Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HÀ PHƯỚC ANH KHOA ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Phản biện 1: ……………………………………… SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHIẾN LƯỢC GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Phản biện 2: …………………………………… Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày… tháng … năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU (mà nhìn thoáng qua, nghĩ ñến việc vận dụng số phức) Lý chọn ñề tài Số phức ñược dùng công cụ hữu hiệu ñể giải nhiều toán, ñại số, hình học lẫn lượng giác, tổ Số phức cho ta cách giải loạt toán số học, tổ hợp lượng giác mà dùng phương pháp thông thường tình trở nên phức tạp hợp Với trở lại Số phức chương trình trung học phổ Được hướng dẫn TS Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn ñề thông, nhiều vấn ñề Toán sơ cấp ñược trình bày rõ ràng tài: “Số phức Ứng dụng Chiến lược giải toán bậc trung học ñầy ñủ phổ thông” với mong muốn tìm hiểu sâu số phức ứng dụng Chương trình Toán học bậc trung học phổ thông hầu ñều có phần kiến thức số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải số phức việc khai phá phương pháp giải toán bậc THPT Mục ñích nhiệm vụ nghiên cứu cách, nội dung số phức cuối ñã ñược ñưa trở lại vào Chúng tìm kiếm tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên chương trình Giải tích 12 (với dung lượng khiêm tốn) Vì cứu kỹ tài liệu ñó, cố gắng lĩnh hội ñầy ñủ kiến thức cũ nhiều lý khác nhau, không học sinh (thậm chí học sinh khá, số phức ñể trình bày lại kiến thức ñó luận giỏi) sau học xong phần số phức hiểu cách ñơn văn theo thể khép kín hy vọng luận văn ñược sử giản: sử dụng số phức ta giải phương trình bậc hai, tính dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh ñược vài tổng ñặc biệt… trường trung học phổ thông Trên thực tế, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Trong chương luận văn này, trình bày sơ khu vực, Olympic quốc tế, có nhiều dạng toán có liên quan lược lịch sử số phức, kiến thức số phức công thức (thường gián tiếp) ñến số phức Có thể nói phương pháp giải ứng dụng số phức hình học Trong chương 2, trình dạng toán vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính ñặc thù bày ứng dụng số phức giải phương trình, hệ phương sâu sắc trình, tổ hợp lượng giác Trong chương 3, trình Việc sử dụng số phức nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng tỏ có nhiều thuận lợi, việc xem xét vấn ñề liên quan ñến phép biến hình với hình học chúng Dùng số phức ta tìm ñược lời giải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng không phần ñộc ñáo) cho nhiều hệ phương trình với ẩn số thực Footer Page of 126 bày ứng dụng số phức ñể giải toán hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Số phức ứng dụng số phức giải toán Header Page of 126 Phạm vi nghiên cứu: Số phức mối liên hệ với hình học, phương trình, hệ phương trình, tổ hợp, lượng giác thuộc phạm vi Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC chương trình Toán THPT 1.1 Đôi dòng lịch sử 4.Phương pháp nghiên cứu 1.2 Các kiến thức số phức Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, ñánh giá, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài Xây dựng ñược giáo trình có tính hệ thống với thời 1.2.1 Khái niệm số phức Một biểu thức có dạng a + bi , ñó a b số thực, ñược gọi số phức Số a ñược gọi phần thực (kí hiệu a = Re z ), số b ñược gọi phần ảo (kí hiệu b = Im z ) số lượng thu gọn, dùng ñể giảng dạy số phức ứng dụng phức z = a + bi số phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông 1.2.2 Mặt phẳng phức Xây dựng ñược hệ thống toán với mức ñộ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Một số phức z = a + bi ñược biểu diễn hình học ñiểm M ( a, b ) mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Descartes ( O, e1 , e2 ) với ur uur ur uur Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn ñược chia làm ba chương Chương Các kiến thức số phức Trong chương gốc ñiểm O vectơ ñơn vị e1 , e2 vuông góc O (ngắn gọn: mặt phẳng tọa ñộ) Điểm M ( a, b ) ñược gọi tọa vị số phức z = a + bi này, trình bày sơ lược lịch sử số phức, kiến thức số phức công thức ứng dụng số phức hình học Chương Ứng dụng số phức giải hệ phương trình, tổ hợp lượng giác 1.2.3 Các phép toán trường số phức Hai số phức a + bi c + di ñược gọi phần a = c thực phần ảo chúng nhau: a + bi = c + di ⇔  b = d Chương Ứng dụng số phức ñể giải toán hình học Tổng hai số phức z1 = a + bi z2 = c + di số phức dạng z := z1 + z2 = ( a + c ) + (b + d )i Số phức := + i.0 số phức thỏa z + = + z = z , với số phức z Footer Page of 126 Header Page of 126 Với số phức z = a + bi , số phức ñối − z := ( − a ) + ( −b ) i Số phức a − bi ñược gọi số phức liên hợp số phức số phức mà z + ( − z ) = (− z ) + z = Hiệu hai số phức z1 = a + bi z2 = c + di số phức dạng Tích hai số phức z1 = a + bi z2 = c + di số phức z := z1 z2 = ( ac − bd ) + ( ad + cb)i với số phức z a + bi = a − bi ( a + bi )( a − bi ) = a a +b 2 − b a +b 2 i; số phức dạng z := z2 = a + bi c + di = ( a + bi )(c − di ) (c + di )(c − di ) = liên hợp với nó: z = z Từ ñịnh nghĩa phép toán hai số phức ñịnh nghĩa số 1.2.5 Lũy thừa bậc n số phức z n = ( a + bi ) n = Thương hai số phức z1 = a + bi z2 = c + di , z2 ≠ z1 ac + bd c2 + d + = ac + bd + (bc − ad )i (bc − ad )i c2 + d c2 + d  a n − Cn2 a n −2 b + Cn4 a n − b −  + i Cn1 a n −1b − Cn3 a n −3b + Cn5 a n −5b −  Công thức Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ ) n = (cos nϕ + i sin nϕ ) 1.2.6 Căn bậc n số phức Ta ñịnh nghĩa bậc n ( n số tự nhiên) số phức z (kí hiệu n z ) số phức u mà luỹ thừa bậc n u z Ta có u = Tập hợp tất số phức tạo thành trường với phép toán Khi r =1 cộng, nhân hai số phức, nghịch ñảo số phức Tập hợp zk = cos tất số phức (trường số phức) ñược kí hiệu nhận ñược kí hiệu z Lũy thừa bậc n số phức z tính theo công thức Nghịch ñảo số phức z = a + bi ≠ số phức z ) phức liên hợp ta suy Tồn số phức 1:= + 0i mà z.1 = 1.z = z , = a + bi ( a, b ∈ Như vậy, số phức z trở thành số thực z z := z1 − z2 = (a − c ) + (b − d )i 1.2.4 Số phức liên hợp làm trường , trường, n z ⇔ un = z ϕ + kπ n + sin ϕ + 2kπ n , k = 0,1, 2, n − Mỗi số phức có ñúng n giá trị bậc n 1.3 Các công thức dùng việc ứng dụng số phức vào giải toán hình học Footer Page of 126 Header Page of 126 10 1.3.1 Các kiến thức bổ trợ - Phép ñối xứng qua trục Ox: z ' = z Một số phức z = a + bi ñược biểu diễn hình học ñiểm M ( a, b ) mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Descartes ( O, e1 , e2 ) uuur - Phép tịnh tiến theo véctơ OA : z ' = z + a ur uur - Phép quay góc lượng giác α xung quanh gốc tọa ñộ O: z ' = pz ur uur với gốc ñiểm O vectơ ñơn vị e1 , e2 vuông góc O (ngắn ñó p = cos α + i sin α gọn: mặt phẳng tọa ñộ) - Phép vị tự tâm O tỉ số k: z ' = kz Điểm M ( a, b ) ñược gọi tọa vị số phức z = a + bi Khi làm việc với phép biến hình (mà ta thường ký hiệu F ; F1 ; F2 ; ), ñiểm mặt phẳng ñược ký hiệu M , N , M , M ảnh chúng qua phép biến hình ñược ký ' ' ' ' - Phép quay góc lượng giác α xung quanh gốc tọa ñộ O tiếp theo, phép vị tự tâm O tỉ số k: z ' = pz với p = k (cos α + i sin α ) Phép ñối xứng qua ñiểm A: z ' = 2a − z - Phép quay góc lượng giác α xung quanh A Ta có z1 ' = pz1 hay z '− a = p ( z − a ) với p = cos α + i sin α hiệu M , N , M , M Vì thế, M tọa vị số phức z ảnh M ' M qua - Phép quay góc lượng giác α xung quanh A tiếp theo, phép vị tự phép biến hình F ñó tọa vị số phức mà ta ký tâm A tỉ số k: z '- a = p.( z - a ) với p = k (cos α + i sin α ) hiệu z ' 1.3.2 Các công thức ñịnh lí Hơn nữa, ñôi khi, ñể ñơn giản, ta ñồng số phức Khi giải vài vấn ñề hình học a, b, c, d với tọa vị A, B, C, D chúng Bằng cách phẳng, lời khuyên thử giải cách tính toán Đó vậy, thay viết: vài kỹ thuật ñể làm tính toán thay cho hình học Đó ứng dụng AB CD a −b a −b = c−d c−d số phức hình học Mặt phẳng mặt phẳng phức ñiểm tương ứng số phức Bởi ñiểm ñược thường xuyên kí hiệu ta cho phép viết ab cd a −b a −b = c−d c−d Chúng ta có công thức phép biến hình ñơn giản sau: - Phép ñối xứng qua gốc tọa ñộ O: z ' = - z Footer Page of 126 chữ thường a, b, c, d , , số phức Định lí • ab cd ⇔ a −b a −b = c−d c−d với ( a ≠ b, c ≠ d ) Header Page of 126 11 a −b • a , b, c ⇔ a −b a −b • ab ⊥ cd ⇔ a−c = a−c =− a −b 12 Định lí với ( a ∉ {b, c}) c−d c−d Các ñiểm a, b, c, d thẳng hàng hay thuộc ñường tròn với ( a ≠ b, c ≠ d ) ⇔ =e c−b c−a iϕ c−a ( a ≠ b; Với dây c−b cung ab ta có a −b a −b a −b = −ab với ab với (a 2ab a+b a−c b−c = p−r q−r a−d ∈ ∗ ∗ c−b a −b ∉ ∗ , c−d a−d ∉ ∗ ( a + b + c − abc ) ab ( c + d ) − cd (a + b) ab − cd • Tam giác abc pqr ñồng dạng ngược chiều a−c b−c = p−r q−r Định lí Diện tích tam giác abc môñun ñịnh thức • Giao ñiểm dây cung ab cd ñiểm Footer Page of 126 c−d Định lí • Chân ñường cao từ ñiểm tùy ý c ñến dây cung ab p= , • Tam giác abc pqr ñồng dạng chiều • Giao ñiểm tiếp tuyến ñiểm a b ñiểm a−c a−d ∈ : b−c b−d = b = 1) ñường tròn ñơn vị ñiểm ∗ a = b = 1) a+b−c ∈ • Các ñiểm a, b, c, d thuộc ñường tròn • Nếu c nằm ñường thẳng chứa dây cung ab c= • Các ñiểm a, b, c, d thẳng hàng Định lí Các tính chất ñường tròn ñơn vị: • ∗ Cụ thể • ϕ = acb (từ a ñến b theo chiều dương) c−b c−b c−d : ∈ a −b a −d a a i b b = c c i ( ab + bc + ca − ab − bc − ca ) Header Page of 126 13 14 • Với tam giác nêu tâm ñường tròn nội tiếp Định lí • Điểm c chia ñoạn thẳng ab theo tỉ số λ ≠ −1 ⇔ c = • Điểm t trọng tâm tam giác abc ⇔ t = a+b+c a + λb i = −(uv + vw + wu ) 1+ λ Định lí Giả sử tam giác ∆ với ñỉnh 0, hai ñỉnh lại x y • Nếu h trực tâm tam giác ∆ • Với trực tâm h tâm o ñường tròn ngoại tiếp tam giác abc ta có: h + 2o = a + b + c h= ( xy + x y ) ( x − y ) x y − xy Định lí Giả sử ñường tròn ñơn vị nội tiếp tam giác • Nếu o tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ tương ứng abc tiếp xúc với cạnh bc, ca, ab p, q, r o= 2qr • Ta có a = q+r , b= 2rp r+ p c = pq p+q pqr ( p + q + r ) ( p + q )( q + r )( r + p ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP 2.1 Ứng dụng số phức giải phương trình, hệ phương • Trực tâm h tam giác abc : h= ( p q + q r + r p + pqr ( p + q + r ) ( p + q )( q + r )( r + p ) trình ) Định lí • Tam giác abc nội tiếp ñường tròn ñơn vị có số u , v, w cho a = u , b = v , c = w , −uv, − vw, wu trung ñiểm cung ab, bc, ca, (tương ứng) mà không chứa c, a , b Footer Page of 126 xy − x y ) Chương • Tâm o ñường tròn ngoại tiếp tam giác abc : o= ( xy x − y Một số hệ phương trình “xuất xứ “ từ phương trình nghiệm phức Bằng cách ñi ngược lại trình từ phương trình → hệ phương trình, ta ñược trình hệ phương trình → phương trình Giải phương trình, so sánh phần thực phần ảo, ta ñược nghiệm hệ phương trình   x (1 + x + y ) = Bài toán 2.1.1 Giải hệ phương trình   y (1 − ) =  x+ y Header Page of 126 15 16 12   x (1 − x + y ) = Bài toán 2.1.2 Giải hệ phương trình   y (1 + 12 ) =  x+ y 3x − y   x + x + y = Bài toán 2.1.3 Giải hệ phương trình   y − x + 3y =  x2 + y2  x − xy = Bài toán 2.1 Giải hệ phương trình  3 x y − y = − Vậy ñã khảo sát ví dụ giải hệ phương trình, câu hỏi ñặt ta sáng tác hệ phương trình nào? Câu trả lời hoàn toàn Cho z = ax + byi với a, b số thực tuỳ ý Với số phức tùy ý α + β i , ta xác ñịnh x, y cho z = α + βi Khi ñó, có: z = ( ax + byi ) = a x3 + 3a x 2byi + 3axb y 2i + b3 y 3i 3 = (a3 x3 − 3axb y ) + (3a x 2by − b3 y )i Khi ñồng phần thực phần ảo ta có hệ phương trình :  a x − 3ab xy = α  2 3 3a bx y − b y = β Footer Page of 126 toán tìm bậc hai số phức ñược trình bày sách giáo khoa 12 hành Bài toán mở rộng Ta nhắc lại nghiệm ( x, y ) hệ mà phải giải ñược biểu diễn dạng z = x + yi , (hoặc z = u + iv , với u hàm số ñơn giản chứa x , v hàm số ñơn giản chứa y ) Gọi z1 , z hai số phức cho trước ñể trở thành nghiệm hệ phương mà sáng tác Khi ñó ñi từ phương trình: ( z − z1 ) ( z − z2 ) = ⇔ z ⇒ z+ Bài toán mở rộng 3 Với toán dùng z ñưa 2 − ( z1 + z2 ) z + z1 z2 = z z z z1 z2 = z1 + z2 ⇒ z + 22 = z1 + z2 z z Do z = x + yi z1 z2 = α + β i, z1 + z2 = α '+ β ' i, Khi ñó ta viết lại thành phương trình:  αx+ β y  x + x + y = α ' (α + β i )( x − yi ) x + yi + = α '+ β ' i ⇔  x2 + y y + β x −α y = β '  x2 + y2 Và tùy vào làm phức tạp cho z = u + iv , với u , v hàm số biễu diễn x, y Header Page of 126 17 18 an = bn ⇔ n ≡ (mod 3) Các tập tương tự −8 x + y  x + =1  4x2 + y2 Bài toán 2.1.5 Giải phương trình   y + 2x + y =  4x2 + y  4x − y  x + x4 + y =  Bài toán 2.1.6 Giải phương trình   y − x + y = −2  x4 + y2 2.2 Ứng dụng số phức tổ hợp Một ứng dụng số phức vào tổ hợp ñó tính 6) an = cn ⇔ n ≡ (mod 3) cn = bn ⇔ n ≡ (mod 3) Bài toán 2.2.2 Chứng minh ñồng thức 1) Cn0 + Cn4 + Cn8 + = 2) Cn1 + Cn5 + Cn9 + = 3) Cn2 + Cn6 + Cn10 + = tổng dãy hữu hạn mà ñó dùng phương pháp thông 4) Cn3 + Cn7 + Cn11 + = thường có lẽ phức tạp Bài toán 2.2.1 Chứng minh ñồng thức 1) an = Cn0 + Cn3 + Cn6 + = [ n / 3] ∑C k =0 3k n 1 nπ  =  n + cos  3  1 ( n − 2)π  2) bn = Cn1 + Cn4 + Cn7 + =  n + cos  3  1 (n − 4)π  3) cn = Cn2 + Cn5 + Cn8 + =  n + cos  3  4) an3 + bn3 + cn3 − 3an bn cn = 2n 5) an2 + bn2 + cn2 − an bn − bn cn − cn an = 1 nπ   2 1 n n −1  + sin 1  nπ  2 n n −1  − cos   nπ   2 1 n n −1  − sin 2  nπ    2.3 Ứng dụng số phức lượng giác Một ứng dụng số phức vào lượng giác ñó tính tổng dãy hữu hạn ñôi dùng số phức ta có cách giải thú vị Bài toán 2.3.1 Chứng minh với số tự nhiên n, ta có cosnα =cos nα − Cn2 cos n-2α sin α + Cn4 cos n-4α sin α − Cn6 cos n-6α sin α + sin nα = Cn1 cos n -1 α sin α − Cn3 cos n -3 α sin α + Cn5 cos n -5 α sin α − Bài toán 2.3.2 Chứng minh ñẳng thức sau: m −1 1) 2 m cos 2mϕ = ∑ 2C2km cos(2m - 2k )ϕ + C2mm k =0 Footer Page of 126 n n −1  + cos Header Page 10 of 126 19 m −1 2) 2 m sin 2mϕ = ∑ (−1) m + k 2C2km cos(2m - 2k )ϕ + C2mm k =0 20 cạnh Các hình vuông có tâm O1 , O2 , O3 , O4 Chứng minh O1O3 vuông góc với O2 O4 O1O3 = O2 O4 m 3) 2 m cos 2m+1ϕ = ∑ C2km +1 cos(2m - 2k+1 )ϕ k =0 m −1 4) 2 m sin 2m+1ϕ = ∑ (−1) m + k C2km sin(2m - 2k +1 )ϕ k =0 Bài toán 3.1.2(IMO 1982 shortlist) Về phía tứ giác lồi ABCD ta dựng tam giác ñều ABM, CDP; phía tứ giác, ta dựng tam giác ñều BCN, ADQ Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành 3.2 Khoảng cách Đa giác ñều Chương ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC Trong mục sử dụng công thức sau ñây số phức: a = a.a Việc tính toán tổng khoảng cách thuận lợi Số phức có ứng dụng to lớn hiệu toán hình ñiểm thẳng hàng nằm ñường thẳng song học Bằng cách biểu diễn tọa ñộ ñiểm hình hình học song.Vì ta thường sử dụng phép quay ñể di chuyển ñiểm ñến số phức, ta biểu diễn ñiều kiện ñề có chất vị trí ñẹp hình học ñẳng thức ñại sốvà chuyển kết luận hình học Bây ta xét ñến ña giác ñều Ta biết phương trình toán ñẳng thức số Như vậy, toán chứng minh hình học x n = có xác n nghiệm số phức có dạng ñưa việc kiểm tra ñẳng thức, ñẳng thức có ñiều kiện 3.1 Số phức vectơ Phép quay Mục chứa vấn ñề sử dụng tính chất số phức vectơ (Định lí 6) hệ phần cuối ñịnh lí Đó là, ñiểm b nhận ñược từ phép quay ñiểm a quanh ñiểm c góc ϕ b − c = e iϕ ( a − c ) xk = e i kπ n , ≤ k ≤ n −1 Bây ta cho x0 = xk = ε k ,1 ≤ k ≤ n − với x1 = ε Bài toán 3.2.1 Cho A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 7-giác ñều Chứng minh rằng: A0 A1 = A0 A2 + A0 A3 Bài toán 3.2.2(BMO 1990 shortlist) Trên cạnh tam Bài toán 3.1.1(IMO Shortlist 1992) Về phía tứ giác lồi ABCD, dựng hình vuông nhận AB, BC, CD, DA làm Footer Page 10 of 126 giác ABC, ta dựng ba n-giác ñều bên tam giác ABC Tìm tất Header Page 11 of 126 21 22 giá trị n cho tâm ba n-giác ñều ñỉnh tam Tuy nhiên, ý công thức ñịnh lí tỏ phức tạp, giác ñều ta nên ý thực ñường tròn ñường tròn ñơn vị 3.3 Đa giác nội tiếp ñường tròn lúc Trong vấn ñề này, ña giác nội tiếp ñường tròn ta thường Bài toán 3.4.1 Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC giả sử ñó ñường tròn ñơn vị Trong ñịnh lí ta nhận thấy tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA M, K, E tương ứng Gọi P nhiều lợi ñường tròn ñơn vị (ñặc biệt cách phát biểu thứ giao ñiểm MK AC Chứng minh OP ⊥ BE ) thực hành dùng ñịnh lí Trong Bài toán 3.4.2(BMO 2005) Cho tam giác ABC nhọn ñường trường hợp ñặc biệt, ta biết tam giác nội tiếp ñường tròn tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB AC R, Q tương nhiều vấn ñề hình học tam giác ta sử dụng số phức ứng Lấy Y, Z giao ñiểm phân giác góc ACB, ABC với Vấn ñề phần ñi tìm tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác Bài toán 3.3.1(IMO Shortist 1996) H trực tâm tam giác ABC P ñiểm thuộc ñường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi E chân ñường cao BH lấy PAQB, PARC hình bình hành Nếu AQ HR cắt X chứng minh EX AP Bài toán 3.3.2(IMO Shortist 1996) Cho tam giác ABC tam giác nhọn cho BC > CA Gọi O tâm ñường tròn ngoại tiếp, H trực tâm, F chân ñường cao CH tam giác ABC Đường thẳng ñường thẳng RQ Lấy X trung ñiểm BC Chứng minh tam giác XYZ tam giác ñều A = 600 3.5 Trung ñiểm cung Chúng ta thường tình cờ gặp vấn ñề vài ñiểm ñược xác ñịnh trung ñiểm cung Một khó khăn việc sử dụng số phức việc nhận cung ñường tròn Vì thế, xác ñịnh trung ñiểm cung giao ñiểm phân giác cung tương ứng với ñường tròn, qua F vuông góc với FO cắt CA P CMR FHP = BAC có hai nghiệm Vấn ñề dễ dàng giải 3.4 Đa giác ngoại tiếp ñường tròn cách sử dụng phần ñịnh lí Hơn phần ñịnh lí có Tương tự phần trước, giả sử ñường tròn ñơn thể cho cách khác ñể giải vấn ñề với ñường tròn nội tiếp vị nội tiếp ña giác Một lần sử dụng ñịnh lí ñường tròn ngoại tiếp Chú ý tọa ñộ ñiểm quan trọng trường hợp ñặc biệt phần Trong trường hợp gắn với việc giải phương trình ñơn giản phần tam giác ta sử dụng công thức ñịnh lí Chú ý trước Tuy nhiên, có vấn ñề tính toán tiếp trường hợp biết tâm ñường tròn nội tiếp tâm ñường tròn ngoại tiếp, phần trước trường hợp Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 23 24 ñiểm d , e, f ñường tròn nội tiếp với cạnh, lựa chọn tốt cho gốc Chúng ta sử dụng trường hợp ta sử dụng ñịnh lí phần phía trước công thức mục Bài toán 3.5.1(Kvant M769) Gọi L tâm ñường tròn nội tiếp Bài toán 3.6.1 Gọi O giao ñiểm ñường chéo tứ tam giác ABC ñường thẳng AL, BL, CL cắt ñường tròn ngoại giác ABCD M, N trung ñiểm cạnh AB, CD tương ứng tiếp tam giác ABC A1 , A2 , A3 tương ứng Gọi R bán kính ñường tròn ngoại tiếp r bán kính ñường tròn nội tiếp Chứng minh rằng: LA1.LC1 = R, (a) LB LA.LB (b) = 2r LC1 S ( ABC ) 2r (c) = S ( A1 B1C1 ) R Bài toán 3.5.2(Kvant M860) Gọi O R tương ứng tâm bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi Z r tương Chứng minh OM ⊥ CD ON ⊥ AB tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Bài toán 3.6.2 Cho F ñiểm ñáy AB hình thang ABCD cho DF=CF Lấy E giao ñiểm AC BD O1 O2 tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tam giác FBC tương ứng Chứng minh FE ⊥ O1O2 3.7 Giao ñiểm không công thức Viet ứng tâm bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi K Điểm giao ñiểm hai ñường thẳng xác ñịnh ñược từ trọng tâm tam giác ñược tạo ñiểm tiếp xúc ñường hệ hai phương trình tương ứng, xác ñịnh ñiều kiện ñể ñiểm tròn nội tiếp cạnh Chứng minh Z thuộc ñường thẳng OK thuộc ñường thẳng Tuy nhiên phương pháp dẫn ñến OK : ZK = 3R/r khó khăn Như ñề cập ñến phương pháp trước ñây 3.6 Điểm quan trọng Tứ giác dẫn ñến giao ñiểm không Ví dụ, muốn xác Trong mục cuối phần trước có ñiểm xem ñịnh giao ñiểm hai ñường tròn có phương trình khởi ñầu, tọa ñộ chúng “ quan trọng “ Tất chúng bậc hai, không ngạc nhiên hai ñường tròn tổng quát có hai ñều có tính chất giống (chúng ñiểm ñường tròn, giao giao ñiểm Vì vậy, nhiều vấn ñề không cần hai ñiểm tiếp tuyến với ñường tròn ) Tuy nhiên có vấn ñiểm ñó, hướng ñường thẳng xác ñịnh chúng Một cách ñơn giản ñề mà ñiểm ñược xem xét ñể nhận ñiểm mà sở biết ñược ñiểm chúng Và sử dụng khác ñể tìm ñiểm khác Điểm ñược chọn làm gốc Đặc biệt công thức Vi- et có tổng tích chúng Vì nói sử dụng trường hợp tứ giác ( không nội tiếp ngoại tiếp “ lấy nghiệm bậc hai số phức” Lưu ý: Nếu cần xác ñược ñường tròn)- trường hợp giao ñiểm ña giác ñịnh tọa ñộ giao ñiểm hai ñường tròn, Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 25 26 không cần biết ñiểm khác, cách ñể giải vấn ñề sử KẾT LUẬN dụng số phức xác ñịnh ñiểm ñiểm quan trọng Bài toán 3.7.1 Giả sử tiếp tuyến ñường tròn T A B cắt C Đường tròn T1 ñi qua C tiếp xúc AB B cắt ñường tròn T M Chỉ ñường thẳng AM chia ñôi ñoạn BC Nội dung luận văn gồm ba phần mở bài, nội dung kết luận Phần nội dung gồm ba chương Chương giới thiệu kiến thức số phức ñịnh lí nhằm chuẩn bị cho hai chương sau Chương ñề cập ñến ứng dụng số phức vào hệ phương Bài toán 3.7.2(Trung Quốc 1996) Gọi H trực tâm tam giác trình, tổ hợp lượng giác Chương ñề cập ñến ứng dụng ABC Tiếp tuyến từ A ñến ñường tròn ñường kính BC cắt ñường tròn số phức vào hình học, chương tác giả ñã ñưa nhiều dạng toán P Q Chứng minh P,Q H thẳng hàng hình học, ví dụ ña giác nội tiếp ñường tròn, ña giác ngoại tiếp 3.8 Các vấn ñề khác – phương pháp khác ñường tròn, trung ñiểm cung, phép biến hình sử dụng số Trong phần này, bạn tìm thấy vấn ñề không liên quan mật thiết tới chương trước, vài vấn ñề liên quan tới nhiều chương trước lúc Lời khuyên hữu ích suy nghĩ cẩn phức Luận văn trình bày ñược nhiều toán kì thi quốc gia quốc tế, số toán tạp chí toán học giới thận ñầu mối ban ñầu, nguồn gốc Bởi vấn ñề ñể giải Luận văn có nêu số toán mà phương pháp tổng vấn ñề thời gian Nên ta ñang kỳ thi quát, tương tự, ñặc biệt tác giả ñã tự nghiên cứu toán hệ ta muốn sử dụng số phức, việc ñoán thời gian cần thiết ñể phương trình giải quan trọng Cũng vấn ñề nên ta phải học số phức sớm tốt Ta thấy có vài vấn ñề sử dụng ñịnh lý 3, Bài toán 3.8.1 Cho ñường tròn k1 , k2 , k3 k4 , giả sử k1 ∩ k2 = { A1 , B1} , k2 ∩ k3 = { A2 , B2 } , k3 ∩ k4 = { A3 , B3 } , k4 ∩ k1 = { A4 , B4 } Nếu bốn ñiểm A1 , A2 , A3 , A4 nằm ñường tròn ñường thẳng, chứng minh ñiểm B1 , B2 , B3 , B4 nằm ñường tròn ñường thẳng Footer Page 13 of 126  ... Số phức Ứng dụng Chiến lược giải toán bậc trung học ñầy ñủ phổ thông với mong muốn tìm hiểu sâu số phức ứng dụng Chương trình Toán học bậc trung học phổ thông hầu ñều có phần kiến thức số phức. .. dạy số phức ứng dụng phức z = a + bi số phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông 1.2.2 Mặt phẳng phức Xây dựng ñược hệ thống toán với mức ñộ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Một số phức. .. sử số phức, kiến thức số phức công thức ứng dụng số phức hình học Chương Ứng dụng số phức giải hệ phương trình, tổ hợp lượng giác 1.2.3 Các phép toán trường số phức Hai số phức a + bi c + di ñược