Hoặc: )(*)()().()( nxnnxnx k kk δδ ∑ ∞ −∞= =−= [1.2-25] Chứng minh: Luôn có )().()( kkk nxx −= δ với mọi k ∈ (- ∞ , ∞). Vì thế, khi lấy tổng các mẫu x(k) với k∈ (- ∞ , ∞), nhận được [1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập, từ [1.2-24] nhận được [1.2-25]. 1.3 tín hiệu số 1.3.1 Biểu diễn và phân loại tín hiệu số 1.3.1a Biểu diễn tín hiệu số Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n là số nguyên, còn T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho việc xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số, người ta chuẩn hóa biến thời gian rời rạc nT theo chu kỳ T, nghĩa là sử dụng biến n = (nT/T). Khi đó, tín hiệu số x(nT) được biểu diễn thành dạng dãy số x(n), do đó có thể sử dụng các biểu diễn của dãy số để biểu diễn tín hiệu số, cũng như sử dụng các phép toán của dãy số để thực hiện tính toán và xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số. Giống như dãy số x(n), tín hiệu số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị và dãy số liệu. Người ta thường sử dụng biểu diễn tín hiệu số dưới dạng dãy số liệu có độ dài hữu hạn để xử lý tín hiệu số bằng các chương trình phần mềm. Các phép toán cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số là cộng, nhân, nhân với hằng số, và phép trễ. Phép dịch sớm có thể được sử dụng ở các hệ xử lý số bằng phần mềm trong thời gian không thực. 1.3.1b Phân loại tín hiệu số Có thể phân loại tín hiệu số theo dạng của dãy x(n), như đã được trình bầy ở 1.2. Một số loại tín hiệu số thường gặp là: - Tín hiệu số xác định và ngẫu nhiên. - Tín hiệu số tuần hoàn và không tuần hoàn. - Tín hiệu số hữu hạn và vô hạn. - Tín hiệu số là dãy một phía. - Tín hiệu số là dãy số thực. - Tín hiệu số là dãy chẵn, và dãy lẻ. - Tín hiệu số là dãy đối xứng, và dãy phản đối xứng. Ngoài ra, theo giá trị năng lượng và công suất của tín hiệu số, người ta còn phân biệt hai loại tín hiệu số sau: - Tín hiệu số năng lượng là tín hiệu số có năng lượng hữu hạn. - Tín hiệu số công suất là tín hiệu số có công suất hữu hạn. 1.3.2 Các tham số cơ bản của tín hiệu số 1.3.2a Độ dài của tín hiệu số là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu tính bằng số mẫu. 19 Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ xử lý số phải xử lý tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài hữu hạn hoặc vô hạn được biểu diễn bằng dãy hữu hạn hoặc dãy vô hạn tương ứng. Độ dài hữu hạn của tín hiệu số thường được ký hiệu là N (hoặc một chữ cái khác). Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định với đối số n ∈ [0 , (N - 1)] , và thường được ký hiệu là x(n) N . Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác định với đối số n ∈ [-N , N]. Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n) N mà không làm thay đổi nó, bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0 khi n ≥ N. 1.3.2b Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất cả các mẫu chia cho độ dài của tín hiệu. Giá trị trung bình )(nx của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: ∑ − = = 1 0 )()( 1 N n nxnx N [1.3-1] - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): ∑ −= + = N N n nxnx N )( )( )( 12 1 [1.3-2] - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn: ∑ − = ∞→ = 1 0 )()( 1 N n N nxLimnx N [1.3-3] - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: ∑ −= ∞→ + = N N n N nxLimnx N )( )( )( 12 1 [1.3-4] Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị trung bình hữu hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. 1.3.2c Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương giá trị tất cả các mẫu của tín hiệu. Năng lượng E x của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: ∑ − = = 1 0 2 )( N n x nx E [1.3-5] - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): 20 ∑ −= = N Nn x nx E 2 )( [1.3-6] - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn: ∑ ∞ = = 0 2 )( n x nx E [1.3-7] - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: ∑ ∞ −∞= = n x nx E 2 )( [1.3-8] Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng lượng hữu hạn và chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. 1.3.2d Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung bình của năng lượng tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình phương của tín hiệu). Công suất trung bình P x của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: ∑ − = === 1 0 22 )()( 1 N n x nxnx NN x E P [1.3-9] - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): ∑ −= = + = + = N Nn x x nxnx NN E P )()( )()( 2 2 12 1 12 [1.3-10] - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn: ∑ − = ∞→∞→ === 1 0 2 2 )()( 1 N n NN x nxnxLimLim NN x E P [1.3-11] - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: ∑ −= ∞→∞→ = + = + = N Nn N x N x nxnxLimLim NN E P )()( )()( 2 2 12 1 12 [1.3-12] Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có công suất trung bình hữu hạn và chúng là các tín hiệu công suất. Công suất trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng và công suất hữu hạn, chúng là tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất. Ví dụ 1.9: Hãy xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau: 21 a. δ (n) ; b. u(n) ; c. rect N (n) ; d.       = nnx 2 cos)( π với n ∈ [-4 , 4] Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị δ (n): - Tín hiệu số δ (n) có độ dài hữu hạn N = 1 . - Giá trị trung bình theo [1.3-1]: 1 )( = n δ - Năng lượng theo [1.3-5]: 11 0 0 == ∑ = n E δ - Công suất trung bình theo [1.3-9]: 1 1 1 === N E P δ δ b. Các tham số cơ bản của tín hiệu bậc thang đơn vị u(n): - Tín hiệu số u(n) có độ dài vô hạn - Giá trị trung bình theo [1.3-3]: 1 1 1 0 )()( === ∞→ − = ∞→ ∑ N N N N n N LimnuLimnu N - Năng lượng theo [1.3-7]: ∞ ∑∑ ∞ = ∞ = === 0 2 0 2 1 )( nn u nu E - Công suất trung bình theo [1.3-11]: 11 11 1 0 2 1 0 2 )( ==== ∑∑ − = ∞→∞→ − = ∞→ NN n NN n N u N N NN P LimLimnuLim Vậy u(n) là tín hiệu công suất, không phải tín hiệu năng lượng. c. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung chữ nhật rect N (n): - Tín hiệu số rect N (n) có độ dài hữu hạn N - Giá trị trung bình theo [1.3-1]: 1 1 1 0 )()( === ∑ − = N N N N NN n nrectnrect - Năng lượng theo [1.3-5]: ∑∑ − = − = === 1 0 2 1 0 2 1 )( NN N nn x NE nrect - Công suất trung bình theo [1.3-9]: 1 === N N N x E P x d. Các tham số cơ bản của tín hiệu số       = nnx 2 cos)( π với n ∈ [-4 , 4]: - Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn N = 2.4 + 1 = 9 - Giá trị trung bình theo [1.3-2]:    +−+       −+−=       = ∑ −= )cos(3 2 cos)cos( 2 cos)( 2 2 4 2 9 1 9 1 4 4 ππ ππ n nnx          +       +       +       ++       − 4 2 3 2 2 22 0 coscoscoscos)cos( 2 cos ππππ π [ ] 9 1 101010101 9 1 )( == ++−+++−+ nx 22 - Năng lượng theo [1.3-6]: 5101010101 2 4 4 2 cos =++++++++=       = ∑ −= n x n E π - Công suất trung bình theo [1.3-10]: 9 5 12 = + = N x E P x 23 .  = nnx 2 cos)( π với n ∈ [-4 , 4] Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị δ (n): - Tín hiệu số δ (n) có độ dài hữu hạn N = 1 . - Giá trị trung. công suất, không phải tín hiệu năng lượng. c. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung chữ nhật rect N (n): - Tín hiệu số rect N (n) có độ dài hữu hạn N - Giá