Header Page of 126 -1- -2- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HOÀNG HIẾU Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CHƯƠNG TRÌNH Người phản biện 1: Người phản biện 2: TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán họp Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu luận văn tại: Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng Header Page of 126 -3- -4- MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài: Đạo hàm hàm số nội dung giải tích toán học, có vai trò quan trọng toán học mà ngành khoa học khác Trong chương trình toán cấp Trung học phổ thông hành, ñạo hàm hàm biến ñược giảng dạy từ năm lớp 11 Phần ứng dụng ñạo hàm học sinh ñược học năm học cuối cấp (lớp 12), nhiên với thời lượng không nhiều mức ñộ ñịnh Nếu không nắm vững khái niệm ñạo hàm ứng dụng học sinh phổ thông khó khăn ñể học tốt môn Toán số môn học khác Đồng thời ñạo hàm phần kiến thức thiếu ñề thi tuyển sinh Đại học – Cao ñẳng, ñề thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế Nhằm mục ñích tìm hiểu hệ thống ứng dụng ñạo hàm chương trình Trung học phổ thông, chọn ñề tài ‘‘Ứng dụng ñạo hàm hàm số biến vào việc giải số lớp toán thuộc chương trình Trung học phổ thông’’ cho luận văn Mục ñích nghiên cứu - Tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức ñạo hàm hàm biến ứng dụng - Hệ thống phân loại số lớp toán thuộc chương trình Trung học phổ thông giải ñược nhờ ứng dụng ñạo hàm - Đưa qui trình, ñịnh hướng việc ứng dụng ñạo hàm vào việc giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Chương trình toán Trung học phổ thông - Các ứng dụng ñạo hàm hàm số biến chương trình Trung học phổ thông - Lớp toán giải ñược phương pháp ñạo hàm Footer Page of 126 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết tài liệu ñạo hàm như: sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo, tạp chí toán học, tài liệu khác từ internet - Nghiên cứu thực tế thông qua việc giảng dạy, rút kinh nghiệm, kết hợp với kiến thức ñã ñạt ñược trình thu thập thông tin ñể hệ thống ñưa dạng toán cụ thể giải ñược phương pháp ñạo hàm - Trao ñổi, thảo luận với thầy hướng dẫn luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài Nếu hoàn thiện tốt hệ thống kiến thức khai thác ñược ứng dụng ñạo hàm việc giải toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức ñạo hàm, ñồng thời chủ ñộng, linh hoạt vận dụng ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán sơ cấp Bố cục luận văn Nội dung luận văn ñược cấu trúc sau: Mở ñầu Chương - Đạo hàm hàm số biến Chương - Ứng dụng ñạo hàm chương trình Trung học phổ thông Kết luận Header Page of 126 -5- -6- CHƯƠNG - ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Chương trình bày sơ lược kiến thức sở ñạo hàm hàm số biến ñể làm tiền ñề cho chương sau ∆y có giới hạn tan β có giới hạn ñó ∆x Như β dần ñến góc xác ñịnh mà ta gọi α , nghĩa cát tuyến MN dần ñến vị trí giới hạn Mt tạo với chiều ∆y dương Ox góc α Vậy tan α = lim ∆ x → ∆x Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm ta có: tanα = f ' ( x0 ) Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) có ñạo hàm x Khi ñó ta có: Định lý 1: Đạo hàm f ' ( x ) hàm số f(x) x hệ số góc tiếp tuyến với ñồ thị (C) M ( x , f( x )) Định lý 2: Phương trình tiếp tuyến hàm số y = f(x) có ñồ thị ′ ).(x− x0 ) (C) ñiểm M ( x0 , y0 ) là: y − y0 = f (x 1.5.2 Ý nghĩa vật lý ñạo hàm 1.5.2.1 Bài toán vận tốc tức thời Xét chuyển ñộng thẳng chất ñiểm Giả sử quãng ñường s ñi ñược hàm số s = s(t) thời gian t (s = s(t) gọi phương trình chuyển ñộng chất ñiểm) Trong khoảng thời gian từ t ñến t, chất ñiểm ñi ñược quãng 1.1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1.2 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN 1.3 ĐẠO HÀM CẤP CAO 1.4 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.5 Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM 1.5.1 Ý nghĩa hình học ñạo hàm Xét ñường cong (C) ñồ thị hàm số y = f(x), ñiểm M cố ñịnh (C) cát tuyến di ñộng MN Nếu N di chuyển (C) ñến ñiểm M mà cát tuyến MN dần ñến vị trí giới hạn Mt ñường thẳng Mt ñược gọi tiếp tuyến ñường cong (C) ñiểm M Điểm M ñược gọi tiếp ñiểm Gọi M ( x0 ; f ( x )) ñiểm N ( x0 + ∆x; f ( x0 + ∆x)) Hệ số góc cát tuyến MN là: tan β = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x = ∆y ∆x Cho N dần ñến M (C), lúc ñó ∆x → (hình 1.1) ñường là: s −s0 = s(t) −s(t0 ) Nếu chất ñiểm chuyển ñộng ñều tỉ số: c số với t Đó vận tốc chuyển ñộng thời ñiểm Nếu chất ñiểm chuyển ñộng không ñều tỉ số vận tốc trung bình chuyển ñộng khoảng thời gian t − t y f ( x + ∆x ) N β M f(xo) t α β O x0 x o + ∆x Nếu tỷ số x Khi t gần to, tức t − t nhỏ vận tốc trung bình thể ñược xác mức ñộ nhanh chậm chuyển ñộng thời ñiểm t0 s(t) − s(t0 ) (nếu có) t→t0 t − t0 Người ta gọi giới hạn hữu hạn: v(t0 ) = lim vận tốc tức thời chuyển ñộng thời ñiểm t Footer Page of 126 Hình 1.1: Minh họa cho tiếp tuyến Header Page of 126 -7- -8- Vậy vận tốc tức thời v(t ) thời ñiểm t (vận tốc t ) chuyển ñộng có phương trình s = s(t) ñạo hàm hàm số s = s(t) ñiểm t , tức : v(t ) = s' (t ) 1.5.2.2 Bài toán gia tốc tức thời Cho phương trình chuyển ñộng thẳng: s = s(t), giả thuyết s(t) có ñạo hàm cấp hai Ta ñã biết, vận tốc tức thời thời ñiểm t chuyển ñộng là: v(t)= s’(t) Cho t số gia ∆t v(t) có số gia tương ứng ∆v ∆v ñược gọi gia tốc trung bình chuyển ñộng Tỷ số ∆t khoảng thời gian ∆t ∆v Giới hạn có tỷ số ∆t → ñược gọi gia tốc ∆t tức thời thời ñiểm t chuyển ñộng, kí hiệu γ (t ) ∆v Ta có: γ ( t ) = lim = v ' ( t ) , v’(t)= s”(t) ∆t → ∆ t Vậy: “ Gia tốc tức thời thời ñiểm t chuyển ñộng : γ (t ) = s" (t ) ” 1.5.2.3 Bài toán cường ñộ tức thời Điện lượng Q truyền dây dẫn hàm số thời gian t: Q = Q (t ) Cường ñộ trung bình dòng ñiện khoảng thời gian Vậy cường ñộ tức thời I (t ) dòng ñiện thời ñiểm t (vận tốc t ) ñạo hàm hàm số Q = Q (t ) ñiểm t , tức : I (t ) = Q' (t ) t − t : I tb = Q(t ) − Q(t0 ) t − t0 Nếu t − t nhỏ tỉ số biểu thị xác cường ñộ dòng ñiện thời ñiểm to Người ta gọi giới hạn hữu Q (t ) − Q (t ) hạn: I (t ) = lim (nếu có) cường ñộ tức thời t →t0 t − t0 dòng ñiện thời ñiểm t Footer Page of 126 1.6 Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM TRONG KINH TẾ Cho hàm số y = f(x) với x, y biến kinh tế, ñó x biến ñộc lập hay biến ñầu vào; y biến phụ thuộc hay biến ñầu Trong quản trị kinh doanh, người ta hay quan tâm ñến xu hướng thay ñổi y x thay ñổi lượng nhỏ Với ñịnh nghĩa ñạo hàm hàm biến, ta có: f ' ( x ) = lim ∆x → Khi ∆x ñủ nhỏ ta viết : ∆y ∆x ∆y f ( xo + ∆x) − f ( x0 ) = ≈ f ' ( x0 ) ∆x ∆x ⇔ ∆y = f ( xo + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 ).∆x Khi ∆x = ⇒ ∆y ≈ f ' ( x0 ) Vậy ñạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay ñổi biến số y biến số x tăng thêm ñơn vị Với quan hệ hàm y = f(x) ñể mô tả thay ñổi biến kinh tế y, biến kinh tế x thay ñổi, gọi f ' ( x0 ) giá trị biên tế y x0 (còn gọi biên tế) Với hàm kinh tế biên tế có tên gọi riêng, chẳng hạn: dTR Hàm doanh thu: TR = p.Q (trong ñó p giá bán dQ sản phẩm, Q số lượng hàng bán ñược) ñược gọi doanh thu biên tế Hàm chi phí: TC = f ( x) dTC df , (với x sản lượng) = dx dx ñược gọi chi phí biên tế Hàm sản xuất Q = f(L), (với L số lao ñộng) dQ df ñược gọi sản lượng biên tế = dL dL Header Page of 126 -9- - 10 - 1.7 BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP (C)’ = (C = const) 13 ( u )' = (x)’ = 1, với x ′ ( x ) = x , ∀x > (xn)’ = n.xn – ( u' u , ñk: u > 14 ( u α )’ = α u ' u α −1 u' 15 ( )' = − , ∀u ≠ u u 1 )' = − , ∀x ≠ x x 16 (sinu)’ = u’.cosu (sinx)’ = cosx 17 (cosu)’ = - u’.sinu (cosx)’ = - sinx 18 (tan u )' = = + tan x ( cos x) ( tan x) ' = ( cot x)' = −1 = −(1 + cot2 x) ( sin x) 10 (ln x ) ' = , x≠ x , x ln a a ≠ 1, x ≠ Footer Page of 126 19 (cot u )' = ( ) 20 ln u ' = − u' (sin u ) u' , u≠ u 21 (au)’ = u’.au lna 11 (ax)’ = ax lna 12 (log a x )' = u' , (cos u ) 22 (log a u )' = với a > , u ' ln a u ≠ 0, a > a ≠ CHƯƠNG - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chương nội dung luận văn, trình bày ứng dụng ñạo hàm hàm số biến chương trình trung học phổ thông 2.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 2.1.1 Tiếp tuyến ñường cong Các toán lập phương trình tiếp tuyến ñường cong thường gặp dạng sau: Tiếp tuyến ñiểm thuộc ñường cong Tiếp tuyến ñi qua ñiểm cho trước Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Lưu ý: Giả sử hai ñường thẳng d1 , d2 có hệ số góc k1, k2 ñó: - Nếu d1 vuông góc với d2 k1 k2 = - - Nếu d1 song song với d2 k1 = k2 Ta xét toán tổng quát sau: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) có ñạo hàm miền xác ñịnh Viết phương trình tiếp tuyến d (C), biết rằng: a d tiếp xúc với (C) M ( x0 ; f ( x0 )) b d ñi qua A( x A ; y A ) c d có hệ số góc k cho trước Hướng giải: a Tính f’(x0) Phương trình tiếp tuyến ñồ thị (C) M ( x0 ; f ( x0 )) có dạng: y − y0 = f '(x0 )(x − x0 ), với y0 = f (x0 ) b Gọi d ñường thẳng ñi qua A(xA ; yA) có hệ số góc k, ñó phương trình d là: y = k(x- xA ) + y A Điều kiện ñể ñường thẳng d tiếp xúc (C) hệ phương trình:  f (x) = k(x − xA ) + yA phải có nghiệm (nghiệm ( x A ; k ) hệ   f ' (x) = k hoành ñộ tiếp ñiểm hệ số góc k tiếp tuyến) Header Page of 126 - 11 - - 12 - c Giải phương trình f’(x) = k Các nghiệm phương trình (nếu có) hoành ñộ tiếp ñiểm Giả sử x o nghiệm phương trình f’(x) = k yo = f (xo) Khi ñó phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k, ñiểm có tọa ñộ (xo ; f (xo)) là: y – y0 = f’(x0)(x – x0) Ví dụ: Cho hàm số y = x3 + 3x2 có ñồ thị (C) Tìm tất ñiểm trục hoành mà từ ñó kẻ ñược ñúng ba tiếp tuyến ñến ñồ thị (C), ñó có hai tiếp tuyến vuông góc với Giải: Tập xác ñịnh hàm số: D = R Ta có: y = x + 3x ⇒ y ' = 3x + x Gọi M (a ; ) ∈ Ox , ñường thẳng (d) qua M có hệ số góc k có phương trình là: y = k( x - a)  x + 3x = k (x − a ) có Để (d) tiếp xúc (C) hệ phương trình ⇔  3 x + x = k nghiệm Suy ra: x + 3x = (3x + x)( x − a) ⇔ 2x − 3(a − 1) x − 6ax = x = ⇔ x 2x2 − 3(a −1) x − 6a = ⇔  (2.1) 2x − 3(a −1) x − 6a = Với x = ⇒ k = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = Để từ M kẻ ñược tiếp tuyến ñến (C) ñó có tiếp tuyến vuông góc với phương trình (2.1) có nghiệm phân biệt x1 , x ≠ k1 k = − , ñiều có nghĩa là: [ ] a ≠  ∆ > ( 3x2 + x )(3x2 + x ) = −1 2  Footer Page of 126 a ≠  ⇔ 9( a − 1) + 48a >  9( x1 x ) + 18 x1 x ( x1 + x ) + 36 x1 x = −1 (2.2) 3( a − ) −1 −1   a < −3 ∨ a > a < −3 ∨ a >   (2.2) ⇔ a ≠ ⇔ a ≠ 81a − 81a(a −1) −108a +1 = 1 − 27a =     ⇔ a= 27 Vậy có ñiểm M ( , 0) ∈ Ox thoả ñiều kiện toán 27 2.1.2 Cực trị hàm số Giả sử hàm số f(x) xác ñịnh tập hợp D (D ⊂ R ) x ∈ D Khi ñó x ñược gọi ñiểm cực ñại (tương ứng cực tiểu) hàm số f(x) tồn khoảng ( a ; b ) chứa ñiểm x cho (a ; b ) ⊂ D f ( x) < f ( x0 ) (tương ứng Theo công thức Viet x1x2 = - 3a x1 + x2 = f ( x ) > f ( x0 ) ) với x ∈ (a ; b ) \ {x0 } Khi ñó f ( x0 ) ñược gọi giá trị cực ñại hàm số ( tương ứng giá trị cực tiểu hàm số) Điểm cực ñại, ñiểm cực tiểu ñược gọi chung ñiểm cực trị Giá trị cực ñại giá trị cực tiểu ñược gọi chung giá trị cực trị hàm số Định lí (Điều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị): Giả sử hàm số f(x) ñạt cực trị ñiểm x0 Khi ñó, f(x) có ñạo hàm x0 f ' ( x0 ) = Định lí (Điều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị): Giả sử hàm số f(x) liên tục khoảng (a ; b)) chứa x0 có ñạo hàm khoảng (a ; x0) (x0 ; b) Khi ñó: Header Page of 126 - 13 - a Nếu f ' ( x0 ) < , ∀x ∈ (a ; x ) - 14 f ' ( x0 ) > , ∀x∈ ( x ; b ) hàm số f(x) ñạt cực tiểu ñiểm x0 b Nếu f ' (x0 ) > 0, ∀x∈ (a ; x0 ) f '(x0 ) < 0, ∀x∈( x0 ; b) hàm số f(x) ñạt cực ñại ñiểm x0 Định lí 3: Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm cấp khoảng (a ; b) chứa ñiểm x0 , f ' ( x0 ) = f(x) có ñạo hàm cấp hai khác x0 a Nếu f " ( x ) < hàm số f(x) ñạt cực ñại ñiểm x0 b Nếu f " ( x ) > hàm số f(x) ñạt cực tiểu ñiểm x0 Các toán liên quan ñến cực trị hàm số thường gặp là: tìm cực trị hàm số; tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị; viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực trị hàm số,… Phương pháp chung: Để tìm cực trị hàm số y = f(x), ta dùng ñạo hàm cấp ñạo hàm cấp hai: a Dùng ñạo hàm cấp một: Ta thực sau: - Tìm tập xác ñịnh D hàm số; - Tìm ñạo hàm y’ = f’(x); - Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên ñể kết luận b Dùng ñạo hàm cấp hai (ñối với hàm số có ñạo hàm cấp hai): Ta thực sau: - Tìm tập xác ñịnh D hàm số; - Tìm ñạo hàm y ' = f ' ( x) y " = f "( x) ; Tìm ñiểm x0 ∈ D mà f ' ( x ) = Nếu f " ( x0 ) < (tương ứng f " ( x0 ) > ) x ñiểm cực ñại (tương ứng x0 ñiểm - cực tiểu) Nếu f " ( x0 ) = chưa có kết luận tính cực trị x Ví dụ: Cho hàm số y = x + 3(m - 3) x + 11- 3m có ñồ thị ( Cm ) a Tìm m ñể hàm số có hai cực trị Footer Page of 126 b Gọi M M ñiểm cực trị, tìm m ñể ñiểm M , M ñiểm B (0; -1) thẳng hàng Giải: a Tìm m ñể hàm số có hai cực trị Tập xác ñịnh hàm số D = R y = x + 3( m − 3) x + 11 − 3m ⇒ y ' = x + 6( m − 3) x x = y ' = ⇔ x + 6( m − 3) x = ⇔  x = − m Hàm số có cực trị ⇔ phương trình y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ Vậy ñể hàm số có hai cực trị m ≠ b Tìm m ñể ñiểm cực trị M1, M2 B (0; -1) thẳng hàng Chia f(x) cho f ' ( x ) , ta ñược: m −3 1 f ( x ) = f ' ( x ) x +  − (m − 3) x + 11 − 3m   Suy phương trình ñường thẳng M1M2 là: y = − (m − 3) x + 11 − 3m Ba ñiểm M1, M2, B thẳng hàng ⇔ B ∈ M1M2 ⇔ -1 = 11 - 3m ⇔ m = 4, thỏa ñiều kiện m ≠ Vậy m = ba ñiểm M1, M2, B thẳng hàng 2.2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) xác ñịnh tập hợp D (D ⊂ R ) a Nếu tồn ñiểm x0 ∈D cho f ( x) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ D số M = f ( x0 ) ñược gọi giá trị lớn hàm số f(x) D, ký hiệu M = max f ( x ) x∈D b Nếu tồn ñiểm x0 ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ D Header Page of 126 - 15 - - 16 - số m = f ( x0 ) ñược gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D, ký hiệu m = f ( x) - Tính giá trị f(a), f(b), f( x i ) ( i= 1,2 ) - Số lớn M số nhỏ m giá trị giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ hàm số [a ; b] 2.2.4 Ví dụ Cho nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt góc hình vuông gập nhôm lại ñể có hộp không nắp Tính cạnh hình vuông bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Giải: Gọi x ñộ dài cạnh hình vuông bị cắt, ñiều kiện a 0 Suy hàm số f(x) có nhiều hai nghiệm Mà f(0) = f(1) nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = x = 2.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.4.1 Phương pháp chung Cơ sở phương pháp sử dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức vận dụng tính ñơn ñiệu hàm số, cụ thể: Xét hàm số f(x) có ñạo hàm ñoạn [a; b] a Nếu f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] hàm số f(x) ñồng biến [a; b] suy f (a ) ≤ f ( x) ≤ f (b) b Nếu f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b ] hàm số f(x) nghịch biến [a; b] suy f (b) ≤ f ( x ) ≤ f (a ) 2.4.2 Ví dụ Chứng minh rằng: e x−1 ≥ x, ∀x ∈ R Dấu xảy x = Giải: Xét hàm số f(x) = ex – – x R Ta có: f ' ( x) = e x−1 − , ∀x ∈ R Phương trình f’(x) = ⇔ ex – – = ⇔ x = Từ tính chất hàm số mũ suy ra: f’(x) > x > 1, f’(x) < x 0, ∀x ∈ R , x ≠ f ( x) = ⇔ x = , nghĩa là: e x − ≥ x, x ∈ R , dấu xảy x = Vậy toán ñã ñược chứng minh ⇒ AM , AB = ( −2t − 2; − 2t − 1; 2t + 2) Vậy: 1 S ∆AMB = AM , AB = (2t + 2)2 + (2t + 1)2 + (2t + 2)2 2 = 12t + 20t + Xét hàm số: f (t ) = 12t + 20t + > Ta có: f ' (t ) = 24t + 20, f'(t) = ⇔ t = - , hàm số có ñồ thị parabol có bề lõm quay lên Do ñó f(t) có giá trị nhỏ 1 3 t = − ñó M  ;− ;−  6 2 1 3 Vậy ñể diện tích tam giác AMB nhỏ M  ;− ;−  6 2 2.6 GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC 2.6.1 Phương pháp chung - Biến ñổi biểu thức lượng giác dạng biểu thức hàm số lượng giác (hoặc nhóm hàm lượng giác) theo cung (hoặc góc ) - Đặt ẩn phụ, tìm miền giá trị ẩn phụ Chuyển hàm ñã cho hàm ñơn giản - Sử dụng ñạo hàm tính chất liên quan ñến hàm biến ñể giải 2.6.2 Ví dụ Cho hàm số: f ( x) = cos2 2x + 2(sin x + cos x) − 3sin 2x + m Tùy theo giá trị m, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f(x) Từ ñó tìm m cho: ( f ( x) )2 ≤ 36, ∀x ∈ R Giải: Ta có: f ( x) = cos2 x + 2(sin x + cos x)3 − sin x + m = − sin 2 x + 2(sin x + cos x) − sin x + m 2.5 GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 2.5.1 Phương pháp chung Các toán cực trị hình học thường gặp là: xác ñịnh tọa ñộ ñiểm, lập phương trình ñường thẳng hay mặt phẳng ñể biểu thức hình học ñó ñạt giá trị lớn hay nhỏ Thông thường gặp dạng toán ta giải theo phương pháp sau: Đặt ñại lượng thay ñổi ñó biến t (lưu ý ñến miền xác ñịnh biến t), chuyển toán việc khảo sát hàm biến t, sau ñó vận dụng ñạo hàm kiến thức liên quan ñến hàm biến ñể giải 2.5.2 Ví dụ x + y − z − = hai Cho ñường thẳng ∆ có phương trình:  2 x − y − = ñiểm A(2; -1; 1); B(1; -1; 0) Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng ∆ ñể diện tích tam giác AMB ñạt giá trị nhỏ Giải: Xét cặp vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng xác ñịnh ñường thẳng ∆ n1 (1;1;−1) n2 (2; − 1; 0) , ñường thẳng ∆ ñi qua [ ] N(1; 1; 1) có vectơ phương u = n1 , n = (−1;−2 ;−3) hay u = ( 1; ; ) nên phương trình tham số ñường thẳng ∆ : x = + t   y = + 2t  z = + 3t  Gọi M(1+t; 1+2t; 1+3t) ñiểm thuộc ñường thẳng ∆ Ta có: AM (t − 1; 2t + 2; 3t ), AB(−1; 0; − 1) Footer Page 10 of 126 [ ] [ ] Header Page 11 of 126 - 21 - - 22 - Đặt: t = sin x + cos x , − ≤ t ≤ Khi ñó: t = 1+ sin2x ⇒sin2x = t −1 Lúc f(x) trở thành: g (t ) = − (t − 1) + 2t − 3(t − 1) + m = −t + 2t − t + + m ⇒ g ' (t ) = − 4t + 6t − 2t = − 2t ( 2t − 3t + 1)  t =  ⇒ g ' (t ) = ⇔ t =  t =  Bảng biến thiên: t - g’(t) g(t) + m+3 m−3− - m+ 47 16 + m+3 - m−3+ Từ bảng biến thiên ta ñược: f ( x) = g (t ) = m − − ; max f ( x) = max g (t ) = m + Theo giả thiết toán thì: ( f ( x) )2 ≤ 36 ⇔ −6 ≤ f ( x) ≤ Bất ñẳng thức ñúng với x ∈ R , : − ≤ f ( x) ⇔  6 ≥ max f ( x) m − − ≥ −6 ⇔ −3 ≤ m ≤  m + ≤ Vậy ñể ( f ( x) )2 ≤ 36, ∀x ∈ R − ≤ m ≤ Footer Page 11 of 126 2.7 MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ Đạo hàm hàm số biến ñược ứng dụng ñể giải nhiều toán thực tế sống Để giải toán vậy, ta phải vào ñiều kiện toán ñể tìm biến số ñộc lập, biểu thức hàm số liên hệ ñại lượng phải khảo sát với biến số ñộc lập Sau ñây số toán vậy: Ví dụ Một nhà máy sản xuất can hình trụ kim loại lít Tìm kích thước hình trụ ñể nhà máy sản xuất can tốn kim loại Giải: Ta có can ñược biểu diễn hình 2.1, gọi r bán kính, h chiều cao hình trụ h (ñơn vị tính cm) Để tốn kim loại có nghĩa tổng diện tích (diện tích r toàn phần) hình trụ nhỏ Ta dễ dàng thấy cắt mặt Hình 2.1 : Minh họa cho xung quanh hình trụ theo can ñường sinh trải mặt phẳng ta ñược hình chữ nhật có chiều dài cạnh 2πr h Vì diện tích toàn phần mặt trụ A = 2πr + 2πrh Theo giả thiết can có ñược thể tích lit = 1000 cm 1000 Do ñó: V = Bh = πr h = 1000 ⇒ h = , thay vào biểu πr thức A , ta ñược: 1000 2000 A = 2πr + 2πrh = 2πr + 2πr ( ) = 2πr + r πr Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số: 2000 A(r ) = 2πr + , r>0 r Header Page 12 of 126 - 23 - - 24 - 2000 4(πr − 500) Ta có: A' (r ) = 4πr − = r r2 500 ⇒ A' (r ) = ⇔ r = , r>0 π Lập bảng biến thiên: r A’(r) - A(r) +∞ 500 π +  500   A   π  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy A ñạt giá trị nhỏ 500 1000 500 r=3 Đồng thời h = 1000 = = 23 = 2r 2 π π πr  500   π    π  Vậy ñể tốn nguyên liệu sản xuất can can hình trụ có 500 bán kính r = (cm) chiều cao gấp ñôi bán kính tức π h = r = 23 500 π Footer Page 12 of 126 (cm) KẾT LUẬN Luận văn “Ứng dụng ñạo hàm hàm số biến vào việc giải số lớp toán thuộc chương trình Trung học phổ thông” ñã thực ñược vấn ñề sau ñây: Thông qua tài liệu hàm số biến ñặc biệt ñạo hàm ñể hệ thống phân loại số lớp toán thuộc chương trình Trung học phổ thông giải ñược ñạo hàm hàm số biến Cụ thể là: toán liên quan ñến khảo sát hàm số, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình, chứng minh bất ñẳng thức, số toán hình học lượng giác Đối với lớp toán, nhận xét ñịnh hướng phương pháp giải, có ví dụ minh họa phần toán bổ sung Phần cuối luận văn giới thiệu số toán thực tế, giải ñược ứng dụng ñạo hàm hàm số biến Hy vọng rằng, nội dung luận văn tiếp tục ñược hoàn thiện mở rộng nhằm góp phần vào việc dạy, học toán thuộc chương trình Trung học phổ thông  ... > a ≠ CHƯƠNG - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chương nội dung luận văn, trình bày ứng dụng ñạo hàm hàm số biến chương trình trung học phổ thông 2.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN... ñạo hàm hàm biến ứng dụng - Hệ thống phân loại số lớp toán thuộc chương trình Trung học phổ thông giải ñược nhờ ứng dụng ñạo hàm - Đưa qui trình, ñịnh hướng việc ứng dụng ñạo hàm vào việc giải toán. .. sau: Mở ñầu Chương - Đạo hàm hàm số biến Chương - Ứng dụng ñạo hàm chương trình Trung học phổ thông Kết luận Header Page of 126 -5- -6- CHƯƠNG - ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Chương trình bày sơ