỏa mãn S1∗ với η = f (x) K 22 (2.64) lim sup Chứng minh Để áp dụng hệ 2.2.2, ta cần chứng minh X0,n thỏa mãn −1 điều kiện Lindeberg Định nghĩa Kn (x) = h−1 n K(hn x) Do giả định A1 √ nên E(Kn (x − Y )) hội tụ đến f (x) hn E(Kn (x − Y )) tiến đến n tiến đến vô Nhắc lại X0,n = hn (Kn (x − Y ) − E(Kn (x − Y ))) 51 Do ta cần chứng minh cho dãy √ hn Kn (x − Y ) thỏa mãn điều kiện Lindeberg Mật độ f liên tục x, tồn hai số thực dương M C cho với y thuộc [x − M, x + M ] f (y) < C Đặt K[M ] = KI[−M,M ]c , ta có E K2 hn x−Y hn I√hn |Kn (x−Y )|> √n +C ≤ K[M/hn ] hn K (z)I|K(z)| > ∞ √ nhn dz Lưu ý µK (u) tiến đến |u| tiến đến vô cùng, điều suy hạng tử vế phải tiến đến hn tiến đến Mặt khác, K2 hữu hạn nên hạng tử thứ hai tiến đến nhn tiến đến vô Để hoàn thành chứng minh, ta phải chứng minh (2.64) suy ra(2.52) với λ0 = f (x) K với k > ( (2.65) 2 λk = cho số nguyên dương k Lưu ý rằng, biểu thị tích chập), X0,n Xk,n 1≤ hn (µk |Kn ⊗ Kn |(x, x) + 3(f |Kn |(x))2 ) Một lần chọn M cho với y thuộc [x − M, x + M ] f (y) < C Tách thành bốn tập [x − M, x + M ]2 , [x − M, x + M ] × [x − M, x + M ]c , [x − M, x + M ]c × [x − M, x + M ] ([x − M, x + M ]c )2 , ta µk |Kn ⊗ Kn |(x, x) ≤ K 21 µk ∞,M (x) 2C + K[M/hn ] ∞ K + K[M/hn ] ∞ K 2∞ hn hn Giả định A2 đảm bảo cho M đủ nhỏ, hạng tử vế phải hữu (2.66) hạn Hai hạng tử lại vế phải tiến đến n tiến đến vô cùng, suy supn>0 µk |Kn ⊗ Kn |(x, x) < ∞ Kết hợp (2.65) suy với số dương k, X0,n Xk,n tiến đên n tiến đến vô cùng, (2.52) với λk = 52 2 Do hàm K −2 K 22 K kernel nên E(X0,n ) hội tụ đến f (x) [nt] [nt] 2 X − E(X ) = V ar(X0,n ) i,n 0,n 2 (nt) (nt) i=1 [nt] k−1 2 ) + Cov(X0,n , Xi,n nt k=1 nt i=1 −1 Sử dụng K −4 K kernel suy V ar(X0,n ) = O(hn ), n−1 V ar(X0,n ) tiến đến nhn tiến đến vô Hơn nữa, từ (2.64) suy hạng tử thứ hai vế phải tiến đến n tiến đến vô Ứng dụng dãy trộn Trong phần này, luận văn trình bày ba ứng dụng mệnh đề 2.2.9 dãy trộn Định nghĩa 2.2.10 Cho U V hai σ-đại số A Hệ số trộn mạnh Rosenblatt (1956a) định nghĩa (2.67) α(U, V) = sup {|P(U )P(V ) − P(U ∩ V )| : U ∈ U, V ∈ V} Hệ số trộn φ giới thiệu Ibragimov (1962) định nghĩa φ(U, V) = sup { P(V |U) − P(V ) (2.68) ∞, V ∈ V} Giữa hệ số trộn có mối quan hệ sau: 2α(U, V) ≤ φ(U, V) Định nghĩa 2.2.11 Một dãy (Xt , t ∈ Z) gọi dãy α- trộn (hay dãy trộn mạnh) αk = sup α(σ(Xs , s ≤ t), σ(Xs , s ≥ t + k)) −→ k −→ +∞ t∈Z Nếu (Xt ) trình dừng ta bỏ qua việc lấy sup Tương tự ta định nghĩa dãy φ- trộn (hay gọi dãy trộn quy tuyệt đối) Định nghĩa 2.2.12 Cho Y hai biến ngẫu nhiên giá trị thực, 53 định nghĩa (Yi , i )i∈Z = (Y ◦ T i , ◦ T i )i∈Z (Yi , i )i∈Z trình tự hồi quy hàm tòn hàm Borel ψ đo cho Yi = ψ(Yi−1 ) + i , độc lập với σ-đại số M0 = σ(Yi , i ≤ 0) Xét hai giả định sau: A3 Giả định A2 lim sup M →0 i∈Z µi ∞,M (x, x) < ∞ A4 (Yi , i )i∈Z trình tự hồi quy hàm có mật độ h hàm liên tục bị chặn Hệ 2.2.13 Cho (Yi )i∈Z dãy dừng ngặt Cho hn , (Xi,n )i∈Z (Mi )i∈Z mệnh đề 2.2.9, định nghĩa trình Un định lý 2.1.15 Ký hiệu φ∞,1 (k) = φ(M0 , σ(Yk )) α∞,1 (k) = α(M0 , σ(Yk )) Xét ba điều kiện sau: , (iii) α∞,1 (k) < ∞ n k>0 k>n k>0 Nếu [A1, A2, (i)], [A1, A3, (ii)] [A4, (iii)] trình Un thỏa (i) φ∞,1 (k) < ∞, (ii) mãn S1∗ với η = f (x) K α∞,1 (k) = o 2 Chứng minh Ta chứng minh cho [A1,A2,(i)], [A1, A3, (ii)] [A4,(iii)] điều kiện (2.64), (2.58) S2(b) để áp dụng mệnh đề 2.2.9 Bổ đề 2.2.14 Cho (Yi , i )i∈Z trình tự hồi quy hàm xác định định nghĩa 2.2.12, giả sử dãy (Yi )i∈Z thỏa mãn A1 A2 Nếu hai biến ngẫu nhiên thực X Y tương ứng U V đo ta có (2.69) |Cov(X, Y )| ≤ 4α(U, V) X ∞ X p Y ∞, với số mũ liên hợp p, q (2.70) |Cov(X, Y )| ≤ 2φ1/p (U, V) 54 Y q • Chứng minh điều kiện (2.64) Xét trường hợp: (a) Điều kiện [A1, A2, (i)] Từ bất đẳng thức (2.70), ta có 2 |Cov(X0,n , Xk,n )| ≤ 2φ∞,1 (k) X0,n Xk,n ∞≤ φ∞,1 (k)E(X0,n ) hn ∞ nhn K (2.64) suy từ bất đẳng thức n n 2 |Cov(X0,n , Xk,n )| ≤ 8E(X0,n ) K k=1 (b) Điều kiện [A4, (iii)] Nhắc lại Yi = ψ(Yi−1 ) + i ∞ φ∞,1 (k) k=1 định nghĩa (2.71) x − ψ(Yk−1 − z x − Yk Zk−1,n = K −E K h(z)dz hn hn hn 2 Do k độc lập với Mk−1 nên Cov(X0,n , Xk,n ) = Cov(X0,n , Zk−1,n ) Áp dụng bất đẳng thức (2.69), ta 2 |Cov(X0,n , Xk,n )| ≤ 16 α∞,1 (k − 1) hn K ∞ Zk−1,n ∞ Do h bị chặn nên từ (2.71) suy tồn số C cho Zk−1,n ∞≤ C (c) Điều kiện [A1, A3, (ii)] 2 2 2 |Cov(X0,n , Xk,n )| ≤ X0,n , Xk,n X0,n + K ∞ 2 X0,n Xk,n + X0,n ≤ hn Từ (2.65), (2.66) giả định A3 suy supk>0 X0,n Xk,n = O(hn ), tồn số C cho (2.72) 2 sup |Cov(X0,n , Xk,n )| ≤ C n>0,k>0 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức (2.69), ta có 64 2 (2.73) |Cov(X0,n , Xk,n )| ≤ α1,∞ (k) hn 55 K ∞ ∞, Từ (2.72) (2.73) ta có n n 2 |Cov(X0,n , Xk,n )| k=1 ∞ ∞ 64 K C + ≤ nhn nhn α1,∞ (k), k=[1/hn ] (2.64) suy từ giả định (ii) hệ 2.2.13 nhn tiến đến vô • Chứng minh điều kiện (2.58) Chứng minh điều kiện R1’ nhận xét 2.2.6 đúng: n lim (2.74) n→∞ k=1 X0,n E(Xk,n |M0,n ) 1= (a) Điều kiện [A1, A2, (i)] Đặt s(k, n) = IE(Xk,n |M0 )>0 − IE(Xk,n |M0 )≤0 Do (2.75) E|X0,n E(Xk,n |M0 )| = Cov(|X0,n |s(k, n), Xk,n ), nên từ (2.70) ta có E|X0,n E(Xk,n |M0 )| ≤ 4φ∞,1 (k) √ hn −1/2 Do (i) supn>0 hn (2.76) X0,n X0,n K ∞ hữu hạn nên ∞ k=1 sup E|X0,n E(Xk,n |M0 )| n>0 < ∞ Mặt khác từ bất đẳng thức (2.65) suy (2.77) E|X0,n E(Xk,n |M0 )| ≤ hn (µk |Kn ⊗Kn (x, x)+3(f |Kn |(x))2 ), vế sau O(hn ) Do (i) thỏa mãn nên (2.74) suy từ (2.76), (2.77) định lý hội tụ chiếm ưu (b) Điều kiện [A4, (iii)] Do Yi = ψ(Yi−1 ) + i nên từ (2.75) ta E|X0,n E(Xk,n |M0 )| √ = hn Cov(|X0,n |s(k, n), K(u)h(x − hn u − ψ(Yk−1 ))du) kết luận (a) cách sử dụng (2.77) bất đẳng thức E|X0,n E(Xk,n |M0 )| ≤ 8α∞,1 (k − 1) 56 K ∞ h ∞ K (c) Điều kiện [A1, A3, (ii)] Từ (2.77) giả định A3 suy tồn số C cho sup E|X0,n E(Xk,n |M0 )| ≤ Chn (2.78) k>0 Mặt khác, từ (2.75) bất đẳng thức (2.69) ta có (2.79) E|X0,n E(Xk,n |M0 )| ≤ 4α∞,1 (k) ∞≤ X0,n 16 α∞,1 (k) hn K ∞ Từ (2.78) (2.79) ta có n E|X0,n E(Xk,n |M0 )| ≤ Chn [ k=1 với hn ]+ 16 K hn ∞ ∞ α1,∞ (k), k=[ /hn ] dương Do (2.74) suy từ (ii) • Chứng minh S2(b) Giả sử (iii) thỏa mãn Một lần sử dụng s(k, n), ta có [nt] E(Sn (t)|M0 ) 1≤ Cov(Xk,n , s(k, n)) k=1 Do s(k, n) M0 - đo bị chặn nên từ bất đẳng thức (2.69) dẫn đến Cov(Xk,n , s(k, n)) ≤ 4α∞,1 (k) X0,n ∞≤ α∞,1 (k) hn K ∞ Cuối cùng, √ n E(Sn (t)|M0 ) 1≤ K ∞ √ nhn ∞ α∞,1 (k), k=1 K ∞ ∞ mà √ α∞,1 (k) tiến đến nhn tiến đến vô Lưu ý nhn k=1 (i) (ii)đều mạnh (iii) suy S2(b) Nhận xét 2.2.15 Nhắc lại vài kết tỉ lệ trộn cho trình tự hồi quy Giả sử (Yi , i )i∈Z trình tự hồi quy hàm và: 57 Dãy ( i )i∈Z độc lập, mật độ h thỏa mãn h ∞ (0) > 0, tồn S ≤ cho E| |S < ∞ ψ liên tục tồn số thực dương R δ thuộc [0,1] cho với số thực x lớn R, |ψ(x)| ≤ |x|(1 − |x|−δ ) Khi dãy (Yi )i∈Z có tỉ lệ n1−S/δ Đặc biệt, điều kiện (iii) thỏa mãn S > 2δ 58 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ định lý giới hạn trung tâm có điều kiên Trong luận văn trình bày vấn đề sau: - Đưa điều kiện cần đủ định lý trường hợp dãy dừng tổng quát, dãy tam giác phiên hàm định lý - Giới thiệu số ứng dụng cho ước lượng mật độ hạch số lớp trình với thời gian rời rạc Các vấn đề nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm có điều kiện đa dạng phong phú Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn đọc để nghiên cứu sâu lý thuyết ứng dụng 59 PHỤ LỤC Chứng minh bổ đề 2.1.10 ⇒ hiển nhiên Ta cần chứng minh ⇒ 1, tiến hành chứng minh ba bước Bước Cho D(Rd ) không gian hàm từ Rd vào C có dẫn xuất vô hạn tựa compact Cho ϕ phần tử D(Rd ) đặt ϕ(t) = ϕ(−t) ˆ Từ đẳng thức Plancherel, ta có µn (ϕ) = (2π)−d µ ˆn (ϕ) Hàm ϕ có dẫn xuất hữu hạn, giảm nhanh thuộc L1 λ Do |µn | hội tụ đến bị chặn supn>0 µn ˆ tiến đến nên từ định lý hội tụ suy µn (ϕ) n tiến đến vô Do đó, với ϕ thuộc D(Rd ), µn (ϕ) hội tụ đến n tiến đến vô Bước Cho ϕ hàm từ Rd vào R liên tục tựa compact Với số dương , tồn ϕ thuộc D(Rd ) cho supn>0 µn ϕ−ϕ ∞≤ Hơn hữu hạn nên từ bước suy µn (ϕ) tiến đến n tiến đến vô Bước Với số nguyên không âm k, cho fk hàm dương liên tục từ Rd vào R thỏa mãn: fk ∞≤ 1, f (x) = với x ∈ [−k, k]d , f (x) = với x ∈ ([−k − 1, k + 1]d )c Với hàm ϕ liên tục bị chặn, |µn (ϕ)| ≤ |µn (ϕ)fk |+ ϕ ∞ |µn |(([−k, k]d )c ) Từ bước suy hạng tử vế phải tiến đến n tiến đến vô Do dãy (µn )n>0 chặt nên hạng tử thứ hai vế phải nhỏ chọn k đủ lớn Vậy bổ đề 2.1.10 chứng minh 60 Chứng minh bổ đề 2.1.13 Với số thực m, xét A1 = {X ≤ m} , A2 = {E(X|M) ≤ m} , C1 = A1 ∩ Ac2 , C2 = A2 ∩ Ac1 Do giả định biến ngẫu nhiên X E(X|M) có phân phối nên P(A1 ) = P(A2 ), P(C1 ) = P(C2 ) E(XIA1 ) = E(XIA2 ) Từ suy E((X − m)IC1 ) = E((X − m)IC2 ) Mà hai vế ngược dấu nên chúng phải không Do X − m dương C2 nên suy C2 A1 A2 có xác suất không Dễ dàng nhận thấy (A.1) E((E(X|M))2 IA1 ) = E((E(X|M))2 IA2 ) = E(X IA1 ) (A.2) E(XE(X|M)IA1 ) = E(XE(X|M)IA2 ) = E((E(X|M))2 IA2 ) Từ (A.1) (A.2) ta (A.3) (X − E(X|M)IA1 = XIA1 2 + 2 E(X|M)IA1 2 −2E(XE(X|M)IA1 ) = Do (A.3) với số thực m nên suy X = E(X|M) hầu chắn bổ đề 2.1.13 chứng minh 61 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Văn Kiều (2002), Giáo trình phương trình vi phân ngẫu nhiên, Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2013), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] J.Dedecker F.Merlevede (2002), Necessary and sufficient conditions for the conditional central limit theorem, The Annals of Probability, vol 30, pp 1044 - 1081 [4] Aldous, D J Eagleson, G.K (1978), On mixing and stablility of limit theorems, Ann Probability vol.6, pp 325-331 [5] Hall, P Heyde, C.C (1980), Martingale Limit Theory and Its Applications, Acad Press New York 62 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ————————–o0o————————– ĐỖ THỊ LAN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỐI VỚI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CÓ ĐIỀU KIỆN Chuyên ngành: Lý thuyết... quan tâm để luận văn hoàn thiện phát triển Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Đỗ Thị Lan Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu