Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015 Footer Page of 126 Header Page of 126 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thạc Dũng - Người thầy bên động viên, dạy giúp đỡ tận tình để hoàn thành tốt luận văn Thật khó nói hết quan tâm lớn lao mà thầy dành cho suốt thời gian qua Thầy không quản ngại không gian, thời gian vật chất, dành hết tâm huyết cho công việc, không ngừng mong mỏi học trò lĩnh hội nhiều kiến thức Thầy người thầy mẫu mực, gương sáng để lớp lớp hệ học trò noi theo Qua đây, xin phép gửi lời cảm ơn tới tập thể thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Tôi cảm ơn gia đình, cảm ơn bạn bè, cảm ơn tất người quan tâm, góp ý, giúp đỡ cho Trong trình làm luận văn, cố gắng thực tế sức khỏe không tốt, kiến thức hạn chế lại thêm hoàn cảnh đặc biệt nên luận văn khó tránh khỏi có thiếu sót Tôi kính mong quý thầy cô bạn bổ sung, góp ý ý kiến quý báu để luận văn hoàn chỉnh Cuối cùng, xin kính chúc quý thầy cô bạn sức khỏe, hạnh phúc thành đạt! Chúc năm an khang, thịnh vượng! Hà Nội, tháng 12 năm 2015 i Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Phần mở đầu 1 Một số kiến thức giải tích phức nhiều biến 1.1 1.2 Hàm đa điều hòa miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.2 Miền giả lồi Toán tử Laplace-Beltrami đa tạp K¨ahler Cận nhỏ phổ toán tử Laplace-Beltrami miền giả lồi bị chặn 11 2.1 Ước lượng cận λ1 11 2.2 Ước lượng cận λ1 23 2.3 Giá trị cực đại λ1 vài miền đặc biệt 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 ii Footer Page of 126 Header Page of 126 Phần mở đầu Cho (M n , g) đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler n gij dzi ⊗ dz j g= i,j=1 Giả sử n ∂2 ∆g = −4 g ∂zi ∂z j i,j=1 ij toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric g Ở ta dùng ký hiệu g ij t = gij −1 Khi đó, cận nhỏ phổ toán tử Laplace-Beltrami xác định  n  ∂f ∂f λ1 (∆g , M ) = inf dVg : f ∈ C0∞ (M ), f g ij  M ∂zi ∂z j i,j=1 L2   =1  dVg dạng thể tích M tương ứng với metric K¨ahler g Bài toán đặt tính giá trị λ1 cho đánh giá λ1 Tất nhiên việc đánh giá phụ thuộc vào đa tạp M metric K¨ahler g Người ta chứng minh M đa tạp compact ∆g toán tử elliptic λ1 (∆g ) giá trị riêng dương ∆g với điều kiện biên Dirichlet Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng toán hình học vật lý Chẳng hạn, với giả thiết độ cong Footer Page of 126 Header Page of 126 phù hợp giả thiết λ1 có cận phù hợp, Li-Wang-Munteanu-KongZhou đa tạp phải có dạng hình học đặc biệt (xem [6, 10, 11, 12, 17]) Trước hết ta ý λ1 (∆g ) giá trị riêng ∆g Ví dụ, M không gian hyperbolic phức λ1 (∆g ) giá trị riêng ∆g Tuy nhiên, cận phổ dương ∆g Tổng quát M đa tạp K¨ahler không compact λ1 (∆g ) không giá trị riêng ∆g dù đa tạp đa tạp đầy Khi M đa tạp đầy không compact, có nhiều người nghiên cứu toán đánh giá cho λ1 (∆g ) mà điển hình công trình Li Wang ([10]) Với giả thiết độ cong song nhát cắt chỉnh hình M bị chặn −1, họ chứng minh λ1 (∆g ) ≤ n2 Đánh giá họ chặt đẳng thức đạt M không gian hyperbolic phức Sau Munteanu ([17]) chứng minh cách tốt λ1 (∆g ) ≤ n2 với giả thiết độ cong Ricci M bị chặn −2(n + 1) Ước lượng Munteanu chặt dấu đẳng thức đạt không gian hyperbolic phức Luận văn trình bày cách chi tiết kết báo Song-Ying Li My-An Tran ([16]) Nội dung luận văn đưa ví dụ đa tạp K¨ahler đầy đủ mà chúng giá trị xác λ1 tính toán Nói cách cụ thể, ta ước lượng xác λ1 (∆u ) miền D miền giả lồi bị chặn Cn với ∂ 2u metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j , uij = với u hàm đa điều ∂zi ∂z j hòa chặt, vét cạn miền D Trong trường hợp tổng quát, D miền Footer Page of 126 Header Page of 126 giả lồi bị chặn việc tính xác giá trị λ1 (∆u ) phức tạp Vì thế, cần phải đưa vào điều kiện phụ khác hàm u vét cạn D Nhờ điều kiện đó, xấp xỉ cận cận λ1 cách xây dựng hàm đặc biệt tiến hành phân tích miền D Luận văn bao gồm hai chương Trong chương mở đầu, nhắc lại vài kiến thức hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi toán tử Laplace-Beltrami đa tạp K¨ahler Trong chương hai, xét ước lượng cận cận cận nhỏ phổ toán tử LaplaceBeltrami Ước lượng cận xét mục 2.1, ước lượng cận trình bày mục 2.2 Đặc biệt, mục 2.2 đưa cách chứng minh khác cho Định lý 2.2 Chứng minh đơn giản so với chứng minh báo gốc Trong mục 2.3, đưa ước lượng cận nhỏ phổ miền giả lồi đặc biệt với metric K¨ahler-Einstein metric Bergman Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Một số kiến thức giải tích phức nhiều biến 1.1 Hàm đa điều hòa miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω miền Cn , u : Ω → R hàm thuộc lớp C Khi u gọi hàm đa điều hòa n ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , , ξn ) ∈ Cn ∂zi ∂z j i,j=1 Do uij = ∂ 2u = uij + i uij , đặt ξj = xj + iyj , ∀j = 1, n, ta có dzi dz j uij ξi ξ j = ( uij + = ( uij + √ √ −1 uij )(xi + √ −1yi )(xj − −1 uij )(xi xj + yi yj + Footer Page of 126 √ √ −1yj ) −1(yi xj − xi yj )) Header Page of 126 = uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj + √ −1( uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj )) Vì vậy, u hàm đa điều hòa thuộc lớp C n uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj ) ≥ i,j=1 n uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj ) = ∀ xi , yi ∈ R i,j=1 Định nghĩa 1.2 Một hàm u thuộc lớp C gọi hàm đa điều hòa chặt tồn số > cho u − |z|2 hàm đa điều hòa Vì vậy, u hàm đa điều hòa (chặt) ma trận Hessian phức (uij )của ma trận Hermit xác định dương (chặt) Chú ý u hàm đa điều hòa chặt (uij ) khả nghịch u−1 = (uij )t ma trận Hermit xác định dương chặt Ví dụ Xét không gian phức C2 , cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 v(z, w) = |z|2 + |w|2 với (z, w) ∈ C2 Khi đó, u hàm đa điều hòa chặt v hàm đa điều hòa Thật vậy, dễ thấy u, v hàm trơn, nữa, ma trận Hessian phức u v   1 0   Hu (z, w) =   = I2 ,    1    Hv (z, w) =     |w|2 Footer Page of 126  Header Page 10 of 126 Cả hai ma trận Hermite Ma trận Hu xác định dương chặt Hv xác định dương 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Rn tập mở Ta nói Ω có biên lớp C k , k ≥ tồn lân cận U ∂Ω hàm r lớp C k xác định U cho Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0} dr = ∂Ω với z ∈ ∂Ω n dr(z) = j=1 ∂r (z)dxj ∂xj Định nghĩa 1.3 Giả sử Ω miền bị chặn Cn , n ≥ r hàm xác định D D gọi miền giả lồi hay miền giả lồi Levi p ∈ ∂Ω dạng Levi n ∂ 2r Lp (r, ξ) = (p)ξi ξ j ≥ ∂z ∂z i j i,j=1 ∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω) Ω gọi miền giả lồi chặt p dạng Levi xác định dương chặt ∀ξ = Ω miền giả lồi chặt Ω miền giả lồi chặt điểm Ví dụ Xét không gian phức C2 hình cầu đơn vị B2 = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 < 1} Khi B2 miền giả lồi chặt Thật vậy, ta chọn hàm xác định ∂B2 hàm r(z, w) = |z|2 + |w|2 − Hàm hàm đa điều hòa chặt điểm (z, w) ∈ ∂B2 Footer Page 10 of 126 Header Page 28 of 126    r ∂r    J(r) = −det     (∂r)∗ H(r)    −e−u u1 e−u     u e−u u e−u − u u e−u 1  11 = −det        un e−u un1 e−u − un u1 e−u   −e−u u1 e−u     u e−u (u − u u )e−u 1  11 = −det        un e−u (un1 − un u1 )e−u  1 −u1    u u − u u 1  11 = (e−u )n+1 det        un un1 − un u1    u11 u1n         = e−(n+1)u det          un1 unn 24 Footer Page 28 of 126 un e−u     u1n e−u − u1 un e−u          −u −u unn e − un un e  un e−u     (u1n − u1 un )e−u          (unn − un un )e−u  −un     u1n − u1 un          unn − un un Header Page 29 of 126 Ở đây, dấu cuối cùng, ta thực nhân hàng với −ui cộng vào hàng i + với i = 2, n, sau khai triển định thức theo cột Đặt    u11 u1n         H(u) :=          un1 unn e−u Khi J(r) = e−(n+1)u detH(u) Một cách tương đương, ta có detH(u) = J(r) e−(n+1)u = J(r) (e−u )n+1 = J(r) (−1)n+1 [(−1)n+1 (e−u )n+1 ] = J(r) (−1)n+1 [(−e−u )n+1 ] = J(r) (−1)n+1 rn+1 Vậy, từ ta kết luận detH(u) = J(r) −r n+1 Từ khẳng định trên, ta dễ dàng nhận dVu = detH(u)dv = Ta chứng minh định lý sau 25 Footer Page 29 of 126 J(r) dv (−r)n+1 Header Page 30 of 126 Định lý 2.1 Nếu |∂u|2u ≤ β D r ∈ C (D) ∩ C 0,1 (D) với J(r) bị chặn D λ1 (D) ≤ βn2 (2.8) Chứng minh Ta ước lượng cận λ1 thông qua đặc trưng biến phân λ1 cách xây dựng hàm thử phù hợp f thay vào định n nghĩa λ1 Để làm vậy, trước hết, ta chọn α = + với > nhỏ f (z) = (−r(z))α Khi đó, |f (z)|2 dVu = D (−r(z))2α dVu D D J(r) dv (−r(z))n+1 D J(r)(z) dv(z) < +∞ (−r(z))1−2 (−r(z))n+2 = = (−r(z)) ≈ dist(z, ∂D) z gần ∂D J(r) bị chặn D Do đó, theo đặc trưng biến phân λ1 , ta có ( f, f )u = λ1 ≤ (f, f )u D n ij i,j=1 u ∂i f ∂j f dVu (f, f )u Với cách chọn hàm f trên, ta thấy ∂i f = ∂f = [(−r(z))α ]zi = α(−r(z))α−1 (−r(z))zi = −α(−r)α−1 ri ∂zi −α(−r)α ri ∂u = = −α(−r)α = −α(−r)α ∂i u r ∂zi Ở đây, ta sử dụng (−r(z))zi ∂u ri = [− log(−r(z))]zi = = ∂zi r(z) r 26 Footer Page 30 of 126 Header Page 31 of 126 Tương tự ∂j f = ∂f = [(−r(z))α ]z j = α(−r(z))α−1 (−r(z))z j ∂z j α−1 = −α(−r) −α(−r)α rj ∂u = −α(−r)α rj = = −α(−r)α ∂j u r ∂z j Ở ta sử dụng (−r(z))z j rj ∂u = ∂j u = [− log(−r(z))]z j = = ∂z j r(z) r Vì vậy, n 2α ij i,j=1 u α (−r) ∂i u∂j udVu λ1 ≤ D ≤ D 4α2 (−r)2α |∂u|2u dVu (f, f )u ≤ D 4α2 |f (z)|2 |∂u|2u dVu (f, f )u (f, f )u ≤ 4α2 β D |f (z)|2 dVu = 4α2 β (f, f )u n n+ n Khi α = + → λ1 ≤ 2 Định lý chứng minh xong Với β = n2 β > 0, đặt D := {z ∈ D : r(z) < − } Chú ý ∂D ∈ C , D ↑ D (2.9) → 0+ Khi ta có ước lượng cận λ1 sau Định lý 2.2 Nếu lim |∂u|2u = β z→∂D 27 Footer Page 31 of 126 ∂Dt J(r)(z)dσ(z) hàm liên Header Page 32 of 126 tục theo t [0, 1], λ1 (D) ≤ n2 β Chứng minh Với α := f (z) = (2.10) n + s (s > 0, nhỏ) γ > 0, ta đặt       [−r(z)]s {[−r(z)]γ − γ } z ∈ D\D      0 z ∈ / D\D Trước hết, ta thấy |f (z)|2 dVu (f, f )u = D D\D (−r)n+2s [(−r)γ − (−r)n+1 D\D [(−r)γ − γ ]2 J(r) dv < +∞ (−r)1−2s = = γ ] J(r) dv −r(z) ≈ dist(z, ∂D) z gần ∂D J(r) bị chặn D\D Tiếp theo, ta đặt C := J(r)(z)dσ(z) ∂D Do lim z→∂D |∂u|2u = β lim t→0 J(r)(z)dσ(z) = ∂Dt J(r)(z)dσ(z) = C ∂D nên tồn δ( ) > cho |∂u|2u ≤ β(1 + δ( )) D\D J(r)(z)dσ(z) − ∂Dt J(r)(z)dσ(z) ≤ Cδ( ) ∀0 u > đủ nhỏ, ta nhận λ1 (D\D ) ≤ 4β Cho γ → 0+ α → D\D (α + γ)2 e−2(α+γ)u dVu −2(α+γ)u dV u D\D e = 4(α + γ)2 β + n , kết n2 λ1 (D\D ) ≤ β + = βn2 + Do tính chất đơn điệu theo miền giá trị riêng nên với λ1 (D) ≤ λ1 (D\D ) Vì λ1 (D) ≤ βn2 + Vì >0 bé tùy ý, ta có điều phải chứng minh 2.3 Giá trị cực đại λ1 vài miền đặc biệt Trong phần này, sử dụng ước lượng cận cận λ1 để chứng minh định lý sau Định lý 2.3 Giả sử D miền giả lồi bị chặn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) Giả thiết u(z) = − log(−r(z)) hàm 30 Footer Page 34 of 126 Header Page 35 of 126 đa điều hòa chặt D với β(z) = ∂D Khi ký hiệu λ1 (D) = λ1 (∆u , D), ta có: (a) λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 với tập compact K D (b) Nếu bổ sung thêm điều kiện r(z) hàm đa điều hòa D λ1 (D) = n2 Chứng minh a) Từ kết hai định lý ta có λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 ∀ Kcp ⊂ D b) Do r(z) hàm đa điều hòa D, không tính tổng quát, ta giả sử H(r)(z) xác định dương với z ∈ D sử dụng r1 (z) = r(z) + (|z|2 − d) thay cho r(z), với d đường kính D Từ Bổ đề 2.1 phần (ii), ta có |∂u|2u |∂r|2r = ≤1 −r + |∂r|2r nên theo Mệnh đề 2.1, suy λ1 (D) ≥ n2 Mặt khác, theo Định lý 2.1, ta lại có λ1 (D) ≤ n2 Do với r(z) hàm đa điều hòa D λ1 (D) = n2 Từ định lý ta dẫn tới hệ quan trọng sau Hệ 2.1 Giả sử D miền giả lồi chặt, bị chặn trơn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) u(z) = − log(−r(z) Khi (i) Nếu n α,β=1 uαβ dzα ⊗ dz β metric K¨ahler-Einstein D λ1 (∆1 , D) ≤ n2 , u nghiệm đa điều hòa chặt phương 31 Footer Page 35 of 126 Header Page 36 of 126 trình Monge-Ampère: det H(u) = e(n+1)u D u = ∞ ∂D (ii) Nếu n α,β=1 uαβ dzα (2.11) ⊗ dz β metric Bergman D, ∂ log K(z, z) uij = n+1 ∂zi ∂z j K(z, w) hàm nhân Bergman miền D λ1 (∆u , D) ≤ n2 Chứng minh (i) Trước hết ta quan tâm đến toán tử Laplace-Beltrami trường hợp metric K¨ahler-Einstein Giả sử u hàm đa điều hòa chặt D cho       det H(u) = e(n+1)u D (2.12)      u = +∞ ∂D r(z) = −e−u(z) (2.13) Khi det H(u) = J(r) −r n+1 Do giả thiết nghiệm u phương trình Monge-Ampère (2.12), ta có (n+1)u e = J(r) e−u n+1 Dễ dàng thấy rằng, từ phương trình này, ta nhận J(r) = e(n+1)u e−(n+1)u = e0 = 32 Footer Page 36 of 126 Header Page 37 of 126 Bởi định lý quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Cheng Yau ([2]), Lee Melrose ([7]), ta có r(z) ∈ C n+2− (D) với > Vì vậy, ∂r = ∂D det H(r) = eu − |∂u|2u D Do det H(r)(z) bị chặn D u(z) → +∞ z → ∂D nên lim |∂u|2u = z→∂D Áp dụng Định lý 2.1 với β = ta có kết λ1 (D) ≤ n2 logK(z, z) n+1 (ii) Giả sử K hàm nhân Bergman Đặt u(z) = u(z) hàm đa điều hòa chặt D Đặt r(z) = −e−u(z) r ∈ C n+2− (D) hàm xác định D theo kết Fefferman ([4]) Giả sử ρ ∈ C ∞ (D) hàm xác định đa điều hòa chặt D Theo Fefferman ([4]), ta có u(z) = −log(−ρ(z)) + b(z), b ∈ C n+2− (D) Do [uij ] = [(−log(−ρ))ij ](In + ρB), (2.14) B ma trận vuông cấp n với tất phần tử bị chặn gần ∂D Đặt u0 = −log(−ρ) từ (2.9) ta có lim |∂u0 |2u0 = Từ z→∂D phương trình (2.14), chứng minh |∂u0 |2u0 (1 + Cρ) ≤ |∂u|2u ≤ |∂u0 |2u0 (1 − Cρ) với C z gần ∂D Vì vậy, lim |∂u|2u = z→∂D Áp dụng Định lý 2.2 với β = 1, ta có λ1 (D) ≤ n2 toán tử 33 Footer Page 37 of 126 Header Page 38 of 126 Laplace-Beltrami metric Bergman Đó điều phải chứng minh 34 Footer Page 38 of 126 Header Page 39 of 126 Kết luận Luận văn chứng minh cách chi tiết kết báo Song-Ying Li My-An Tran([16]) Các kết bao gồm, chứng minh ước lượng cận cận cho phổ toán tử Laplace–Beltrami miền giả lồi đặc biệt Từ đưa áp dụng để đánh giá cận giá trị phổ miền giả lồi với metric K¨ahler-Einstein metric Bergman Luận văn đưa cách chứng minh cho Định lý 2.2 Chứng minh đơn giản ngắn gọn so với báo gốc 35 Footer Page 39 of 126 Header Page 40 of 126 Tài liệu tham khảo [1] S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Zeits., 143 (1975), 289-297 [2] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex K¨ ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl Math., 33 (1980), 507-544 [3] C Fefferman, Monge-Amp`ere equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann of Math., 103 (1976), 395416 [4] C Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent Math., 65 (1974), 1-65 [5] L Ji, P Li and J Wang, Ends of locally symmetric spaces with maximal bottom spectrum, J Reine Angew Math., 632 (2009), 1-35 58Jxx(22Exx) [6] S Kong, P Li and D Zhou, Spectrum of the Laplacian on quaternionic K¨ ahler manifolds, J Differential Geom., 78 (2008), 295-332 36 Footer Page 40 of 126 Header Page 41 of 126 [7] J M Lee and R Melrose, Boundary behavior of the complex MongeAmp`ere equations, Acta Math., 148 (1982), 159-192 [8] P Li, Lecture notes on geometric analysis, Lecture Notes Series, 6, Research Institute of Mathematics and Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1993 [9] P Li, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Handbook of Geometric Analysis, No 1, Advanced Lectu Maths., 7, International press, 2008 [10] P Li and J Wang, Comparion theorem for K¨ ahler manifolds and positivity of spectrum, J Differential Geom., 69 (2005), 43-74 [11] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum II, J Differential Geom., 62 (2002), 143-162 [12] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum, J Differential Geom., 58 (2001), 501-534 [13] S Y Li, Characterization for balls by potential function of K¨ ahlerEinstein metrics for domains in Cn , Comm Anal Geom., 13(2) (2005), 461-478 [14] S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Amp`ere equations on weakly pseudoconvex domains, Calc Var Partial Differential Equations, 20 (2004), 119-132 37 Footer Page 41 of 126 Header Page 42 of 126 [15] S Y Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose boundaries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm Anal Geom., 17 (2009), 17-35 [16] S Y Li and M A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace–Beltrami operator on a bounded pseudoconvex domain with a K¨ahler metric of Bergman type, Comm Anal Geom., 18(2) (2010), 375–395 [17] O Munteanu, A sharp estimate for the bottom of the spectrum of the Laplacian on K¨ ahler manifolds, J Differential Geom., 83 (2009), 163-187 [18] S Udagawa, Compact K¨ ahler manifolds and the eigenvalues of the Laplacian, Colloq Math., 56(2) (1988), 341-349 38 Footer Page 42 of 126 ... - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ... Header Page 15 of 126 Chương Cận nhỏ phổ toán tử Laplace-Beltrami miền giả lồi bị chặn 2.1 Ước lượng cận λ1 Nhắc lại, giả sử D miền giả lồi bị chặn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) u(z) =... 1.3 Giả sử Ω miền bị chặn Cn , n ≥ r hàm xác định D D gọi miền giả lồi hay miền giả lồi Levi p ∈ ∂Ω dạng Levi n ∂ 2r Lp (r, ξ) = (p)ξi ξ j ≥ ∂z ∂z i j i,j=1 ∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω) Ω gọi miền giả lồi