Nhóm PI Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay mơn Tốn Nguyễn Quang Hưng – Nguyễn Thành Tiến Phần Hình học 12 Phương pháp tọa độ không gian Năm 2017 – Tháng – Ngày 10 – Thứ tư Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page Lời mở đầu Đây tài liệu thành viên NHÓM PI thực Các tập trích chủ yếu lấy đề thi thử,bài giải làm cách chi tiết, nên có số chỗ dài so với bình thường Nếu người có góp ý giải hay phát sai sót tài liệu xin đưa lên ý kiến group NHÓM PI Link group : https://www.facebook.com/groups/NhomPI/ Dẫu cố gắng làm cẩn thận khó tranh khỏi sai sót, mong bạn thơng cảm Cảm ơn bạn đọc tài liệu Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page Câu : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  qua M  2;3;5  cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho giá trị OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P  : A 18 91 B 24 91 C 16 91 D 32 91 Giải : Theo giả thuyết ta có :  P  :    a b c b  3a 32 Do a, b, c theo thứ tự cấp số nhân có cơng bội      1 a  a a 9a c  a 32  d  I ;  P    91 -Câu : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho M 1; 2;3 , gọi  P  : px  qy  rz    q, p, r   mặt phẳng qua M cắt trục toạ độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trọng tâm ABC Tính T  p  q  r : 11 11 A T   B T  18 C T  D T  18 18 18 Giải : Do  P  cắt trục toạ độ Ox, Oy, Oz A, B, C  A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a.b.c    P : x y z   1 a b c  x A  xB  xc  3xM a  11   Do M trọng tâm ABC   y A  yB  yC  yG  b   T   18  z  z  z  3z c   G  A B C -Câu : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho M 1; 2;3 , gọi  P  : px  qy  rz    q, p, r   mặt phẳng qua M cắt trục toạ độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm ABC Tính T  p  q  r : 77 77 A T  B T  C T   D T   Giải : Do  P  cắt trục toạ độ Ox, Oy, Oz A, B, C  A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a.b.c  x y z 1 1   P  :     véctơ pháp tuyến mặt phẳng  P  v  P    ; ;  a b c a b c Ta có OABC tứ diện vng O có H trực tâm ABC  AH  BC Mặc khác : OA  BC  OA   OBC   Vậy BC  OAH   BC  OH Chứng minh tương tự ta có AB  OH Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page  M   P   OH   ABC  Vậy từ ta có :  OM / / v P   a  14   b   T    14 c     Câu : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a  3; b  2; a, b  1200 Gọi vecto       p  2a  b ; q  a  2b Tính cos p, q 39 A B   39  C 39 D 39 Giải : 2 Ta có : p.q  2a  b a  2b  a  3ab  b  2.32  3.3.2.cos1200  2.22  2 p  a  4ab  b  4.32  4.3.2.cos1200  22  48 2 q  a  4ab  b  32  4.3.2.cos1200  4.22  13    cos p, q  p.q p q  A 39 -Câu : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm mặt phẳng  P  : x  y  3z   Biết M , N điểm đối xứng qua mặt phẳng  P  , M  mặt cầu  C  : x   y    z  Hỏi N thuộc mặt cầu : 40 24 45 y z 0 A x  y  z  x  7 7 40 24 45 y z 0 B x  y  z  x  7 7 40 24 45 y z 0 C x  y  z  x  7 7 40 24 45 y z 0 D x  y  z  x  7 7 Giải : Gọi I tâm mặt cầu  C   I  0; 4;0   20 12  Gọi I ' đối xứng I qua  P   I '  ;  ;  7 7 Theo yêu cầu tốn ta có :  20 12  M   C  có tâm I  0; 4;0  bán kính R   N   S  có tâm I '  ;  ;  bán kính R  7 7 40 24 45   S  : x2  y  z  x  y z 0 7 7 -Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page Câu : Trong khơng gian với  P  : x  y  z   0, A 1;1;1 , B  0;1;  , hệ trục C  2;0;1 độ tọa Oxyz , cho mặt M  a; b; c    P  phẳng cho S  2MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Khi giá trị T  3a  2b  c : 25 25 25 25 A T  B T  C T   D T   4 2 2 Giải :  5 Gọi I điểm thỏa IA  IB  IC   I  0; ;   4       2MI  IA  IB  IC   4MI 2 Ta có : S  2MA2  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC  4MI  IA2  IB  IC 2   2IA2  IB  IC Do 2IA2  IB2  IC  const nên Smin  MI  M hình chiếu I  P  25  3 1  M  ; ;   T    4 -Câu : Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A 1;0;  , B  3;1; 1 mặt phẳng  P  : x  y  z 1  Gọi điểm M  xo ; yo ; zo    P  cho 3MA  MB đạt giá trị nhỏ Tính A  xo  yo  zo A C Giải Gọi I điểm thỏa 3IA  2IB   I  3, 2,8  B    D  Ta có 3MA  MB  IA  IM  IB  IM  3IA  IB  IM  IM  IM Vì I cố định, M   P  nên 3MA  MB đạt giá trị nhỏ  IM đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu I mặt phẳng  P  Gọi  d  đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng  P   vtcp a d   vtpt n P   1,1,1   d  : x  3  t , y  2  t , z   t  11 8 22  M  d    P  M  , ,  A3  3  -Câu : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  z   ba điểm A 1; 2; 1 , B  3;1; 2 , C 1; 2;1 Điểm M  a; b; c    P  cho MA2  MB2  MC đạt giá trị lớn Khi tổng A  a  b  c ? 20 14 A A  B A  9 Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI C A   20 D A   14 Page Giải:  MA   a  1   b     c  1  2  Ta có:  MB   a  3   b  1   c    2 MC   a  1   b     c  1   2 2  MA2  MB  MC   a  6a  b  6b  c  26  44   a  3   b  3  c    2 2 Vậy  MA2  MB  MC max   a  3   b  3  c   MI với I  3; 3;0    Mà I  3; 3;0  cố định nên MI  M hình chiếu I mặt phẳng  P  Gọi  d  đường thẳng qua I  3; 3;0  vng góc với mặt phẳng  P  , ta có: x   t  d  :  y  3  2t  z  2t  Vì M   d   M   t ; 3  2t; 2t  M   P     t    3  2t    2t     t  4  23 35 8  M ; ;   9  20 -Câu : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;0  , B 0;1;1 , C 1;0;1  Tìm  abc  hợp tất điểm M mặt phẳng Oxz cho MA.MB  MC  A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đường elip D Không xác định Giải: AB   1;0;1  AB  Gọi I trung điểm AB  I  ;1;  cố định IC  2 2      Ta có: MA.MB  IA  IM IB  IM   IA2  IM IA  IB  IM   AB  IM    IM 3   Gọi J trung điểm IC  J  ; ;  cố dịnh MJ đường trung tuyến MIC 4 4 Vậy MA.MB  MC   MI  MC  IC 14  MI  MC  2MJ   JM   JM   JM   const 2 14 Mà J cố định nên M di động mặt cầu  S  tâm J với bán kính R   Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page Mặt phẳng Oxz có phương trình y   d  J ,  Oxz    tròn  C  14   R   S    Oxz  đường Vậy M di động đường tròn  C  -Câu 10 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  2t; 2t ;0  , B  0;0; t  ,  t   Cho điểm P di động thỏa: OP AP  OP.BP  AP.BP  Tìm giá trị t cho OPmax  B t  C t  A t  3 D t  Giải: OP AP  OP.BP  AP.BP   OP OP  OA  OP OP  OB  OP  OA OP  OB            3OP  2OP OA  OB  (Vì OA.OB  )  3OP  2OP.OI  (với I điểm thứ tư hình bình hành AOBI  I  2t ; 2t; t  ) 2  4t 4t 2t   3OP  3OP.OJ  (với J thỏa OJ  OI  J  ; ;  3 3       OP  OP.OJ   OP OP  OJ   OP.JP   MP  MO MP  MJ  (với M  2t 2t t  trung điểm OJ  M  ; ;   3 3  MP  MO.MJ   MP  MO   MP   MO   t  MP   t Vậy P di động mặt cầu  S  tâm M với bán kính R   t Nên OPmax  P  OM   S  OM , OP hướng 2  2t   2t   t  Khi OPmax  OM  R            t  t   t     3 t  t   2 OPmax   t   t    t   t    2 1  t   6t  t t  -Câu 11 :Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  2; 2;1 , A 1; 2; 3 đường x 1 y  z Tìm véctơ phương u đường thẳng  qua M , vng góc với   2 1 đường thẳng d đồng thời cách A khoảng cách lớn A u   4; 5; 2  B u  1;0;2 C u   3;4; 4 D u   2;2; 1 thẳng d : Giải : Gọi  P  mặt phẳng vng góc với d qua M Gọi H hình chiếu A  P  Gọi N hình chiếu H d  AN     ( định lí đường vng góc )  d  A;      AN Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page Ta có : AN  AM Dấu "  " xảy N  M   đường thẳng qua M   MH Tính tốn ta có : u   4; 5; 2  -Câu 12 :Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  2; 2;1 , A 1; 2; 3 đường x 1 y  z Tìm véctơ phương u đường thẳng  qua M , vng góc với   2 1 đường thẳng d đồng thời cách A khoảng cách bé A u   2;1;6 B u  1;0;2 C u   3;4; 4 D u   2;2; 1 thẳng d : Giải : Gọi  P  mặt phẳng vng góc với d qua M Gọi H hình chiếu A  P  Gọi N hình chiếu H d  AN     ( định lí đường vng góc )  d  A;      AN Ta có : AN  AH Dấu "  " xảy N  H   đường thẳng qua M , H Tính tốn ta có : u  1;0;2 -Câu 13 : Trong không gian với hệ tọa độ xyz, cho điểm A 1; 2; 3 cắt mặt phẳng  P  : x  y  z   Đường thẳng qua A có véctơ phương u  3;4; 4 cắt  P  B Điểm M thay đổi  P  cho M ln nhìn đoạn AB góc 900 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB qua điểm điểm sau : A J  3; 2;7  B H  2; 1;3 C K  3;0;15  D I  1; 2;3 Giải : Gọi H hình chiếu A  P   AH   P   AH  MB Vì M ln nhìn đoạn AB góc 900 nên AM  MB Vậy MB   AHM   MB  HM  M chạy tung tăng đường tròn đường kính MH  M  B  Vậy MBmax M  H  x  2  t  Tính tốn ta có :  MB  :  y  2  MB qua I  1; 2;3  z   2t  -x 3 y 2 z 5   Câu 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng  d1  : 2 x2 y4 z4    d  : Gọi    đường phân giác góc tù tạo hai đường 4 thẳng  d1  ,  d     có phương trình là: Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page x  1 t  B    :  y  2t z  t   x   5t  A    :  y  6t  z  9t  x  1 t  C    :  y  2t z  t   x   5t  D    :  y  6t  z  9t  Giải: x 3 y 2   x  y  x    y 2 z 5   Xét hệ:    5 y  z    y  Ta nhận thấy  y  z  z    y4 z4   4  Vậy A 1;0;0   d1    d   d1  có  A 1;0;0    d1    A 1;0;0    d  vtcp a1   2;2;5 ,  d  có vtcp a2  1;4;4       Ta có: a1.a2  30   a1; a2  900  a1; a2 góc nhọn  a1 ; a2 góc tù Gọi B điểm thỏa AB  a1  B  3;2;5   d1  C điểm thỏa AC  a2  C  0; 4; 4   d2   d1  ,  d2  Vậy BAC góc tù tạo hai đường thẳng Do    đường phân giác BAC Ta có: AB  a1  33, AC  a2  33  AB  AC  ABC cân A     đường trung tuyến từ A ABC   vtcp a   1 3 A 1;0;0  , M  ; 1;  2 2 1 1  AM   ; 1;  2 2 qua trung điểm BC     có x  1 t    có a   1; 2;1 qua A 1;0;0      :  y  2t  B z  t  -Câu 15 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 2; 1 , B  0; 4;0  mặt phẳng  P  : x  y  z  2015  với  P  Tính cos  A Gọi  góc nhỏ mặt phẳng  Q  qua điểm A, B tạo B Giải : C D Theo cách hình học : Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page Gọi H hình chiếu A mặt phẳng  P  , d giao tuyến  P  ,  Q  , I giao điểm AB mặt phẳng  P  , J hình chiếu H d  Góc mặt phẳng AH AJ  Góc AB  P  , Q góc AJH với sin AJH  sin AIH  AH AI mặt phẳng  P góc AIH với Dễ dàng chứng minh d   AJH   IJ  AJ  AIJ vuông J  AJ  AI  sin AJH  sin AIH Dấu "  " xảy d  IH Vậy  P ;  Q    AIH góc AB mặt phẳng  P    Cách đại số : vtcp u AB   1; 2;1   Ta có : vtpt nQ    a; b; c   u AB nQ    a  c  2b    AB   Q  vtpt n P    2; 1; 2  Ta có cos  góc  P  ,  Q   cos    cos   2a  b  2c a  b2  c  b 2a  4ab  5b b2 2a  4ab  5b Xét b   cos   Xét b   cos   a  t   2t  4t   b Tính tốn ta có :  cos    1  2t  4t  1  cos   3 -Câu 16 : Cho M 1, 2,3 , A  a, 0,  , B  0, b,  , C  0, 0, c  a,b,c số dương Tìm mặt Nói tóm lại max cos   phẳng  P  qua A, B, C, M cho VOABC đạt giá trị nhỏ Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page 10  S1  có tâm I1  2;0;1 Giải : bán kính R1  11 2  x  2  y   z  12  11   x    y   z  1  11 1 Ta có hệ:     2 x  y    x   y   z   17         2 phương trình mặt phẳng  Q  : x  y  Vậy hệ   tương giao mặt cầu  S1  mặt phẳng  Q  d  I1;  Q   2   11  R1 12  12 Vậy  Q  cắt  S1  với giao tuyến đường tròn  C  giao tuyến  S1  ,  S2    P    Q  : x  y  Mà  OAB  : z    P    OAB  Tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng AO, OB, BA bốn đường thẳng d1 , d , d3 , d vng góc mặt phẳng  OAB  qua tâm đường tròn tiếp ba tâm đường tròn bàng tiếp OAB Vậy bốn đường song song hay chứa  P  Gọi      P    OAB      : x  y  với ptđt    mặt phẳng  Oxy  Trong mặt phẳng Oxy , ta có    : x  y  đường phân giác góc O OAB Vậy    qua hai tâm bàng tiếp góc A, B Vậy hai bốn đường d1 , d , d3 , d chứa  P   có vơ số tâm mặt cầu có tâm thuộc  P  tiếp xúc với ba đường thẳng AO, OB, BA -Câu 30 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  :  x  2  y   z  1  17  S2  :  x  1   y  3   z  1  11 hai điểm A  3;0;0  , B  0; 4;0  Gọi  P  mặt phẳng chứa giao tuyến  S1  ,  S2  Hỏi có mặt cầu có tâm thuộc  P  tiếp xúc với ba đường thẳng AO, OB, BA 2 A Khơng có mặt cầu  S1  B C D Vô số mặt cầu Giải : có tâm I1  2;0;1 bán kính R1  17 2  x  2  y   z  12  17   x    y   z  1  17 1  Ta có hệ:    2 x  y  2    x  1   y  3   z  1  11   2 phương trình mặt phẳng  Q  : x  y   Vậy hệ   tương giao mặt cầu  S1  mặt phẳng  Q  d  I1;  Q    2  12  12  2  17  R1 Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 18 Vậy  Q  cắt  S1  với giao tuyến đường trịn  C  giao tuyến  S1  ,  S2    P    Q  : x  y   Mà  OAB  : z    P    OAB  Tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng AO, OB, BA bốn đường thẳng d1 , d , d3 , d vng góc mặt phẳng  OAB  qua tâm đường tròn tiếp ba tâm đường tròn bàng tiếp OAB Vậy bốn đường song song hay chứa  P  Gọi      P    OAB      : x  y   với ptđt    mặt phẳng  Oxy  Trong mặt phẳng  Oxy  , gọi  d  : x  y  0,  d ' : x  y  đường phân giác trong, phân giác ngồi đỉnh A OAB Ta có    / /  d '     khơng qua tâm đường trịn bàng tiếp góc A, B Gọi I       d   I 1,1 Ta có  OA : y  0,  OB  : x  0, x  y  12  Ta xét thấy d  I , OA   d I ,OB  d I ,AB   I cách ba cạnh ABC  I tâm mặt cầu nội tiếp hay tâm bàng tiếp góc O OAB Vậy bốn đường d1 , d , d3 , d chứa  P   có vơ số tâm mặt cầu có tâm thuộc  P  tiếp xúc với ba đường thẳng AO, OB, BA -Câu 31 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S  có phương trình x  y  z  50 z  1 mặt cong  P  có phương trình x2 y   z   Biết  S    P  có giao 25 16 tuyến đường trịn Tính bán kính đường trịn A 20 B 45 C 15 D 25 Giải : 25 y thay vào 1 ta có : Từ    50 z  x  16  y  z    9 y  z2    Kết hợp với 1 ta có mặt phẳng giao với mặt cầu 16 3 y  z     1 có tâm I  0;0; 25  bán kính R  25 Ta có :      d  I ;     20  R     1 đường trịn có R   R  d  I ;    d  I ;      20  R      1 đường trịn có R   R  d  I ;   2  15  15 Vậy R   R    15 Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 19 -Câu 32 :Trong không gian với hệ trục ,cho Oxyz điểm A 1;0;0  , B  2;0;3 , M  0;0;1 , N  0,3,1 ,mặt phẳng  P qua điểm M , N d  B;  P    2d  A;  P   ,có mp thỏa mãn đề A B C vơ số D khơng có mặt phẳng Giải : Ta có điểm A, B, M , N điểm đồng phẳng , MN không song song AB Gọi I   P   AB ( AB không song song  P  ) Trường hợp : I nằm AB , mà d  B;  P    2d  A;  P   AI  AB ( ta-let)  I  4;0; 3 Trường hợp : I nằm đoạn AB , mà d  B;  P    2d  A;  P   IB  IB ( ta-let)  I  0;0;1   P  qua điểm cố định Do M , N , A, B, I đồng phẳng nên I  MN  I , M , N thẳng hàng  có vơ số mặt phẳng ( trường hợp ) -Câu 33 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A  2;5; 3 , B  2;1;1 , C  2;0;1 mặt phẳng   : 3x  y  5z   Gọi điểm D  xD ; yD ; zD   yD   thuộc   cho có vơ số mặt phẳng  P  qua C, D thỏa khoảng cách từ A đến  P  gấp lần khoảng cách từ B đến  P  Tính P  xD  yD  zD A P  2 B P  1 C P  D P  Giải : Theo đề ta có d  A,  P    3d  B,  B    AB không song song với  P  AI d  A,  P      AI  3BI Xét AB   P  , ta có  I   AB   P   BI d  A,  B    AI  3BI  I  4; 1;3     P  qua hai điểm cố định  I  1; 2;0   AI  3BI I  4; 1;3 hay I  1; 2;0  Nếu AB   P    P  qua hai điểm cố định Vậy để có d  A,  P    3d  B,  B    P  qua I  4; 1;3 hay I  1; 2;0  Theo để bài, có vơ số mặt phẳng  P  qua C, D thỏa d  A,  P    3d  B,  B    I , C , D thẳng hàng Nói cách khác D  IC Với I  4; 1;3 , ta có IC :  x   6t; y  t; z   2t  D   6t; t;1  2t  Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 20 Mà D     t  1  D  4; 1;3 loại yD  1  Với I  1; 2;0  , ta có IC :  x   3t; y  2t; z   t  D   3t ; 2t ;1  t  Mà D     t  2  D  4; 4; 1 nhận yD    P  1 -Câu 34 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0;1 với a, b  a  b  Tìm giá trị nhỏ bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A R  B R  C R  D R  Giải : Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC a b 1  a 1 a  Từ cách dụng hình ta có : I  ; ;  , mà b   a  I  ; ;   2 2  2 2 a2   a  a2 a 1 1  OI        Dấu "  " xảy a   I  ; ;     2 4 2 -2 Câu 35 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  ,  a, b, c   thỏa  a   b   c  k  k  , k  const  ,       Khi a, b, c thay đổi quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ln thuộc mặt phẳng cố định Tìm phương trình mặt phẳng k A  P  :  x   y   z  k  C  P  :  x   y   z   k B  P  :  x   y   z   D  P  :  x   y   z  k  Giải : a b c Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC  I  ; ;  ( cách dựng hình ta dễ dàng tìm  2 2 ) a  b   c k   xI   y I   z I   2 Vậy tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC di động mặt phẳng cố định k  P : x   y   z   -Câu 36 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  qua điểm A  2; 2;5 tiếp xúc với mặt phẳng   : x   0;    : y   0;   : z   Tính bán kính mặt cầu A 33 B Gọi tâm mặt cầu  S  I  xI ; yI ; zI  C D Giải : Ta có B 1; 1;1 tọa độ giao điểm mặt phẳng Do mặt phẳng   ;    ;   đôi cắt  mặt phẳng chia không gian làm phần  Tâm I điểm A thuộc phần Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 21  xA   xI    Do  y A  1   yI  1 z  z   A  I   xI   y I  xI   y I   z I      xI  z I  2  xI    xI     yI     zI    2  xI    xI      xI     xI    xI   y I  xI      xI  z I   yI  4  I  4; 4;   IA   z   I  xI  xI  16  -Câu 37 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A  3;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;6  , D  6;0; 6  Gọi  đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ A, B, C đến  đạt giá trị lớn Vậy  qua điểm M sau : A M  8;3; 4  B M  8;3; 3 C M  4; 3; 7  D M  4; 3; 6  Giải : x y z Phương trình mặt phẳng qua A, B, C có dạng:    Ta nhận thấy điểm D   ABC  Gọi A ', B ', C ' hình chiếu A, B, C  , ta có: ADA ' vng A '  AA '  AD  const Đẳng thức xảy    AD  BB '  BD  const Lập luận tương tự ta có:  CC '  CD  const   BD Đẳng thức xảy     CD Vậy AA ' BB ' CC '  DA  DB  DC  const   AD  Đẳng thức xảy    BD     ABCD    CD   vtcp a  vtpt n ABCD   x   2t    2,3,1   :  y  3t t   z  6  t   Qua M  4; 3; 7  -Câu 38 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2   y    z  Tìm tọa độ điểm A thuộc tia Oy Biết ba mặt phẳng phân biệt qua A đơi vng góc cắt mặt cầu theo thiết diện ba hình trịn có tổng diện tích 11 A 0; 2; A 0; 0; A 0; 6; A 0; 2; A B C D A 0; 6; A 0; 8; A 0; 0; A 0; 8; Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 22 Giải: Gọi ba mặt phẳng phân biệt qua A đôi vuông góc  Atm  ,  Amp  ,  Apt  Mặt cầu  S  cắt  Atm  ,  Amp  ,  Apt  theo ba hình trịn  C1  ,  C2  ,  C3  có bán kính R1 , R2 , R3 Mặt cầu  S  có tâm I  0; 4;0  bán kính R  Gọi B, C , D hình chiếu I  Atm  ,  Amp  ,  Apt   B, C , D tâm  C1  ,  C2  ,  C3  Ta có: R12  R  IB , R22  R  IC ,  C1  ,  C2  ,  C3  là: Tổng diện tích ba hình trịn   R32  R  ID2    R12   R22   R32   R12  R22  R32   3R  IB  IC  ID       15  IB  IC  ID   11    IB2  IC  ID2   IA2   IA  1 Vì A thuộc tia Oy nên A  0; a;0  a    a   A  0; 2;0  IA    a        a   A  0;6;0  Ta chứng minh IB  IC  ID  IA2 Gọi A ' hình chiếu I Ap , chứng minh IDA ' C hình chữ nhật  IA '2  IC  ID  IA '  AB Đồng thời ta chứng minh ABIA ' hình chữ nhật   2  AB  IB  IA Vậy ta chứng minh xong IB  IC  ID  IA2 -x 1 y  z 1   Câu 39 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng  : mặt 1 2 cầu  S  :  x  1   y     z  3  27 Tìm điểm M   kẻ đường thẳng tiếp xúc với  S  A, B, C cho ABC AMB  CMA  600  M  1; 2;1  M 1; 2;1  M  1; 2;1    A    B    C    M ; ; M ; ; M ; ;   3    3    3   M  1; 2;1  D    M  ; ;   3  Giải : Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 23 Gọi I tâm  S  Vì MA, MB, MC tiếp tuyến nên MA  IA, MB  IB, MC  IC  MAI , MBI , MCI tam giác vng có chung cạnh huyền MI Ta có : IA  IB  IC  R S   MAI  MBI  MCI  MA  MB  MC  M  trục đường tròn ngoại tiếp ABC A, B, C   C    M , MA   S  với  M , MA mặt cầu tâm M , bán kính MA Gọi J trung điểm AC  J tâm dường tròn ngoại tiếp ABC IA  IB  IC  R  I  trục đường tròn ngoại tiếp ABC  M , J , I thẳng hàng  MI , AC đồng phẳng Xét mặt phẳng  AICM  , gọi đường tròn  C '   S    AICM  có tâm I , ta có: MA, MC tiếp tuyến  C '  IMA  CMA  600 IA 2R  IM    sin 60 IAM vng A có IMA  600    AM  IA.cot 600  R  R MAI vng A có AJ đường cao  AJ   RC  AMB cân M có AMB  600  AMB  AB  AM  R B  C   Vì   tồn hai điểm B thỏa AMB  600 R  R  RC   AB   2R thỏa yêu cầu đề Vậy với IM  -Câu 40 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z    Q  : x  y  z   Gọi  S  mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời  S  cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến đường trịn có bán kính  S  cắt mặt phẳng  Q  theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Xác định r cho có mặt cầu  S  thỏa mãn yêu cầu A r  B r  2 C r  D r  Giải: Gọi I  a;0;0  R  tâm bán kính mặt cầu  S  d  I ,  P    a 1 d  I,  Q    2a  Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 24     Ta có:      a  12 2   R2  d  I ,  P    22  R 2a  1   a  1      r2   2 2   2a  1 d  I ,  Q    r  R  r  R2     a  2a  2r   1 1 phương trình bậc hai với a ẩn số r tham số Để có mặt cầu  S  thỏa mãn u cầu có tâm I  a;0;0  Khi 1 có nghiệm nhất:  '1     2r     r  r  r  0 2 thỏa yêu cầu toán -Câu 41 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A  0; y A ; z A  , B  0; yB ; zB  , C  1;0;0  , D 1;0;0  y A ; yB ; z A ; zB thay đổi thỏa Vậy r  y A2  z A2  yB2  zB2  Biết AC , BD tiếp xúc với mặt cầu cố định bán kính R Xác định bán kính mặt cầu A R  B R  C R  D R  2 2 Giải : Ta có :  xA  xB   A, B thuộc mặt phẳng  yOz     0    yA     zA  2        yB     z B   2  A, B thuộc mặt cầu tâm O ,bán kính R  Từ điều ta có : A, B thuộc đường trịn tâm O , bán kính R   OA  OB   CD  AB CD  yOz       Ta thấy : OAC  OBD  c.g.c   Đường cao hạ từ đỉnh O tam giác Gọi H , K hình chiếu O AC , BD  OH  OK   const A Vậy AC , BD tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R  Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHĨM PI Page 25 Câu 42 : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A  4;0;0  , B  0;0; m  , m  C  2; 4;0  Gọi D hình chiếu vng góc O  0;0;0  lên đường thẳng AB Biết có mặt cầu luôn tiếp xúc với đường thẳng CD điểm D Tính bán kính mặt cầu A B C D Giải Ta có OD  AB  ODA  900 Mà D  AB   Oxz  nên D di động đường tròn  C  chứa mặt phẳng  Oxz  có tâm J trung điểm OA bán kính RC   JA  J trung điểm OA  J  2,0,0  JC   0, 4,0  JC   Oxz    C   JC trục đường tròn  C  JC   I  JC Gọi I tâm mặt cầu  S  mà CD tiếp xúc D    ID  CD IDC vng D , có JD đường cao  JD2  JI JC  JI  Mà IJD vuông J  ID  JD  JI  -Câu 43 : Trong không gian với hệ toa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a 2 A  O , B  a;0;0  , D  0; a;0  Hai điểm M , N di động hai cạnh BD, B ' A cho BM  B ' N Gọi  ,  góc tạo đường thẳng MN với đường thẳng BD, B ' A Giả trị A  cos2   cos2  bao nhiêu? A A  B A  C A  D A  Giải: Gọi cạnh hình lập phương b , ta có: AD  AB  BB '  b Ta có ABB ' vng cân B ABD vuông cân A  B ' AB  AB ' B  ABD  ADB  450   BD  B ' A  b Nếu BM  B ' N  nghĩa M  B, N  B ' , ta có: cos   cos B ' BD  cos 900   2   cos   cos   cos   cos AB ' B  cos 45    Đến ta chọn đáp án :))))))) Nếu BM  B ' N  b nghĩa M  D, N  A , ta có: Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 26  cos   cos ADB  cos 45   cos   cos    cos   cos DAB '  cos 900   Nếu BM  B ' N  x với x   0; b  , Gọi I hình chiếu N AB , ta có:  AN  AB ' B ' N   b  x   IA  IN  b  x   BI B ' N BM    B ' N  BM , B ' A  BD   NI / / BB '   BA B ' A BD   AB   MNI   AB  MN  MI / / AD (Thalès đảo)  MI  AB     IM  IB  x  BH  HM  AH  HN Gọi H hình chiếu I MN  MN  IH  MN   AHB     MH MH MH 2 cos     cos    MB x 2 x2   NH NH NH cos     cos    NA  b  x  2 b  x   2  MH NH MH MN  IM  x   MIN vng I có IH đường cao   2 x b  x NH NM  IN  b  x       2 MH NH MH MN x2 MH Vậy cos   cos   MH NH         2 2 2 x 2x 2x 2x b  x -Câu 44: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A  1;2;0  , B 2; 3;2  Gọi  S  Kết luận: cos   cos   mặt cầu đường kính AB ; Ax, By hai tiếp tuyến mặt cầu  S  Ax  By Gọi M , N điểm di động Ax, By đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu  S  Tính giá trị AM BN A AM BN  19 B AM BN  24 Gọi O tâm mặt cầu  S  cầu Ta có OI  OA  OB  C AM BN  38 D AM BN  48 Giải: I tiếp điểm MN mặt AB IMO  AMO  INO  BNO  MA  MI   MN  AM  BN  NB  NI AM , BN tiếp tuyến mặt cầu đường kính AB AM  BN Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 27  AM   ABN   AM  AN  AMN vuông A    MN  AM  AN  AM  BA2  BN ( ABN vuông B )   AM  BN   AM  BN  AB2  AM BN  AB2 AB Ta có A  1;2;0 , B  2; 3;2   AB2  38  AM BN  19 -Câu 45 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  18  0, M  AM BN  điểm di chuyển mặt phẳng  P  , N điểm nằm tia OM cho OM ON  24 Tính giá trị nhỏ khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng  P  A d  N ;  P    B d  N ;  P    C d  N ;  P    D d  N ;  P    Giải :  H  2; 4; 4   Gọi H hình chiếu O mặt phẳng  P     OH   const OI   const  Gọi I điểm nằm tia OH cho OH OI  24    8  I   ;  ;      OM OH  Ta có : OM ON  OH OI  góc MOH  ION nên MOH ∽ ION  c  g  c  OI ON  Góc MHO  INO , mà OH   P   OH  MH  góc MOH  900  4  Góc INO  900  N thuộc mặt cầu  S  đường kính OI cố định với tâm K   ;  ;    3 3 OI 2 trung điểm OI bán kính R  Ta có : d  K ;  P     Mặt cầu  S  không giao với mặt phẳng  P   d  N ;  P    d  K ;  P    R  -Câu 46 : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A  2;1; 4  , B  6; 2;3 , M 1;1;3 Gọi P mặt phẳng qua M cho tổng khoảng cách từ A, B đến  P  lớn Biết mặt phẳng có dạng  P  x  ay  bz  c  với a, b, c  A A   10 B A  Tính giá trị A  a  b  c C A  D A   Giải :  MA  1;0; 7   MA  MB  50   MAB cân M có AMB góc tù Ta có:   MB   7;1;0   MA.MB  7 1  Gọi I  2; ;   trung điểm đoạn AB  MI  AB 2  Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 28 Gọi H , T hình chiếu A, B lên mặt phẳng  P  Trường hợp 1:  P  không cắt đoạn AB  AH  BT  IML vuông L  IL  IM  const Đẳng thức xảy   P   IM M Khi  P  / / AB nên  P  không cắt đoạn AB (thỏa điều kiện trường hợp 1) Gọi L hình chiếu I lên mặt phẳng  P  Ta chứng minh được: IL  Vậy  AH  BT max  2IM  P   IM M Trường hợp 2:  P  cắt đoạn AB   J   AB   P  với AB đoạn thẳng  AH  AJ   AH  BT   AJ  BJ  AB  const  BT  BJ Ta có:  Đẳng thức xảy   P   AB   P   IM  I   P  Khi  P  cắt đoạn AB I (thỏa điều kiện trường hợp ) Vậy  AH  BT max  AB  P   AB Vì AMB có AMB góc tù nên AB  IM Vậy tổng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng  P  lớn AB  P   AB 7    P  nhận AB   8;1;7  / / 1;  ;   làm vtpt 8  7 1 7  P  qua M 1;1;3   P  : x  y  z    a  ; b  ; c   A  8 8 4 -Oxyz Câu 47:Trong không gian với hệ trục ,cho mặt cầu 2  S  :  x  cos .sin     y  sin .sin     z cos    với  ,  góc thay đổi thỏa mãn  ,    0; 2  Biết  S  tiếp xúc với hai mặt cầu cố định  S1  ,  S2  Tổng thể tích hai khối cầu  S1  ,  S2  : A 21 B 14 C 12 D 76 Giải : x  cos  sin    Gọi I tâm mặt cầu  S   I  d :  y  sin  sin   z  cos    x  y  z   sin   cos   sin   cos      Vậy I  SO : x  y  z2   Khoảng cách từ tâm I mặt cầu  S  đến gốc tọa độ O cố định  Vậy mặt cầu  S  tiếp xúc tiếp xúc với mặt cầu  S1  ,  S2  cố định có tâm O Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 29   R1  RO   R S     4 14   V1  V2   R13   R23   dvtt  3 R  R  R    O  S   2 -Câu 48 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , tập hợp điểm M  a; b; c  thoả mãn bất phương trình  a  2sin     b  cos    c  A V  2 2 khối tròn xoay thể tính : B V   C V  3 D V  2 Giải : Xét điểm A  2sin  ; 2cos  ;0   A   Oxy   xA2  y A2  Vậy tập hợp điểm A đường tròn  C  tâm O  0;0;0  có bán kính R  mặt phẳng  Oxy  1  MA   Khi điểm A chạy tung tăng đường trịn  C  tập hợp điểm M tạo thành hình phao Với M  a; b; c  ta ln có MA2  có bán kính đường trịn lớn R  R  MA  bán kính đường tròn nhỏ R2  R  MA  2 Áp dụng công thức thể tích phao ta có : V    R1  R2  R1  R2    -Câu 49 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  Pm  :  m2  1 x  2mz  2m2  m   Biết m thay đổi  Pm  ln tiếp xúc với mặt cầu có bán kính cố định có tâm I  a; b; c  thuộc mặt phẳng  Q  : y   Tính P  a  2b  3c B P  1 C P  2 Giải : Ta có: I  a; b; c  tâm mặt cầu cố định tiếp với  Pm  A P   d  I ;  Pm    m  1 a  2mc  2m2  m   m  1  4m 2  D P  3  a   m2  1  2c  m   a  1 m  1 Để d  I ;  Pm   số hệ số tương ứng tỉ lệ với :   c  a    1    I   ; b;   2  a     a  1 c    Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 30 1  I   Q  : y    b  2  I   ; 2;   P  3 2  -Câu 50 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  Pm  : 2mx   m2  1 y   m2  1 z  10  điểm A  2;11; 5 Biết m thay đổi  Pm  ln tiếp xúc với mặt cầu có bán kính cố định qua A Tổng bán kính mặt cầu : A 2 B C D 12 Giải : Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu cố định tiếp với  Pm   d  I ;  Pm    2ma   m2  1 b   m2  1 c  10 4m   m  1   m  1 2 2   b  c  m2  2ma   b  c  10  m  1 Để d  I ;  Pm   số hệ số tương ứng tỉ lệ với : a  a     b  c b  c  10    I  0; b; 5  c  5    I1   0;9; 5  b5 b   d  I ;  Pm       b  11  IA     R1  R2  12 b  25  I   0; 25; 5  -Câu 51 : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng    giao tuyến mặt phẳng  P  : x  my  z  m  ,  Q  : mx  y  mz   gọi  1  hình chiếu    mặt phẳng  Oxy  Biết  1  tiếp xúc với đường trịn cố định Tìm bán kính r đường trịn A r   P  B R  1,5 có vtpt n P   1, m,1 ,  Q  có vtpt n Q  C r  D r  Giải   m;1; m  có vtcp a     n P  , n Q    m  ; 2m ; m  1  m2  m2   ;0; Với m  Gọi A    2m   2m Gọi   mặt phẳng qua    vuông góc với mặt phẳng  Oxy  có vtpt n  (0,0,1)  m2   2      có vtpt n    a   , n    2m,1  m ,     : 2m  x    1  m   y    2m      : 2mx  1  m2  y   m  1  Vậy  1  có phương trình là: 2mx  1  m2  y   m2  1  mặt phẳng  Oxy  Xét mặt phẳng  Oxy  , ta có: Xét điểm O  0,   d O,  1      m2  1 Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI m2    const Page 31 Vậy mặt phẳng  Oxy  ta ln có  1  ln tiếp xúc với đường trịn  C  cố định có tâm O  0;0;0  với RC   m  x  t x  z   Với m  , ta có :    :    y  t  R     / /  Oxz  y 1  z  t  Vậy  1  có dạng y  mặt phẳng  Oxy  Mà d O,       RC  nên  1  tiếp xúc với  C  Kết luận:  1  ln tiếp xúc đường trịn  C  có bán kính m  R -Câu 52 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A  0;0;1 , B  m;0;0  , C  0; n;0  , D 1;1;1 với m  , n  m  n  Biết m, n thay đổi tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  qua D Tính bán kính R mặt cầu B R  A R  C R  D R  Giải : x y z     nx  my  mnz  mn  m n Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu thoả mãn yêu cầu tốn : Ta có :  ABC  :  d  I ;  ABC    na  mb  mnc  mn  na  mb   c  1 mn   b  a  m  a   c  1 mn  mn m2  n2  m2 n2 Để d  I ;  ABC   số hệ số tương ứng tỉ lệ với : b  a  a  b b  a   a   I  a; a;1  a  c 1   a  c  c   a     d  I ;  ABC    a   a  1   a  1   a  2  mn  ID  a   R  -HẾT - Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 32 ... khỏi sai sót, mong bạn thơng cảm Cảm ơn bạn đọc tài liệu Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page Câu : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  qua M  2;3;5  cắt tia Ox,... thức xảy  a  b  c  Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 16 -Câu 27 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;0... Vậy AC , BD ln tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R  Tổng hợp trắc nghiệm 12 – NHÓM PI Page 25 Câu 42 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A  4;0;0  , B  0;0; m  , m  C 