Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THANH THIÊN ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THANH THIÊN ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU ĐÀ NẴNG, 2011 Footer Page of 126 1 Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông, đa thức lượng giác có ứng dụng thật đa dạng hiệu quả, đặc biệt đại số hình học Nhiều toán có lời giải phức tạp giải phương pháp đại số, chẳng hạn số phương trình đa thức có bậc lớn hay lại cho lời giải dễ dàng hiệu phương pháp lượng giác Thực tế, phương pháp lượng giác nói chung biết đến nhiều trình giải toán bậc trung học phổ thông, nhiên với đa thức lượng giác ứng dụng đại số vấn đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc học phổ thông, đồng thời phát ứng dụng đa dạng đại số đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Luận văn "Đa thức lượng giác số ứng dụng đại số" trình bày số vấn đề liên quan đến số đồng thức đại số sinh hàm lượng giác, định nghĩa tính chất đa thức lượng giác với số ứng dụng đại số Đề tài quan tâm đến nhiều đối tượng, đa thức lượng giác vấn đề liên quan hoàn toàn phù hợp với thực tế mà thân công tác MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài "Đa thức lượng giác số ứng dụng đại số" nhằm hệ thống kiến thức đa thức lượng giác ứng dụng phương pháp lượng giác đại số ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu sách chuyên đề đa thức, đa thức lượng giác, toán nội suy, báo Footer Page of 126 2 Header Page of 126 toán học viết đa thức lượng giác, nhằm hệ thống dạng toán có xuất xứ từ lượng giác Đối tượng khảo sát đề tài luận văn lớp hàm lượng giác bản, không sâu khảo sát hàm lượng giác ngược PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi nội dung kiến thức từ xếp, trình bày hệ thống khai thác ứng dụng theo đề tài chọn Nghiên cứu học kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn học viên lớp, đồng thời sử dụng trang web www.mathlinks.ro, www.mathnfriend.net, www.diendantoanhoc.net để học hỏi trao đổi kinh nghiệm Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học lượng giác, đại số, phát triển lực giải toán cho học sinh trường THPT đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Một số đồng thức lượng giác Chương Đa thức lượng giác Chương Một số ứng dụng đa thức lượng giác Footer Page of 126 3 Header Page of 126 Chương MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC LƯỢNG GIÁC Chương trình bày số kiến thức sở hàm số lượng giác, đặc biệt đồng thức đại số sinh hàm số lượng giác 1.1 1.1.1 Tính chất hàm số lượng giác Tính chẵn, lẻ hàm số Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 (xem [1]-[3]) Hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R gọi hàm số chẵn M , M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M f (x) gọi hàm số lẻ M , M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Nhận xét 1.1 Hàm số y = cos x hàm số chẵn; hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ tập xác định chúng 1.1.2 Tính tuần hoàn hàm số Định nghĩa 1.2 (xem [2]-[4]) a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M (1.1) f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M Footer Page of 126 4 Header Page of 126 b) Cho f (x) hàm số tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần hoàn với chu kỳ bé T Nhận xét 1.2 Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số y = tan x, hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π Bài toán 1.1 Cho cặp hàm số f (x), g(x) tuần hoàn M có chu kỳ a b, a với ∈ Q Chứng minh F (x) := f (x) + g(x) G(x) := f (x).g(x) b hàm tuần hoàn M Định nghĩa 1.3 a) Hàm số f (x) gọi phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ b(b > 0) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M (1.2) f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M b) Nếu f (x) hàm số phản tuần hoàn chu kỳ b0 M mà không hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé b0 M b0 gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn f (x) M Bài toán 1.2 Chứng minh hàm phản tuần hoàn M hàm tuần hoàn M Bài toán 1.3 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M f (x) có dạng f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trêm M Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (nhân tính) chu kỳ a(a ∈ / {−1, 0, 1}) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M (1.3) f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Footer Page of 126 5 Header Page of 126 Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hoàn (nhân tính) chu kỳ a(a ∈ / {−1, 0, 1}) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M (1.4) f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.4 Chứng minh hàm số phản tuần hoàn nhân tính M hàm tuần hoàn nhân tính M Bài toán 1.5 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b(b ∈ / {−1, 0, 1}) M f (x) có dạng: f (x) = (g(bx) − g(x)) với g(x) hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trêm M 1.2 Công thức lượng giác đặc trưng hàm hàm số lượng giác 1.2.1 Các công thức biến đổi lượng giác 1.2.2 Đặc trưng hàm hàm lượng giác Phần đưa đặc trưng hàm hàm số lượng giác Nhờ đặc trưng mà ta nhận biết xuất xứ toán có liên quan đến lượng giác, đồng thời áp dụng phương pháp lượng giác để giải toán có hiệu Đặc trưng hàm sin Đặc trưng hàm cosin Đặc trưng hàm tan Đặc trưng hàm cotan Đặc trưng hàm Hyperbolic sin Đặc trưng hàm Hyperbolic cosin Đặc trưng hàm Hyperbolic tan Đặc trưng hàm Hyperbolic cotan Các hàm số hyperbolic có công thức biến đổi tương tự hàm số lượng giác Footer Page of 126 6 Header Page of 126 1.3 1.3.1 Một số đồng thức đại số sinh hàm lượng giác Một số đồng thức liên quan đến hàm cosin Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t = cos2 t − công thức =2 a + a a+ a − Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = cos3 t − cos t công thức a + a =4 a+ a −3 a+ a , hay 4x3 − 3x = với x= 2 a+ a a3 + a3 , a = Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + cos t công thức a + a = 16 a+ a − 20 a+ a hay 16x5 − 20x3 + 5x = với x= Footer Page of 126 a+ a a5 + , a = a5 +5 a+ a , Header Page of 126 Ví dụ 1.4 Cho số thực m với |m| > Tính giá trị biểu thức M = 8x3 − 6x, x= 1.3.2 m2 − + m+ m− m2 − Một số đồng thức liên quan đến hàm sin Từ công thức Euler, ta thu hệ thức eit − e−it i sin t = Từ đây, suy biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực Điều gợi ý cho ta cách chuyển đổi đồng thức hàm số sin sang đồng thức đại số Ví dụ 1.5 Xét công thức khai triển sin 3t = sin t − sin3 t Từ ta thu công thức (hình thức) i sin i(3t) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3 Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức a − a =3 a− a +4 a− a hay 4x3 + 3x = với x= 2 a− a3 − a a3 , a = Ví dụ 1.6 Ứng với công thức biến đổi sin 5t + sin t = sin 3t(1 − 2sin2 t) Footer Page of 126 , Header Page 10 of 126 đồng thức a − a + a− a =2 a − a 1+ Ví dụ 1.7 Cho số thực m Tính giá trị biểu thức M = x3 + x, x= Footer Page 10 of 126 m+ m2 + + m− m2 + 1 a− a Header Page 11 of 126 Chương ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC Do biểu diễn hàm tan cot hàm phân thức sin cos nên chương chủ yếu trình bày đa thức lượng giác theo hàm sin hàm cos 2.1 2.1.1 Đa thức lượng giác theo hàm sin cosin Định nghĩa đa thức lượng giác Định nghĩa 2.1 (xem [2]-[5]) Biểu thức n Ln (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) (2.1) k=1 đó: a0 , ak , bk ∈ R(k ∈ {1, 2, , n}); |an | + |bn | = 0(n ∈ N∗ ), gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với hệ số a0 , ak , bk ∈ R(k ∈ {1, 2, , n}) Định nghĩa 2.2 Nếu đa thức (2.1) tất hệ số bk (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n cos: Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx, (an = 0) (2.2) Nếu đa thức (2.1) tất hệ số ak (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n sin: Sn (x) = a0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx, (bn = 0) Footer Page 11 of 126 (2.3) 10 Header Page 12 of 126 2.1.2 Một số tính chất Tính chất 2.1 Cho Lm (x) Ln (x) hai đa thức lượng giác Khi đó: a)Lm (x) + Ln (x) đa thức lượng giác bậc k , với k ≤ max{m, n} b)Lm (x).Ln (x) đa thức lượng giác bậc m + n Tính chất 2.2 Với đa thức lượng giác Ln (x) dạng (2.1) luôn tồn đa thức đại số Pn (t) Qn−1 (t) cho Ln (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) Tính chất 2.3 Với Sn (x) dạng (2.3) luôn tồn đa thức đại số Qn−1 (t) để Sn (x) = b0 + sin xQn−1 (cosx) Tính chất 2.4 Với Cn (x) dạng (2.2) luôn tồn đa thức đại số Pn (t) để Cn (x) = Pn (cosx) Pn (t) đa thức bậc n t có hệ số an 2n−1 Ngược lại, với đa thức Pn (t) với hệ số từ phép đặt ẩn phụ t = cos x ta biến đổi đa thức Cn (x) dạng (2.2) với an = 21−n Bài toán 2.1 Cho đa thức k (aj cos jx + bj sin jx), (k ≥ 1) f (x) = a0 + (2.4) j=1 cho số α thỏa mãn điều kiện nα = 2π với n > k Chứng minh f (x + α) + f (x + 2α) + · · · + f (x + nα) = na0 (2.5) Bài toán 2.2 Cho đa thức f (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx, bn = 0, thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ |sin x| , ∀x ∈ R Chứng minh rằng: |b1 + 2b2 + 3b3 + · · · + nbn | ≤ Footer Page 12 of 126 (2.6) 11 Header Page 13 of 126 Bài toán 2.3 Chứng minh với giá trị ak ∈ R, đa thức lượng giác f (x) = cos 2n x + a1 cos(2n − 1)x + a2 cos(2n − 2)x + · · · + am cos x, (m = 2n − 1) (2.7) nhận giá trị dấu Nhận xét 2.1 Nếu sử dụng đặc trưng tuần hoàn nguyên hàm F (x) f (x) dạng (2.7) F (x) hàm thực đơn điệu đạo hàm (chính f (x)) luôn dấu Bài toán 2.4 Cho đa thức n fn (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) k=1 số thực a0 , ak , bk ∈ R, thỏa mãn điều kiện fn (x) > 0, ∀x ∈ R, a2k + b2k = 1, (k ∈ {1, 2, , n}) Chứng minh fn (x) − n ≤ 1, ∀x ∈ R a0 2.2 Tổng tích sinh đa thức lượng giác Phần bao gồm toán sau: Bài toán 2.5 Cho cấp số cộng {an } với công sai d Tính tổng n n sin a_k Tn = Sn = k=1 Bài toán 2.6 Tính tổng sau Sn = cos a_k k=1 n n k=1 Bài toán 2.7 Tính tổng sau Sn = n k=1 q n sin (α k=1 q, α, β số thực cho trước Footer Page 13 of 126 k cos kx, với x = 2lπ, (l ∈ Z), k sin kx Tn = n + kβ) Tn = k=1 q n cos (α + kβ), 12 Header Page 14 of 126 Bài toán 2.8 Tính tích sau đây: 2011 P = cos ka k=1 2π 4023 Bài toán 2.9 Tính tích sau đây: biết a = 2011 Q= sin ka k=1 biết a = 2.3 2.3.1 π 4024 Biểu diễn số đa thức lượng giác đặc biệt Định nghĩa đa thức Chebyshev Định nghĩa 2.3 Các đa thức Tn (x)(n ∈ N) xác định sau:  T (x) = 1; T (x) = x, T (x) = 2xT (x) − T (x), ∀n > n+1 n n−1 gọi đa thức Chebyshev (loại 1) Định nghĩa 2.4 Các đa thức Un (x)(n ∈ N) xác định sau:  U (x) = 0; U (x) = 1, U (x) = 2xU (x) − U (x), ∀n > n+1 n n−1 gọi đa thức Chebyshev (loại 2) 2.3.2 Tính chất đa thức Chebyshev A Tính chất đa thức Tn (x) Tính chất 2.5 Tn (x) = cos(n arccos x) với x ∈ [−1; 1] Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 Tính chất 2.6 Tn (x) ∈ Z[x] bậc n có hệ số bậc cao 2n−1 hàm chẵn n chẵn; hàm lẻ n lẻ Tính chất 2.7 Tn (x) có n nghiệm đoạn [−1; 1] là: xk = cos 2k + π, (k = 0, 1, ·, n − 1) 2n Tính chất 2.8 |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1], kπ ,k∈Z n Các điểm x gọi nút nội suy Chebyshev Tn (x) = (−1)k |Tn (x)| = n + điểm x = cos B Tính chất đa thức Un (x) Tính chất 2.9 Un (x) = sin(n arccos x) (1 − x2 , ∀x ∈ (−1; 1) Tính chất 2.10 sin nt Tn (x) = , cos t = x n sin t đa thức bậc n − có hệ số bậc cao 2n−1 hàm chẵn n lẻ; hàm lẻ n chẵn Un (x) = Tính chất 2.11 |Un (x)| ≤ n, ∀x ∈ [−1; 1] |Tn (x)| ≤ n2 , ∀x ∈ [−1; 1] Trường hợp |x| ≥ 1, xét hàm: x e − e−x x e + e−x chx = shx = Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 thì: Tn (x) = ch(nt), Un (x) = sh(nt) sht x = cht Bài toán 2.10 Chứng minh đa thức Un (x) có n − nghiệm thực phân biệt khoảng (−1; 1) Bài toán 2.11 Chứng minh rằng: Un (x) = xUn−1 (x) + Tn−1 (x), ∀n ∈ N∗ , x ∈ R Bài toán 2.12 Chứng minh rằng: Tn+1 (x) = xTn (x) − (1 − x2 )Un (x), ∀n ∈ N, x ∈ R Bài toán 2.13 Chứng minh rằng: (1 − x2 )Tn (x) − xTn (x) + n2 Tn (x) = 0, ∀n ∈ N, x ∈ R Bài toán 2.14 Chứng minh rằng: ∀m, n ∈ N, n ≥ m, x ∈ R thì: Tm+n (x) + xTn−m (x) = 2Tm (x)Tn (x) Bài toán 2.15 Chứng minh rằng: ∀m, n ∈ N, n ≥ m, x ∈ R thì: Tm (Tn (x)) = Tmn (x) Footer Page 16 of 126 (2.8) 15 Header Page 17 of 126 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC Khi giải phương trình đại số, nhiều ta gặp phương trình khó giải kỹ thuật biến đổi phức tạp, số phương trình có nhiều phương trình chuyển phương trình lượng giác việc giải dễ dàng Việc chuyển từ phương trình đại số phương trình lượng giác gọi "lượng giác hóa phương trình đại số" Do giới hạn luận văn nên chương trình bày phương pháp lượng giác việc giải phương trình đa thức phương trình vô tỷ Phần lại phép tính ước lượng đa thức đại số định lý Bernstien - Markov 3.1 Phương trình đa thức giải phương pháp lượng giác 3.1.1 Giải trực tiếp phương trình bậc ba bậc bốn không qua số phức 3.1.1.1 Giải phương trình bậc ba Trước hết ta xét số dạng phương trình đặc biệt Bài toán 3.1 Giải phương trình: 4x3 − 3x = Bài toán 3.2 Giải biện luận phương trình: 4x3 − 3x = m, m ∈ R Bài toán 3.3 Giải biện luận phương trình: 4x3 + 3x = m, m ∈ R Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 Tiếp đến ta xét phương trình bậc ba tổng quát Bài toán 3.4 Giải biện luận phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 3.1.1.2 Giải phương trình bậc bốn Bài toán 3.5 Giải phương trình: x4 + bx3 + cx2 + dx + f = 3.1.2 Một số phương trình bậc cao giải phương pháp lượng giác Bài toán 3.6 (Đề nghị OLYMPIC 30/4/2009) Giải phương trình: 64x6 − 96x4 + 36x2 − = Bài toán 3.7 Chứng minh phương trình: 64x6 − 96x4 + 36x2 − = có nghiệm thực x = x0 thỏa bất đẳng thức: 2+ 2+ √ < x0 < 2+ 2+ √ Bài toán 3.8 Giải phương trình: x5 − 15x3 + 45x − 27 = Bài toán 3.9 (Đề nghị OLYMPIC 30/4/2008) Giải phương trình: 16x6 − 16x5 − 20x4 + 20x3 + 5x2 + 2x − = Bài toán 3.10 Cho đa thức lượng giác Pn (cos x) = cos nx, với n ≥ a) Hãy xác định đa thức Pn (t) với t = cos x b) Giải biện luận phương trình Pn (t) = m Footer Page 18 of 126 (3.1) 17 Header Page 19 of 126 Nhận xét 3.1 Trong số phương trình bậc cao trên, ta thường quy dạng cos mx = cos nx sin mx = sin nx, phương trình đại số liên quan đến đồng thức đại số, chúng có xuất xứ công thức lượng giác đồng thức đại số có xuất xứ từ hàm lượng giác Hyperbolic Do đó, việc tạo phương trình hoàn toàn tự nhiên Để minh họa cho nhận xét này, xin nêu số ví dụ Ví dụ 3.1 Từ công thức sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + sin t π Lấy x = sin t chọn 5t = , ta phương trình: 32x5 − 40x3 + 10x − = π Nếu lấy 2x = cos t 5t = , ta đến phương trình: √ 1024x5 − 320x3 + 20x − = Ta xét tiếp ví dụ khác Ví dụ 3.2 1 a5 − = 16m5 + 20m3 + 5m, a 1 a− ,a = m = a √ 1 Đặt m = x lấy a5 − = 2, ta có toán sau: a Giải phương trình: √ 16x + 20x + 5x − = Từ đồng thức Như vậy, với cách làm đây, ta tạo nhiều toán giải phương trình đa thức khác Việc giải toán phụ thuộc vào cách biến đổi nhận dạng đặc trưng hàm để vận dụng phương pháp giải Hay nói cách khác cần phải biết xuất xứ toán 3.2 Phương trình vô tỷ giải phương pháp lượng giác Bài toán 3.11 Giải phương trình x3 + Footer Page 19 of 126 (1 − x2 )3 = x (1 − x2 ) 18 Header Page 20 of 126 Bài toán 3.12 OLYMPIC 30/4/2011 Giải phương trình: 1+ (1 + x)3 − − x2 (1 − x)3 = + − x2 Bài toán 3.13 (Crux Mathematicorum 1996, Vol.22, No.4, Problem M 2150) Giải phương trình: √ − x = 2x2 − + 2x − x2 Bài toán 3.14 (Mathematicorum Excalibur Vol.8, No.5, 2003) Giải phương trình: √ x3 − 3x = + x Bài toán 3.15 Giải phương trình: − x2 = Bài toán 3.16 Giải phương trình: x 4x2 − √ + 2x − x2 = − 2x2 Nhận xét 3.2 Trong suốt mục này, phần lớn ta lượng giác hóa phương trình vô tỷ dạng sin mx = cos nx, từ đây, ta tìm nghiệm phương trình Ngược lại, xuất phát từ phương trình lượng giác sin mx = cos nx, ta tạo lớp toán phương trình vô tỷ Chẳng hạn, xét ví dụ sau Ví dụ 3.3 Từ phương trình sin 5t = cos 3t, với t ∈ [0; π], ta biến đổi phương trình dạng 16 sin5 t − 20 sin3 t + sin t = cos3 t − cos t ⇔ sin t 16 sin4 t − 20 sin2 t + = cos3 t − cos t ⇔ sin t 16 − sin2 t − 12 − sin2 t + = cos3 t − cos t ⇔ sin t 16 cos4 t − 12 cos2 t + = cos3 t − cos t Lấy x = cos t, ta có toán sau: Giải phương trình: − x2 16x4 − 12x2 + = 4x3 − 3x Footer Page 20 of 126 19 Header Page 21 of 126 Ta xét tiếp ví dụ khác Ví dụ 3.4 Từ phương trình sin t = cos 3t, với t ∈ [0; π], ta biến đổi phương trình dạng: − cos2 t = cos3 t − cos t Đặt x = cos t, ta toán: Giải phương trình 4x3 − 3x = − x2 Đây toán đề nghị Olympic 30/4/2003 - toán 10 Nhưng ta thay x x − toán khó là: Giải phương trình: 4x3 − 12x2 + 9x − = 3.3 2x − x2 Uớc lượng đa thức đại số khoảng định lý Bernstein - Markov Bài toán ước lượng đa thức gồm nhiều dạng toán khác nhau, ước lượng miền giá trị đa thức tập cho trước, ước lượng hệ số đa thức, ước lượng nghiệm đa thức, ước lượng giá trị đạo hàm,· · · Trong phần này, ta có sử dụng công thức nội suy Lagrange, trước hết, xin nêu lại công thức Đồng thức Lagrange Cho f (x) đa thức có bậc không n n + số thực α1 , α2 , · · · , αn+1 đôi khác ta có đồng thức sau: (x − α2 ) (x − α3 ) · · · (x − αn+1 ) + ··· (α1 − α2 ) (α1 − α3 ) (α1 − αn+1 ) (x − α1 ) (x − α2 ) · · · (x − αn ) +f (αn+1 ) (αn+1 − α1 ) (αn+1 − α2 ) · · · (αn+1 − αn ) f (x) = f (α1 ) Hay n+1 f (x) = n+1 f (αj ) j i=1 i=j x − αi αj − αi Ví dụ 3.5 Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c thỏa điều kiện |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 Chứng minh với M ≥ ta có |f (x)| ≤ 2M − với x thỏa |x| ≤ M Ví dụ 3.6 Cho n số thực r1 < r2 < · · · < rn < r1 + Chứng minh rằng: n n ≥ 22n−3 |ri − rj | i=1 j=1 j=i Bài toán 3.17 Cho nhị thức f (x) = ax + b thỏa điều kiện − x2 |ax + b| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh ta có |a| ≤ Bài toán 3.18 Cho nhị thức f (x) = ax + b thỏa điều kiện − x2 |ax + b| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh ta có |f (x)| ≤ 2, ∀x ∈ [−1; 1] Bài toán 3.19 Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c thỏa điều kiện − x2 ax2 + bx + c ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh ta có |a| ≤ Tiếp theo, ta xét toán với công thức tổng quát Bài toán 3.20 Cho đa thức Pn−1 (x) có bậc bé n − hệ số bậc cao a0 , thỏa điều kiện − x2 |Pn−1 (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh rằng: |a0 | ≤ 2n−1 Bài toán 3.21 Cho đa thức Pn−1 (x) có bậc bé n hệ số bậc cao a0 , thỏa điều kiện − x2 |Pn−1 | ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh rằng: |Pn−1 (x)| ≤ n, ∀x ∈ [−1; 1] Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 Áp dụng kết này, với n = ta có: Nếu tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c thỏa điều kiện − x2 ax2 + bx + c ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Thì |f (x)| ≤ Bài toán 3.22 Cho đa thức P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an thỏa điều kiện |P (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ≤ 2n−1 , ∀x ∈ [−1; 1] Nhận xét: Khi n = ta có toán sau Bài toán 3.23 (Liên Xô, 1973) Cho ax2 + bx + c ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh rằng: cx2 + bx + a ≤ 2, ∀x ∈ [−1; 1] Bài toán 3.24 Cho đa thức lượng giác P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + · · · + an sin nt Thỏa mãn điều kiện |P (t)| ≤ 1, ∀t ∈ R\ {· · · , −2π, −π, 0, π, 2π, · · ·} Chứng minh P (t) ≤ 1, ∀t ∈ R\ {· · · , −2π, −π, 0, π, 2π, · · ·} sin t Bài toán 3.25 Cho đa thức lượng giác n P (x) = (aj cos jx + bj sin jx) j=0 thỏa mãn điều kiện |P (x)| ≤ 1, với x ∈ R Chứng minh |P (x)| ≤ n, với x ∈ R Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 Bài toán 3.26 (Định lý Bernstein - Markov) Cho đa thức Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an Thỏa mãn điều kiện |Pn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Chứng minh rằng: Pn (x) ≤ n2 , ∀x ∈ [−1; 1] Nhận xét: Sau áp dụng liên tiếp kết này, ta thu kết Nếu đa thức P (x) thỏa điều kiện |Pn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Thì P (k) (x) ≤ [n (n − 1) (n − 2) (n − k + 1)]2 , ∀x ∈ [−1; 1] Footer Page 24 of 126 (3.2) 23 Header Page 25 of 126 KẾT LUẬN Luận văn trình bày theo hướng hệ thống kiến thức đa thức lượng giác, đồng thời dựa sở đặc biệt khai thác sâu số ứng dụng đa thức lượng giác đại số Trong chương một, tác giả trình bày số kiến thức sở, đặc biệt đồng thức đại số sinh hàm số lượng giác mà chủ yếu liên quan đến hàm cos hàm sin, bên cạnh số ví dụ áp dụng Trong chương hai, tác giả trình bày kiến thức đa thức lượng giác, đến cuối chương phần biểu diễn số đa thức đặc biệt, đa thức Chebyshev, bao gồm đa thức Tn (x) đa thức Un (x) Chương ba chương ứng dụng, nên phần trình bày toán ứng dụng theo thứ tự từ toán đến toán có độ khó tăng dần, tác giả dành nhiều thời lượng cho chương Trong phần đầu chương, tác giả trình bày cách giải phương trình bậc ba phương pháp lượng giác, sau giải số phương trình bậc cao có xuất xứ từ hàm lượng giác Tiếp theo ứng dụng phương pháp lượng giác việc giải phương trình vô tỷ Cũng hai phần ứng dụng này, sau trình bày phương pháp giải, tác giả xuất xứ dạng toán này, đồng thời nêu lên cách tạo phương trình đa thức hay phương trình vô tỷ dựa công thức lượng giác Đối với phần ước lượng đa thức bao gồm toán mang tính tổng quát cuối định lý Bernstein-Markov nói lên mối quan hệ đa thức đạo hàm Trong trình làm luận văn, tác giả có nhiều cố gắng, song chưa khai thác hết vấn đề liên quan đến luận văn, cụ thể phần đảo lại định lý Bersntein-Markov Hi vọng thời gian tới, tác giả tiếp tục khai thác sâu hoàn chỉnh cho đề tài Footer Page 25 of 126  ... Luận văn "Đa thức lượng giác số ứng dụng đại số" trình bày số vấn đề liên quan đến số đồng thức đại số sinh hàm lượng giác, định nghĩa tính chất đa thức lượng giác với số ứng dụng đại số Đề tài... thống kiến thức đa thức lượng giác, đồng thời dựa sở đặc biệt khai thác sâu số ứng dụng đa thức lượng giác đại số Trong chương một, tác giả trình bày số kiến thức sở, đặc biệt đồng thức đại số sinh... đa thức lượng giác Footer Page of 126 3 Header Page of 126 Chương MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC LƯỢNG GIÁC Chương trình bày số kiến thức sở hàm số lượng giác, đặc biệt đồng thức đại số sinh hàm số lượng