Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. Đặt vấn đề : Trong quá trình tổ chức hoạt động học tập tiếp thu tri thức để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi người học phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chòu khó suy nghó tìm tòi, phải có tính kiên trì, nhẫn lại không nản lòng khi gặp khó khăn. Có như vậy thì bản thân các em mới làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kó năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng được những kiến thức đã học vào thực tiễn một cách linh hoạt, sáng tạo là một công dân tốt sống có kỉ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là đúng đâu là sai, có chân lí rõ ràng. Trong tất cả các môn học ở trường phổ thông thì môn Toán chiếm vò trí khá quan trọng, qua học Toán sẽ giúp học sinh tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận và lập luận hợp lí lôgic, không những thế môn Toán còn hỗ trợ và tạo tiền đề cho các em học tốt các môn học khác như: Lý, Hóa, Sinh, Đòa Lí, v.v. . Môn Toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi người học phải biết phán đoán, lập luận, suy nghó chặt chẽ. Chính vì vậy Toán được coi là môn học “ Thể Thao của Trí Tuệ”. Do đó đứng trên vai trò của người giáo viên Toán trực tiếp giảng dạy hướng dẫn các em lónh hội tri thức, tôi không ngừng học hỏi,nghiên cứu để tìm ra những giải pháp giúp các em nẵm vững và vận dụng tri thức một cách có hiệu quả dựa trên cơ sở phân tích, tìm tòi, phán đoán bài toán để đưa ra hướng giải quyết, từ đó rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo trong quá trình tổ chức hoạt động học của mình. Như Phạm Văn Đồng đã nói: “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp Toán học cũng cần cho các bạn . . .”. Đặc biệt đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lónh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có kó năng vận dụng kiến thức của các lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu. Trong chương trình Đại Số 8, bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ là một phần kiến thức rất quan trọng, nó theo suốt quãng đường học tập của các em, Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS nhờ những Hằng Đẳng Thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải Toán được nhanh hơn và chính xác hơn. Khi tổ chức cho học sinh tiếp cận và nắm được bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ, trong từng tiết học tôi luôn đòi hỏi học sinh của mình phải thấy được cơ sở xây dựng nên bảy Hằng Đẳng Thức, thấy được ứng dụng thực tế và tầm quan trọng của bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ vào giải Toán như thế nào? Có như vậy các em mới có động lực trong học tập. Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ vào giải Toán thì các em phải biết nhận dạng, biết tư duy suy luận lôgic từ đó tạo ra động lực kích thích các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức. II. Thực trạng: Qua các tiết luyện tập cũng như trong quá trình học và làm bài tập tôi thấy việc nắm bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ của các em còn mơ hồ, lẫn lộn giữa Hằng Đẳng Thức này với Hằng Đẳng Thức kia, các em chưa biết dự đoán, nhận dạng khi nào thì sử dụng Hằng Đẳng Thức nào. Là một giáo viên tôi nghi chúng ta phải hướng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở, dẫn dắt gần như là làm sẵn từ đó cho một vài ví dụ tương tự. Qua kết quả kiểm tra ở hầu hết các lớp cho thấy học sinh vận dụng bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ vào giải toán còn chậm, chưa linh hoạt hoặc có sử dụng nhưng vẫn còn nhầm lẫn giữa các Hằng Đẳng Thức với nhau, đặc biệt là sai sót về các dấu “ –’’ và dấu “ +” giữa các hạng tử trong Hằng Đẳng Thức còn rất nhiều. Thực trạng cho thấy với một bài tập rút gọn trong bài kiểm tra 15 phút vừa qua như sau: (x - 3)(x + 3) + ( x 2 – 3x + 2) – 2x 2 Khi làm bài các em nhiều em không biết vận dụng Hằng Đẳng Thức hiệu hai bình phương: ( x – 3)( x + 3 ) = x 2 - 3 2 mà các em lại thực hiện theo quy tắc nhân đa thức với đa thứcvừa dài dòng và hay sai sót. Còn đa thức x 2 - 3x + 2 thì các em lại phân tích đưa về Hằng Đẳng Thức Hiệu hai bình phương. Hoặc với bài tính : ( x 2 + 1)(x – 1) thay vì các em phải thực hiện nhân đa thức với đa thức thì các em lại ngộ nhận ( x 2 + 1)(x – 1) là Hằng Đẳng Thức hiệu hai bình phương. Việc tìm không ra Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS hướng giải quyết hoặc tìm ra kết quả nhưng bò sai nhiều lần sẽ làm cho các em hoang mang, chán nản và không muốn học Toán. Thực tế như trên cho thấy việc nắm bảy Hằng Đẳng Thức và vận dụng chúng vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết quả bài kiểm tra vừa rồi của học sinh rất thấp. Với thực trạng như trên là một giáo viên Toán được nhà trường trực tiếp phân công giảng dạy tôi không muốn học sinh mình bò điểm thấp làm ảnh hưởng đến kết quả học tập của các em. Chính vì vậy để giúp các em nắm vững và vận dụng tốt bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ vào giải bài tập tôi đã tự khắc phục và tự đề ra các giải pháp sau: III. Các giải pháp : Là giáo viên Toán đối với bài bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ chúng ta phải làm cho học sinh thấy được cơ sở dẫn đến các Hằng Đẳng Thức đáng nhớ đó mà tiền đề của nó là phép nhân đơn thức với đa thức, phép nhân đa thức với đa thức. Giáo viên phải giúp cho học sinh thấy được tiện lợi của bảy Hằng Đẳng Thức trong giải Toán, chẳng hạn như một số bài toán tính nhanh: Ví dụ: Tính nhanh 101 2 , 99 2 , 64.56 Hoặc một số bài toán về tính giá trò của biểu thức : x 2 + 4x + 4 tại x = 98 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 tại x = 99 Đối với Hằng Đẳng Thức bình phương một tổng và bình phương một hiệu thì đều có 3 hạng tử và các hạng tử đều giống nhau chỉ khác nhau về dấu của hạng tử thứ hai. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 Nếu là bình phương một tổng thì tất cả các hạng tử đều mang dấu “ +” còn bình phương một hiều thì hạng tử thứ hai mang dấu “ – ’’ các hạng tử còn lại mang dấu “ +”. Sau khi học sinh đã học xong Hằng Đẳng Thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu giáo viên nên củng cố và khắc sâu kiến thức cho các em bằng một số bài tập chủ yếu là các dạng bài tập như điền khuyết, trắc nghiệm đúng sai. Ví dụ: a. Điền vào chỗ trống để được Hằng Đẳng Thức đúng; A 2 +…… + B 2 = (…+B) 2 …. – 2AB + B 2 = (A +B) 2 A 2 … 2AB + B 2 = (…–…) 2 Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS A 2 + 2AB + . . .=(A+ . . . ) 2 b. Đánh chữ đúng (Đ) sai (S) vào sau mỗi câu sau: + Bình phương một tổng bằng tổng hai bìng phương. + Bình phương một hiệu bằng hiệu hai bình phương. + Tích (a+b)(a+b) là bình phương một tổng. + Tích (a+b)(a–b) là bình phương một hiệu. + Tích (a–b)(a–b) là bình phương một hiệu. Chẳng hạn đối với bài tập 23 sách giáo khoa trang 12: Chứng minh rằng : a. (a + b) 2 = (a- b) 2 + 4ab b. (a - b) 2 = (a + b) 2 - 4ab Qua bài tập này giáo viên có thể khắc sâu cho học sinh mối quan hệ giữa bình phương một tổng và bình phương một hiệu từ đó làm cơ sở để sau này học sinh ứng dụng trong tính toán và chứng minh. Giáo viên có thể cho học sinh áp dụng ngay sau khi đã chứng minh để làm rõ cho học sinh. p dụng: Tính (a – b) 2 , biết a+ b =7 và a.b = 12 Tính (a + b) 2 , biết a - b =20 và a.b = 3 Trong quá trình tổ chức cho học sinh giải bài tập giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhận dạng khi nào thì có thể sử dụng hai Hằng Đẳng Thức này, đó là các đa thức chỉ chứa 3 hạng tử hoặc dùng cách nhóm để trong một nhóm có 3 hạng tử thì có thể sử dụng Hằng Đẳng Thức này. Sau khi học sinh đã nhận được dạng Hằng Đẳng Thức giáo viên yêu cầu học sinh xét xem có hạng tử nào dạng A 2 , B 2 hay không, nếu có thì phải xác đònh A 2 = ? và B 2 =? Từ đó phân tích tiếp xem hạng tử còn lại có ở dạng +2AB hay – 2AB hay không? Đối với Hằng Đẳng Thức hiệu hai bình phương học sinh phải nắm vững dạng của nó, nếu ta có A 2 mà có - B 2 thì đó là Hằng Đẳng Thức hiệu hai bình phương. Ví dụ: phân tích đa thức sau: 4x 2 – 4xy + y 2 Giáo viên phải hướng dẫn các em tìm A 2 = 4x 2 = (2x) 2 ; B 2 = y 2 và từ đó các em phải phân tích -4xy = -2.2x.y, vậy -2AB = -2.2x.y. Giáo viên cần giúp cho các em tránh những ngộ nhận sai lầm: Chẳng hạn với ví dụ sau: x 2 + 2x + 4 Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS nhiều em sẽ nhận dạng và đưa về Hằng Đẳng Thức bình phương của một tổng vì A 2 = x 2 và B 2 = 4 = 2 2 và xem 2AB = 2x. ngoài ra khi muốn vận dụng các em phải biết cách nhóm phù hợp. Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x 2 –9y 2 –16+24y Đối với bài toán này nhiều học sinh sẽ nhóm 2 hạng tử đầu để có Hằng Đẳng Thức hiệu hai bình phương và 2 hạng tử sau thì đặt nhân tử chung. Nhưng nếu các em làm như vậy thì thu được một kết quả không phải là nhân tử theo yêu cầu bài toán , giáo viên cần giúp các em biết thay đổi vò trí các hạng tử trong đa thức một cách hợp lí và nhóm các hạng tử vào nhóm thích hợp. 4x 2 –9y 2 –16+24y =4x 2 –9y 2 +24y–16 =4x 2 –(9y 2 –24y+16) =(2x) 2 –(3y–4) 2 =(2x–3y+4)(2x+3y–4) Hay khi phân tích đa thức 2xy – x 2 – y 2 + 16 thành nhân tử, đa số học sinh lúng túng không biết nhóm như thế nào cho phù hợp, có một số học sinh làm như sau: 2xy–x 2 –y 2 +16 = (2xy–x 2 )–(y 2 –16) = x(2y–x)–(y+4)(y–4) Đến đây các em không thể phân tích tiếp được nữa . là giáo viên chúng ta phải hướng dẫn cho các em, đối với bài toán này ngoài việc nhóm các hạng tử các em phải biết giao hoán các hạng tử và khi nhóm thì phải đặt dấu “- ’’ trước ngoặc thì mới xuất hiện dạng Hằng Đẳng Thức. Do đó đòi hỏi các em phải biết suy luận biến đổi sao cho hợp lí. 2xy–x 2 –y 2 +16 = 16–(x 2 –2xy+y 2 ) Nếu các em làm được bước này thì coi như các em đã nắm và vận dụng được kiến thức về hằng đẳng thức bình phương một hiệu. Tiếp theo bước này thì học sinh phải nhận ra dạng Hằng Đẳng Thức tiếp theo 16–(x–y) 2 là Hằng Đẳng Thức hiệu hai bình phương với A 2 =16 suy ra A=4; B 2 =(x–y) 2 suy ra B=x–y. Từ đó các em có thể phân tích tiếp 16–(x–y) 2 =4 2 –(x–y) 2 =[4–(x–y)][4+(x–y)] =(4–x+y)(4+x–y) Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Đến đây mới là kết quả phân tích của bài tốn. Để làm được điều này đối với học sinh khá giỏi thì cũng là một vấn đề đơn giản nhưng đối với học sinh trung bình trở xuống thì các em khơng dễ gì nhìn ra được, do đó giáo viên phải lấy nhiều bài tập tương tự để các em luyện tập, từ đó các em gặp phải các dạng tương tự các em sẽ biết phân tích lập luận để tìm ra hướng giải quyết. Ví d ụ : phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 9 – x 2 – y 2 = 2xy b. y 2 – 2x - x 2 -1 c. 2x 2 + 4x + 2 – 2y 2 Với hai Hằng Đẳng Thức lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu giáo viên cũng cần hướng dẫn cho các em trong những trường hợp nào thì sử dụng, chẳng hạn khi phân tích những đa thức có 4 hạng tử ta có thể liên tưởng đến 1 trong 2 Hằng Đẳng Thức này. Nếu đa thức có 4 hạng tử mà các hạng tử đều mang dấu “+” thì ta nghó đến Hằng Đẳng Thức lập phương của một tổng ngược lại nếu trong các hạng tử của đa thức vừa có dấu “+” vừa có dấu “-’’ thì ta nghó đến Hằng Đẳng Thức bình phương 1 hiệu. ( A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 ( A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 Giữa 2 Hằng Đẳng Thức này giáo viên cũng cần hướng dẫn cho học sinh cách nhớ: các hạng tử của 2 Hằng Đẳng Thức trên đều giống nhau nhưng đối với Hằng Đẳng Thức lập phương của một tổng tất cả các hạng tử đều mang dấu “+” còn đối với Hằng Đẳng Thức lập phương của một hiệu thì dấu “+” và dấu “-’’ xen kẽ nhau, dấu “- ” được đứng trước các hạng tử có chứa lũy thừa bậc lẻ của B. Giáo viên cũng cần phải khắc sâu công thức nói lên mối qua hệ giữa 2 Hằng Đẳng Thức lập phương một tổng và tổng hai lập phương cũng như Hằng Đẳng Thức lập phương một hiệu và hiệu hai lập phương sau này còn có ứng dụng trong tính toán và chứng minh v.v. qua bài tập 31 trong sách giáo khoa trang 16. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 = ( a + b) 3 - 3ab(a + b) a 3 - b 3 = ( a - b) 3 + 3ab(a - b) p dụng : tính a 3 + b 3 , biết a.b = 6 và a + b = -5. Trong quá trình vận dụng học sinh phải xác đònh được hạng tử nào là A 3 , hạng tử nào là B 3 sau đó suy ra A và B, từ đó phân tích các hạng tử còn lại tìm 3A 2 B và 3AB 2 . Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8x 3 + 36x 2 + 54x + 27 Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm A 3 = 8x 3 = (2x) 3 ⇒ A = 2x; B 3 = 27 = 3 3 ⇒ B = 3 Từ đó phân tích 36x 2 = 3.(2x) 2 .3 = 3A 2 B 54x = 3.2x.3 2 = 3AB 2 Tất cả các hạng tử đều mang dấu cộng như vậy sẽ là hằng đẳng thức lập phương một tổng. Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử: –x 3 + 9x 2 – 27x + 27 Đối với đa thức trên mặc dù có 4 hạng tử và bậc cao nhất của hạng tử là bậc 3 nhưng trong trường hợp này ta thấy dấu của các hạng tử không trùng với dấu của Hằng Đẳng Thức nào, vậy thì câu hỏi đặt ra là làm như thế nào để đưa về được 1 trong 7 Hằng Đẳng Thức đã học. Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý trong đa thức nêu trên các hạng tử vừa có dấu “+” vừa có dấu “- ” nên rõ ràng ở đay chỉ có thể đưa về dạng Hằng Đẳng Thức lập phương của một hiệu. Theo cách làm thông thường nếu các em làm được thì các em sẽ đặt dấu “-” chung cho tất cả các hạng tử. –x 3 + 9x 2 – 27x + 27= –(x 3 – 9x 2 + 27x – 27) Và từ đó tìm ra được A 3 = x 3 và suy ra A = x, B 3 = 27 suy ra B = 3 3 , tương tự các em sẽ tìm được -3A 2 B = - 9x 2 = -3x 2 .3 và 3AB 2 = 27x = 3.x.3 2 . Và lời giải hoàn chỉnh như sau: –x 3 + 9x 2 – 27x + 27 = –(x 3 – 9x 2 + 27x – 27) = –(x 3 – 3.x 2 .3 + 3.x.3 2 – 3 3 ) = – (x – 3) 3 Giáo viên cần khơi dậy tính nhanh nhẹn và sáng tạo của học sinh trong bài tập trên. Cách giải trên không phải là duy nhất , một câu hỏi đặt ra: có 1 lời giải khác ai có thể tìm ra? Và trong quá trình học sinh suy nghó giáo viên cũng nên gợi ý sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng và không nhất thiết A 3 = x 3 . ta có thể giải như sau: –x 3 + 9x 2 – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x 2 – x 3 = 3 3 - 3.3 2 .x + 3.3.x 2 – x 3 = (3-x) 3 Và ở đây ta có A 3 = 3 3 , B 3 = x 3 , -3A 2 B = - 3.3 2 .x, 3AB 2 = 3.3.x 2 Hai Hằng Đẳng Thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương: Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS A 3 + B 3 = (A + B)( A 2 - AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)( A 2 + AB + B 2 ) thì giáo viên cũng cần phải làm rõ để học sinh nhìn thấy những điểm giống nhau và khác nhau của hai Hằng Đẳng Thức này. Để từ đó khi gặp các bài tập các em sẽ vận dụng khơng bị nhầm lẫn. Ví dụ: phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 1 8x 8 + các em phải xác định được A 3 =8x 3 ; B 3 1 8 = từ đó các em mới tìm ra A=2x; B 1 2 = và vận dụng được hằng đẳng thức A 3 +B 3 . Một vấn đề ma các em thường vấp phải là trong khi làm bài các em thường nhầm lẫn hoặc không phân biệt được bình phương một hiệu với hiệu hai bình phương cũng như bình phương một tổng và tổng hai bình phương hoặc lập phương một tổng với tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương với lập phương một hiệu. Do đó trong từng tiết dạy về Hằng Đẳng Thức đáng nhớ giáo viên phải khắc sâu cho học sinh. ( ) ( ) ( ) ( ) 33 3 33 3 22 2 22 2 BABA BABA BABA BABA −≠− +≠+ −≠− +≠+ Có thể đưa ra một vài cụ thể để dẫn chứng cho học sinh: ( ) ( ) 222 22 2 222 22 22 2 2515)2515( 02515 02515 1100)1100( 100011100001100 1020112001000011.100.21001100 −≠−⇒ <− >− +≠+⇒ =+=+ =++=++=+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp Hằng Đẳng Thức là một phương pháp đòi hỏi các em phải nắm vững bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ. IV. Kết luận : Theo chủ quan của bản thân tôi có thể những giải pháp trên các đồng nghiệp cũng đã sử dụng nhưng tôi xin mạnh dạn đưa ra để chúng ta cùng thảo luận và tìm ra những giải pháp có tính khả thi và đạt hiệu quả cao hơn giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt bảy Hằng Đẳng Thức đáng nhớ vào phân tích đa thức thành nhân tử một cách linh hoạt, sáng tạo và không nhầm lẫn. Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS Là những người giáo viên đứng trong đội ngũ cán bộ của ngành giáo dục tôi nghó bản thân ai cũng mong muốn mình hoàn thành tốt các nhiệm vụ và mục tiêu của ngành đề ra mà trước hết là người giáo viên trực tiếp đứng lớp điều mong muốn đầu tiên là làm sao dẫn dắt học sinh của mình tiếp thu tri thức một cách có hiệu quả nhất. Trên đây là những giải pháp mà tôi đưa ra để áp dụng trong bài dạy của mình, do thời gian có hạn nên bài viết chưa thật sự cô đọng đôi khi còn có nhiều chỗ thiếu sót nên rất mong các đồng nghiệp nghiên cứu, xem xét áp dụng và góp ý chân thành để cho bài viết hoàn chỉnh hơn góp phần xây dựng cho sự nghiệp giáo dục nước nhà ngày một thăng hoa và đạt được kết quả tốt nhất. Cam Ranh, ngày 26 tháng 9 năm 2008 Người thực hiện Vũ Văn Khoái Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh . Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT. học tập của các em, Vũ Văn Khoái Trường Phổ Thông DTNT Cam Ranh Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS nhờ những Hằng Đẳng Thức đáng nhớ mà các em thực hiện