Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len THễNG TIN CHUNG V SNG KIN Tờn sỏng kin: S DNG PHNG PHP PHN TCH THNH NHN T GII MT S H PHNG TRèNH I S Lnh vc ỏp dng sỏng kin: - Hc sinh 10 trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh - Hc sinh 11, 12 trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh - Hc sinh tham gia cỏc i tuyn thi hc sinh gii cỏc cp Thi gian ỏp dng sỏng kin: T ngy 05 thỏng 08 nm 2015 n ngy 20 thỏng 05 nm 2016 Tỏc gi: H v tờn : Cao Th Mai Len Nm sinh : 1976 Ni thng trỳ : S nh 12 ngừ 36 - ng Trn Nht Dut - Phng Trn T Xng- T.P Nam nh Trỡnh chuyờn mụn: Thc s s phm toỏn hc Chc v cụng tỏc: Giỏo viờn Toỏn Ni lm vic: Trng THPT Chuyờn Lờ Hng Phong- Nam nh a ch liờn h: Cao Th Mai Len T Toỏn Tin- Trng THPT Chuyờn Lờ Hng Phong- Nam nh in thoi: 0915703577 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len ng tỏc gi (nu cú): Khụng cú n v ỏp dng sỏng kin: Tờn n v: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong- Nam nh a ch: 76 V Xuyờn TP Nam nh in thoi: 0350 3640297 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len I IU KIN HON CNH TO RA SNG KIN: Lý chn ti 1.1 nh hng i mi phng phỏp dy hc - Trong xu th giỏo dc mi ca thi i, ngi giỏo viờn ngoi úng vai trũ l ngi truyn t tri thc cũn phi l ngi t chc, ch o, hng dn, gi m, c vn, trng ti cho cỏc hot ng hc tỡm tũi, khỏm phỏ, giỳp hc sinh t lc chim lnh kin thc mi Giỏo viờn phi cú nng lc i mi phng phỏp dy hc chuyn t kiu dy trung vo vai trũ giỏo viờn v hot ng dy sang cỏch dy trung vo vai trũ ca hc sinh v hot ng hc, t cỏch dy thụng bỏo- gii thớch- minh sang cỏch dy hot ng tỡm tũi khỏm phỏ - Trong s phỏt trin nhanh nh v bóo ca cụng ngh thụng tin, xó hi thi i mi ũi hi ngi giỏo viờn phi cú ý thc, cú nhu cu, cú tim nng khụng ngng t hon thin nhõn cỏch, o c, li sng, nõng cao trỡnh chuyờn mụn, nghip v phỏt huy tớnh ch ng c lp, sỏng to vic thc hin cỏc mc tiờu giỏo dc Giỏo viờn phi cú nng lc gii quyt nhng ny sinh thc tin dy hc giỏo dc bng ng tng kt kinh nghim, phỏt huy sỏng kin, thc nghim s phm - Trong bi cnh hin ũi hi ngi giỏo viờn trung hc ph thụng phi t yờu cu cao v phm cht, nng lc chuyờn mụn nghip v, phi cú trỡnh tin hc ngoi ng ỏp ng yờu cu phỏt trin ni dung, i mi phng phỏp dy hc nhu cu, trỡnh nhn thc ca hc sinh THPT - nh hng i mi phng phỏp dy v hc ó c xỏc nh Ngh Quyt Trung ng khúa VII (1-1993), Ngh quyt Trung ng khúa VIII (12- 1996) v c th ch húa Lut Giỏo dc sa i ban hnh ngy 27/6/2005, iu 2.4, ó ghi "Phng phỏp giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca hc sinh; phự hp vi c im ca tng lp hc, mụn hc; bi dng phng phỏp t hc, rốn luyn k nng dng kin thc vo thc tin; tỏc ng n tỡnh cm, em li nim vui, hng thỳ hc cho hc sinh" Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len Ngh quyt hi ngh ln th II Ban chp hnh Trung ng ng Cng Sn Vit Nam( khúa VIII, 1997) khng nh: Phi i mi phng phỏp giỏo dc o to khc phc li truyn th mt chiu, rốn luyn thnh np t sỏng to ca ngi hc tng bc ỏp dng cỏc phng phỏp tiờn tin v phng tin hin i vo quỏ trỡnh dy hc, bo m iu kin v thi gian t hc, t nghiờn cu cho hc sinh Phng phỏp dy hc hin i (phng phỏp dy hc tớch cc) xut hin cỏc nc phng Tõy ( M, Phỏp ) t u th k XX v c phỏt trin mnh t na sau ca th k, cú nh hng sõu rng ti cỏc nc trờn th gii, ú cú Vit Nam ú l cỏch thc dy hc theo li phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng ca hc sinh, ú giỏo viờn l ngi gi vai trũ hng dn, gi ý, t chc, giỳp cho ngi hc t tỡm kim, khỏm phỏ nhng tri thc mi theo kiu tranh lun, hi tho theo nhúm Ngi thy cú vai trũ l trng ti, c iu khin tin trỡnh gi dy Phng phỏp dy hc ny chỳ ý n i tng hc sinh, coi trng vic nõng cao quyn nng cho ngi hc Giỏo viờn l ngi nờu tỡnh hung, kớch thớch hng thỳ, suy ngh v phõn x cỏc ý kin i lp ca hc sinh; t ú h thng hoỏ cỏc , tng kt bi ging khc sõu nhng tri thc cn nm vng 1.2 Nhng khú khn dy hc phn h phng trỡnh i s Trong cỏc k thi hc sinh gii tnh Nam nh, hc sinh gii Quc gia mụn Toỏn, c bit l k thi THPT Quc gia mụn Toỏn, phn h phng trỡnh i s luụn l bi khụng d i vi cỏc em hc sinh, õy l phn bi cú mc khú sau phn bi bt ng thc hoc phn bi tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht mi thi Toỏn Cỏc bi phn ny thng yờu cu hc sinh t suy ngh sỏng to, bit dng kin thc tng hp ó bit cỏc nm hc trung hc ph thụng, phi hp a dng cỏc phng phỏp gii ca h phng trỡnh i s nh bin i tng ng, phng phỏp th, phng phỏp cng i s, phng phỏp nhm nghim, tỏch, thờm bt, nhõn chia liờn hp, phng phỏp t n ph, phng phỏp hm s, phng phỏp lng giỏc c bit l phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t, mt phng phỏp gii quen thuc vi c giỏo viờn v hc sinh tip cn Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len Tuy nhiờn cỏc bi gii theo phng phỏp ny nhiu cng gõy rc ri cho c giỏo viờn v hc sinh phõn tớch bi gii Nhõn t chung ca phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t thng khụng cú sn tng phng trỡnh m phi bin i theo cỏc th thut nh cng i s, th, nhõn chia liờn hp cú phi kt hp c hai phng trỡnh mi tỡm c nhõn t chung Cỏc h phng trỡnh gii c bng phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t rt a dng, xu th mi ca thi i cụng ngh thụng tin cũn cú phng phỏp nhm nghim bng mỏy tớnh b tỳi casio sau ú s phõn tớch thnh nhõn t da theo nghim ú Cỏch lm ú cũn khỏ mi m vi giỏo viờn v hc sinh tip cn nờn cũn gp rt nhiu khú khn Vỡ nhng lý nờu trờn, tụi chn ti sỏng kin kinh nghim: S DNG PHNG PHP PHN TCH THNH NHN T GII MT S H PHNG TRèNH I S Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len II THC TRNG TRC KHI TO RA SNG KIN Bi toỏn hc cú vai trũ quan trng mụn Toỏn Thụng qua gii bi toỏn hc, hc sinh phi thc hin nhng hot ng nht nh bao gm c nhn dng v th hin nh ngha, nh lớ, quy tc hay phng phỏp ( thut toỏn ), nhng hot ng Toỏn hc phc hp, nhng hot ng trớ tu ph bin Toỏn hc, nhng hot ng trớ tu chung v nhng hot ng ngụn ng Gii bi toỏn hc thc cht l quỏ trỡnh t iu ú cú ngha l tỡm kim s hp lý (hp logic ) ca cỏc lun im (quy tc) chung ca toỏn hc (nh ngha, nh lý, lý thuyt, quy tc, nh lut, cụng thc) m dng chỳng vo cỏc iu kin ca bi hay cỏc kt qu trung gian ca nú, ta thu c cỏi m bi yờu cu li gii ca bi Phng phỏp chung gii bi toỏn nh sau : +) Bc 1: Tỡm hiu ni dung bi - Phỏt biu bi di dng thc khỏc tỡm hiu rừ ni dung bi toỏn - Phõn bit cỏi ó cho v cỏi phi tỡm, phi chng minh - Cú th dựng cụng thc, kớ hiu, hỡnh v h tr cho vic din t bi +) Bc 2: Tỡm cỏch gii - Tỡm tũi phỏt hin cỏch gii nh nhng suy ngh cú tớnh cht tỡm oỏn, bin i cỏi ó cho, bin i cỏi phi tỡm hay phi chng minh, liờn h cỏi ó cho hoc cỏi phi tỡm vi nhng tri thc ó bit, liờn h bi toỏn cn gii vi mt bi toỏn c tng t, mt trng hp riờng, mt bi toỏn tng quỏt hn hay mt bi toỏn no ú cú liờn quan, s dng phng phỏp c thự vi tng dng toỏn nh chng minh phn chng, quy np toỏn hc, toỏn dng hỡnh, toỏn qu tớch, - Kim tra li gii bng cỏch xem li k tng bc thc hin hoc c bit hoỏ kt qu tỡm c hoc i chiu kt qu vi mt s tri thc liờn quan, - Tỡm tũi nhng cỏch gii khỏc, so sỏnh chỳng cú th chn c cỏch gii hp lớ nht +) Bc 3: Trỡnh by li gii Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len - T cỏch gii ó phỏt hin, sp xp cỏc vic phi lm thnh mt chng trỡnh gm cỏc bc theo mt trỡnh t thớch hp v thc hin cỏc bc ú +) Bc 4: Nghiờn cu sõu li gii - Nghiờn cu kh nng ng dng kt qu ca li gii - Nghiờn cu gii nhng bi toỏn tng t, m rng hay lt ngc Trong chng trinh Toan THPT, ma cu thờ la phõn mụn sụ 10, cac em hoc sinh a c tiờp cõn vi h phng trỡnh i s cung nh cach giai mụt vai dang toan c ban cua phõn Tuy nhiờn thc tờ cac bai toan giai h phng trỡnh i s rõt phong phu va a dang c biờt, cac thi hc sinh gii Tnh- Quc gia, THPT Quc gia cac em se gp mụt lp cac bai toan vờ h phng trỡnh i s ma mc phc phõn tớch tỡm li gii khụng d dng Bờn cnh cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh bng phng phỏp t n ph, phng phỏp hm s, phng phỏp ỏnh giỏ thỡ phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t cng l phng phỏp quen thuc d tip cn vi a s hc sinh t lc hc trung bỡnh n lc hc khỏ gii, quen thuc gn gi nhng ỏp dng vo mi h phng trỡnh c th tỡm c cỏch nhúm nhõn t chung- mu cht ca bi toỏn li gp rt nhiu rc ri Trong SGK sụ lp 10 nõng cao, phõn h phng trinh i s chi la mụt muc nho bai: Mụt sụ vớ d v h phng trinh bõc hai hai n cua chng III Trong SGK sụ lp 10 ban c bn thm phõn h phng trinh i s chi im qua rt s si qua mt vi bi sỏch bi cua chng III Túm li cỏc SGK thi lng danh cho phõn rõt it, cac vi du va bai tõp phõn cung rõt han chờ va chi dang c ban Nhng thc tờ, biờn ụi va giai chinh xac h phng trỡnh i s oi hoi hoc sinh phai nm vng nhiờu kiờn thc, phai co ki nng biờn ụi toan hoc nhanh nhen va thuõn thuc Muụn võy, cac tiờt luyờn tõp giao viờn cõn tụng kờt lai cach giai cac dang h phng trinh thng gp, nhc nh v khc phc nhng sai lm thng mc phi ca hc sinh, cung nh bụ sung thờm cac dang bai tõp nõng cao, chỳ ý ren luyờn cho hoc sinh ki nng giai h phng trỡnh i s theo phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len Trong k thi i hc nm 2011-2012, thi A mụn Toỏn cõu II ý cú bi toỏn ỡù x y - xy + y - 2( x + y ) = ù ( x; y ẻ Ă ) gii h phng trỡnh: ùớ ùù xy ( x + y ) + = ( x + y ) ùợ Hay thi tuyn sinh i hc D nm 2012-2013 cú xut hin h phng trỡnh cõu 3: ùỡ xy + x - = ( x; y ẻ Ă ) Gii h phng trỡnh ùớ ùùợ x - x y + x + y - xy - y = Trong thi tuyn sinh i hc B mụn Toỏn nm 2013-2014 cng xut hin h phng trỡnh cõu 3: Gii h phng trỡnh ỡù x + y - 3xy + x - y + = ù ( x; y ẻ Ă ) ùù x - y + x + = x + y + x + y ợ Trong thi tuyn sinh i hc B nm hc 2014-2015 cng xut hin h phng trỡnh cõu 8: Gii h phng trỡnh ỡù ( - y ) x - y + x = + ( x - y - 1) y ù ( x; y ẻ Ă ) ùù y - 3x + y + = x - y - x - y - ùợ gii cỏc h phng trỡnh ny cú nhiu cỏch tip cn v nhiu phng phỏp gii a ra, ta cú th s dng phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t vi mt phng trỡnh ca h, cú th coi mt phng trỡnh ca h l phng trỡnh bc hai mt n, n cũn li l tham s mc ớch tỡm mi liờn h gia hai n x v y phõn tớch mt phng trỡnh thnh tớch cỏc nhõn t gii quyt d dng bi cú th thờm bt nhúm nhõn t chung, cng cú th thc hin thao tỏc nhm nghim, tỏch nhõn chia liờn hp nu phng trỡnh cú cha cn bc hai, bc ba, Thi i cụng ngh thụng tin phỏt trin nh v bóo, mỏy tớnh Casio vi tớnh nng SHIFT, CALC, TABLE h tr rt nhiu cho quỏ trỡnh tip cn v gii h phng trỡnh i s theo phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t, tip cn vi cỏc tớnh nng u vit ca mỏy tớnh h tr ta gii quyt d dng bi toỏn Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len Cú th nhn thy rng cỏc bi trờn, nu khụng nm vng kin thc v phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t gii s gp khỏ nhiu rc ri bt tay vo gii bi ú Mt s cỏc em hc sinh thi hc sinh gii tnh, hc sinh gii Quc gia hoc thi THPT Quc gia mụn toỏn gp bi toỏn gii h phng trỡnh i s m gii theo phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t u cm thy khú khn v lỳng tỳng tỡm nhõn t chung, mt thi gian ỏng tic CC GII PHP TRNG TM Bn bỏo cỏo sỏng kin kinh nghim ny gm phn: Phn th nht: Lí THUYT C BN Phn th hai: S DNG PHNG PHP PHN TCH THNH NHN T GII MT S H PHNG TRèNH I S Phn th ba: MT S BI TP THAM KHO Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len Phn th nht: Lí THUYT C BN Phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t Phõn tớch nhõn t l mt thut ng toỏn hc dựng ch mt cỏch vit mt s nguyờn, hay tng quỏt l mt vt th toỏn hc, thnh mt phộp nhõn ca cỏc s nguyờn khỏc, hay tng quỏt l cỏc vt th toỏn hc khỏc Cỏc s nguyờn, hay vt th toỏn hc, nm phộp nhõn gi l nhõn t Phõn tớch mt biu thc cha bin thnh nhõn t l bin i biu thc ú v tớch ca cỏc biu thc cha bin khỏc, cỏc biu thc cha bin nm phộp nhõn l cỏc nhõn t ca biu thc cha bin ú Cỏc cỏch phõn tớch thnh nhõn t a Phng phỏp t nhõn t chung Nu cỏc hng t ca a thc u cú nhõn t chung thỡ ta cú th t nhõn t chung ú lm tha s VD: ab - ac = a ( b - c ) b Phng phỏp nhúm cỏc hng t Nu mt a thc cú nhiu hng t, nhúm li vi m phõn tớch thnh nhõn t chung c thỡ nhúm chỳng li theo tng nhúm thớch hp phõn tớch a thc ú thnh nhõn t Vớ d: bc - ad - bd + ac = b ( c - d ) + a ( c - d ) = ( c - d ) ( a + b) c p dng cỏc hng ng thc Nu a thc l mt v ca hng ng thc ỏng nh no ú thỡ cú th dựng hng ng thc ú biu din a thc ny thnh tớch cỏc a thc Nhng hng ng thc ỏng nh (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 10 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len ( )( x + y x + + x + ( y + 1) + ( y + 1) x + + x + ( y + 1) + ( y + 1) = x + = y + ( 2') Phng trỡnh(1) ( ) =0 ( 1') x = x + + y + + ( y + 1) = y = ) Thay vo phng trỡnh (2) khụng tha y2 + y = x x +1 = y +1 y T phng trỡnh (2) thay vo phng trỡnh (2) ta c x + x + = x + x + 4x + + 2x = x + x +1 ( x 2x + x + ( ) 4x 4x + + 4x + + 3 + 2x = ữ= ữ 4x + + 4x + + ữ ) x = y = (do y 1) Vy nghim ca h phng trỡnh l (0;0) Vớ d 3: Gii h phng trỡnh : ( ) xy + x y ( ) xy + x = y + y ( x + 1) y + xy + x x = ( ) x, y Gii: iu kin: xy + ( x y ) Phng trỡnh (1) ( xy + ( x y ) ( 1) ( 2) ( x, y Ă ) ) xy ( ) xy y + ( ) x y =0 66 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len ( x y) ( y + xy + ( x y ) ( xy ) ) xy + y y + xy ( x y) + xy + ( x y ) xy + y ( ) T (2) ta cú y + xy = x x + y + xy xy + ( x y ) ( ) xy + y + x y =0 x+ y + ữ = ( 3) x+ yữ ữ 4 = ( x 1) + x + + ữ x +1 x + >0 x+ y T (3) suy x = y Thay vo phng trỡnh (2) ta c x =1 x x 3x + = x = 17 Kt hp iu kin cú x = 1, x = + 17 Vy h phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim l ( x; y ) = ( 1;1) , ( x; y ) = + 17 + 17 ; ữ 2 ỡù x + y + - - x + x - x + y - = ù Vớ d : Gii h phng trỡnh ùù x - xy ( y + 1) + x - 10 y = y ( y - 1) ùợ ỡù x + y + ù Gii: iu kin xỏc nh: ùù - x ợ ỡù x + y + - - x + x2 - x + y - = ù Ta cú h ùớ ùù ( x - y) x2 + xy + y - y + = ùợ ( ) 67 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len ỡù x + y + - - x + x - x + y - = ùù ù ớộ x - 2y = ùù ùù x + xy + y - y + = ùợ ( ) ( ) 2 2 D thy x + xy + y - y + = x + xy + y + y - y + + = 2 ( x + y ) + ( y - 1) + = : vụ nghim vi " x, y ẻ R ỡù x + y + ù Do ú h ùù x = y ùợ ỡù x + ù ùù x = y ùợ - x + x2 - x + y - = - x + x - x - = (*) Gii phng trỡnh: - x + x2 - x - = (*) 2x + 1 ÊÊx +) iu kin: - +) Phng trỡnh 2x + - + - 2x - 2x + + + - x + x2 - x - = x- 1+ 5- x + ( x - 4)(2 x + 1) = ộx - = ờ + x + + + - x + (2 x + 1) = D thy 2x + + + 1+ 5- x + (2 x + 1) > nờn x = ị y = Vy h cú nghim ( x; y) = ( 4;2) x x y = x x + y + Vớ d 5: Gii h phng trỡnh: x y + x y 15 = 3 x + ( x, y Ă ) ( ) Gii: iu kin xỏc nh: 68 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len x x y = x x + y + x ( x y ) + ( x y ) = x + ( x y ) ( x + 1) = x + x y = y = x (vỡ x + > 0, x ) Th y = x vo phng trỡnh x y + ( x y ) 15 = 3 x + ta cú x x + x = 3 x + ( x 1) + ( x 1) = ( x + ) + 3 x + ( *) 3 Xột hm s f ( t ) = t + 3t , t Ă Ta cú f ' ( t ) = 3t + > t Ă Suy f ( t ) ng bin trờn Ă Phng trỡnh ( *) f ( x 1) = f ( ) x + x = x + x x + x = ( x + 1) = ( x 1) x + = ( x 1) x = 3 3 3 +1 +1 y= Vy h phng trỡnh cú nghim ( x; y ) = ;3 ữ 2 x + xy + x y + y = ( x, y Ă Vớ d 6: Gii h phng trỡnh x y + + = x y + x y ( ) ) Gii: iu kin xỏc nh x y Xột phng trỡnh (2) Nu x = y thỡ (2) vụ nghim nờn x > y (2) x y + x y + + ( x y ) = 6x + y + ( x + y ) ( 1+ x y ) = x y + + 7x y ( x + y ) + ( 1+ x y ) = x y + + x y x > y nờn + ( 1+ x y ) > suy 3x + y = x y + + x y Thay y = x vo phng trỡnh (1) ta c 69 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len 1 x + x x ữ+ x x ữ+ x = 3 ( 18 x x ) + x ữ+ x = 3 2x ( 9x 4) + ( 9x 4) + x = ( ) ( 9x 4) 2x + + = 9x = x = x vỡ ữ 9 x +1 ữ Vi x = 4 y = Vy nghim ca h phng trỡnh l ; ữ 9 9 x2 + y ( x + y)4 + = xy ( x, y Ă ) Vớ d 7: Gii h phng trỡnh xy ( x + y ) y + 22 x = x + Gii: iu kin xỏc nh: x + y 0; xy 0; x 22 ; y 3 (1) ( x + y 1) ( x + y ) + ( x + y)3 + ( x + y) xy = x + y =1 ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) xy = +) y = x th vo (2) ta c: + x + 22 x = x + 12 + x 4( x + 4) + 22 x (14 x) = x x x = (t / m) x = Trng hp ny h cú nghim: ( x; y ) = ( 1; 1); ( x; y) = ( 2;2 ) +) Xột ( x + y ) + ( x + y )3 + ( x + y ) xy = Cú: 70 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len ( x + y) + ( x + y)3 + ( x + y) xy = ( x + y) + ( x + y ) + x + y ( x + y )2 ( x + y) + ( x + y) + 2 = ( x + y )2 ( x + y ) + ( x + y ) + ữ 1 = ( x + y ) x + y + ữ + ữ > (do x + y ( x + y ) > 0) 4ữ Vy trng hp ny vụ nghim Vy nghim ca h phng trỡnh l ( x; y ) = ( 1; 1); ( x; y) = ( 2;2 ) y x + + = x + + x Vớ d 8: Gii h phng trỡnh: 3 2 2 x y + x y = xy 3x + y ( 1) ( 2) Gii: iu kin: x y x + + = x + + x t 3 2 2 x y + x y = xy 3x + y ( 1) ( 2) Ta cú (2) x( x y ) + y ( x y ) + 3( x y ) = (2 x + y + 3)( x y ) = y = x (vỡ x + y + > , vi mi x ) Thay y = x vo (1) ta c: x x + + = x + + x (3) Xột hm s f ( x ) = x x x + x + + 2, x [-1;2] Ta cú f ' ( x ) = x V f '' ( x ) = + 1 + x +1 2 x 1 + > 0, x (1;2) 4( x + 1) x + 4(2 x) x Do ú hm s f ' ( x ) ng bin trờn khong ( 1;2 ) , nờn phng trỡnh f ' ( x ) = cú nhiu nht nghim Mt khỏc f ' ữ = Ta cú bng bin thiờn ca f ( x ) : 71 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len x -1 f(x - 2 + ) f(x) f ữ Vỡ f ữ = + < , nờn t bng bin thiờn suy phng trỡnh f ( x ) = cú nhiu nht nghim, hn na f ( ) = f ( 1) = , ú phng trỡnh (3) cú ỳng nghim x = 0; x = Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim ( 0;0 ) v ( 1;1) x ( y + x ) + y ( x y 1) = x y Vớ d 9: Gii h phng trỡnh 2 y x = x ( x y ) x ( y + x ) + y ( x y 1) = x y Gii: 2 y x = x ( x y ) ( 1) ( 2) iu kin xỏc nh: x 1; y Ă 2 2 Ta cú: ( 1) xy x y + x y ( x xy + y ) = x = ( x y ) ( xy x + y ) = ( x y ) ( x ) ( + y ) = y = x = y TH1: x = thay vo phng trỡnh ( ) : y = y = ( )( ) H phng trỡnh cú nghim 0; ; 0; TH2: y = thay vo phng trỡnh ( ) x = x ( x + ) vụ nghim x v phi õm; v trỏi dng 2 TH3: x = y ú phng trỡnh ( ) tr thnh x x = x ( x x ) ( *) 72 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len Do x x = x = khụng l nghim ca phng trỡnh ( *) x2 3x x 3x = x = x 1 ( *) x 4x x 4x x = x2 x2 = x 4x x +1 x x = x + 1( **) Vi x = y = , nghim ca h phng trỡnh l ( 2;2 ) ( **) x x = x ( x ) ( x + 1) = ( x 5) x + ữ= ( x 5) x + x + x = ( x 1) ( )( x x + x +1 ữ= x + ) Vy nghim ca h phng trỡnh l : 1; ; 1; ; ( 2;2 ) ; ( 5;5 ) y x + x2 y + x2 + y2 y x = Vớ d 10: Gii h phng trỡnh x x (vi x, y Ă ) = x y ( ) x + 2x + ( ) y Gii: iu kin: x Ă y x + x y + x + y y x = ( 1) x 2x = ( x) y ( 2) x + 2x + ( ) ( 1) ( x + 1) y + y ( x 1) + x = ( x + 1) ( y + 1) ( y + x ) = x = y = 1( l ) y = x Vi x = y = 9 h phng trỡnh cú nghim l x = 1; y = 16 16 Vi y = x th vo phng trỡnh ( ) ta c: 73 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len x2 x ( x + 2) ( x 4) = x x = x x ( ) ( ) x2 + 2x + x2 + 2x + x +2 x = ( x ) x + = ( x 1) ( x + x + 3) ( ) ( ) TH1: x = y = , h phng trỡnh cú nghim l x = 2; y = TH2: ( x 4) ( ) x + = ( x 1) ( x + x + 3) ( x ) ( x + 2) ( ) ( ) x + = ( x ) ( x + x + 3) 2 x + = ( x + ) ( x 1) + ( *) Xột f ( t ) = ( t + ) ( t + ) = t + 2t + 2t + trờn Ă 2 f ' ( t ) = 3t + 4t + = t + ữ + > 0t Ă Hm s ng bin trờn Ă 3 ( *) f ( x 1) = x= f ( x x x = x x + 2x + = x ) 13 + 13 y= 2 13 + 13 ; Vy nghim ca h phng trỡnh l: ữ; ( 2;4 ) ; 1; ữ 2 16 74 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len CC BI TP TNG T Gii cỏc h phng trỡnh: x 11x y + = a x 22 x + 21 + y + y + y = ( x + 1) x y + y + = x + x + xy + y b 2 x + y + = y x + x + + y( x + y 5) = c y( x + xy ) + y = x + 15y + ( x, y Ă ) x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x x + d xy + x + = x x3 + y = y + 16 x e 2 + y = ( + x ) xy ( x + y ) = 3xy ( x + y ) f 2 x y xy y + ( x + y ) = xy + = g 3 8( x y ) + 9( x y ) = x + y ( x ) = y x + 2 y h y ( x ) + x = x xy x + y = ( y + 1) x + y i y + 3x + y = 3x 2 xy 2 x + y + =1 x + y j x + y = x2 y xy ( x + y ) + = ( x + y ) k 2 x y xy + y ( x + y ) = 75 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len xy + x + y = x y l x y y x = x y x3 + y = 91 m 2 x + y = 16 x + y ( ) x x + + y y + = ( x + y ) n x3 y + ( x y ) = ( y x ) + 10 x + xy y + y = y x o y + x + y = x + ( ) ( xy 3) y + + x = x + ( y x) y + p x + 16 2 y + = x xy + x + y = x y q x y y x = x y xy 2 x + y + x + y = 16 r x + y = x2 y xy + ( x y )( xy 2) + x = y + y s ( x + 1)( y + xy + x x ) = xy + ( x y )( xy 2) + x = y + y t ( x + 1)( y + xy + x x ) = x (1 + )=2 x+ y u y (1 ) = x+ y x + x = x y + y v x + 12 x + 12 y + = y x 76 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len III HIU QU DO SNG KIN EM LI - Bn bỏo cỏo sỏng kin ny nhm phc v cho vic hc ca hc sinh 10, 11,12 ca Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh, hc sinh 12 thi hc sinh gii cỏc cp, thi hc v ó t hiu qu tt Hc sinh lp 10,11 tip cn cỏch gii bi v h phng trỡnh i s cũn rt khú khn, nhng tip cn vi cỏch dng theo phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t theo cỏc phng phỏp nh t nhõn t chung, tỏch nhúm, t n ph, thờm bt xut hin liờn hp a v nhõn t chung, s dng cỏc hng ng thc, xut hin tam thc bc hai, dng ng cp bc 2, bc v c bit s dng mỏy tớnh Casio kt hp gii h thỡ rt t tin, thớch thỳ gii quyt rt tt bi v cũn lm c cỏc bi khỏc tng t mt cỏch thuyt phc Hc sinh lp 12 thỡ t tin gii cỏc bi toỏn v h phng trỡnh i s ụn thi THPT Quc gia, hiu qu t c tt hn mong i Cỏc cỏc i tuyn thi hc sinh gii tnh: hc sinh tip thu tt, cú kh nng nghiờn cu sỏng to cao, cựng vi kh nng t hc cú, c s hng dn nh hng ca giỏo viờn, kt qu t c rt tt, hc sinh say mờ nghiờn cu, tỡm tũi ti liu, hng thỳ, ch ng sỏng to thc hin li gii bi - Bn bỏo cỏo sỏng kin ny a nhng cỏch tip cn gii bi toỏn h phng trỡnh i s theo phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t mt cỏch sỏng to , nhng d oỏn mi liờn h gia gi thit ó bit v kt lun cn tỡm v cỏch thc t chc hot ng nhm giỳp giỏo viờn cú th tham kho v la chn dy v ni dung h phng trỡnh i s T ú ta cú th m rng v dng tng t cho dy hc cỏc phn khỏc ca mụn toỏn THPT Chớnh bi l ú cú th l ti liu tham kho b ớch cho giỏo viờn dy 10,11 núi chung v dy 12, dy ụn thi THPT Quc gia - Nm hc 2015- 2016 tụi ó dy hc gii mt s bi h phng trỡnh i s theo phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t cho hc sinh quỏ trỡnh dy lp 10,11 hoc lp 12 ụn thi THPT Quc gia, thi hc sinh gii tnh khụng chuyờn v c hc sinh ún nhn thớch thỳ, gp bi toỏn cú liờn quan n kin thc h 77 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len phng trỡnh i s cỏc em rt t tin hn, c bit l hc sinh sinh gii lp 12 cỏc em ó ch ng, linh hot ỏp dng -Tụi cng ó trỡnh by sỏng kin kinh nghim S DNG PHNG PHP PHN TCH THNH NHN T GII MT S H PHNG TRèNH I S bui sinh hot chuyờn mụn ca t Toỏn Tin trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong v cng c cỏc ng nghip ng h, ún nhn ỏp dng quỏ trỡnh dy toỏn v h phng trỡnh i s - Bn bỏo cỏo ny cng l ti liu tham kho hu ớch cho cỏc em hc sinh chun b thi THPT Quc gia, thi hc sinh gii lp 12 cỏc cp IV XUT- KIN NGH hon thnh bn bỏo cỏo sỏng kin kinh nghim ny tỏc gi nhn c s quan tõm giỳp ca S Giỏo dc- o to Nam nh, Ban giỏm hiu trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh v cỏc ng nghip t Toỏn- Tin ca trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh Tỏc gi xin trõn trng cm n s giỳp quý bỏu ú Bn bỏo cỏo sỏng kin kinh nghim ny c chun b chu ỏo song khụng trỏnh thiu sút, tụi mong nhn c nhiu s úng gúp ý kin quý bỏu ca thy cụ v cỏc bn, b xung thờm nhiu bi phong phỳ, a dng hn bn bỏo cỏo sỏng kin kinh nghim c hon thin hn TC GI SNG KIN (Ký ghi rừ h tờn) CAO TH MAI LEN 78 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len C QUAN N V P DNG SNG KIN (Xỏc nhn, ỏnh giỏ v xp loi) 79 Sỏng kin kinh nghim nm hc 2015-2016- Cao Th Mai Len DANH MC CC TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa v sỏch bi i s 10( ban c bn v ban nõng cao ca nh xut bn giỏo dc phỏt hnh) Mt s thi i hc, THPT Quc gia t nm 2006 n Cỏc thi hc sinh gii cỏc tnh v thi th i hc, THPT Quc gia cỏc trng THPT trờn ton quc Mt s trang web v toỏn nh Laisac.com; VNMATH.com; Th vin Bi ging in t ca Violet.vn v.v 80