http://tailieuchonloc.net TÀI LIỆU ƠN TẬP TỐN BIẾN ĐỔI, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Lý thuyết: 1.Điều kiện để thức có nghĩa: 2.Các cơng thức biến đổi thức A2  A AB  A B A2 B  A B ( B  0) A  B B AB A có nghĩa A  c ( A  0; B  0) C C ( A  B)  A  B2 AB A2 B A B A A B  B B ( AB  0; B  0) A  B A B ( A  0; B  0) ( B  0) C C( A  B )  A  B2 A B ( A  0; A  B ) ( A  0; B  0) ( A  0; B  0; A  B ) Để giải toán dạng rút gọn biểu thức chứa bậc hai, thông thường ưu tiên thực theo thứ tự sau: 1)Làm lớp dạng a2 b   m n  (nếu có) 2)Phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử  Thu gọn phân thức (nếu được) 3)Thực theo thứ tự phép tốn (Ngoặc  Nhân, chia  Cộng, trừ) 4)Bình phương hai vế 5)Đặt ẩn phụ Bài 1: Tính: a)Làm lớp căn: Dạng a2 b   m n  Bản chất vấn đề: VD:  15 Ta nhẩm thấy: 15 = 3.5 = 15.1 Lại có: + = (cịn 15 + = 16) Vậy ta chọn hai số: để phân tích: = + = Và:  15  Như ta có: 2  15     (  3)   Sử dụng máy tính Casio để tìm hai số sau: *Với máy tính: Fx–570VN PLUS máy tính 570ES: –Bấm Mode chọn: chọn: –Nhập: = (bất kỳ nào, nhập a = 1) –8 = (là số đối – Tức nhập b = – 8) 15 = (Là số bên nhỏ, c = 15) –Bấm tiếp: = Ta kết hiển thị hình là: X1 = –Bấm tiếp: = Ta tiếp tục kết thứ là: X2 = *Với máy tính loại 500Ms 570MS : Bấm : Mode Mode Mode  Sau nhập : a, b, c theo cách làm Bài tập áp dụng: Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang http://tailieuchonloc.net 1) 11  10 2)  14 3)  4) 11  5) 27  10 6)  10 7) 15  14 8)  2 9)  10)  11)  12) 14  13 13)  14) 12  15) 27  10 16) 18  17) 21  18) 28  19) 15  10 20) 46  17)  20 18)  28 19) 12  44 20)  24 21)  60 22)  48 23)  56 24)  24 25)  26)  27)  21 28)  35 29)  40 30)  15 31)  77 Dạng chứa chữ (với điều kiện tất có nghĩa): 32) 10  99 1) x   x  2) x   x 3) x   x  4) x   x  5) x   2( x  1) 6) x   2 x 7) x   ( x  2)( x  3) 8) x   ( x  2)( x  3) 9) x   ( x  1)( x  2) 10) x   x  x  11) x   x  x  b)Tính tốn, rút gọn linh hoạt: Dạng đơn giản: 12) x   x  x  3 3)   7 24 36 25 25 6) 0,04.25 1) 14 56 2) 12 4) 12 75 5) 7) 90.6, 8)  17  17 9) 12   48 10) 5  20  45 12) 12  27  48 14) 18   162 11) 32   18 13) 12  75  27 15)  20  80 16)  12  24 17) 18) 2  2 3  1 1 1 Các dạng khác: 1)  125  80  605 2) 10  10   1 3) 15  216  33  12 4)  12  27  18  48 30  162 5) 16 3 6 27 75 6) 2 2  2 2 Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang http://tailieuchonloc.net 7)  (3  5) 10  9)  25 12  10) 192 11)     13) 17) 12)  10    10    8 54 5  5 2   2 3     16) 42 6      1 2 2     2 9 2  5 8 22) 252  700  1008  448 ; 72  20  2 25)  2   26)  11    27) 21  6  21  6 20) 12  75  27 : 15 23)   14) 18) 2 19)     21)  3(  ) 15)  75 8) 27    1  ; 2 24) 2  2 2 :    2  28)        10 29) (   5)(   5)(   5)(    5) 30)     31)  15  23   32)   33) 13  30   34)    35)          36)          37) 2 2   2   38)  15  10    15  2  39)  10    40) 12   12  41)  10    10  42) (  2)  (  3) 43)  10   10 44) 45) 3  12  27 ;   29  12 46) 32  50  18 48) 33 48  75  5 11 47) 72   32  162  49)  Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930  52  Trang     http://tailieuchonloc.net 50) 45  63     52)  32  50  27  27  50  32  54) 2 112   63  28  51) 56) 24  150  54 57) 20  50  80  320 58) 32  50  98  72 59) 75   3 60) 48   75  1 61)  1   5 2  5   24      1  24    1 :    68)   2  3  67) 69)  1 1 70) 72)  12 15      3  5  1  3 2    65)    1:  1   2 3   63)  64)    15   2  27  62) (  2)(  2) 66)    5  15  53)  12  48  108  192  : 55) 2 27  48  75  192  1    3 2  1 1 71)      21  12 3 1 1 3   3      1      11  11   11 Bài 2: Rút gọn biểu thức: Biểu thức số: 1)     2)  2  41 3)  12  18  128 4) 13  30   45  41  45  41 5)          6) 227  30  123  22 7)  11        10 8) 2   2 2 9)   29  20  2 10)   13  48  11)   12)  48  10  13)  10    10   48   28  16   14) 94  42  94  42 Biểu thức chứa chữ: Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang  48 http://tailieuchonloc.net  x 1 1)   x   3) 5) 7) 9) x    x :    (Với x>0, x  1)  x    x x 9 x5 x 6 x2 x x 1   x 3 x 2 x 1 x  x 1 :  x 1 3 x  x 1 x 1 4) a 3 a 1 a    a 2 a 2 4a  x x 1  x2  x x  x 1 1  2x  x x (với x>0) x 1 x x x x x  2x x  x  x x  x  x 1 x  6)    x   x  x  x  x x 1  8) x  x x x x x x x 1 2) x yy x xy  10)   : x y x y  x     2 x 1  x    x 1   a 1 1 a  a  a 1  11)    : a a 1 a    a  a  a 1    x 2   x x 1 x 2 x  x   x   12)     :  13)   :  x 1  x 1 x x    x  x    x  x x 1 x x  x  x   2 x 2 x 4x  x6 x 9 14)  15)   1  1   :  x 3  2 x 2 x x4 2 x  x   x       16) m  m   m  m   17) m   m   m   m  Bài 3: Tìm giá trị x  Z để biểu thức sau có giá trị nguyên 1)A = 5) x 1 2)B = x3  x2  x 1 6) 14 2x  x3  x2  x 2 3)C = 7) x5 x2 4)D = 4x  2x  2x3  x2  2x  2x  x  x  11x  x  16 9) 3x  x  x  8x  16 x  16 x3 x 1 2x  2x  10) 11) 12) 13) x2 x2 x2 3x  x  3x  2x2  4x  x2  x3 14) 15) 16) 17) 2x 1 2x 1 2x  x2  x 8x   x   Bài 4: Cho biểu thức P =     :   x   2 x 4 x  x2 x 8) a)Rút gọn P b)Tìm giá trị x để P = – c)Tìm m để với giá trị x > ta có m( x  3) P  x   x 1   HD câu C: 18 x  m  18 m  x   4x Bài 5: Cho biểu thức: A  x 1 10   x3 x x6 x2 a)Tìm điều kiện x để A xác định Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang http://tailieuchonloc.net b)Rút gọn biểu thức A c)Tìm giá trị x để A >  x 1 x 1   x  Bài 6: Cho biểu thức: A      :   x 1 x 1   x 1 x 1 x 1 a)Rút gọn biểu thức A b)Tính giá trị biểu thức A x   c)Tìm giá trị x A =  x2    Bài 7: Cho biểu thức C   x    :  x 1 : x 1  x 1 x  a)Tìm điều kiện x để biểu thức C xác định b)Rút gọn biểu thức C c)Tính giá trị biểu thức C x   20 d)Tìm giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên  a a 1 a a 1 a  Bài 8: Cho biểu thức: A    : a  a  a   a a a)Với giá trị a biểu thức A khơng xác định b)Rút gọn biểu thức A c)Với giá trị nguyên a A có giá trị nguyên? Bài 9: Cho biểu thức: B  x x 1  2x  x x x a)Rút gọn biểu thức B b)Tính giá trị B x   c)Với giá trị x B > 0? B< 0? B = 0? Bài 10: Cho biểu thức B  a 3 a 6  3 a a 6 a)Tìm điều kiện a để B xác định Rút gọn B b)Với giá trị a B > 1? B< 1? c)Tìm giá trị x để B =  Bài 11: Cho biểu thức A =  1 x    1  : 1 x  1 x 1 x    1 x a)Rút gọn biểu thức A b)Tính giá trị A x = + c)Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ Bài 12: Cho biểu thức C  2a  a a 3 a2 a2 4a      a 2 a 2 4a  a)Tìm điều kiện a để biểu thức C xác định Rút gọn biểu thức C b)Tìm giá trị a để C = c)Khi C có giá trị dương? Có giá trị âm?  x 2 x   1 x  Bài 13: Cho P       x  x      x 1 a)Rút gọn P b)Chứng minh : Nếu < x < P > c)Tìm giá trị lớn P Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang http://tailieuchonloc.net Bài 14: Cho biểu thức B  x 1  x  x 1  x x3  x  x 1 a)Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b)Rút gọn biểu thức B c)Tìm giá trị x B = d)Tìm giá trị nguyên dương x để B có giá trị nguyên  Bài 15: Cho biểu thức: A   x x   x 1 : x 1 x  x 1 a)Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b)So sánh A với Bài 16: Tìm giá trị x để có giá trị lớn x  2x  x  2x  d) có giá trị nhỏ x  4x  a)x2 − 2x + có giá trị nhỏ c) b) 2x  có giá trị lớn 2x  Bài 17: Rút gọn biểu thức: A = x   x   x   x  với  x  Bài 18: Cho biểu thức P = x  x x  x 2( x  1)   x  x 1 x x 1 a)Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c)Tìm x để biểu thức Q = x nhận giá trị số nguyên P 5  49  20  Bài 19: Chứng minh    11   Bài 20: Cho A=  a   a   a   a   với x>0 ,x   a 1  a 1 a   a)Rút gọn A HD: a) A= 4a b)Tính A với a =  15  10    15    x2 x 1   x x 1 x  x  1  x Bài 21: Cho A =  với x  , x  b)Tìm GTLN A a)Rút gọn A HD: a)A = x x  x 1 b)NÕu x = th× A = HD: -NÕu x  th× A =  x x 7  Bài 22: Cho A=   x4 a)Rút gọn A HD: a) A = x x  x 1 x x 1   x 2 x 2 x     :   x 2  x 2 x  x   b)So sánh A với x9  b) A - x với x > , x  A  x  9 1   0A  A A x  x  9  x 3 x   9 x x 3 x 2  1 :     x 2 x    x 9   x x 6 Bài 23: Cho A=  a)Tìm x để biểu thức A xác định b)Rút gọn A Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang http://tailieuchonloc.net c)với giá trị x A < d)Tìm x  Z để A  Z HD a) x  , x  9, x  b)A= x 2 15 x  11 x  2 x    với x  , x  x  x  1 x x 3 a)Rút gọn A b)Tìm GTLN A Bài 24: Cho A = c)Tìm x để A = d)CMR : A  25 x x 3 HD:a) A = b) 5  17 x 3  x y x xy y  Bài 25: Cho A =   : y  x x  y   a)Rút gọn A  x y   xy x y với x  , y  0, x  y b)CMR : A  xy x  xy  y HD: a ) A  b) A  xy  x  xy  y  xy  Víi x,y  y 3y  x      x x 1 x x 1    x 1 x 1    x      x x x x  x   x 1 x   Bài 26: Cho A = a) Rút gọn A b)Tìm x để A = HD:a) Với x > , x  A=   x  x 1 x  x 4   x2 x     :   x 2  x x    x2 x Bài 27: Cho A =   a)Rút gọn A b)Tính A với x = 62 với x > , x  HD:a)A =  x )b) Bài 28: Cho A=  1   1  với x > , x    :   1 x 1 x   1 x 1 x  x a)Rút gọn A b)Tính A với x =  HD: A = x   x4   2x 1  Bài 29: Cho A=   : 1   với x  , x  x 1   x  x    x x 1 a)Rút gọn A b)Tìm x  Z để A Z HD:a)A = x x 3    1 x 2     :   với x  , x   x  x x  x  x 1   x 1 x 1  a)Rút gọn A b)Tìm x  Z để A  Z c)Tìm x để A đạt GTNN d)Tìm x để A  Z HD:a)A = x  Bài 29: Cho A=  x 1 b) A  x 1  1 x 1 x 1 Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang http://tailieuchonloc.net 2 nguyên nên đặt: nZ x x A nguyªn  2n    n   n  1; 2  x  1;0  x  1;0 n 2 c)Có:   Mà Z   1; 2 x 1 x 1 x 1  x  x x 3x    x       Bài 30: Cho A =   : x  x    x   x 3  a)Rút gọn A b)Tìm x để A < – với x  , x  HD: a) A =  x 1 x 1 x   x  x       :   x  x 1   x 1 x    x 1 Bài 31: Cho A =  a)Rút gọn A b)Tính A với x = x x4 HD: a)A = b) 3 a 3 với x  , x  c)CMR : A  62 c)Xét hiệu A – 1  x 1   Bài 32: Cho A =  : x 1 x  x 1  x x a)Rút gọn A b)So sánh A với với x > , x  HD:a)A = x 1 x x 1 x   x 2    :    Với x  0, x   x 1 x  x 1   x   a)Rút gọn A b)Tìm x để A = c)Tìm x để A <  Bài 33: Cho A =  HD: a)A = x x x 1  x 2 x   x2  x   Bài 34: Cho A =  với x  , x   x  x  x    a)Rút gọn A b)CMR < x < A > c)Tính A x =3+2 d)Tìm GTLN A HD:a) A = x (1  x )  x2 x  x 1    :  x x 1 x  x 1  x  Bài 35: Cho A =  b)CMR x  0, x  A >  HD:a) A = a)Rút gọn A  Bài 36: Cho A =     x2 x  : x 1 x 1  x 1 a)Rút gọn A b)Tìm x để A = với x > , x  1, x    Bài 37: Cho A =  x   x  x   :  x      x 1 a)Rút gọn A với x  , x  x 1   x 1   x 1 với x  , x  b)Tính A x= 0,36 Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 c)Tìm x  Z để A  Z Trang x  x 1 http://tailieuchonloc.net Bài 38: Cho A = x 1  x x 1  với x  , x  x  x 1 b) CMR :  A  a) Rút gọn A HD: a) A =  x5 x   25  x x 3 x 5   1 :     x 5 x    x  25   x  x  15 Bài 39: Cho A =  a Rút gọn A HD:a)A = Bài 40: Cho A = x x  x 1 với x  , x  9; x  b)Tìm x nguyên cho A nguyên b)Tương tự 29 x 3 a 9 a  a 1   a5 a 6 a  3 a với a  , a  , a  a)Rút gọn A b)Tìm a để A < a HD: a) A =  c)Tìm a  Z để A  Z a 3  x   x 3 x 2 x 2    Bài 41: Cho A=    :   với x  , x  , x   1 x   x   x x  x   a)Rút gọn A b)Tìm x để A  Z c)Tìm x để A < x  HD:a) A = x 1 x 1  x  ( x  2; x  3) x  1 Bài 42: Cho biểu thức:A = a)Rút gọn A b) Tính A x=6  x2 Bài 43: Cho biểu thức: B=    x x 1 a)Rút gọn B x 1 x 1   x  x  x   b)CMR: 3B < với điều kiện thích hợp x  2x    x x 1   x4   : 1   x 1   x  x   a)Rút gọn C b) Tìm x  Z cho C  Z  x x 3x    x   : Bài 45: Cho biểu thức: D=     1 ( x  0; x  9) x  x    x   x 3  a)Rút gọn D b) Tìm x cho D< c)Tìm GTNN D Bài 44: Cho biểu thức: C=   3x  x   Bài 46: Cho biểu thức: E=  x  x   a)Rút gọn E x 1 x 2  ( x  0; x  1)  x   x  b)Tìm x  Z cho E  Z      x  :   1 (–1< x < 1)  1 x    x2  b) Tính giá trị F x=   Bài 47: Cho biểu thức: F=  a) Rút gọn F  x   x 1      x  :   1 ( x > 1; x  10)   x 1  x 1   1 x Bài 48: Cho biểu thức: G=  a)Rút gọn F b) CMR: F < Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 10 http://tailieuchonloc.net  x2 x   x     Bài 49: Cho biểu thức: H=  :  ( x  0; x  9)  x x 1 x  x 1  x    a)Rút gọn H b) CMR H > với điều kiện xác định H 15 x  11 x  2 x    ( x  0; x  9) x  x  1 x x 3 a)Rút gọn K b)Tìm x để K = 0,5 c)Tìm x để K nhận giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài 50: Cho biểu thức: K = Bài 51: Cho biểu thức: L = 12  x  x ( x  2; x  3) x 4 a)Tìm x để L đạt GTLN Tìm GTLN  x2 Bài 52: Cho biểu thức: M=    x x 1 a)Rút gọn M x b) Tìm x cho L = 2x   x   x  x 1 b) Tính giá trị M x = 28– c) CMR : M<  x  xy  x   x  xy  x    1 :    1 Bài 53: Cho biểu thức: N =  xy  xy  xy  xy      a)Rút gọn N b) Tính giá trị N x=  ; y=  c)Biết x+ y =4 Tìm giá trị nhỏ N x y xy Bài 54: Cho biểu thức: P    ( x  y )(1  y ) x  y) x 1 x  1 y     a)Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b)Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = HD: a)Điều kiện để P xác định là: x  ; y  ; y  ; x  y  P  x  xy  y b)P =    x 1 1 Ta có:  y   Bài 55: Cho hàm số f(x) = a) Tính f(–1); f(5) HD: c) A   y 1 x     x   x = 0; 1; 2; ; x2  4x  b)Tìm x để f(x)=10 c) Rút gọn A= x2 f ( x)  x  ( x  2)( x  2) +)Với x > suy x – > suy A ; x2 +)Với x < suy x – < suy A   Bài 56: Cho P = f ( x) x   x2  x2 x2 x 1 + – x 1 x 1 x x 1 x  x 1 a)Rút gọn P b)Chứng minh: P < với x  x  Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 11  http://tailieuchonloc.net x HD:a) Điều kiện: x  x  P = x  x 1 Bài 57: Tính giá trị biểu thức: 1 1 A=     3 5 7 97  99 HD: Trục thức mẫu A= ( 99  )  a b Bài 58: Cho biểu thức D =    ab  a  b   a  b  2ab   : 1  ab   ab   a)Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b)Tính giá trị D với a = 2 c)Tìm giá trị lớn D HD: a) – Điều kiện xác định D a  0; b  0; ab   D = a a 1 c)Áp dụng BĐT cauchy ta có : a  a   D  Vậy MaxD=1  x x 1 x x     x    : 1   x  x   x    x x 1)Tìm ĐK XĐ biểu thức A 3)Tính giá trị biểu thức A x  x 1 x 1 kq: Bài 59: Cho biểu thức: A   2)Rút gọn A 62 4)Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 5)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A –3 6)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A nhỏ –1 7)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A lớn 2 x 1 8)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A – Max 9)So sánh A với  x  Bài 60: Cho biểu thức:  x  x2 x B  1   : x   x   x 1 x 3 x 2 kq: 1)Tìm x để biểu thức B xác định 2)Rút gọn B 3)Tính giá trị biểu thức B x = 11  4)Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 5)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B –2 6)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B âm 7)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B nhỏ –2 8)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B lớn x      x3 x  x       x 1 x  x    1 x   2x 1 Bài 61: Cho biểu thức: C    1)Biểu thức C xác định với giá trị x? 3)Tính giá trị biểu thức C x =  4)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C –3 kq: x  2)Rút gọn C 5)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn  Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 12 http://tailieuchonloc.net 6)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x  7)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x  x2 x   4 x x 2 x 3  Bài 62: Cho biểu thức: D     :     x    x4   x  x 6 3 x 8)So sánh C với  1)Tìm 3)Tính 4)Tìm 5)Tìm 6)Tìm 7)Tìm 8)Tìm kq: ĐK XĐ biểu thức D 2)Rút gọn D giá trị biểu thức D x = 13  48 giá trị x để giá trị biểu thức D giá trị x để giá trị biểu thức D âm giá trị x để giá trị biểu thức D nhỏ –2 giá trị nguyên x để biểu thức D nhận giá trị nguyên giá trị x để giá trị biểu thức D lớn 9)Tìm x để D nhỏ x  a 1 a 1 a   a  a   Bài 63: Cho biểu thức: E      :  a  a    a  a    a 1 1)Tìm a để biểu thức E có nghĩa 2)Rút gọn E 3)Tính giá trị biểu thức E a = 24  4)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E –1 5)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E dương 6)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a  7)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ 8)So sánh E với  a 1  a 1    a   a   a 1 a  a 1  kq: 4a Bài 64: Cho biểu thức: F   1)Tìm ĐK XĐ biểu thức F 2)Rút gọn F 3)Tính giá trị biểu thức F a= 2 4)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức F –1 5)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a  6)Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ 7)Tìm giá trị a để 8)So sánh E với a F F ( F  F    a  )  x 2 x   x2  x   kq:  x  x  x  x  x    Bài 65: Cho biểu thức: M   1)Tìm x để M tồn Rút gọn M 2)CMR (  x  0; x   M  ) 3)Tính giá trị biểu thức M x = 4/25 4)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M –1 5)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M âm ; M dương 6)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn –2 Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 13 x 3 http://tailieuchonloc.net 7)Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên 8)Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn 9)Tìm x để M nhỏ –2x ; M lớn x 10)Tìm x để M lớn x  x x 1 x x     : x  x x  x   Bài 66: Cho biểu thức A =  a)Tìm ĐKXĐ A b)Rút gọn A 62 c)Tính A x = d)Tìm x nguyên để A nguyên e)Tìm x để A  i)Tìm x để  3 x  1   x    x 1 f)Tìm x để A = –3 h)Tìm x để A –1 max max A  Bài 67: Cho biểu thức B = 1   x  x 1 a)tìm ĐKXĐ B  x2 x : x 1 x   b)Rút gọn B e)Tìm x  Z để B  Z c)Tìm x để B = D)Tìm B x = 11  g)Tìm x để B = –2 F)Tìm x để B dương (âm) H)Tìm x để B > x  , B ; a ≠ b) ab a b  14  15   b)    2 :       a  a  a  a  c) 1  1    1 a a   a 1   Bài 70: Cho đẳng thức: Bài 68: Rút gọn biểu thức : A= a  a2  b a  a2  b  (a, b > a2 – b > 0) 2 Áp dụng kết để rút gọn: a b  a) 2   2 2  2 b) 3 2 17  12  3 2 17  12 2 10  30  2  3  3 d) 1 : 10  2 1 62 HD: Câu a, b quy đồng áp dụng Câu c: Đặt nhân tử chung, rút gọn lớn, AD đẳng thức từ trái sang phải Câu d: áp dụng đẳng thức từ phải sang trái c) Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 14 http://tailieuchonloc.net Tuy nhiên, ta không cần áp dụng đẳng thức dễ dàng làm cách:  3  3  3  3   b  ab   a b ab Bài 71: Rút gọn :  a    :  a  b   ab  b ab  a ab     a a   a a  Bài 72: Cho A  1  a  :   a   a     a   a   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A a  b 1 a b b b  Bài 73: Cho biểu thức: B      a  ab ab  a  ab a  ab  a) Rút gọn biểu thức B c)So sánh B với –1 b) Tính giá trị B a   1 ab     Bài 74: Cho biểu thức: A      : 1  a  ab   ab   a  ab a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm b biết | A | = –A c)Tính giá trị A a   ; b    a 1  a 1  Bài 75: Cho biểu thức: A     a  a   a 1 a  a 1  a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm giá trị A a  2 c)Tìm giá trị a để A  A  a  a  a a  a  Bài 76: Cho biểu thức: A       a 1   2 a  a  a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm giá trị A để A = –  1 a 1 a   1 a 1 a  Bài 77: Thực phép tính: A     :  1 a   1 a 1 a   1 a Bài 78: Rút gọn biểu thức sau :    x  y  1   a) A  :         x xy xy  x y  x  y  xy y   x  y      với x   ; y   b) B  c) C  x  x  y2  x  x  y2 2(x  y) với x > y > 2a  x  1 a a  với x     2 a 1 a  1 x2  x d) D  (a  b)  a  1 b  1 c2  (0 < a < 1) (với a, b, c > ab + bc + ca = 1) Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 15 http://tailieuchonloc.net e) E  x  x 1  x  x 1 2x  x  2x   x  2x  Bài 79: Cho biểu thức: A  x  x  2x x  x  2x  x  x  2x x  x  2x a)Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b)Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A <   x 1  x    Bài 80: Cho biểu thức: P =  x   : x   x x  x   a)Rút gọn P 2 c)Tìm giá trị x thoả mãn: P x  x   x  b)Tình giá trị P x = Bài 81: Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:  2 a a   a a  a  a 1 D  với a > ; a ≠  a  a  a 1 a 1   c  ac  Bài 82: Cho biểu thức: B   a   a c  a c ac   ac  c ac  a ac a)Rút gọn biểu thức B b)Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c)Với giá trị a c để B > ; B <  2mn 2mn  A=  m+  m  1 2  1+n 1 n  n  a)Rút gọn biểu thức A Bài 83: Cho biểu thức: với m ≥ ; n ≥ b)Tìm giá trị A với m  56  24 c)Tìm giá trị nhỏ A   1 x 1 x 1 x  x Bài 84: Rút gọn D    1    x 1 x  1 x2  x   x  x  1 x  1 x x2  x 2x  x Bài 85: Cho biểu thức: y  1 x  x 1 x a)Rút gọn y Tìm x để y = b)Giả sử x > Chứng minh : y – | y | = c)Tìm giá trị nhỏ y ? x3  x2  x Bài 86: Cho biểu thức D = x x   x2  a)Rút gọn biểu thức D b)Tìm x nguyên để D có giá trị ngun c)Tìm giá trị D x = Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 16 http://tailieuchonloc.net 3  1  1 x  y x  x y  y  A     :   Bài 87: Cho biểu thức: y  x  y x y   x x y  xy3 a)Rút gọn A; b)Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có GTNN, tìm giá trị HD: A= x  b) A  y xy x y xy  xy xy  16 16 1 ( xy = 16 )  x   x  2   P      Bài 88: Cho biểu thức   2x  x   x  x 1 x 1    x a)Tìm điều kiện để P có nghĩa HD: P= 2 x x b)Rút gọn biểu thức P c)Tính giá trị P với x  3 2 Bài 89: Cho biểu thức: P = ( a)Rút gọn P x 8x x 1  ):(  ) 2 x 4x x2 x x ĐS: 4x x 3 b)Tìm giá trị x để P = –1 c)Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x  3) P  x  HD: c) m ( x  3) P  x  (đk: x > 0; x  4, x  ) x 1 ( 4x > 0) 4x x 1 1   Xét Có x > (thoả mãn đkxđ) 4x 4x 1 1 1        x x 36 4 x 18  x 1 18  x m Theo kết phần ta có :  18 m  x   4x  m Kết luận: với m  , x  m ( x  3) P  x  18 MỘT SỐ DẠNG HAY VÀ KHÓ RÚT GỌN BIỂU THỨC Dùng ôn thi chuyên chuyên toán Bài 1: Cho biểu thức A  x   x   x   x  a)Rút gọn A b)Tìm MinA Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 17 http://tailieuchonloc.net HD: Lưu ý: A2  A Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a  b  ab Đẳng thức xảy ab  a  b  a b Đẳng thức xảy b(a  b)   1  x   ;   4  x  x   16 x  x  Bài 2: a)Chứng minh:  x  x   b)Giải phương trình: HD câu a: Bình phương vế trái (có thể đặt ẩn phụ cho vế trái) HD câu b: VP  (4 x  1)2   ; VT  Phương trình tương đương với:   x  x     16 x  x   A  B A  m  AD tính chất:  A  m   B  m B  m  Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: Q  x  x 1  x  x  HD: Lưu ý: A2  A HD: Lưu ý: A2  A x  x   x  2x 1   x  (1  x)3  (1  x)3    Bài 4: Cho biểu thức: A  2  1 x a)Rút gọn A b)Tìm x biết A  Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B   x  x  x  12 x  HD: AD Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối x y x y x y  xy   xy   ( xy  0) 2 3 x y a)Rút gọn C b)Tìm x; y biết: C   2014 2014 HD: Với ab  a  b  a  b Bài 6: Cho biểu thức: C  3  1  1 x  y x  x y  y  A     :   Bài 7: y  x  y x y   x x y  xy3 a)Rút gọn A; b)Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị x  y xy xy=16 b)AD: x  y  HD: a) A  xy b ab  a Bài 8: Cho biểu thức: A   a a a)Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa  b   a  HD: a)   b     a  b)Rút gọn A b)Trong đk câu a) ĐS là: Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 b 1 a Trang 18 http://tailieuchonloc.net  x 8x   x 1  Bài 9: Cho P      :   x   2 x 4 x   x 2 x a)Rút gọn P b)Tìm x để P = –1 c)Tìm m để với x > ta có m x  P  x   HD: a) P  4x  b) x  x 3 16 1 Ta cần phải có: x   nghĩa ta phải có: 4m  4m  1  9 m  4m  18 c)Ta suy ra: x  Bài 10: Cho A  x 1  x  x  1 a)Tìm ĐK cho A Bài 11: Rút gọn biểu thức : b)Rút gọn A A= c)Tính A x = x  4(x  1)  x  4(x  1)   1    x 1  x  4(x  1) HD: Tìm ĐK Xét hai khoảng 12 Kết : A  2 A= 1 x x-1  a  a    a  a   Bài 12: Cho biểu thức: A  1   1     a   a   a)Tìm giá trị a để A có nghĩa b)Rút gọn A c)Tìm a để A= –5; A=0; A=6 d)Tìm a để A = A e)Với giá trị a A  A 1 Bài 13: Cho biểu thức: Q    x x 2 x  1x a)Tìm điều kiện để Q có nghĩa b)Rút gọn Q c)Tính giá trị Q x  d)Tìm x để Q   e)Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q nguyên x  x 1 Bài 14: Cho biểu thức: P  x 1 x  x a)Tìm điều kiện x để P có nghĩa b)Rút gọn P c)Tìm x để P>0 d)Tìm x để P  P e)Giải phương trình P  2 x f)Tìm giá trị x nguyên để giá trị P nguyên     Bài 15: Cho biểu thức: A   a   a   a  a    a  a 1 a   a)Tìm điều kiện để A có nghĩa b)Tính giá trị A a  52 52  2 52 c)Tìm giá trị a để A  A d)Tìm a để A=4; A= –16 e)Giải phương trình: A=a2+3 Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 Trang 19 http://tailieuchonloc.net      Bài 16: Cho biểu thức: M   a   a  a  a  a    a   2 a  a   a)Với a>0; a≠1 b)Rút gọn M c)Tìm giá trị a để M= –4 d)Tính giá trị M a    e)Chứng minh M≤0 với a>0; a≠1 62          Bài 17: Cho biểu thức: K  1 a  :  a a  a   a a  a   (a>0; a≠1)   a      a    a)Rút gọn K b)Tính giá trị K a=9 c)Với giá trị a K  K d)Tìm a để K=1 e)Tím giá trị tự nhiên a để giá trị K số tự nhiên x  x   x (x0; x≠1) Bài 18: Cho biểu thức: Q  x 1 1 x  x a)Rút gọn Q b)Chứng minh Q0; x≠9)  x   x  x x    x Bài 19: Cho biểu thức: T   x a)Rút gọn T b)Tính giá trị T x  7 5 7 7 7 c)Tìm x để T=2 d)Với giá trị x T0; b>0; a≠b  ab a b a  b  b) B  x y  y x ( x  y )2  xy  xy x y     a  a   a  a  a       a     a a  a   với a>0; a≠1 2x x  10  x 1  x 3 x 2 x 4 x  x 5 x 6 với x0 c)C   d) D   với x>0; y>0; x≠y    e) E  a a  b b  ab  : a b   b   a b a b  với a>0; b>0; a≠b    a  a   f) F  a a   a a    a      a a a  a  a   a  a   Biên soạn: Lê Xuân Hồng – ĐT: 0982 590 930 với a>0; a≠1 Trang 22 ...   ? ?2 9 ? ?2  5 8 22 ) 25 2  700  1008  448 ; 72  20  2 25)  2   26 )  11    27 ) 21  6  21  6 20 ) 12  75  27 : 15 23 )   14) 18) 2 19)     21 )  3(  ) 15)  75 8) 27 ...     20 ) 12  29  25  21  12  29  25  21 1  1 2? ?? 1 22 )   2? ?? 3 1 23 )   1 2? ?? 1 24 )  1  21 ) A  1   ĐS: A = n - 3 n 1  n 1   4 2n  2n  1   3 24  25 1   ...   7 24 36 25 25 6) 0,04 .25 1) 14 56 2) 12 4) 12 75 5) 7) 90.6, 8)  17  17 9) 12   48 10) 5  20  45 12) 12  27  48 14) 18   1 62 11) 32   18 13) 12  75  27 15)  20  80