Đang tải... (xem toàn văn)
Mối liên hệ giữa các sự hội tụ của dãy hàm đo được
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ ANH QUỐC MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Huế, Khóa học: 2013-2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ ANH QUỐC MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành học: Sư phạm Toán Cán hướng dẫn: TS Trương Văn Thương Huế, Khóa học: 2013-2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Trương Văn Thương giúp đỡ, hướng dẫn chu hoàn thành khóa luận Xin phép gửi đến Thầy kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tận tâm Thầy thân không thời gian làm khóa luận mà suốt trình học tập Tôi xin phép gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Toán B, toàn thể quý thầy cô Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, người truyền tải kiến thức, kinh nghiệm cho thân giúp đỡ thời gian thực đề tài Cuối cùng, xin phép gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè quan tâm động viên, giúp đỡ suốt trình học tập vừa qua Tôi xin chân thành cám ơn! Huế, tháng năm 2017 HÀ ANH QUỐC Mục lục Danh mục kí hiệu Phần mở đầu Kiến thức cần thiết 1.1 1.2 1.3 Không gian độ đo 1.1.1 Đại số tập hợp 1.1.2 Không gian độ đo 1.1.3 Độ đo Lebesgue 10 Hàm đo được, hàm khả tích 11 1.2.1 Hàm đo 11 1.2.2 Hàm khả tích 12 Không gian Lp 17 1.3.1 Không gian định chuẩn 17 1.3.2 Không gian Lp 17 Một số định lý hội tụ dãy hàm 2.1 2.2 18 Sự hội tụ dãy hàm 18 2.1.1 Sự hội tụ dãy hàm đo 19 2.1.2 Sự hội tụ hầu khắp nơi dãy hàm đo 21 2.1.3 Sự hội tụ dãy hàm đo 24 2.1.4 Sự hội tụ theo độ đo dãy hàm đo 25 2.1.5 Sự hội tụ trung bình dãy hàm khả tích 28 Mối liên hệ hội tụ 31 2.2.1 Mối liên hệ hội tụ hội tụ hầu khắp nơi 31 2.2.2 Mối liên hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo 33 2.2.3 Mối liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ trung bình 35 2.2.4 Mối liên hệ hội tụ trung bình hội tụ hầu khắp nơi 37 2.2.5 Mối liên hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ 40 2.2.6 Mối liên hệ hội tụ hội tụ theo độ đo 42 2.2.7 Mối liên hệ hội tụ hội tụ trung bình 44 2.2.8 Mối liên hệ hội tụ trung bình hội tụ 45 2.2.9 Lược đồ thể mối liên hệ dạng hội tụ 47 2.2.10 Mối liên hệ dạng hội tụ mở rộng không gian Lp 49 Phần kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 DANH MỤC KÍ HIỆU P(X) Tập tất tập X Rn Không gian thực n-chiều R Không gian R ∪ {+∞, −∞} F(C) σ-đại số chứa C B σ-đại số Borel L Tập tất tập µ∗ -đo (X, F) Không gian đo (X, F, µ) Không gian độ đo ⇒ Hội tụ h.k.n −−−→ Hội tụ hầu khắp nơi h.k ⇒ µ → − ρ → − Hội tụ Hội tụ theo độ đo Hội tụ trung bình HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề Các hàm số liên tục khoảng có nhiều tính chất tốt, không đóng kín phép toán giải tích phép toán lấy giới hạn, cần lớp hàm có tính chất tốt hàm liên tục đóng kín phép toán lấy giới hạn, lớp hàm đo Từ cuối kỷ XIX đầu kỷ XX, nhà toán học xây dựng lớp hàm đo định lý hội tụ dãy hàm đo được, từ xây dựng nên dãy hàm tiếp cận khái niệm hàm khả tích Lebesgue, chuyển giới hạn qua dấu tích phân Sự hội tụ dãy hàm có ý nghĩa quan trọng, đáp ứng yêu cầu phát triển vấn đề liên quan giải tích lồi, không gian Orlicz lĩnh vực: lý thuyết xác suất, học lượng tử Lý chọn đề tài Lý thuyết Độ đo Tích phân phần quan trọng lý thuyết hàm số thực với Giải tích hàm tạo nên kiến thức giải tích đại bản, thông qua nghiên cứu lĩnh vực người học tiếp cận kiến thức cao giải tích đại Trong đó, định lý hội tụ dãy hàm đo hay dãy hàm khả tích phần nhỏ lý thuyết độ đo tích phân quan trọng Ngoài việc, đọc hệ thống lại định nghĩa, định lý hội tụ đề tài làm rõ mối liên hệ chúng thông qua việc lập lược đồ thể mối liên hệ dạng hội tụ ví dụ hay phản ví dụ cụ thể Đã có nhiều tài liệu hay số nghiên cứu nói hội tụ dãy hàm, định lý hội tụ dãy hàm mối liên hệ dạng hội tụ Sau đây, xin hệ thống lại kiến thức hội tụ dãy hàm mối liên hệ dạng hội tụ, mối liên hệ thay đổi hay không xét không gian độ đo vô hạn hay hữu hạn Do đó, định thực đề tài: "Một số định lý hội tụ dãy hàm đo được" để làm rõ vấn đề HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại dạng hội tụ quen thuộc dãy hàm hội tụ điểm, hội tụ đều, hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo Ngoài ra, đề tài tìm hiểu kiểu hội tụ khác hội tụ trung bình, hội tụ đều, hội tụ hầu khắp nơi dãy hàm Chỉ mối liên hệ dạng hội tụ dãy thông qua ví dụ hay phản ví dụ đồng thời xem xét mối liên hệ thay đổi đặt không gian độ đo hữu hạn hay vô hạn Chẳng hạn, không gian độ đo hữu hạn độ đo xét độ đo đủ dãy hàm đo hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo.Vấn đề đặt dạng hội tụ khác có mối liên hệ với nào? Và mối liên hệ có thay đổi không ta xét chúng không gian độ đo hữu hạn? Đề tài làm rõ vấn đề Nhiệm vụ nghiên cứu Cần trình bày kiến thức bổ trợ cần thiết đại số tập hợp, không gian độ đo, định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích Lebesgue không gian định chuẩn, không gian Lp Hệ thống lại định nghĩa hội tụ dãy hàm, dãy thiết lập mối liên hệ dạng hội tụ thông qua sơ đồ, tìm hiểu mối liên hệ dạng hội tụ dãy xét không gian độ đo vô hạn hay hữu hạn với độ đo đủ Chọn ví dụ, phản ví dụ hay tập cần thiết để làm rõ định nghĩa hội tụ dãy hàm mối liên hệ dạng hội tụ Phương pháp nghiên cứu Trước tiên, khảo sát tài liệu có, nghiên cứu chủ đề hội tụ dãy hàm làm thiếu sót Sau đó, tìm chọn lựa tài liệu cần thiết, đọc tài liệu hệ thống lại kiến thức định nghĩa, định lý hội tụ dãy hàm đo được, dãy hàm khả tích HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Phạm vi đề tài Đề tài: "Một số định lý hội tụ dãy hàm đo được" nghiên cứu hội tụ dãy hàm đo được, khả tích Đồng thời, mối liên hệ hội tụ dãy hàm mối liên hệ thay đổi xét không gian độ đo vô hạn hay hữu hạn(hoặc bổ sung vào điều kiện cần thiết) Bên cạnh đó, lập lược đồ mối liên hệ dạng hội tụ kèm theo ví dụ hay phản ví dụ để minh chứng cho mối liên hệ trên, đề tài mở rộng lên không gian Lp , tức mối liên hệ dạng hội tụ không gian Bố cục đề tài Từ mục đích nhiệm vụ đặt ra, đề tài trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan chi tiết định nghĩa, định lý hội tụ dãy hàm đo khả tích mối liên hệ chúng Đồng thời, đề tài đưa tập bổ sung cho định lý mở rộng trình bày kết không gian Lp Bố cục xếp sau: Ngoài phần mở đầu, phần kết luân, mục lục danh mục kí hiệu Nội dung đề tài gồm hai chương: Trong chương 1, trình bày kiến thức đại số, σ-đại số, σ-đại số Borel Tiếp theo, định nghĩa độ đo đại số, độ đo tính chất, không gian độ đo độ đo Lebesgue Trình bày khái niệm hàm đo được, hàm khả tích tính chất hai hàm Phần cuối, định nghĩa không gian định chuẩn không gian Lp Chương 2, đưa khái niệm như: hội tụ đều, hội tụ đều, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo hội tụ trung bình Lấy ví dụ hội tụ dãy hàm đưa định nghĩa dãy ứng với hội tụ nêu Tìm mối liên hệ dạng hội tụ lập sơ đồ thể mối liên hệ hội tụ dãy hàm, kèm theo ví dụ hay phản ví dụ minh chứng cho mối liên hệ Các định lý liên quan đến hội tụ dãy hàm đưa vào mở rộng kết mối liên hệ dạng hội tụ không gian Lp Chương Kiến thức cần thiết Chương trình bày kiến thức đại số, σ-đại số Định nghĩa độ đo đại số tập hợp, độ đo tính chất quan trọng, cách xây dựng độ đo Lebesgue Tiếp theo, đưa định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích tính chất quan trọng cách kiểm tra tính đo khả tích hàm Phần cuối, trình bày không gian định chuẩn không gian Lp 1.1 Không gian độ đo 1.1.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1 [1] Cho X tập không rỗng Xét C ⊂ P(X) lớp khác rỗng tập X, lớp C gọi đại số X nếu: A ∪ B ∈ C với A, B ∈ C; Ac = (X \ A) ∈ C với A ∈ C Xét C ⊂ P(X) lớp khác rỗng tập X, lớp C gọi σ-đại số X nếu: ∞ An ∈ C với dãy (An )n ⊂ C; n=1 Ac = (X \ A) ∈ C với A ∈ C HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP suy ra, fn dµ ≤ − − lim inf n f dµ Ac Ac Do đó, n Ac X f dµ − fn dµ ≤ f dµ − lim inf X f dµ f dµ = Ac A Kết hợp với (*), thu được: fn dµ ≤ lim sup n f dµ (2) A A Từ (1) (2), suy ra: n n n A f dµ A A A A Như vậy, lim fn dµ = fn dµ ≤ fn dµ ≤ lim sup f dµ ≤ lim inf f dµ A Trong trường hợp, lim fn dµ = +∞ khẳng định sai Chẳng n X hạn, cho dãy hàm (fn )n xác định sau: fn = X[−n;0] + X[n−1;n] R với độ đo Lebesgue Xét f = X(−∞;0] Với x ∈ X, lim fn (x) = lim X[−n;0] (x) + X[n−1;n] (x) = n n X(−∞;0] (x) = f (x) Khi đó, dãy hàm fn → f X[−n;0] dµ + fn dµ = R X[n−1;n] dµ = R 1dµ + [−n;0] R 1dµ = n + [n−1;n] Mặt khác, X[−∞;0] dµ = f dµ = R 1dµ = +∞ [−∞;0] R Suy lim fn dµ = n R f dµ = +∞ R Nhưng, lấy A = (0; +∞), ta có: X[−n;0] dµ + fn dµ = A A X[n−1;n] dµ = A 1dµ = [n−1;n] Trong khi, X[−∞;0] dµ = f dµ = A Như vậy, lim fn dµ = n A A 0dµ = (0;+∞) f dµ A 39 HÀ ANH QUỐC 2.2.5 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Mối liên hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ Dãy hàm (fn )n hội tụ hàm f suy (fn )n hội tụ hầu khắp nơi hàm f Định lý sau khẳng định điều Định lý 2.22 Cho dãy hàm (fn )n hàm f hàm đo A Nếu h.k h.k.n fn ⇒ f fn −−→ f A Chứng minh h.k Theo giả thiết: fn ⇒ f nên với k ∈ N, tồn Ek cho µ(Ek ) < k fn ⇒ f A \ Ek ∞ ∞ Ekc (A \ Ek ) = Đặt: F = k=1 k=1 Khi đó, ∞ ∞ Ekc ) µ(A \ F ) = µ(A \ Ek ) ≤ µEk < = µ( k=1 k=1 , ∀k ∈ N k Suy ra, µ(A \ F ) = Với x ∈ F , tồn k ∈ N cho x ∈ A \ Ek Mà fn ⇒ f A \ Ek nên lim fn (x) = f (x) Do đó, fn → f F n h.k.n Như vậy, fn −−→ f A h.k.n Chiều ngược lại định lý nói chung không đúng, tức cho dãy fn −−→ f h.k không suy fn ⇒ f A Ví dụ: Xét cho dãy hàm (fn )n xác định tập số thực với độ đo Lebesgue sau: 1 x ∈ [n; n + 1] fn (x) = X[n;n+1] (x) = , với n ∈ N 0 x ∈ / [n; n + 1] Với x ∈ R, tồn n0 ∈ N cho x ∈ [n0 ; n0 + 1] fn (x) = 0, ∀n ≥ n0 h.k.n Suy ra, fn −−→ R 2n + Nhưng, chọn ε = , với B ⊂ n; suy µB ≤ µ 2 Dãy hàm (fn )n xác định R \ B sau: 1 x ∈ [n; n + 1] \ B, fn (x) = 0 x ∈ / [n; n + 1] \ B 40 n; 2n + = HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Do đó, lim sup |fn (x) − 0| = suy (fn )n không hội tụ hàm R \ B n x∈R\B Như vậy, (fn )n không hội tụ hàm R Trường hợp µA < +∞, theo định lý Egoroff dãy hàm (fn )n dãy hàm đo h.k.n được, hữu hạn hầu khắp fn −−→ f A (fn )n hội tụ hàm f A Nhận xét: h.k.n Cho dãy hàm (fn )n hàm f hàm đo R cho fn −−−→ f Nếu h.k tồn hàm g khả tích R thỏa |fn (x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi fn ⇒ f R Thật vậy, theo giả thiết |fn (x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi g hàm khả tích R nên |fn | khả tích R Áp dụng bổ đề Fatou, ta có: |f |dµ ≤ lim inf |fn |dµ ≤ n R R gdµ R Suy ra, |f | khả tích R nên f khả tích R Theo định lý Lebesgue hội tụ bị chặn, ta có: lim fn dµ = n R f dµ R nên lim | (fn − f )dµ| = hay lim |fn − f |dµ = n n R R Khi đó, với ε > 0, tồn n0 ∈ N, với n ∈ N mà n ≥ n0 |fn − f |dµ < ε2 R Đặt: B = {x ∈ R : |fn (x) − f (x)| ≥ ε}, suy εdµ ≤ ε.µB = B |fn − f |dµ ≤ B |fn − f |dµ R Do đó, µB ≤ ε |fn − f |dµ < ε2 = ε ε R Với n ≥ n0 , ta có: |fn (x) − f (x)| < ε với x ∈ R \ B Do đó, (fn )n hội tụ hàm f R \ B h.k Như vậy, fn ⇒ f R 41 HÀ ANH QUỐC 2.2.6 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Mối liên hệ hội tụ hội tụ theo độ đo Cho dãy hàm (fn )n hội tụ hàm f suy (fn )n hội tụ theo độ đo hàm f , định lý sau khẳng định điều Định lý 2.23 Cho dãy hàm (fn )n hàm f hàm đo A Nếu h.k µ fn ⇒ f fn → − f A Chứng minh Với ε > tùy ý Đặt: An = {x ∈ A : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} h.k Theo giả thiết fn ⇒ f nên với ε > 0, tồn B ⊂ A cho µB < ε fn ⇒ f A \ B Do đó, ta chọn k cho với n ≥ k |fn (x) − f (x)| < ε với x ∈ A \ B Khi đó, An ⊂ B với n ≥ k nên µAn ≤ µB < ε với n ≥ k Suy µ ra, µAn → n → ∞ Như vậy, fn → − f A µ Chiều ngược lại định lý nói chung không đúng, tức dãy fn → − f h.k suy fn ⇒ f A Ví dụ: Xét dãy hàm (fn )n xác định A = [0; 1] sau: n x ∈ [0; ], n fn (x) = 0 x ∈ ( ; 1] n 1 Với ε > tùy ý, ta có: µ{x ∈ A : |fn (x) − 0| ≥ ε} = µ([0; ]) = n n µ Suy ra, lim µ{x ∈ A : |fn (x) − 0| ≥ ε} = Vậy, fn → − A n Tuy nhiên, (fn )n không hội tụ hàm A 1 Thật vậy, chọn δ = , với B ⊂ ; suy µB ≤ µ( ; ) = δ 2 Khi đó, dãy hàm (fn )n xác định A \ B sau: n x ∈ [0; ] \ B, n fn (x) = 0 x ∈ ( ; 1] \ B n Do lim sup |fn (x) − 0| = +∞ nên (fn )n không hội tụ hàm A \ B n x∈A\B Nhưng ta có định lý sau, thể mối liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ 42 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Định lý 2.24 Cho dãy hàm (fn )n hàm f hàm đo A Nếu h.k µ fn → − f tồn dãy (fnk )k ⊂ (fn )n cho fnk ⇒ f A Chứng minh Với k ∈ N, đặt: An = {x ∈ A : |fn (x) − f (x)| ≥ µ } k Theo giả thiết fn → − f nên lim µAn = n Chọn nk cho với n ≥ nk µAn < k ∞ ∞ Ek B = Bl Khi đó, Đặt: Ek = {x ∈ An : |fnk (x) − f (x)| ≥ }; Bl = k k=l l=1 ∞ µB ≤ µBl = µ( ∞ ∞ Ek ) ≤ k=l µEk < k=l k=l 1 = l−1 , ∀l ∈ N k 2 Suy ra, µB = Hơn nữa, ∞ A \ Bl = A \ ∞ A \ Ek Ek = k=l k=l , ∀k ≥ l k A \ Bl ) tồn l cho x ∈ Nếu x ∈ A \ Bl x ∈ A \ Ek , ∀k ≥ l Suy ra, |fnk (x) − f (x)| < ∞ Với x ∈ A \ B(trong A \ B = l=1 A \ Ek , ∀k ≥ l, nên |fnk (x) − f (x)| < Do đó, sup |fnk (x) − f (x)| ≤ x∈A\B , ∀k ≥ l k , ∀k ≥ l nên lim sup |fnk (x) − f (x)| = k x∈A\B k h.k Suy ra, fnk ⇒ f A \ B Như vậy, fnk ⇒ f A Nhận xét: Từ mối liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ ta suy được: Một dãy hàm (fn )n hội tụ hàm f dãy hàm (fn )n hội tụ theo độ đo hàm f Nhưng, dãy hàm (fn )n hội tụ theo độ đo hàm f suy (fn )n hội tụ hàm f Ví dụ: Cho dãy hàm (fn )n xác định [0; 1) sau: x x ∈ [0; − ) n f (x) = x [0; 1) fn (x) = 2 x ∈ [1 − ; 1) n 43 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Với ε > tùy ý Xét x ∈ [0; 1) cho |fn (x) − f (x)| ≥ ε x ∈ [1 − ; 1) n Suy Bn = {x ∈ [0; 1) : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} ⊂ − ;1 n 1 µ ; = hay lim µBn = Vậy, fn → − [0; 1) n n n 1 + Lấy x ∈ [0; 1), tồn n0 ∈ N cho x < − Chọn n0 = n0 1−x Nếu n > n0 x ∈ 0; − suy fn (x) = x = f (x) Do đó, fn (x) hội tụ điểm n đến f (x) [0; 1) Do đó, µBn ≤ µ 1− Tuy nhiên, sup |fn (x) − f (x)| = max |fn (x) − f (x)| = − − x∈[0;1) x∈[0;1) 1 =1+ , n n suy lim sup |fn (x) − f (x)| = = n x∈[0;1) Như vậy, (fn )n không hội tụ hàm f [0; 1) 2.2.7 Mối liên hệ hội tụ hội tụ trung bình Cho dãy hàm (fn )n hội tụ hàm f suy (fn )n hội tụ trung bình hàm f Ví dụ: Cho dãy hàm (fn )n xác định A = [0; 1] với độ đo Lebesgue sau: n x ∈ [ ; ] n n fn (x) = 0 x ∈ / [ ; ] n n Với ε > 0, chọn n0 ∈ N cho < n0 ε 2 Đặt: B = 0; suy µB = µ 0; = < ε n0 n0 n0 2 Với x ∈ A \ B, ta có: < < x, ∀n ≥ n0 Suy ra, với x ∈ A \ B n n0 h.k fn (x) = 0, với n ≥ n0 Do đó, fn ⇒ A \ B, fn ⇒ A Tuy nhiên, 2/n |fn − 0|dµ = A |fn |dµ + B A\B |fn |dµ = fn (x)dx + 44 2/n 2/n 0dx = ndx = n 1/n = n HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Suy ra, lim |fn − 0|dµ = = Như vậy, (fn )n không hội tụ trung bình hàm n A Chiều ngược lại định lý không đúng, tức dãy hàm (fn )n hội tụ trung bình hàm f không suy (fn )n hội tụ hàm f Nhận xét: h.k ρ Nếu fn → − f tồn dãy (fnk )k ⊂ (fn )n cho fnk ⇒ f A ρ µ Thật vậy, theo giả thiết fn → − f suy fn → − f Do (fn )n hội tụ theo độ đo hàm h.k f nên tồn dãy (fnk )k ⊂ (fn )n cho fnk ⇒ f A 2.2.8 Mối liên hệ hội tụ trung bình hội tụ Trường hợp µA < +∞ dãy hàm (fn )n hội tụ hàm f suy (fn )n hội tụ trung bình hàm f Định lý sau khẳng định điều Định lý 2.25 Cho dãy hàm (fn )n hàm khả tích hàm f đo ρ A Nếu µA < +∞ fn ⇒ f fn → − f A Chứng minh Theo giả thiết fn ⇒ f A nên với ε > 0, tồn n0 ∈ N, với n ∈ N cho n ≥ n0 |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ A Với n ∈ N mà n ≥ n0 , ta có: |fn − f |dµ ≤ A εdµ = ε.µA A Do µA < +∞ suy lim |fn − f |dµ = ρ n A Như vậy, fn → − f A Hai điều kiện dãy hàm (fn )n khả tích (fn )n hội tụ hàm f điều kiện cần để giới hạn dãy hàm khả tích Có thể xảy trường hợp thiếu hai điều kiện hàm hội tụ khả tích Ví dụ: Cho dãy hàm (fn )n , fn (x) = xn không hội tụ đến hàm f (x) = đoạn [0; 1], nhiên f (x) hàm khả tích [0; 1] ta có: lim =0= xn dx = lim n n+1 fn (x)dx = lim n n 1 f (x)dµ 45 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 2 Xét dãy hàm (fn )n fn (x) = nxe−nx đoạn [0; 1] Ta có: f (x) = lim nxe−nx = với x ∈ [0; 1], n f (x)dx = 0 Tuy nhiên, lim 1 nxe−nx dx = lim (1 − e−n ) = = n 2 fn (x)dx = lim n n 0 Trong trường hợp µA = +∞ định lý không nữa, tức dãy hàm (fn )n hội tụ hàm f không suy (fn )n hội tụ trung bình hàm f Ví dụ: Xét A = [0; +∞) dãy hàm (fn )n xác định A sau: x ∈ [0; n] , với n ∈ N fn (x) = n 0 x ∈ / [0; n] Khi đó, dãy hàm (fn )n hội tụ đến hàm A, không hội tụ trung bình hàm 1 = Suy ra, lim sup |fn (x) − 0| = n x∈A n x∈A x∈[0;n] n Vậy (fn )n hội tụ hàm A Thật vậy, ta có: sup |fn (x) − 0| = sup Nhưng, dµ + n |fn − 0|dµ = A [0;n] 0dµ = = (n;+∞) Như vậy, dãy hàm (fn )n không hội tụ trung bình hàm A Chiều ngược lại không đúng, nghĩa dãy hàm (fn )n hội tụ trung bình hàm f không suy (fn )n hội tụ hàm f Ví dụ: Cho dãy hàm (fn )n xác định A = [0; 1]: fn (x) = xn với x ∈ [0; 1] Ta có: n |fn − 0|dµ = A xn dx = |x |dµ = [0;1] xn+1 n+1 = n+1 Suy ra, lim |fn − 0|dµ = Như vậy, dãy hàm (fn )n hội tụ trung bình hàm n A Nhưng, (fn )n không hội tụ [0; 1] Thật vậy, sup |fn (x) − 0| = sup |xn | = max |xn | = x∈A x∈[0;1] x∈[0;1] Suy ra, lim sup |fn (x) − 0| = = n x∈A 46 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Định lý 2.26 (Định lý Dini) Cho dãy hàm (fn )n dãy hàm liên tục, đơn điệu fn → f , với hàm f liên tục R (fn )n hội tụ đến hàm f R Hơn nữa, lim fn (x)dµ = n R f (x)dµ R Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử dãy (fn )n dãy hàm đơn điệu giảm Với n ∈ R, đặt gn (x) = fn (x) − f (x) gn (x) hàm liên tục lim gn (x) = n Hơn nữa, gn (x) > gn+1 (x) > Ta có: sup |fn (x) − f (x)| = sup gn (x) Ta cần chứng minh: lim sup gn (x) = x∈R n x∈R x∈R Lấy ε > 0, gọi Gn = {x ∈ R : gn (x) < ε} gn (x) hàm liên tục nên Gn tập mở gn (x) > gn+1 (x) nên Gn ⊂ Gn+1 Với x ∈ R lim gn (x) = nên tồn n0 ∈ N cho gn0 (x) < ε Suy ra, n ∞ x ∈ Gn0 , hay R = Gn Do R tập compact nên họ tập mở Gn phủ R chứa n=1 họ hữu hạn phủ R, mà Gn ⊂ Gn+1 nên có tập GN0 = R Từ suy ra, gN0 (x) < ε, ∀x ∈ R Mặt khác, (gn )n dãy giảm gn ≥ suy lim sup gn (x) = n x∈A Như vậy, (fn )n hội tụ hàm f R lim fn (x)dµ = n R 2.2.9 f (x)dµ R Lược đồ thể mối liên hệ dạng hội tụ Sự hội tụ dãy hàm đo khả tích có mối liên hệ với nhau, để dễ dàng nắm mối liên hệ ta lập sơ đồ thể mối liên hệ dạng hội tụ Tuy nhiên, mối liên hệ có thay đổi tùy thuộc vào việc đưa thêm điều kiện cần thiết, hay không gian xét có độ đo hữu hạn hay không? Chẳng hạn, dãy hàm (fn )n hội tụ hầu khắp nơi hàm f suy dãy hàm hội tụ theo độ đo Nhưng xét dãy hàm (fn )n không gian hữu hạn, (fn )n hội tụ hầu khắp nơi hàm f suy (fn )n hội tụ theo độ đo hàm f Dựa vào mối liên hệ dạng hội tụ ta thấy hội tụ dạng hội tụ mạnh, suy dạng hội tụ lại Trong đó, hội tụ theo độ đo hay hội tụ hầu khắp nơi dạng hội tụ có tính chất yếu, xét điều điện tốt như: dãy hàm (fn )n hội tụ hầu khắp nơi(hay hội tụ theo độ đo hàm f |fn | ≤ g, với g hàm khả tích suy (fn )n hôi tụ trung bình 47 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP hàm f Sau lược đồ thể mối liên hệ dạng hội tụ hai trường hợp không gian độ đo không gian độ đo hữu hạn Kí hiệu: • Trường hợp không gian độ đo bất kì: Lược đồ mối liên hệ dạng hội tụ • Trường hợp không gian độ đo hữu hạn: Lược đồ mối liên hệ dạng hội tụ 48 HÀ ANH QUỐC 2.2.10 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Mối liên hệ dạng hội tụ mở rộng không gian Lp Cho (X, B, µ) không gian độ đo với ≤ p ≤ +∞ Khi đó, ta xác định chuẩn không gian Lp (X, µ) sau: f p p p |f | dµ = với ≤ p < +∞; X f ∞ = ess sup |f | với p = +∞ X Hơn nữa, Lp (X, µ) không gian định chuẩn Định lý 2.27 Không gian Lp (X, µ) với ≤ p < +∞ không gian Banach Chứng minh Giả sử (fn )n dãy không gian Lp (X, µ) Khi đó, tồn dãy (fnk )k ⊂ (fn )n cho: fnk+1 (x) − fnk (x) ≤ k với k ∈ N ∞ Đặt: gm (x) = |fnk+1 (x) − fnk (x)| với x ∈ X Khi đó, (gm )m dãy k=1 hàm đo không âm X ∞ gm ≤ ∞ fnk+1 − fnk ≤ k=1 k=1 = 1, ∀m = 1, 2, 3, 2k Với x ∈ X, đặt g(x) = lim gm (x), hàm g(x) nhận giá trị vô m số điểm x Theo bổ đề Fatou, ta có: |g(x)|p dµ = X lim |gm (x)|p dµ ≤ lim m |gm (x)|p dµ ≤ m X X Suy g p khả tích X Vậy g(x) hữu hạn hầu khắp nơi X chuỗi ∞ |fnk+1 (x) − fnk (x)| hội tụ hầu khắp nơi X k=1 ∞ (fnk+1 (x) − fnk (x)) hội tụ hầu Vì R không gian Banach nên chuỗi fn1 (x) + k=1 khắp nơi hàm f (x) X Ta giả sử f (x) = chuỗi không hội tụ Từ suy lim fnk (x) = f (x) hầu khắp nơi X k Vì (fn )n dãy nên với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho fm − fn < ε với m, n ≥ n0 Áp dụng bổ đề Fatou, với m, n ≥ n0 ta được: |f (x) − fn (x)|p dµ = X lim |fnk (x) − fn (x)|p dµ ≤ lim k |fnk (x) − fn (x)|p dµ ≤ εp k X X Do đó, fn − f < ε với n ≥ n0 49 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Như vậy, f = (f − fn ) + fn ∈ Lp (X, µ) lim fn − f = hay nói cách khác n (fn )n hội tụ hàm f Hơn nữa, L∞ (X, µ) không gian Banach Thậy vậy, xét dãy (fn )n dãy L∞ (X, µ) ∞ Đặt: Em,n = {x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| > fm − fn ∞ } E = Em,n Khi m,n=1 đó, Em,n đo µ(Em,n ) = rút được: µE = Vì (fn )n dãy nên với ε > cho trước, tồn n0 ∈ N cho fm − fn ∞ < ε với m, n ≥ n0 Do |fm (x) − fn (x)| ≤ fm − fn ∞ với x ∈ X \ E nên |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀m, n ≥ n0 Với x ∈ A \ E dãy (fn (x)) dãy R nên hội tụ Ta đặt: f (x) = lim fn (x) Khi đó, hàm f xác định X \ E giả sử đặt f (x) = E n Cố định m ≥ n0 cho n → ∞, ta được: |f( x) − fm (x)| ≤ ε, ∀x ∈ X \ E Do µE = nên f − fm ∈ L∞ (X, µ) Như vậy, f ∈ Lp (X, µ) lim fn − f = hay (fn )n hội tụ hàm f n Sự hội tụ không gian Lp gọi hội tụ trung bình cấp p, ρ(Lp ) kí hiệu: fn (x) −−−→ f (x) Hệ quả: Cho ≤ p < ∞ Nếu (fn )n ⊂ Lp (X, µ) lim fn − f = tồn n dãy (fnk )k ⊂ (fn )n hội tụ hầu khắp nơi hàm f X Định lý 2.28 Cho dãy (fn )n ⊂ Lp (X, µ) với ≤ p < ∞ Nếu dãy (fn )n đơn điệu tăng hội tụ hầu khắp nơi hàm f X lim fn − f = n Chứng minh Ta có: |fn (x) − f (x)|p ≤ |f1 (x) − f (x)|p hầu khắp nơi X lim |fn (x) − f (x)| = hầu khắp nơi Theo định lý Lebesgue hội tụ bị chặn ta n có: lim |fn (x) − f (x)|p dµ = n X Như vậy, lim fn − f = n Định lý 2.29 Trong không gian Lp (X, µ), dãy hội tụ trung bình cấp p hội tụ theo độ đo Chứng minh Với ε > tùy ý, đặt: B = {x ∈ C : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} Ta có: |fn (x) − f (x)|p dµ ≥ X |fn (x) − f (x)|p dµ ≥ B εp dµ = εp µB B 50 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ρ(Lp ) Nếu fn (x) −−−→ f (x) µB → n → ∞ Như vậy, (fn )n hội tụ theo độ đo hàm f Mối quan hệ dạng hội tụ Nhận xét: Cho (X, B, µ) không gian độ đo, f hàm đo X Giả sử µX < +∞, dãy (fn )n ⊂ Lp (X, µ) hội tụ hầu khắp nơi hàm f ∈ Lp (X, µ) fn → f dãy (fn )n hội tụ theo trung bình cấp p hàm f X Cho (X, B, µ) không gian độ đo (fn )n dãy hàm đo cho lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ A mà A ∈ B Giả sử |fn | ≤ g g hàm đo n p g khả tích, không âm với p > Khi đó: lim |fn − f |p dµ = n A Thật vậy, với a, b ∈ R, ta có: |a − b|p ≤ |a| + |b| p p ≤ max{|a|, |b|} = 2p max{|a|p , |b|p } Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được: |fn (x) − f (x)|p ≤ 2p max{|fnp (x)|, |f p (x)|p } ≤ 2p g p (x) Do g p hàm khả tích không âm nên |fn − f |p khả tích Mà lim fn (x) = f (x) hay lim |fn (x) − f (x)| = n n p Suy ra, lim |fn (x) − f (x)| = Áp dụng định lý Lebesgue hội tụ bị chặn, ta n có: lim |fn − f |p dµ = |fn − f |p dµ = lim n A n A 51 HÀ ANH QUỐC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN KẾT LUẬN Kết nghiên cứu Đề tài: "Một số định lý hội tụ dãy hàm đo được" nghiên cứu hội tụ dãy hàm đo được, khả tích Đồng thời, mối liên hệ hội tụ dãy hàm cho thấy thay đổi mối liên hệ chuyển từ không gian độ đo sang không gian độ đo hữu hạn(hoặc ta bổ sung vào điều kiện cần thiết) Bên cạnh đó, lập lược đồ mối liên hệ dạng hội tụ kèm theo ví dụ hay phản ví dụ để minh chứng cho mối liên hệ mở rộng lên không gian Lp , tức mối liên hệ dạng hội tụ không gian Ý nghĩa nghiên cứu Đề tài trình bày có hệ thống kiến thức liên quan chi tiết định lý hội tụ dãy hàm như: định lý Lebesgue hội tụ bị chặn, định lý Egoroff, định lý B.Levi, định lý Dini hay định lý Vitali Lập sơ đồ thể mối liên hệ dạng hội tụ, lấy ví dụ hay phản ví dụ minh họa mà đưa kết mối liên hệ dạng hội tụ không gian Lp Do vậy, đề tài trở thành tài liệu tham khảo chuyên sâu hữu ích cho sinh viên chuyên ngành Toán lĩnh vực lý thuyết độ đo học Toán giải tích Tôi cố gắng hoàn thành khóa luận cách tốt có thể, vào phân tích hệ thống hóa kiến thức nhằm giúp người đọc có nhìn tổng quát vấn đề xét Tuy nhiên, hạn chế thân thời gian có hạn nên trình bày khóa luận tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý bạn bè quý thầy cô giáo để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lương Hà(2013), Giáo trình độ đo tích phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm(2007), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Định-Nguyễn Ngọc Hải(1999), Các định lý tập hàm thực, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [5] D.H Sattinger(2004), Measure Theory and Integration, Department of mathematics Yales university [6] Frank Burk(1998), Lebesgue Measure and Integral An Introduction, John Wiley & Sons, Inc [7] Robert G Bartle(2001), Solution Manual to A modern of Integration, American Mathematical Society 53 ... phép gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Toán B, toàn thể quý thầy cô Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, người truyền tải kiến thức, kinh nghiệm cho thân giúp đỡ thời