Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ BÍCH HUY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Lý chọn đề tài Có thể nói bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng việc học giảng dạy môn toán Trong chương trình toán bậc phổ thông trung học phần kiến thức bất đẳng thức chiếm tỷ lệ lớn Trong trình giảng dạy trường phổ thông, phát thông thường học sinh cảm thấy lúng túng giải toán bất đẳng thức Chính muốn nghiên cứu phần bất đẳng thức nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng dạy trường phổ thông chọn đề tài để làm luận văn tốt nghiệp là: Các bất đẳng thức giá trị trung bình Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng mà tập trung nghiên cứu bất đẳng thức giá trị trung bình ứng dụng chúng để giải toán bậc phổ thông trung học Ngoài có mở rộng vài trường hợp để chứng tỏ lĩnh vực phát triển xa mặt lý thuyết ứng dụng 2.2 Phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu luận văn giới hạn phạm vi số bất đẳng thức có liên quan đến giá trị trung bình Sau đưa số ví dụ cụ thể chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng chúng đến việc giải toán bậc trung học Mục đích nghiên cứu Nội dung đề tài nghiên cứu số bất đẳng thức giá trị trung bình Ngoài việc nhắc lại bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc mà biết bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, đề tài trình bày hai bất đẳng thức đại mà việc ứng dụng việc giải toán rộng bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Muirhead Footer Page of 126 Header Page of 126 Tên đề tài Đề tài "Các bất đẳng thức giá trị trung bình" Phương pháp nghiên cứu Chúng dựa vào ứng dụng sau đề tài nên sử dụng phương pháp giải vấn đề thiên cách chứng minh toán sơ cấp Mặc dù vài tình đặc biệt mạnh dạn mở rộng vấn đề theo hướng toán học đại Phương pháp chủ yếu sử dụng luận văn kết hợp kết có tài liệu chuyên khảo có liên quan đến đề tài liên hệ đến ứng dụng chương trình toán phổ thông Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu luận văn giới hạn phạm vi bất đẳng thức có liên quan đến giá trị trung bình Sau có đưa số ví dụ cụ thể chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng chúng đến việc giải toán bậc trung học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Luận văn trình bày kiến thức đại cương bất đẳng thức đại lượng trung bình mà chương sau đề cập đến Chương 2: Luận văn trình bày số bất đẳng thức giá trị trung bình có nhiều ứng dụng giải toán trường phổ thông như: bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa; bất đẳng thức Schur hệ quả; đặc biệt luận văn trình bày bất đẳng thức Muirhead, qua cho ta thấy mối quan hệ bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức Schur Chương 3: Trong phần này, luận văn trình bày số ứng dụng bất đẳng thức giá trị trung bình việc giải toán phổ thông Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Đại cương bất đẳng thức 1.1 Quan hệ thứ tự tập hợp 1.1.1 Tích Descartes Định nghĩa 1.1.[1] Cho tập X1 , X2 , , Xn Ta gọi tập hợp {(x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ Xi , i = 1, n} tích Descartes tập X1 , X2 , , Xn kí hiệu n X1 × X2 × · · · × Xn hay Xi i=1 1.1.2 Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự 1.1.2.1 Quan hệ Cho tập X = ∅ Một tập R tích Descartes R× R gọi quan hệ hai tập X (x, y ) ∈ R ta viết xRy Tính chất 1.1 [1] (Các tính chất quan hệ) * Tính chất phản xạ Một quan hệ R X gọi có tính chất phản xạ với x ∈ X xRx * Tính chất đối xứng Quan hệ R tập hợp X gọi có tính đối xứng với a, b ∈ X cho aRb kéo theo bRa * Tính chất phản đối xứng Quan hệ R tập hợp X gọi có tính phản đối xứng với a, b ∈ X cho aRb bRa kéo theo a = b * Tính chất bắc cầu Quan hệ R tập hợp X gọi có tính bắc cầu với a, b, c ∈ X cho aRb bRc kéo theo aRc 1.1.2.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa 1.2.[1] Một quan hệ tập hợp A gọi quan hệ tương đương có tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu Định nghĩa 1.3.[1] Cho R quan hệ tương đương tập A a∈ A.5 of Tập Footer Page 126.hợp {x ∈ A | xRa} gọi lớp tương đương phần tử Header Page of 126 a, kí hiệu a [a] C (a) Mệnh đề 1.1 [7] Cho R quan hệ tương đương tập hợp A a, b ∈ A Khi ta có: a = ∅ a = b aRb a = b a ∩ b = ∅ Định nghĩa 1.4.[1] Cho R quan hệ tương đương tập hợp A Khi A chia thành lớp tương đương khác rỗng, rời đôi Tập hợp lớp tương đương gọi tập thương A theo quan hệ tương đương R kí hiệu A/R Như A/R = {a | a ∈ A} Định nghĩa 1.5.[1] Một quan hệ tập hợp A gọi quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự kí hiệu ≤ Nếu tập hợp A có quan hệ thứ tự ≤ ta nói A tập hợp thứ tự Với hai phần tử a, b ∈ A (trong A thứ tự quan hệ thứ tự ≤), ta có a ≤ b ta viết b ≥ a Khi có quan hệ thứ tự ≤ A ta xác định quan hệ < sau: ∀a, b ∈ A, a < b ⇔ a ≤ b a = b Nếu a < b, ta viết b > a Định nghĩa 1.6.[1] Cho A tập hợp thứ tự (bởi quan hệ ≤) Với hai phần tử a, b ∈ A, ta có a ≤ b b ≤ a ta nói a b so sánh với nhau, a ≤ b lẫn b ≤ a ta nói a b không so sánh với Tập hợp thứ tự A gọi tập hợp thứ tự toàn phần hai phần tử a , b so sánh với Khi quan hệ thứ tự ≤ quan hệ thứ tự toàn phần Trong trường hợp ngược lại, tồn hai phần tử a b không so sánh với ta gọi A tập hợp thứ tự phận quan Footer of 126 hệPage thứ6 tự ≤ quan hệ thứ tự phận Header Page of 126 Định nghĩa 1.7.[1] Cho tập hợp thứ tự A quan hệ ≤ X tập khác rỗng A Phần tử a ∈ A gọi phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) X ∀x ∈ X ta có x ≤ a (tương ứng x ≥ a) Nhận xét 1.1 Phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) X tồn Định nghĩa 1.8.[1] Cho tập hợp thứ tự A quan hệ ≤ X tập khác rỗng A Phần tử c ∈ A gọi chặn (tương ứng chặn dưới) X ∀x ∈ X ta có x ≤ c (tương ứng x ≥ c) Nếu X có chặn (tương ứng chặn dưới) ta gọi X tập bị chặn (tương ứng chặn dưới) Nhận xét 1.2 Một tập X tập thứ tự A chặn (tương ứng chặn dưới), có hay nhiều chặn (tương ứng chặn dưới) Với X tập hợp tập thứ tự A a ∈ A Phần tử a phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) X a chặn (tương ứng chặn dưới) Định nghĩa 1.9.[1] Một tập hợp A thứ tự quan hệ ≤ X ⊂ A, X = ∅ Phần tử nhỏ (tương ứng lớn nhất) tập hợp chặn (tương ứng chặn dưới) X gọi cận (tương ứng cận dưới) X A, kí hiệu sup X (tương ứng inf X) A A Nhận xét 1.3 Phần tử a ∈ A cận (tương ứng cận dưới)của tập X A a chặn (tương ứng chặn dưới) A a ≤ c (tương ứng a ≥ c) với chặn (tương ứng chặn dưới) c X Cận (tương ứng cận dưới) tập X tập hợp thứ tự A tồn Ngoài ra, cận (tương ứng cận dưới) X thuộc X phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) X Định nghĩa 1.10.[7] Cho tập hợp thứ tự A quan hệ ≤ X tập khác rỗng A Phần tử m ∈ X gọi phần tử Footer of 126 ứng tối tiểu) X ∀x ∈ X, ta có m ≤ x ⇒ x = m tốiPage đại7 (tương Header Page of 126 (tương ứng x ≤ m ⇒ x = m) tức không tồn phần tử x X cho x > m (tương ứng x < m) Rõ ràng phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) m A cho m ∈ X phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) X Tuy nhiên, m phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) X chưa m phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) A Phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) tập hợp tồn có Mệnh đề 1.2 [1] Cho tập hợp thứ tự A quan hệ ≤ X tập khác rỗng A Khi đó: Nếu X có phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) a a phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) X Nếu X thứ tự toàn phần quan hệ ≤ phần tử a ∈ X phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) X a phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) X Định nghĩa 1.11.[1] Cho tập hợp thứ tự A quan hệ ≤ Ta nói A thứ tự tốt quan hệ tập khác rỗng A có phần tử nhỏ Hệ 1.1 [1] Nếu tập hợp thứ tự tốt quan hệ thứ tự toàn phần quan hệ Định nghĩa 1.12.[1] Tập hợp thứ tự A gọi dàn với phần tử a, b ∈ A, tập hợp {a, b} có cận trên, cận Cận cận {a, b} ký hiệu a ∨ b a ∧ b Tính chất 1.2 [1] Cho A dàn Khi ∀a, b, c ∈ A, ta có: Luật lũy đẵng: a ∨ a = a, a ∧ a = a Luật giao hoán: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a Luật kết hợp: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) Luật hấp thụ: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2 Bất đẳng thức tập số thực 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.13.[1] Một bất đẳng thức tập số thực mệnh đề toán học dạng f (x1 , x2 , , xn ) R g (x1 , x2 , , xn ) R quan hệ R f, g hàm thực n biến Định nghĩa 1.14.[1] */ Số thực a gọi lớn số thực b, kí hiệu a > b, a − b số dương, tức a − b > Khi ta viết b < a Ta có: a > b ⇔ a − b > */ Nếu a > b a = b, ta viết a ≥ b Ta có: a ≥ b ⇔ a − b ≥ Định nghĩa 1.15.[1] Các quan hệ thứ tự a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b với a, b ∈ R gọi bất đẳng thức tập số thực */ Trong bất đẳng thức trên, a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức */ Các bất đẳng thức a > b c > d (hoặc a < b c < d) gọi hai bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức a > b c < d gọi hai bất đẳng thức trái chiều */ Xét hai bất đẳng thức a > b c > d Nếu ta có a > b ⇒ c > d, ta nói bất đẳng thức c > d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a > b Nếu ta có a > b ⇔ c > d, ta nói hai bất đẳng thức a > b c > d hai bất đẳng thức tương đương 1.2.2 Các tính chất bất đẳng thức Trong mục này, ta chứng minh số tính chất bất đẳng thức dạng a > b Các dạng bất đẳng thức khác (a < b, a ≥ b, a ≤ b) có tính chất tương tự Footer Page of 126 Các số9 a, b, c, d số thực Header Page 10 of 126 Tính chất 1.3 [4] (a > b b > c) ⇒ a > c (tính chất bắc cầu) Tính chất 1.4 [4] a > b ⇔ a + c > b + c Hệ 1.2 [4] a > b + c ⇔ a − c > b (quy tắc chuyển vế) Tính chất 1.5 [4] a>b ⇒a+c>b+d c>d Tính chất 1.6 [4] ac > bc c > ac < bc c < Tính chất 1.7 [4] a > b > ⇒ ac > bd c>d>0 Tính chất 1.8 [4] a > b > ⇒ an > bn (n nguyên dương) Tính chất 1.9 [4] a>b>0 ⇒ √ n a> √ n b (n nguyên dương.) Trong trường hợp n số chẵn, kết hợp tính chất 1.8 1.9 ta có: Hệ 1.3 [4] Nếu a, b hai số dương a > b ⇔ an > bn Tổng quát ta có: Nếu a, b hai số không âm thì: a ≥ b ⇔ an ≥ bn 1.3 Chứng minh bất đẳng thức Muốn chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng nguyên lý sau: 1.3.1 Chứng minh định nghĩa Footer 10 ofminh 126 ĐểPage chứng bất đẳng thức a > b ta chứng minh bất đẳng thức a−b > Header Page 12 of 126 10 Ở sau này, ta bỏ qua số cận phép lấy tổng, việc không gây hiểu lầm Đặc biệt, ta đặt: A = A(a) = M1 (a) = H = H(a) = M−1 (a) = n G = G (a) = √ n n i=1 (với giả thiết > 0, ∀i) n i=1 n 1 n a1 a2 an = a Như vậy, A(a) trung bình cộng thông thường, H(a) trung bình điều hòa G (a) trung bình nhân 1.4.2 Trung bình trọng lượng Giả sử pi > (i = 1, 2, , n), đặt p = (p1 , p2 , , pn ), a = (a1 , a2 , , an ), ar = (ar1 , ar2 , , arn ) Ta ký hiệu: n par = n pi ari , p= i=1 pi i=1 par / Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = ( p)1/r Mr = (r < số a = 0) ap )1/ G = G (a) = G (a, p) = ( p Ta có: A(a, p) = M1 (a, p) = p p H(a, p) = M−1 (a, p) = p/ a Trung bình trọng lượng trở thành trung bình thông thường pi = 1, ∀i Vì trung bình hàm bậc không p, ta giả sử p = Lúc đó, ta viết q thay cho p, chẳng hạn: Mr (a, q ) = ( Footer Page 12 of 126 G (a, q ) = qar )1/r aq ( pa/ ( q = 1) q = 1) Header Page 13 of 126 11 Ta thường xuyên sử dụng công thức hiển nhiên sau: Mr (a, q ) = {A(ar , q )}1/r G (a, q ) = eA(log a,q) (với a > 0, log a = (log a1, · · · , log an)) 1 1 M−r (a, q ) = (với = ( , · · · , )) a a1 an Mr (1/a, q ) Mrs (a, q ) = {Ms (ar , q )}1/r Hơn nữa: A(a + b, q ) = A(a, q ) + A(b, q ) G (a · b, q ) = G (a, q ) · G (b, q ) Mr (b, q ) = kMr (a, q ) (b) = k (a) (tức bi = kai k số) G (b, q ) = kG (a, q ) (b) = k (a) Mr (a, q ) ≤ Mr (b, q ) < bi , ∀i 1.4.3 Trường hợp giới hạn Mr (a) Ta ký hiệu giá trị nhỏ giá trị lớn {ai , 1, n} a max a Mệnh đề 1.3 [2] Ta có a < Mr (a) < max a, trừ trường hợp tất nhau, r < có không Mệnh đề 1.4 [2] Ta có: min(a) < G (a, q ) < max a trừ trường hợp tất có không Mệnh đề 1.5 [2] Ta có lim Mr (a, q ) = G (a, q ) r→0 Mệnh đề 1.6 [2] Ta có: lim Mr (a) = max a, r→+∞ lim Mr (a) = a r→−∞ Bây ta quy ước: M0 (a) = G (a), M∞ (a) = max a, M−∞ (a) = a Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 Chương 12 Các bất đẳng thức liên quan đến giá trị trung bình 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Định lý 2.1 [2] (Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hay viết tắt bất đẳng thức AG) Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1 , x2 , , xn ; p1 , p2 , , pn Khi đó: x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn p1 +p2 +···+pn ) xp11 xp22 xpnn ≤ ( p1 + p2 + · · · + pn Đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Hay G (x, p) ≤ A(x, p) Đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Trường hợp đăc biệt với p1 + p2 + · · · + pn = n, ta có hệ sau: Hệ 2.1 [5] Bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân trường hợp n số không âm x1 , x2 , , xn : x1 + x2 + · · · + xn √ ≥ n x1 x2 xn n Đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Hệ 2.2 [6] (Bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa hay viết tắt bất đẳng thức GH) Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương a1 , a2 , , an ; p1 , p2 , , pn Khi p1 + p2 + · · · + pn ap11 ap22 apnn ≥ ( )p1+p2+···+pn a1 p1 + a2 p2 + · · · + an pn Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Ví dụ 2.1 (Liên Xô cũ 1962) Cho số thực dương a, b, c, d cho abcd = Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd ≥ 10 Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 13 Ví dụ 2.2 Cho a, b, c số thực dương cho a2 + b2 + c2 = Chứng minh 1 + + ≥ 1 + 2ab + 2bc + 2ca Đẳng thức xảy nào? Ví dụ 2.3 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 a + 2b + b3 b + 2c + c3 c + 2a ≥ (a2 + b2 + c2 ) Ví dụ 2.4 (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2001) Xét số dương a, b, c thõa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 12ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ P = + + a b c 2.2 Bất đẳng thức Schur Định lý 2.2 [7] Cho x, y, z số không âm Với số r > 0, ta có: xr (x − y )(x − z ) ≥ (2.7) cyclic Đẳng thức xảy x = y = z, hay hai ba số số hạng thứ ba không Bất đẳng thức (2.7) gọi bất đẳng thức Schur Hệ 2.3 [7] Trường hợp r = 1, ta có 1) x(x − y )(x − z ) ≥ (2.8) cyclic x3 + 3xyz ≥ 2) (2.8) ⇔ x2 y x ≥2 xyz + sym (2.9) sym cyclic 3) (2.9) ⇔ x2 y sym (2.10) cyclic 4) (2.10) ⇔ xyz ≥ (x + y − z )(y + z − x)(z + x − y ) 5) (2.11) ⇔ 4(x + y + z )(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z )3 + 9xyz (2.11) (2.12) Ví dụ 2.5 (Olympic BaLan 2005) Cho số dương a, b, c thỏa điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh Footer Page 15 of 126 a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ Header Page 16 of 126 14 Ví dụ 2.6 (Châu Á -TBD 2004) Cho số dương a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) Ví dụ 2.7 Cho a, b, c số số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh a+b+1 + b+c+1 + 2.3 Bất đẳng thức Muirhead 2.3.1 Các định nghĩa ký hiệu c+a+1 ≤ Giả sử biến số a1 , a2 , , an số mũ α1 , α2 , , αn ∈ R Ký hiệu: Tập biến số X = {a1 , a2 , , an }, tập số mũ α = {α1 , α2 , , αn } Định nghĩa 2.16.[7] Đa thức đối xứng S với biến số tập X tập số mũ α α\{α } α\{α } α , ,αn SX = Saα11,a,α22, ,a = aα1 · SX\{a11} + · · · + aαn1 · SX\{a1n} n Nhận xét 2.1 Nếu nhân khai triển mà không ước lược số hạng α có n! số hạng Nếu đồng dạng biểu thức khai triển SX α giao hoán (α1 , α2 , , αn ) (a1 , a2 , , an ) SX nhận Với a1 , a2 , , an ∈ R∗+ , α1 , α2 , , αn ∈ R, với α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn Khi kí hiệu aα1 aα2 · · · aαnn , d(α1 , α2 , , αn ) = α SX = sym α · SX n! Định nghĩa 2.17.[7] Cho a1 , a2 , , an số thực dương α = (α1, α2, , αn) n số thực Ta gọi "trung bình kiểu α" số thực α · SX với n ∈ {1, 2, , n} n! (n − 1)!(a1 + a2 + · · · + an) a1 + a2 + · · · + an Đặt biệt [1, 0, , 0] = = n! n [α] = [α1, α2, , αn] = trung bình cộng số thực a1 , a2 , , an , 1/n 1/n 1/n 1 n! · a1 · a2 · · · an ,··· , ] = = a11/n · a12/n · · · a1n/n Footer Page 16[ of,126 n n n n! Header Page 17 of 126 15 trung bình nhân n số thực a1 , a2 , , an Định nghĩa 2.18.[7] Xét n số thực (α) (β ) Ta nói β bị làm trội α hay (α) trội (β), viết (β ) ≺ (α) (α) (β ) xếp lại thỏa mãn ba điều kiện sau: β1 + β2 + · · · + βn = α1 + α2 + · · · + αn (2.13) β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥ βn , α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn (2.14) β1 + β2 + · · · + βi ≤ α1 + α2 + · · · + αi (1 ≤ i < n) (2.15) Với điều kiện (2.13), ta nói số (α) (β ) đồng bậc 2.3.2 Định lý Muirhead Định lý 2.3 [7] Xét biến số a1 , a2 , · · · , an ∈ R+ ∗ , số thực (α) = (α1, α2, · · · , αn), (β ) = (β1, β2, · · · , βn) Giả sử (α) (β ) số mũ đồng bậc Khi điều kiện cần đủ để [β ] ≤ [α] (β ) ≺ (α) Đẳng thức xảy (β ) (α) đồng hay tất , i = 1; n Trường hợp đặc biệt ta có (1, 0, 0, , 0) 1 ( , , · · · , ), ta có bất đẳng n n n thức AG với trọng lượng đơn vị a1 + a2 + · · · + an √ ≥ n a1 · a2 · · · an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an 2.3.3 Các ví dụ Ví dụ 2.9 Cho a, b, c > Chứng minh a3 a3 b3 b3 c3 c3 a b2 c2 ab bc ca + + + + + ≥ + + + + + b3 c3 c3 a3 a3 b3 bc ca ab c a b Ví dụ 2.10 Cho a, b, c > Chứng minh a2 + b2 + c2 + + + ≥ bc + ca + ab + Ví dụ 2.11 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh Footer Page 17 of 126 1 + + ≥ x+y y+z z+x Header Page 18 of 126 2.3.4 16 Biểu diễn bất đẳng thức Schur dạng Muirhead Với số thực dương a, b, c r ta có: ar (a − b)(a − c) + br (b − a)(b − c) + cr (c − a)(c − b) ≥ ⇔ ar+2 + br+2 + cr+2 + ar bc + br ac + cr ab − (ar+1 c + ar+1 b + br+1 a + br+1 c+ + cr+1a + cr+1b) ≥ ⇔ ar+2 + sym ar bc − sym ar+2 + ⇔ sym ar+1 b ≥ sym ar bc ≥ sym ar+1 b sym hay d(r + 2, 0, 0) + d(r, 1, 1) ≥ 2d(r + 1, 1, 0) (dạng Muirhead định lý Schur) Ví dụ 2.12 Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Chứng minh x2 + y + z + x + y + z ≥ 2(xy + yz + zx) Ví dụ 2.13 Cho a, b, c > Chứng minh a a2 + 2bc + b b2 + 2ac + c c2 + 2ab ≤ a+b+c ab + bc + ca Ví dụ 2.14 Cho x, y, z ≥ 0, x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx − 2xyz ≤ Footer Page 18 of 126 27 Header Page 19 of 126 17 Chương Ứng dụng bất đẳng thức giá trị trung bình dạy toán phổ thông trung học Trong chương này, khảo sát thảo luận việc áp dụng số bất đẳng thức biết bất đẳng thức AG, bất đẳng thức Schur, để giải số toán bất đẳng thức trường phổ thông trung học Sau áp dụng chúng mức độ cao để giải số toán cấp thi học sinh giỏi quốc gia, hay thi olympiad nước Làm việc để tạo niềm tin tốt cho học sinh cảm nhận hữu hiệu bất đẳng thức cổ điển việc giải toán 3.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức khác giải số toán chương trình học phổ thông 3.1.1 Áp dụng bất đẳng thức biến Bài toán 3.1 Với ≤ x ≤ 1, ta có: n √ x(1 − xn ) ≤ (n ≥ 1) n (n + 1) n + Ví dụ 3.1 Cho < a, b, c < Chứng minh bất đẳng thức 4 a(1 − b) > , b(1 − c) > , c(1 − a) > có bất đẳng thức sai Ví dụ 3.2 Cho a, b, c dương thoả điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ a b c 3 + + ≥ b2 + c2 a2 + c2 b2 + a2 Bài toán 3.2 Với x > 0, ta có: xn (1 − nx) ≤ Footer Page 19 of 126 , (n + 1)n+1 (n ≥ 2) Header Page 20 of 126 18 a + b + c = Tìm giá trị nhỏ 1 P = + + a(2b + 2c − 1) b(2c + 2a − 1) c(2b + 2a − 1) Ví dụ 3.3 Với < a, b, c < n nx − (n − 1) n−1 Bài toán 3.3 Với x ≥ , ta có: ≤ n x Ví dụ 3.4 Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh P = 3.1.2 a2 − 2(b + c) b2 + − 2(c + a) c2 + − 2(a + b) Áp dụng bất đẳng thức nhiều biến Mục đưa số toán bất đẳng thức nhiều biến thường gặp chương trình toán trường phổ thông trung học từ áp dụng cho việc giải lớp toán có độ khó cao Bài toán 3.4 Cho x, y hai số dương, ta có: x + ≥ y x+y (3.11) Đẳng thức xảy x = y Ví dụ 3.5 Cho x, y, z, t > thoả x + y + z + t = Chứng minh x + y + z + t ≥ 16 Ví dụ 3.6 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh 1 1 ≥ + + a + b − c a − b + c −a + b + c a b c */ Cũng với với bất đẳng thức (3.11) ta viết lại + + 1 ≤ x+y Ta áp dụng để giải vài ví dụ sau: Footer Page 20 of 126 x + y Header Page 21 of 126 19 Ví dụ 3.7 (Câu V đề tuyển sinh ĐH năm 2005) Cho số dương x, y, z thoả mãn x + + y z = Chứng minh 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Bài toán 3.5 Với xi > (i = 1, 2, 3, · · · , n) thoả mãn điều kiện n xi i=1 Chứng minh + xi = n xi ≤ i=1 (n − 1)n Ví dụ 3.9 Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện a 1+a + b 1+b + c 1+c = Chứng minh abc ≤ Ví dụ 3.10 Với a, b > thoả điều kiện 2a 3b + = Chứng minh 1+a 1+b a2 b3 ≤ 1024 */Trường hợp biến lại toán đẹp Ví dụ 3.11 Cho a, b, c số dương thoả mãn a 1+a + Chứng minh 2b 3c + = 1+b 1+c 56 * Ta theo hướng khác, từ ví dụ 3.9 ta chia tử mẫu phân ab2 c3 ≤ thức b , c 1+b 1+c cho b c lúc ta lại toán khác Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 20 Ví dụ 3.12 Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện a 1+a + 1 + = 1+b 1+c Chứng minh a ≤ bc 3.1.3 Sử dụng số chứng minh bất đẳng thức Thuật toán Ta xây dựng phương pháp sau: Bước : Cho biến thay vào điều kiện để xác định biến bao nhiêu? Bước : Sử dụng bất đẳng thức AG với n = 2, 3, 4, 5, thích hợp với số hạng số xác định bước để mô tả điều kiện biểu thức bất đẳng thức Ví dụ 3.13 Với a, b, c dương thỏa a4 + b4 + c4 = 48 Tìm giá trị lớn P = ab2 + bc2 + ca2 Ví dụ 3.14 Với a, b, c dương thỏa a + b + c = 3abc Chứng minh a5 3.1.4 + b5 + c5 ≥ Sử dụng đẳng thức Ví dụ 3.15 Cho a, b, c > Chứng minh a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ a2 + b2 + ab b2 + c2 + bc c2 + a2 + ca Ví dụ 3.16 Cho a, b, c > Chứng minh a4 (a2 + b2) (a + b) 3.1.5 + b4 (b2 + c2) (b + c) + c4 (c2 + a2) (c + a) ≥ a+b+c Thay đổi bậc bất đẳng thức Ví dụ 3.17 Với a, b, c > thoả mãn ab + bc + ca = Chứng minh √ √ √ a + + b + + c + ≤ 2(a2 + b2 + c2 ) Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 21 Ví dụ 3.18 Cho a, b, c > thoả mãn √ √ √ a+b+2+ b+c+2+ c+a+2=6 Chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ Ví dụ 3.19 Với a, b, c > Chứng minh a b+c b + c+a c + a+b > Ví dụ 3.20 Với a, b, c > Chứng minh a b+c 3.2 + b c+a + c a+b > Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân đánh giá đại lượng hình học Bài toán 3.6 Trong tất hình chữ nhật có độ dài đường chéo cho d Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Bài toán 3.7 Trên đường kính nửa đường tròn đường kính AB=2R lấy điểm C; lấy điểm D nửa đường tròn cho AB ⊥ CD Hãy tìm vị trí điểm C cho tích AC.CD lớn Bài toán 3.8 Chứng minh tam giác ABC vuông C có c √ r≤ 2(1 + 2) Bài toán 3.9 Chứng minh tam giác vuông ta có r 0, < < 0, 5, h h đường cao hạ từ đỉnh góc vuông Bài toán 3.10 Chứng minh tam giác ABC ta có a2 + b2 + c2 √ S≤ Bài toán 3.11 Cho hình chóp S.ABC có góc đỉnh S tam diện vuông Gọi S1 , S2 , S3 diện tích ba mặt bên h chiều cao hình Footer Page 23 of 126 chóp Header Page 24 of 126 22 Bài toán 3.12 Đường chéo hình hộp chữ nhật tạo với ba kích thước a, b, c góc α, β, γ Chứng minh a6 cos12 α + b6 cos12 β + c6 cos12 γ ≥ 2178V , với V thể tích hình hộp 3.3 Sử dụng bất đẳng thức giá trị trung bình để giải số toán thi quốc gia quốc tế Bài toán 3.13 (Áo 2000) Cho số thực a b, a = Chứng minh b √ a2 + b2 + + ≥ a a Đẳng thức xảy nào? Bài toán 3.14 (Trung Quốc 1990) Cho số thực dương a1 , a2 , , an thỏa mãn a1 · a2 · · · an = Chứng minh (2 + a1)(2 + a2) · · · (2 + an) ≥ 3n Đẳng thức xảy nào? Bài toán 3.15 (IMO 1993) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh b d a + + ≥ b + 2c + 3d c + 2d + 3a a + 2b + 3c Bài toán 3.16 (IMO 1995) Cho a, b, c > abc = Chứng minh 1 + + ≥ a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) Bài toán 3.17 (Việt Nam 1998) Cho n số thực dương x1 , x2 , , xn (n ≥ 2) thỏa mãn 1 1 + + ··· + = x1 + 1998 x2 + 1998 xn + 1998 1998 Chứng minh Footer Page 24 of 126 √ n x1 x2 xn ≥ 1998 n−1 Header Page 25 of 126 23 Bài toán 3.18 (IMO 2001) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c √ √ √ + + ≥ a2 + 8bc b2 + 8ac c2 + 8ab Bài toán 3.19 (IMO 1984) Cho x, y, z số thực không âm thõa mãn x+y+z =1 Chứng minh ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27 Bài toán 3.20 (IMO 2000) Với a, b, c ba số thực dương cho abc = Chứng minh 1 (a − + )(b − + )(c − + ) ≤ b c a Bài toán 3.21 (Việt Nam 2006-Bảng B) Tìm số thực k lớn cho với số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1, ta có a2 + b2 + c2 + 3k ≥ (k + 1)(a + b + c) (3.35) Bài toán 3.22 (IMO 1983) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ Bài toán 3.23 (IMO 1995) Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh 1 + + ≥ a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 24 Kết luận Luận văn trình bày số bất đẳng thức giá trị trung bình chương trình toán trung học phổ thông; sâu nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Muirhead Trong bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng trung bình nhân, luận văn đưa số ứng dụng vào việc giải số toán chương trình toán bậc trung học phổ thông Bất đẳng thức Schur hệ quả, bất đẳng thức Muirhead không đưa vào khóa chương trình toán phổ thông nên cố gắng trình bày để thấy mối quan hệ với số dạng toán có chương trình toán phổ thông nét đẹp, thuận tiện sử dụng để giải toán có độ phức tạp cao Nhằm bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi góp phần vào nguồn tài liệu toán cho đồng nghiệp Trong phần ứng dụng đề tài, đưa số toán với mức độ phức tạp khác với cách tiếp cận từ việc nghiên cứu bất đẳng thức giá trị trung bình Qua đó, giúp cho em học sinh có đam mê toán học thấy đa dạng linh hoạt giải toán khó Trong trình nghiên cứu, hy vọng luận văn tài liệu tham khảo có ích cho người quan tâm đến bất đẳng thức Footer Page 26 of 126 ... 12 Các bất đẳng thức liên quan đến giá trị trung bình 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Định lý 2.1 [2] (Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hay viết tắt bất đẳng thức. .. bày số bất đẳng thức giá trị trung bình chương trình toán trung học phổ thông; sâu nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Muirhead... cứu số bất đẳng thức giá trị trung bình Ngoài việc nhắc lại bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc mà biết bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, đề tài trình bày hai bất đẳng thức đại