Giải toán theo phơng pháp tính Sơ đồ Hoóc-ne: Tính giá trị đa thức P(x) ứng với giá trị biến số x Giả sử ta cần tính giá trị ®a thøc bËc ba P(x) a x3  a1 x  a x  a3 t¹i x = k Đây toán ta đà biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào máy biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào máy nhiên cách làm trở nên cồng kềnh bậc đa thức k có giá trị lớn Trong trờng hợp phơng pháp tính đóng vai trò hữu hiệu Đối với toán cụ thể này, ta viết đa thức đà biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào máy cho dới d¹ng: P(k) (( a k  a1 )k  a )k  a b0 a0 b1 bo k  a1 b2 b1 k  a b3  b2 k  a3  P(k) b3 C¸ch tÝnh thực chất qui tắc bi bi k a i , i đợc lặp lặp lại nhiều lần Cách tính đợc trình bày dới dạng sơ đồ Hoóc-ne (tên nhà toán học Anh Horner 1786 -1837), đợc minh hoạ qua ví dụ sau: Bài 13 Tính giá trị P(x) 5x3  3x  víi x = Lời giải Theo sơ đồ Hoóc-ne ta tính trực tiếp giá trị P(x) đợc bảng sau i 3 bi 5.4  = 17 17.4 + = 68 68.4 + = 278 VËy P(4) = b3 = 278 Nếu ta dùng máy để tính giá trị P(4) theo sơ đồ Hoóc-ne ấn dà biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào máy.y phím sau: SHIFT STO A  ALPHA A  ()   ALPHA A    ALPHA A KQ: 278 Tìm thơng d phÐp chia ®a thøc cho (x - α) Khi chia ®a thøc P(x) a0 x3  a1 x  a x  a3 cho nhÞ thøc (x ) thơng đa thức bậc hai Q(x) b0 x  b1 x  b2 vµ d lµ h»ng sè r, thĨ: 48 P(x) Q(x)  r  a0 x3  a1x2  a2 x  a3 (x   )( b0 x  b1 x  b2 ) b0 x3  (b1  b0  )x  (b2  b1 )x  (r  b2 )  b0 a0 b1 b0   a1 b2 b1   a2 r b2  a3 Nh ta lại dùng đợc sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x ) Bài 14 Tìm thơng d phÐp chia ®a thøc x7  2x5  3x  x  cho x  Lêi gi¶i Ta cã α = 5 a 1, a1 0, a  2, a3  3, a 0, a5 0, a 1, a7  b0 a Dùng máy tính tìm hệ số b d theo qui trình sơ đồ Hoãc-ne Ên () SHIFT STO A  ALPHA A   Ghi   ALPHA A  ()2  Ghi 23  ALPHA A  ()3  Ghi  118  ALPHA A   Ghi 590  ALPHA A   Ghi  2950  ALPHA A   Ghi 14751  ALPHA A +()1  VËy x7 2x5 3x4 + x 1 Ghi 73756 (x  5)( x6  5x5  23x  118x  590x  2950x 14751) 73756 Phơng pháp lặp Nhiều toán thờng dẫn đến việc giải phơng trình f(x) = Có phơng trình phơng pháp đồ thÞ ta cã thĨ thÊy r»ng nã cã mét nghiệm nhất, chẳng hạn nh cosx x = 0, nhng ta tính giá trị gần ®óng cđa nghiƯm ®ã Trong tµi liƯu nµy giíi thiƯu phơng pháp tính, phơng pháp lặp, cụ thể nh sau: 49 - Biến đổi tơng đơng phơng trình f(x) = (1) phơng trình dạng x = g(x) (2) - áp dụng phơng pháp lặp vào phơng trình (2): + Lấy giá trị x1 đó, coi nghiệm gần thay vào (2); nói chung x1 khác g(x1) + Đặt x2 = g(x1) đợc nghiệm gần thứ hai x2 + Đặt x3 = g(x2) đợc nghiệm gần thứ ba x3 + Tiếp tục lặp nh đến bớc thứ n+1 ta đợc xn+1 = g(xn) Dà biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào máy.y x1, x2, x3, , xn, xn+1, dà biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào máy.y giá trị gần nghiệm phơng trình x = g(x), tức nghiệm phơng trình f(x) = Bài 15 Tìm nghiệm dơng gần phơng trình x16 x 0 (1) Lêi gi¶i Ta cã (1)  g(x) 16  x, x1 2 Ên c¸c phÝm  16 SHIFT ^ (  Ans )  ấn lặp phím nhận đợc xn có giá trị không đổi KQ: x 1,128 022 103 Bài thực hành Giải phơng trình: a) 3x2 - 7x - = c) x4 - 18x2 + 32 = Giải phơng trình: a) - x = 2x + x - b) x2 - 2x + = d) x4 - 15x2 - = b) + x - = 15- x 10 Gi¶i phơng trình: a) x3 - 15x2 + = b) x3 - 3x + = c) x3 + x - = d) x3 + 3x2 - x + = 11 Giải hệ phơng trình sau: y x a)      y x x  y  z 11  b) 2x  y  z 5 3x  2y  z 24 12 Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm giá trị đa thức sau: 50 P(x) 5x  2x  x  7x  víi P(x) x  3x  5x  x 2 víi x 5 P(x) 2x  4x  7x  2x  víi x 3 13 Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng d phép chia đa thức 2x  x5  3x2  cho x  tính số trung bình, phơng sai độ lệch chuẩn Để giải toán thống kê ta vào chơng trình MODE sau nhập mẫu số liệu x1, x2, , xn ta Ên phÝm nh sau: x1 DT x2 DT xn DT mẫu số liƯu xi cã tÇn sè n i (i = 1, 2, , m) th× ta Ên phÝm nh sau: x1 SHIFT ; n1 DT x2 SHIFT ; n2 DT xm SHIFT ; nm DT Sau nhËp sè liÖu xong ta tính số trung bình x, độ lệch chuẩn s, phơng sai s2 nh sau: Tính số trung b×nh x ta Ên SHIFT S – VAR = TÝnh ®é lƯch chn s ta Ên SHIFT S – VAR = Tính phơng sai s2 bình phơng cđa ®é lƯch chn ta Ên SHIFT S – VAR = s2 = VÝ dơ 1: KÕt qu¶ häc tập cuối năm An Bình nh sau Môn Toán Vật lí Hoá học Sinh học Văn học Lịch sử Địa lí Anh văn Thể dục Kĩ thuật GDCD §iĨm TbN cđa An 7,5 7,8 8,3 8,2 8,3 Điểm TbN Bình 8,5 9,5 9,5 8,5 5,5 9 8.5 10 51 Tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm môn học An Bình; Xác định xem bạn học lệch Lời giải Sau xoá số liệu cũ lu máy Ta vào chơng trình MODE để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm môn học An Ta nhập số liệu điểm trung bình môn năm môn học nh sau: DT 7,5 DT 7,8 DT 8,3 DT DT DT 8,2 DT DT DT 8,3 DT DT TÝnh sè trung b×nh x ta Ên SHIFT S – VAR =  x = 8,1 TÝnh ®é lƯch chn s ta Ên SHIFT S – VAR =  s 0,555959449 Tính phơng sai s2 bình phơng cđa ®é lƯch chn ta Ên SHIFT S – VAR = x2 =  s2  0,309090909 §Ĩ tÝnh số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm môn học Bình Ta phải xoá số liệu cũ lu máy (ấn phím SHIFT CLR = ) điểm trung bình môn năm môn học An, sau vào chơng trình MODE nhập số liệu điểm trung bình môn năm môn học Bình nh sau: 8,5 DT 9,5 DT 9,5 DT 8,5 DT DT 5,5 DT DT DT DT 8,5 DT 10 DT TÝnh sè trung b×nh x ta Ên SHIFT S – VAR =  x = 8,090909091 TÝnh ®é lƯch chn s ta Ên SHIFT S – VAR =  s  1,662667378 TÝnh ph¬ng sai s2 bình phơng độ lệch chuẩn ta ấn SHIFT S – VAR = x2 =  s2 2,76446281 So sánh phơng sai điểm môn học An Bình ta thấy: Bình học lệch so với An toán thống kê Bài 16 Điểm trung bình môn Toán 12 học sinh tổ nh sau: 3,4; 3,6; 4,5; 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6,0; 6,3; 6,4; 7,2; 7,8 a) Tính điểm trung bình môn Toán tổ b) Tính độ lệch chuẩn phơng sai tổ Lời giải a) ấn MODE2, 3,4 DT 3,6 DT 4,5 DT 4,8 DT 5,1 DT 5,2 DT 5,7 DT 6,0 DT 6,3 DT 6,4 DT 7,2 DT 7,8 DT SHIFT S.VAR = KQ: x = 5,5 b) Ên (tiÕp) SHIFT S.VAR = 52 KQ: s  1,280624847 Ên (tiÕp) x2 = KQ: s2 = 1,64 Bài 17 Một xạ thủ bắn 60 phát súng với số điểm nh sau: Loại điểm Sè ph¸t 6 21 a) Tính điểm trung bình xạ thủ b) Tính độ lệch chuẩn phơng sai tơng øng Lêi gi¶i 10 15 a) Ên MODE2, SHIFT ; DT SHIFT ; DT SHIFT ; DT SHIFT ; DT SHIFT ; 21 DT 10 SHIFT ; 15 DT S.VAR = SHIFT KQ: x = 8,4 b) Ên (tiÕp) SHIFT S.VAR Ên (tiÕp) x2 = = KQ: s  1,462873884 KQ: s2 = 2,14 Chó ý 14 §èi với toán trên, tính kích thớc mẫu (tổng tần số), tổng số liệu, tổng bình phơng liệu cách ấn phím tơng ứng sau: Ên (tiÕp) SHIFT S.SUM  KQ: n = 60 Ên (tiÕp) SHIFT S.SUM  KQ: n x Ên (tiÕp) SHIFT S.SUM  KQ: i i = 504 i i n x = 4362 Sau ®a đủ số liệu với tần số tơng ứng vào máy, lấy kết giá trị thống kê nói theo thứ tự Chỉ riêng giá trị phơng sai phải lấy sau giá trị độ lệch chuẩn tơng ứng Thoát khỏi chơng trình thống kê cách ấn SHIFT CLR = Giá trị lợng giác Máy tính cầm tay giúp ta tìm giá trị lợng giác góc lợng giác đổi số đo độ cung tròn rađian ngợc lại Ví dụ 1: Tính sin (- 9 ) Ta Ên MODE MODE MODE sin ( (-) SHIFT   ) 0,707106781 (  ) VÝ dô 2: TÝnh tg630 52’41” Ta Ên MODE MODE MODE tan 63 2,039276645 Ví dụ 3: Đổi 330 45 rađian ’” 52 ’” 41 0’” =  - =  53 Ta Ên MODE MODE MODE 33 0,589048622 Ví dụ 4: Đổi 3/4 rađian độ 45 ’” SHIFT DRG =  Ta Ên MODE MODE MODE (  ) SHIFT DRG = 420 5819 Bài 18 Đổi góc sau rađian: a) 7152' b) 4212' Lời gi¶i a) Ên 71 ab/c 52 ab/c 60    180  MODE5, 1, KQ: 1,2543 b) Ên 42 ab/c 12 ab/c 60    180  MODE5, 1, KQ: 0,7365 Bài 19 Đổi góc sau độ, phút, giây: ;  ;   16 Lêi gi¶i   ab/c 16  180  a) Ên  MODE4, SHIFT ,,, KQ:  = 3345'  b) Ên ab/c  180  MODE 4, SHIFT ,,, KQ:   12834'17'' c) Ên ab/c   180    MODE4, SHIFT ,,, KQ:   4258'18'' Bµi 20 a) TÝnh sin, côsin tang b) Tính tan ( 12     ) biÕt sin   vµ     c) Cho sin Tìm giá trị lợng giác Lời giải a) ấn MODE4, ab/c12× SHIFT π  SHIFT STO A sin ALPHA A KQ: sin 5  0,9659 (chØ lÊy chữ số thập phân) 12 ấn cos ALPHA A KQ: cos Ên tan 54 5  0,2588 12 ALPHA A KQ: tan 5  3,7321 12 b) Ên tan (   SHIFT sin -1 ( ab/c5 ) +   )  KQ: 0,4272 c) Ên ( SHIFT sin -1 ( ab/c ) ) ×2 SHIFT STO A sin ALPHA A  KQ: sin 2 =  0,96 Ên cos ALPHA A  KQ: cos 2 =  0,28 Ên tan ALPHA A  KQ: tan 2   3,4286 Ên (tiÕp) x-1 KQ: cot 0,2917 Trong hai phần đầu toán trên, đơn vị đo góc rađian Do lúc đầu phải ấn MODE4, Vì giá trị ngợc sin-1 nằm mà góc 2 phần b) lại nằm , nên = sin-1 Đối với phần c) tuỳ chọn đơn vị đo góc độ hay rađian Việc xác định dấu hàm số lợng giác dựa đơn vào máy mà phải dựa vào công thức biến đổi lợng giác Bài 21 TÝnh sin 4012'; cos 5254'37''; tan 7842'25''; cot 3810' Lời giải Vào mode MODE4, a) sin 4012' ấn sin 40 ,,, 12 ,,, KQ: 0,6455 b) cos 5254'37'' Ên cos 52 ,,, 54 ,,, 37 ,,, KQ: 0,6031 c) tan 7842'25'' Ên tan 78 ,,, 42 ,,, 25 ,,, KQ: 5,0077 Ên tan 38 ,,, 10 ,,,  x-1 KQ: 1,2723 Chú ý 12 Khi cần tính toán với đơn vị đo góc độ (hoặc rađian), phải ấn MODE 4,1 (hoặc MODE4, 2) Nếu muốn để chữ số thập phân kết ấn thêm MODE5, 1, d) cot 3810' Bài 22 Tính cos    ; sin ; tan 8 Lời giải Tính đúng: 55  cos 1 2  2   cos    , cos   cos  2 8  sin 2   2  sin   tg   3 2   8 cos  2 Tính gần đúng: đơn vị đo rađian nên chän kiÓu MODE4, 2 Ên   SHIFT STO A cos ALPHA A KQ: 0,9239 sin ALPHA A KQ: 0,3827 tan ALPHA A KQ: 0,4142 Bµi thùc hµnh 14 Tính giá trị lợng giác cung biÕt: a) sin = 1/3; cos = vµ  b) tan =  vµ  <  <  c) cot = vµ  <  < 15 BiÕt tan  <  <  2  cos a a = TÝnh  5sin a 16 BiÕt sina = 4/5 (00 < a < 900), sinb = 8/17 (900 < b < 1800) TÝnh cos(a + b), sin(a  b) 17 TÝnh a) cos2 120  cos2 78  cos2 10  cos2 890 b) sin 30  sin 150  sin 750  sin 870 18 BiÕt cosx = , tÝnh P 3sin x  cos2 x 19 Cho gãc nhän  mµ sin = TÝnh cos vµ tan 20 Cho tanx = 2 TÝnh sinx vµ cosx HƯ thức lợng tam giác Bài 23 Cho tam giác ABC có cạnh AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm 56 a) Chøng minh r»ng ABC vu«ng Tính diện tích ABC b) Tính góc B C c) Đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D Tính DB, DC Lời giải a) AB2 + AC2 = 212 + 282, BC2 = 352 Ên 21 x2 + 28 x2  Ên 35 x2  KQ: 1225 KQ: 1225 VËy AB2 + AC2 = BC2 nên ABC vuông Diện tích ABC = AB AC 21 28 (cm2)  2 Ên 21 × 28   b) sin B  KQ: 294 cm2 AC 28     C = 90  B BC 35 Ên SHIFT sin -1 ab/c5    537'48'' SHIFT ,,, KQ: B   3652'12'' Ên (tiÕp)  () + 90 ,,,  KQ: C c) DB AB 21 DB DB 3         DB  35 DC AC 28 DB  DC  BC 7 ab/c7  35  Ên (tiÕp)  ab/c4 Ên KQ: DB = 15 cm  KQ: DC = 20 cm Bài 24 Các cạnh tam giác ABC lµ AB = c = 23cm, AC = b = 24cm, BC = a = 7cm TÝnh gãc A diện tích tam giác Lời giải a) cos A  b2  c2  a2 242  232  72  2bc 24 23 Ên SHIFT cos-1  SHIFT ,,,  ( ( 24 x2  23 x2  x2 )   24  23 )   1657'27'' KQ: A 1 S  b c sin A  24 23 sin A 12 23 sin A 2 Ên (tiÕp) SHIFT STO A sin ALPHA A  ×12 x 23 MODE5, 1, KQ: S  80cm2 57 ...  47 ,15 9 3,45047 519 ? ?10 345000 47 ,15 9 ? ?1, 6394055 ? ?10 622,5  43, 21 6,65 71 ? ?10 622,5  43, 21 2,6898225 ? ?10 3, 51 ? ?10   2,7 ? ?10 2 2,70035 ? ?10 3, 51 ? ?10   2,7 ? ?10 2 9,477 ? ?10 ... 26,897 1, 46539 41  10 4 b) 432 ,1  567,89 2,45385269  10 5 c) 12 ,34  98,7654 1, 218 765036 d) 12 ,344  9,876543 21 1, 219 160494  10 2 e) 0,0093786  0,00053294 = g) 5247624 ? ?18 72239 (5247 ? ?10 3 ... 624)  (18 72 ? ?10 3  239)  h) (   5)(   )(   5)(  3 5)  ?  ? i) M ? ?1   A ? ?1 579 932  (1  3)  10 (1  3)2  10 0 (1  3)3  10 00 (1  3)4  10 000 (1  3)5 ? ? Bài (Giỏi máy tính)