Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH DẠY HỌC MỘT SỐ NGUYÊN LÍ CỦA TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lí luận Phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 62.14.01.11 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC HÀ NỘI - 2015 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành tại: Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Duy Hưng TS Lê Tuấn Anh Phản biện 1: PGS.TS Trần Kiều – Viện KHGD Việt Nam Phản biện 2: TS Nguyễn Văn Thuận – Trường Đại học Vinh Phản biện 3: PGS.TS Vũ Quốc Chung – Trường ĐHSP Hà Nội Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vào hồi .giờ .ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc Gia Việt nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Có thể nói nội dung sơ khai Toán rời rạc (TRR) đời từ sớm Lý thuyết TRR hình thành ngành toán học vào kỷ 17 Đến nay, với hỗ trợ đắc lực máy tính, TRR phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng có ích cho người Nhiều nhà nghiên cứu khẳng định vai trò TRR chương trình môn Toán trường phổ thông: + TRR khuyến khích cách tiếp cận khám phá giảng dạy (Burghes, 1985; DeBellis Rosenstein, 2004; Dossey, 1991…) + TRR áp dụng cho tình hàng ngày (Glidden, 1990; Perham & Perham, 1995…) + TRR giúp giáo viên (GV) có nhìn so với toán học truyền thống (DeBellis Rosenstein, 2004; Kenney, 1996) + TRR cung cấp vấn đề toán học tương đối khó dễ tiếp cận cho HS yêu toán (DeBellis Rosenstein, 2004, Kenney, 1996…) + TRR công cụ tuyệt vời cho phát triển tư kỹ giải toán (Burghes, 1985; Hart cộng sự, 1990; Kenney & Hirsch, 1991; Rosenstein cộng sự, 1997) Nhiều nhà giáo dục học tin tưởng việc đưa TRR vào chương trình giảng dạy trường phổ thông thực Kenney (1996), Monaghan & Orton (1994), Rosenstein, Franzbalu & Roberts (1997) khẳng định TRR giảng dạy cho tất học sinh (HS) bậc học TS Trần Nam Dũng viết cho rằng, Việt Nam, TRR dạy từ bậc trung học sở Nhận thức vai trò lý thuyết TRR đời sống đại, nội dung TRR đưa vào chương trình học phổ thông chiếm phần quan trọng kỳ thi toán quốc gia quốc tế Nhiều GV phổ thông nước bước tích hợp TRR vào dạy Tuy nhiên chưa có tài liệu hướng dẫn cụ thể cho họ phải dạy nội dung TRR dạy cho đối tượng HS phổ thông, đặc biệt cho đối tượng HS giỏi Hơn nữa, nước ta, tài liệu viết tiếng Việt TRR chưa nhiều Những kiến thức TRR Footer Page of 126 Header Page of 126 có sách giáo khoa phổ thông nước ta ít, chưa đủ đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng kiến thức TRR cho HS giỏi Với lí nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học số nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT” Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm khẳng định cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT; đề xuất nội dung số biện pháp vận dụng dạy học nguyên lí TRR cho HS THPT giỏi nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy học chủ đề trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu đặt sau: + Nghiên cứu lí luận thực tiễn nhằm khẳng định cần thiết dạy dạy số nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Việt Nam + Nghiên cứu nội dung số nguyên lí TRR cần thiết dạy học trường THPT + Đề xuất số biện pháp dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT + Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất luận án Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu Lí luận Phương pháp dạy học môn Toán trường phổ thông; Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến TRR; Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa môn Toán trường phổ thông + Phương pháp điều tra quan sát: - Điều tra thông qua sử dụng phiếu thăm dò ý kiến GV HS về: Sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình môn Toán dành cho HS giỏi trường THPT; Những nguyên lí cần đưa thêm vào chương trình cách thức tổ chức dạy học nguyên lí đó; Những khó khăn mong muốn GV, HS trình dạy học chủ đề TRR trường phổ thông Footer Page of 126 Header Page of 126 - Điều tra kết IMO năm gần - Phỏng vấn chuyên gia, GV HS THPT - Điều tra, xử lí số liệu trước sau thực nghiệm + Phương pháp nghiên cứu trường hợp: - Chọn năm HS lớp chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên làm đối tượng nghiên cứu trường hợp Theo dõi tiến em trình thực nghiệm + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Triển khai thực nghiệm sư phạm dạy học nguyên lí TRR số lớp thuộc trường chuyên nhằm kiểm định tính khả thi hiệu đề tài Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT theo nội dung biện pháp đề xuất luận án nâng cao chất lượng dạy học chủ đề trường phổ thông Những vấn đề đưa bảo vệ + Nhu cầu cần thiết phải đưa thêm nội dung số nguyên lí TRR vào chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT, đặc biệt trường THPT chuyên + Những nội dung biện pháp dạy học nguyên lí TRR cho đối tượng HS giỏi trường THPT đề xuất luận án có tính khoa học thực tiễn + Các biện pháp đề xuất luận án có tính khả thi hiệu Những đóng góp luận án + Luận án làm rõ nhu cầu cần thiết khả dạy học số nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường phổ thông + Luận án đề xuất nội dung số biện pháp dạy học nguyên lí TRR cho đối tượng HS giỏi trường THPT + Các thực nghiệm sư phạm khẳng định tính khả thi hiệu giải pháp mà luận án đề xuất Footer Page of 126 Header Page of 126 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, luận án bao gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Mục tiêu, nội dung dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Chương 3: Một số biện pháp dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Chương 4: Thực nghiệm sư phạm Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 1.1.1 Những nghiên cứu việc đưa TRR vào chương trình môn Toán trường phổ thông số nước giới Năm 1989, Hội đồng Quốc gia giáo viên Toán học (NCTM) Mỹ công bố Chương trình giảng dạy tiêu chuẩn đánh giá cho môn Toán Tài liệu công nhận tầm quan trọng chủ đề TRR chương trình trung học Đây mốc quan trọng cho việc khuyến khích đưa TRR vào trường tiểu học trung học Hoa Kỳ Sau tài liệu công bố, nhiều nghiên cứu TRR khẳng định tầm quan trọng việc giảng dạy TRR mô tả nội dung môn TRR trường phổ thông Ngoài ra, số chương trình xây dụng để chuẩn bị cho GV giảng dạy TRR thu hút họ lồng ghép TRR lớp học Năm 2000, NCTM phát hành sửa đổi Chương trình giảng dạy tiêu chuẩn đánh giá môn Toán thành Nguyên tắc chuẩn cho toán trường học [PSSM], tiêu chuẩn TRR riêng biệt có trước mà chủ đề TRR phân bố chuẩn, từ mẫu giáo đến lớp 12 Tuy nhiên, nhiều nhà nghiên cứu nỗ lực tích hợp TRR vào giáo trình, sách giáo khoa trung học Nhiều tác giả khẳng định: TRR không tập hợp chủ đề toán thú vị mới; Quan trọng hơn, TRR phương tiện cung cấp cho giáo viên cách nghĩ chủ đề toán chiến lược để thu hút học sinh học toán Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.2 Một số công trình nghiên cứu đề cập tới nguyên lí TRR a Ở nước b Ở Việt Nam Thông qua việc thống kê nguyên lí (NL) đề cập tới nhiều tài liệu, nhận thấy có sáu NL đề cập nhiều tài liệu : NL cộng, NL nhân, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp toán học NL bất biến Đây sở cho lựa chọn nguyên lí để chuyển dịch chương sau 1.2 TRR vai trò toán học thực tiễn 1.2.1 Lịch sử hình thành phát triển chuyên ngành TRR “Toán rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) tên chung nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu tập hợp rời rạc, ngành tập hợp lại từ xuất khoa học máy tính làm thành sở toán học khoa học máy tính Nó gọi toán học dành cho máy tính Người ta thường kể đến toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole Rosenstein, Franzblau Roberts (1997) khẳng định: Trong năm qua, TRR hình thành phát triển nhanh chóng TRR trở thành lĩnh vực quan trọng toán học Càng ngày, TRR toán sử dụng nhiều ngành nghề TRR ngôn ngữ phận khoa học lớn 1.2.2 Vai trò TRR chương trình môn Toán trường phổ thông Qua tài liệu thấy vai trò TRR chương trình môn Toán phổ thông thể điểm sau: TRR giảng dạy cho HS bậc học; TRR khuyến khích cách tiếp cận khám phá giảng dạy; TRR áp dụng cho tình hàng ngày; TRR giúp GV có nhìn so với toán học truyền thống; TRR cung cấp vấn đề toán học tương đối khó dễ tiếp cận cho HS yêu toán; TRR công cụ tuyệt vời cho phát triển tư kỹ giải toán 1.2.3 Vai trò nguyên lí TRR thực tiễn TRR nói chung NL TRR nói riêng góp phần tạo nhiều thành tựu khoa học Những thành tựu có tính ứng dụng cao lĩnh vực sống viễn thông, giao thông, sản xuất công nghiệp phân phối lượng… Footer Page of 126 Header Page of 126 1.4 Thực trạng dạy học Toán rời rạc trường phổ thông Việt Nam 1.4.1 Phương pháp, cách thức điều tra thực trạng a TRR chương trình môn Toán Việt Nam b Tiến hành điều tra thông qua ý kiến nhà chuyên môn Chúng tiến hành ba lần điều tra thông qua sử dụng phiếu xin ý kiến nhằm thu thập thông tin từ phiếu - Điều tra lần vào tháng 8/2012, đợt tập huấn chuyên môn cho giáo viên cốt cán môn Toán toàn quốc Đối tượng điều tra 70 giáo viên trường THPT Chuyên chuyên viên môn Toán Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh nước - Điều tra lần hai vào tháng 12/2013 Hải Phòng Chúng thăm dò ý kiến 40 giáo viên cốt cán môn Toán trường, Sở Giáo dục Đào tạo 14 tỉnh phía Bắc - Điều tra lần ba Trại hè Hùng Vương trường THPT Chuyên khu vực trung du miền núi phía Bắc tổ chức tỉnh Quảng Ninh Đối tượng điều tra GV HS giỏi môn Toán trường THPT Vùng Cao Việt Bắc 16 trường THPT Chuyên khu vực trung du miền núi phía Bắc Kết thu sau: * 100% giáo viên hỏi trí với nội dung sau: + Nội dung TRR có sách giáo khoa môn Toán Tài liệu giáo khoa chuyên Toán chưa đủ dùng làm tài liệu để bồi dưỡng cho HS giỏi + Cần thiết phải đưa số nguyên lí TRR vào chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT * Hơn 90% GV đồng ý nên dạy chủ đề TRR cho HS giỏi trường THPT theo trình tự sau: +Lớp 10: Dạy nội dung bản: NL cộng, NL nhân, Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị, Nhị thức Niu-tơn, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp toán học + Lớp 11: Dạy nguyên lí bất biến Dạy nâng cao chủ đề TRR học + Lớp 12: Dạy nâng cao chủ đề TRR Footer Page of 126 Header Page of 126 * Số tiết giảng dạy NL TRR thầy cô đề xuất khoảng từ 15 đến 50 tiết * Kết điều tra cho thấy GV, HS gặp nhiều khó khăn dạy học chủ đề TRR trường phổ thông Họ mong muốn có biện pháp khắc phục khó khăn Kết điều tra định hướng cho đề xuất biện pháp dạy học NL TRR chương ba luận án c Thống kê kết thi có nội dung TRR đội tuyển thi Toán quốc tế (IMO) Việt Nam số nước giới Thống kê nhằm so sánh trình độ HS đội tuyển IMO nước ta năm gần lĩnh vực TRR với HS nước tiên tiến giới số nước khu vực 1.4.2 Đánh giá kết điều tra thực trạng dạy học chuyên đề TRR trường phổ thông Qua kết điều tra khẳng định: - Nội dung TRR SGK phổ thông tài liệu tham khảo tiếng Việt có nước ta chưa đủ để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng HS giỏi - Trình độ HS nước ta năm gần lĩnh vực TRR so với HS nước tiên tiến giới số nước khu vực hạn chế - Cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Bước đầu công việc đưa nội dung nguyên lí TRR vào chương trình Cần phải đề xuất nội dung biện pháp dạy học nguyên lí cho HS giỏi trường THPT Chương MỤC TIÊU, NỘI DUNG DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA TRR TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HS KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT 2.1 Mục tiêu dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT 2.1.1 Những đặc điểm HS giỏi trường THPT 2.2.2 Mục tiêu dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 + Dạy cách suy luận toán học kỹ thuật chứng minh cho HS trình dạy học nguyên lí Phát triển tư sáng tạo, tư phản biện, tư logic cho HS + Hình thành số lực cho HS như: lực giải vấn đề, lực sáng tạo, lực tự học, lực giao tiếp, lực hợp tác, lực tính toán, lực sử dụng ngôn ngữ… + Bổ sung nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào chương trình môn Toán dành cho HS giỏi trường THPT Kích thích say mê nghiên cứu toán học em thông qua chủ đề thú vị TRR Bồi dưỡng phát triển tri thức TRR học sinh giỏi THPT Việt Nam Trang bị kiến thức chuẩn bị cho em tiếp cận với khoa học kỹ thuật đại giới 2.2 Chuyển dịch sư phạm 2.2.1 Khái niệm chuyển dịch sư phạm Trong giáo dục, chuyển dịch kiến thức coi đá tảng triết học người thầy Hiện tượng chuyển giao có lẽ quan trọng nhất, lại biết quy trình dạy – học Theo quan điểm chấp nhận, chuyển dịch kiến thức coi ứng dụng giải pháp biết cho tình chưa biết từ trước tới lúc Chuyển dich dựa sở khiếu tổng quát hóa khả trừu tượng hóa Trong tâm lí học, chuyển dịch: hành vi tình cảm người, đồ vật lan truyền tới người khác Theo tác giả Nguyễn Bá Kim PPDH môn Toán, trang 201: Về thành phần tri thức, lí luận dạy học, Yves Chevallard phân tích lần trình tổng quát biến đổi từ tri thức khoa học thành tri thức dạy học gọi chuyển hóa sư phạm ( Chevallard 1985 Verret 1975) Trong trình tri thức xét theo cấp độ: tri thức khoa học, tri thức chương trình tri thức dạy học Tri thức khoa học: Là tri thức nhà nghiên cứu tìm Sau phi hoàn cảnh hóa, phi thời gian hóa, phi cá nhân hóa, nhà khoa học công bố dạng tổng quát được, theo quy tắc diễn đạt hành cộng đồng khoa học Tri thức chương trình: tri thức khoa học sau sàng lọc, định mức độ yêu cầu cách thức diễn đạt phù hợp với mục tiêu điều Footer Page 10 of 126 Header Page 42 of 126 Technique 1: Evoking motivation and creating excitement for students by using some visual appliances in teaching principles of discrete mathematics To support our teaching, we have used sets of magnets attached to magnetic board during teaching problems on counting or on games related to stones Instead of stones in mathematical problems, teachers can use beans which are available in their family Similarly, in mathematical problems on chess board, we can use the side board with cross-shaped cells Or simple strings can also be used in model construction to generate excitement for the children in all lessons on the Injection principle and the Bijection principle The general principle of teaching discrete mathematics by visual appliances is: use the right purpose, right time, right place, the right level and intensity; ensure consistency between the specific and the abstraction Visualization is a basis to predict and discover Students should know abstract thinking immediately after using visual appliances Technique 2: Evoking motivation and creating excitement for students by using some IT software during teaching principles of discrete mathematics In addition to use IT software in support of teaching, teachers should encourage and guide students to use above software to design games and group reports on topics of discrete mathematics Through the design process, students are able to collect a system of exercises and to self-reinforce their knowledge They will be more confident and excite when teachers use their products during the lesson to reinforce knowledge of other classmates Example 3.2: Using Adobe Presenter software to design e-learning lessons through the game "Adventures of Mario in combinatory country" (There are discs enclosed with thesis) Lectures integrate instructional programs under branching program and straight line program The idea of the game is created by a group of students specializing in Mathematics 10 K22 in Thai Nguyen High School for gifted students Then, we have applied, developed and designed E learning lectures Under the guidance of Prof Dr Nguyen Ba Kim, this lecture has been shortlisted in the finalists of "Designing E - learning lesson” in national contest, academic year 2011 - 2012 and received gifts from organizing committee Purpose of the game is to review and reinforce some Combination knowledge The main idea of the game is that a pupil plays a role of Mario to wander the Combination country Destination is Combinatory Mount with a victory flag plugged on its slope Mario must go through or Footer Page 42 of 126 12 Header Page 43 of 126 zones: the island of two basic counting rules (The sum rule, the product rule) (Zone 1), Permutation – Arrangement – Combination Gulf (zone 2), Land of danger (zone 3), Newton’s binomial forest (zone 4) In each zone, player encounters mathematical problems which must be answered before moving to the next The player starts at zone and moves to zone If player can answer a difficult problem in the end of zone 2, he is offered a shortcut to zone If this problem cannot be answered, the player will fall in zone and move to zone In the final stage, player moves from zone to Combination Mount The image of Mario plugged victory flag in the mount slope but not its peak implies: There is more various, interest and difficult Combination knowledge in particular and discrete mathematics knowledge in general waiting for student to discover We have designed various types of exercises: player must fill the answers in the blank, choosing one in given answers or connecting options When player has given out the answer, evaluation and specific solution of the problem will be shown Most of mathematical problems are designed in a straight-line program Specifically, special problems are designed in branching program We have scheduled the two most common errors when students solve this problem The, students must choose one of three given answers (only one is correct) In fact, this is three paths If students give the correct answer, the will receive a compliment and two solutions of the problem, then moving on If students give the wrong answer, they will get the hint which explains the reason for wrong answers In this case, students are asked to click on a link to a special problem to it again Technique 3: Evoking motivation and creating excitement for students by problems with practical contents during teaching principles of discrete mathematics Lenin pointed out the general path of human perception is: "From vivid intuition to abstract thinking and from abstract thinking to practice which is the dialectical path of perception of truth and perception of objective reality" Stemming from practical problems, knowledge on discrete mathematics is developed; then obtained knowledge is further developed and applied in solving more difficult problems By applying this path, we wrote the article "Around Euler’s problem in dividing candy" which was published in Journal of Mathematics and Youth on 10/2012 This article has been reported in Hanoi Mathematics Seminar held in Thai Nguyen on 11/2012 and in training course for approximately 60 teachers of Footer Page 43 of 126 13 Header Page 44 of 126 Mathematics of Thai Nguyen province on 8/2013 Through the report, we also presented above views and received the support of professionals and colleagues However, the way starting from practice and creating the most appropriate attention for students is derived from mathematical problems associated with events happening in the classroom In the course of practicing and creating new mathematical problems, a group of students specializing in Mathematics K 25 wrote a series of problems which mention memories of the class, daily work taking place in classroom 3.2 Measure 2: flexible application of some active teaching methods for Discrete Mathematics principles teaching a Objectives Besides the objective of attracting students in learning, this measure has been developed mainly: to promote students’ self-discipline, passion and self-achievement under the instruction of teachers b Scientific basis Teaching methods are teachers’ activities and behaviors to hold activities and interaction between the teacher and students to achieve teaching purpose, according to Prof Dr Nguyen Ba Kim In reality, there is no so-called effective teaching method for all teaching objectives and contents The combination of different methods and teaching forms in teaching process, therefore, is an important direction to promote students’ enthusiasm and to improve education quality c Applying methods The principle “students will complete tasks assigned under the teacher’s organization and guidance on their own” must be implemented by the teachers when applying the teaching methods We proposed some teaching methods for teaching Discrete Mathematics principles: Learning games, group teaching, problem solving, self-study… Technique 1: The application of teaching methods in official class hours Example 3.4: (Holding activities for students through the use of visual items to find tactics to win the Nim game – a Chinese traditional game) Step 1: The teacher raises specific problems: “There are piles of pebble including a pile of pebbles, a pile of stones and the other of pebbles Two students in turn take away a pile of pebbles or some pebbles in one random pile The student who gets the last pebble shall be the winner Footer Page 44 of 126 14 Header Page 45 of 126 Students will in pairs play the game in class held by the teacher The two pairs use magnets mounted on the classroom board Students are required to record their status played (see illustration) This is the situation of raising problem finding tactics to win the game needed to be solved When two students play together in the game, the winner can be identified after a finite number of steps Students believe that they will find out rules to win due to limited numbers of pebbles It is, however, uneasy to find such rules Step 2: The method for counting sum of nonnegative integer of Nim being similar to that of numbers presented in binary form will be guided by the teacher Then, apply to count the Nim sum of numbers in each recorded status (see illustration) Step 3: Looking at the change in the Nim sum to find the rule of victory Since the final status when there is no pebble to take having sum of Nim equal to 0, students will find the tactics: the person who always changes the different Nim sum into that of after his/her turn will be the winner In the given problem, students can find the specific rule without difficulty on account of the limited number of pebbles Students figure out that where the two players have already known the rule, the victory will depend on the beginning status The second player will win the game if the initial state has a total Nim of Where the total Nim is different from 0, the other will be the winner Example 3.5: The use of scaffolding technique in macro level designed teaching to help student grasp the problem of candy division of Euler Problem: There are n identical candies divided for m babies (m, n are positive integers) How many ways to divide the number of candies? This is an interesting mathematic problem providing many applications in combinatorial problem solving To handle this problem, students are assumed to already know some basic knowledge as below: - The concept of k combination of n particles Footer Page 45 of 126 15 Header Page 46 of 126 - The concept of a binary sequence - The number of binary sequences of n in length, each sequence with k particles equal to is: Cnk A small experience should be provided to students by the teachers before raising the mathematic problem is: A problem with two main subjects can be taken back to the binary sequence one for an easier resolution Before solving the problem, the teacher can conduct some following preparations for the micro scaffolding method: Option 1: Scaffolding technique for students who got the idea of changing the problem concerned into a binary sequence-related one ? What is the assumption of the problem? ! There are n identical candies divided to m babies ? What are the problem requirements? ! To count how many ways to divide candies that satisfies initial requirements of the problem ? In your opinion, how many main subjects are there in the problem? ! There are two main subjects that are the babies and candies ? Is there any idea come up with out of this question? ! I will change the problem into binary sequence-related one? ? So what subject shall be considered and what is 1? ! I think that of two main subjects, one subject is regarded as and the other is For example, I regard each baby as and each candy as ? How to have candies divided corresponding to a random sequence of binary? ! I have to put the numbers and in a row ? So what is your next coming idea? ! If the baby is given the number of candy, I will write only: 1 In case he/she is given a number of k candies, I will write: 1 k sè I will continuously write from the first baby to the m one to form a binary sequence having m of and n of ? Can you make it clear by giving an example? ! For instance, if there are identical candies divided among babies and the first baby got candies, the second one received no candy and the last one got candies, I can write down 0111001111 ? Well done! So you know how to solve the initial mathematic problem? Footer Page 46 of 126 16 Header Page 47 of 126 ! Each way of candy division will be corresponding to a binary sequence with length of (m+n); in which it exists m of 0, n of and one particle of will always come at the beginning of the sequence Hence the results needed are”: ? If we refer xi as the number of candy given to the baby number i, what is the result? ! We have equation: x1 + x2 + + xm = n (1) ? Each natural solution of the linear equation (1) is a set of (x1, x2, ,xm) that satisfies (1) and Can you see any association between that solution and the above dividing method? ! Each solution will be corresponding to a dividing method and vice versa ? So what conclusion can you draw? ! The number of natural solutions of equation is Cnmm11 ? You should remember the method to solve problems for finding natural solutions of equation form 1with xi being blocked Therefore, applying to solve actual mathematic problems Option 2: (To students having the idea of changing the problem into the one of finding natural solutions of a linear equation) ? What is the mathematic problem assumption? ! There are n identical candies needed to divide among babies ? What are the problem requirements? ! To count how many dividing methods that satisfy problem requirements ? What is your idea? ! Refer xi as the number of candies given to baby number i, i  1, m The number of dividing method will be equal to the natural solutions of the equation: x1 + x2 + + xm= n (1) But I am stuck here ? We try to solve the following sub-problem: Give a grid of squares The nodes are numbered from to (m-1) in the direction from left to right and from to n vertically from bottom to top How many different paths are there from node (0, 0) to node (m-1, n) if only allowed to go on the edge of the square in the direction from left to right or from bottom to top Footer Page 47 of 126 17 Header Page 48 of 126 (m-1,n) n 1 0 m-1 (0,0) The teacher guides students to solve the sub-problem ? What are the features of each route which meets the requirements of the mathematic problem? ! Merely allow moving on edges of the box from left to right or upward ? It means that there are core factors: Following the horizontal line or following upward So can we make it as the binary problem? ! Yes I will encode each upward segment by the number 0, each horizontal segment will be coded by the number (each segment will have the length equivalent to the length of the box) ? Therefore each segment satisfies requirements equivalent to the binary sequence What are the characteristics of each binary sequence? …………… ? Can you try to consider again the assumption? What are the more characteristics of each route? ! Originating from node (0, 0), end at node (m-1, n) being only allowed to go horizontally from left to right or upward ? By that characteristic, you have any inference about the number of horizontal segments and upward segments in each route? ! There have only (m-1) horizontal segments and n upward segments Thus the mentioned above binary sequence has the length of (m + n 1) in which there have only (m-1) element of Therefore you will have answer for the supplementary problem ? Let look at the image and regard each vertical line passing through the respective nodes (0,0), (1,0), (m - 1, 0) are m babies, what factors are the candies that the babies can be received? Can you look at the image which we have above? Footer Page 48 of 126 18 Header Page 49 of 126 ! The first baby can be considered the first vertical line, by the image, our route passing through one segment of this vertical line The second baby can be considered the second vertical line; our route does not pass through any segment of this vertical line… The total candies are rightly equivalent to the number of segments in each route You have already understood In the above circumstance, the first baby is received candy, the second baby is received none… ? Do you have answer for the mathematic problem of dividing candies? ! Considering that each route meet the requirements, call xi is the number of segments in the vertical line through the node (i-1, 0), i  1, m , you will have the equation (1) mentioned above Each route satisfies equivalent to the natural solution of (1) Each solution is equivalent to one way of dividing candies There have Cnmm11 routes meeting the requirement, so there have Cnmm11 ways of dividing n similar candies to m babies Techniques 2: Enhance self-studying through the material of Discrete Mathematics Self-studying is a suitable method to good and very good students Teacher should step by step guide the method of selfstudying to students Start with the way of self-noting in the lessons, the way of making plan for Discrete Mathematics topic for themselves and searching for materials on the Internet 3.3 Measure Training students to solve the problems applying the principles of Discrete Mathematics under the levels: smoothness – flexibility – creativeness a, Purpose and Meaning General education in our country is changing from approaching education contents to learner’s capacity This means we take care of students, who applied something instead of learnt something To ensure that, it is necessary to carry out successfully the movement from teaching methods under “one-way transmittance” to the way of studying and applying knowledge, practicing skills and forming capacity and quality b, Scientific basis According to Professor Bui Van Nghi (2009), the capacity is subjective or natural ability and condition to something It is qualities of psychology and physiology that make people to fulfill something with high quality Capacity to apply the principles in solving the problems includes basic skills: identifying the principles need to apply in solving the Footer Page 49 of 126 19 Header Page 50 of 126 problems, analyzing to find out the answer of the problems, creating from old problem to new one c, Implementation methods Technique 1: Training students to recognize the principles, which need to apply, thenceforth, finding out the methods to solve the problems Teachers direct students to understand the contents of each principle and kinds of problem Then, teachers guide students to identify the principles, which will be applied through exercises system Technique 2: Step by step develop the capacity in solving the discrete mathematics for students from expansion, generalization to major exercises Beginning from depend on specific cases to extend gradually the problems by adding or cutting the datum in the assignments Technique 3: Finding out the way to solve the problems in general thanks to review the specific cases In November 2013, a Mathematic seminar held in Thai Binh Province by gifted schools in the Coastal and North Delta areas The subject of the seminar is how to teach the Discrete Mathematics for students of high school Conclusion of the seminar affirmed that: the methods of approaching many subjects of the Discrete Mathematics are little cases in fact and then becoming to a general problem This way is applied by Teacher Nguyen The Sinh (Nguyen Trai Gifted School-Hai Duong) in the article: “Starting from little cases” It is published in the Proceeding of Workshop and classified as excellent In this article, the writer gave many examples and reasons for application of this opinion in solving the Discrete Mathematics 3.4 Measure 4: Combining the teacher’s assessment with selfassessment of students in teaching the principles of Discrete Mathematics to get more effectiveness in teaching and studying a, Purpose and Meaning Test and assessment are integrated in using during teaching process to adjust teacher’s teaching methods and student’s learning methods aim to support for teaching and studying to come into effective b, Scientific base: Assessment is comments and judgments the result or advancement The Decree of 8th Central Conference, XI session on basic and comprehensive innovation of education and training stated: “basic innovation of examination form and methods, test and assessment of education and training result need to as step by step as the advanced standards, which is Footer Page 50 of 126 20 Header Page 51 of 126 trusted and recognized by society and educational community in the world Combining and using the assessment result during learning period and at the end of semester and school year; assessment of teachers as students’ assessment; assessment of school with assessments of families and society c, Implementation methods: Technique 1: Giving the comments and compliments, pointing the mistakes through reviewing the written test and right after the students solved the examples and class exercises in the lesson Specifically, we executed the following works: - Marked the errors that students had met Analyzed the reasons and measures for students to fix those mistakes - Repaired the exercises in front of the class carefully Teachers collected the common and rare mistakes, the good way to recommend for students Technique 2: Using the period assessments, making diverse of the exam form (motivation and opportunities for students) We used the assessing tools as below:  Tests under the program distribution of the Ministry of Education and Training  Observed form the positive attitude of students in class  Learning result or records with coefficient of Technique 3: Students self-assess We recommended two assessment forms They are self-assessment and peer assessment 3.5 Measure 5: Overcoming and repairing the mistakes in applying the principles of Discrete Mathematics for good students in High School a, Purposes and Meaning: Discovering their own mistakes or someone else will help students to understand the knowledge more certainly b Scientific base: According to the opinion of Brousseau: “Mistake is not only consequence of unknown, unsure, accidental reasons of people, who is following the empiricism and behaviorism, but also maybe consequence of existing knowledge The knowledge used to be useful for study before but not true or not suitable to learn new one any longer” c, Implementation Methods: Footer Page 51 of 126 21 Header Page 52 of 126 Technique 1: Directing students to grasp the concepts and contents of principles and forming logic skill through the problems Technique 2: Organizing activities in mistaken situations aim to help students to detect the mistakes and figure out how to fix it During the period of teaching the principles, external forces – impact of teachers and studying environment… will improve and resonate with internal forces – self-study capacity of students to complete the outlined objective by using the recommended measures Ideology changing from “external” into “internal” of pedagogical movement in phase is carried out in here Chapter PEDAGOGICAL EXPERIMENT 4.1 Purpose, Request, Contents of Pedagogical Experiment 4.1.1 Purpose Pedagogical Experiment aims to review the feasibility of applying the recommended measures in teaching some principles of discrete mathematics for good and excellent students students in High School At the same time review the efforts of teaching under such measures to study result of students 4.1.2 Request Pedagogical experiment has to undertake the objectivity of experiments It has to be suitable with students and close to real status of teaching 4.1.3 Contents of pedagogical experiment 4.1.3.1 Content 1: Experiment to teach chapter II Combination and Probability, Section A Combination in Advanced Algebra and Calculus 11 Program, including periods 4.1.3.2 Content 2: Experimenting at some specialized classes on Dirichlet Principles Topics for students specializing on math 10 with periods 4.1.3.3 Content 3: Experiment depends on research about students of math class course 25 at Thai Nguyen Gifted High School Time, procedure and methods to assess the pedagogical experiment 4.2.1 Time for pedagogical experiment From January, 2010 to August, 2014 4.2.2 Experiment objects Footer Page 52 of 126 22 Header Page 53 of 126 a, Experiment objects of the content are two chemistry-specialized, biology-specialized classes of 11 grade - course 23 of Thai Nguyen Gifted High School b, Experiment object of content are two math classes of grade 10 c, Experiment object of content 3: Researching students of mathspecialized classes-course 25 of Thai Nguyen Gifted High School 4.2.3 Progress of Organizing the Experiment 4.2.4 Assessment methods of the Pedagogical Experiment’s result 4.3 Progress of Pedagogical Experiment 4.3.1 Content of Pedagogical Experiment 4.3.2 Content of Pedagogical Experiment 4.3.3 Content of Pedagogical Experiment After experiment, we draw comments from basis of results as follows: - Suggested contents at section 2.3 are suitable with good students in High school - The use of recommended teaching methods in previous chapter is possible and effective at the beginning that contributed to the improvement of the teaching and learning quality of Discrete Mathematics in High School - Many students of experiment classes get the way to self-study the Discrete Mathematics and work in groups and create new problems, new games Those help students to learn Discrete Mathematics Thus, the thesis can be considered to pass the purpose of research Footer Page 53 of 126 23 Header Page 54 of 126 CONCLUSION The thesis collected the following results: Demonstrated that the demand and necessity to further add the contents of some principles of discrete mathematics for fostering program of good and excellent students in high school Recommended the purpose and contents in teaching the principles of discrete mathematics for fostering program of good and excellent students in high school Recommended measures often used in teaching the principles above Organized the pedagogical experiment to illustrate the feasibility and effectiveness of pedagogical measures above The result of experiment showed that the measures recommended in the thesis are feasible and obtained initial good results From the main results above, we can conclude that: Scientific theory of the thesis is acceptable The researching purpose of topic is completed The contributions of the thesis can be deployed and applied in practice of teaching Discrete Mathematics in High School for good and excellent students Footer Page 54 of 126 24 Header Page 55 of 126 The research works of the author involving the thesis published The scientific articles Nguyen Thi Ngoc Anh (2013), Teaching the Box Principle for good students in high school, Scientific Journal – HNUE (vol 58), p 28 – 35 Nguyen Thi Ngoc Anh (2014), Applying teaching theories on Vygotsky's zone of proximal development in teaching discrete mathematics for good students in high school, Scientific Journal – HNUE (vol 59, No 2A), p 136 – 144 Nguyen Thi Ngoc Anh (2014), Guiding good and excellent students in high school to apply bijection method to solve some of counting problems, Journal of Science and Technology - Thai Nguyen University (vol 128, No 14), p 127 – 131 Nguyen Thi Ngoc Anh (2014), Suggesting motivation, creating excitement for students by using visual appliances, information technology products, and problems from the practice of teaching discrete mathematics in high school, Journal of Education (vol 1, No 345), p 48 – 50 Nguyen Thi Ngoc Anh (2014), Situation of teaching Discrete Mathematics in high schools in Vietnam, Journal of Education (vol 1, No 345), p 52 – 55 Reports at scientific conferences, training courses for high school teachers Nguyen Thi Ngoc Anh (2012), Around Euler's candy division problem, report in the Scientific Conference by the Hanoi Mathematical Society held in Thai Nguyen in November, 2012 Nguyen Thi Ngoc Anh (2014), Guiding good students in high school to apply bijection method to solve some of counting problems, report in the training course of Mathematics teachers of Thai Nguyen Province in August, 2013 Nguyen Thi Ngoc Anh (2014), Teaching the box principle for students specializing in Mathematics, report in the training course of teachers specializing mathematics held by Institute of Advanced Mathematics in September, 2014 Footer Page 55 of 126 Header Page 56 of 126 Footer Page 56 of 126 ... pháp dạy học nguyên lí cho HS giỏi trường THPT Chương MỤC TIÊU, NỘI DUNG DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA TRR TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HS KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT 2.1 Mục tiêu dạy học nguyên lí. .. NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Định hướng xây dựng biện pháp: (1) Các biện pháp cần phù hợp với mục tiêu dạy học, ... số nguyên lí TRR vào chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Đề xuất mục tiêu, nội dung dạy học nguyên lí TRR chương trình bồi dưỡng HS giỏi trường THPT Đề xuất năm biện pháp thường dùng dạy