CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA GRAPH KHI GIẢI TOÁN TỔ HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA GRAPH KHI GIẢI TOÁN TỔ HỢP I Những khái niệm bản: Graph mô hình toán học dùng để giải nhiều toán vấn đề toán học Một graph hệ thống đỉnh cạnh nối đỉnh với Định nghĩa Graph ký hiệu Định nghĩa: Một Graph hiểu phận tập hợp hữu hạn: Tập hợp đỉnh tập hợp cạnh nối đỉnh với Thông thường ta hay ký hiệu Graph chữ G Còn tập đỉnh ký hiệu chữ V, tập cạnh ký hiệu chữ E Graph cạnh có hướng ký hiệu G = (V, E) graph có cạnh có hướng ký hiệu G = [V, E] Với hai đỉnh a b graph, ta ký hiệu cạnh hướng nối a với b (a,b) cạnh có hướng nối chúng [a,b] Trong trường hợp có nhiều cạnh nối a với b ta ký hiệu cạnh thứ n nối chúng (a,b,n) [a,b,n] Hai đỉnh khác Graph gọi kề láng giềng chúng nối với cạnh Một Graph gọi vô hướng cạnh chúng cạnh vô hướng Một Graph gọi có hướng cạnh chúng cạnh có hướng Một Graph vừa có cạnh vô hướng vừa có cạnh có hướng gọi Graph hỗn độn Một Graph gọi graph đơn khuyên không cố cạnh kép Graph điểm graph có đỉnh cạnh Graph rỗng graph đỉnh cạnh Bậc đỉnh Trong phần xét Graph vô hướng, tức graph mà cạnh chúng hướng Ta gọi bậc đỉnh số cạnh xuất phát từ đỉnh đó(các khuyên tính gấp đôi) Đương nhiên bậc đỉnh số nguyên không âm Một đỉnh gọi cô lập cạnh cả, tức có bậc Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Định lý 2.1: Trong Graph vô hướng G tùy ý tổng bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Graph Chứng minh: Trong graph tổng bậc đỉnh graph cạnh tính hai lần hai đỉnh Do tổng gấp đôi số cạnh graph Hệ 1:Trong Graph vô hướng G tùy ý số đỉnh bậc lẻ số chẵn Chứng minh: Theo định lý tổng bậc đỉnh số chẵn số đỉnh bậc lẻ số chẵn Hệ 2: Trong graph vô hướng G có số lẻ đỉnh có số lẻ đỉnh có bậc chẵn Chứng minh: Theo hệ số đỉnh bậc lẻ graph G số chẵn Do graph G có số lẻ đỉnh, nên số đỉnh bậc chẵn phải số lẻ Dãy cạnh Cho trước graph G với tập đỉnh V tập cạnh E Hai cạnh graph cho trước gọi hai cạnh kề chúng có đỉnh chung Một dãy m cạnh ei = ( Ai , Ai +1 ) với i = 1, 2, , m gọi dãy cạnh đối diện nối tiếp thường ký hiệu là: H = ( A1 , e1 , A2 , e2 , , ek , Ak +1 ) A H B G C F D E Trong trường hợp G graph đơn ta biểu diễn dãy cạnh qua đỉnh chúng, chẳng hạn dãy cạnh H ta ký hiệu đơn giản là: H = ( A1 , A2 , , Ak +1 ) Theo định nghĩa ta dãy cạnh liên tiếp kề (mỗi cạnh kề với cạnh tiếp theo) chưa dãy cạnh Mỗi dãy cạnh liên tiếp kề dãy cạnh kết tiếp đỉnh chung cạnh ( khuyên) với cạnh trước cạnh sau khác Trong dãy cạnh kế tiếp, cạnh graph xuất nhiều lần Số m cạnh gọi độ dài dãy cạnh cho Cho trước dãy cạnh H = ( A1 , e1 , A2 , e2 , , ek , Ak +1 ) , đỉnh A1 gọi đỉnh đầu đỉnh Ak +1 gọi đỉnh cuối H H gọi dãy cạnh nối A1 Ak +1 Trong trường hợp A1 ≠ Ak , dãy cạnh H gọi dãy cạnh không khép kín Còn A1 = Ak H gọi dãy cạnh khép kín Một dãy cạnh e1 , e2 , , ek với ei ≠ e j cho i ≠ j gọi xích đơn Một xích đơn với đỉnh đầu A đỉnh cuối B gọi xích đơn nối A với B Khái niệm dãy cạnh khái niệm xích đơn đóng vai trò quan trọng việc mô tả liên thông (khả lưu thông dọc cạnh) graph mà ta làm quen mục sau Định lí sau cho ta thấy liên quan hai khái niệm dãy cạnh xích đơn graph Định lí 1: Nếu có dãy cạnh nối hai đỉnh A B graph tồn xích đơn nối A với B graph cho 4.Chỉ số liên thông Trong mục làm quen với khái niệm quan trọng lí thuyết graph khái niệm liên thông Khi biểu diễn graph mặt phẳng, thấy có nhiều hình biểu diễn chúng cụm tách rời không nối với Tương ứng với hình rời graph thành phần graph cho mà ta gọi thành phần liên thông graph cho trước Để xác hóa khái niệm liên thông, trước hết nói hai đỉnh graph cho trước liên thông với có dãy cạnh nối chúng với graph cho Chẳng hạn, graph biểu diễn hình 25 mục trước có đỉnh a đỉnh g liên thông với Tất nhiên đỉnh cho trước coi liên thông với (được nối với dãy cạnh kết tiếp có độ dài 0) Một graph gọi liên thông hai đỉnh liên thông với Quan hệ “liên thông” có tính chất sau: a) Mỗi đỉnh a graph liên thông với b) Nếu a liên thông với b b liên thông với a c) Nếu a liên thông với b b liên thông với c a liên thông với c Thực chất qua hệ tương đương Tập hợp đỉnh graph Quan hệ tương đương chia tập đỉnh graph thành lớp có hai tính chất sau: 1) Các đỉnh thuộc lớp liên thông với 2) Các đỉnh không thuộc lớp không liên thông với Các lớp đỉnh đỉnh graph thành phần liên thông graph cho trước, gọi thành phần liên thông graph cho Đường Graph Trong mục ta làm quen với dãy cạnh xích đơn Trong thực tế ứng dụng sống, ta thường gặp khái niệm khác dãy cạnh dãy cạnh tuân thủ nguyên tắc tối ưu chúng không qua đỉnh graph lần Một dãy cạnh graph cho trước gọi đường chúng không qua đỉnh graph lần Cũng tương tự với dãy cạnh kế tiếp, a b hai đỉnh đỉnh cuối đường W, ta nói W nối a với b Chúng gọi đỉnh đầu đỉnh cuối đường xem phải khác Thông thường, đường biểu diễn thông qua đỉnh cạnh nối chúng, chẳng hạn W = ( p1 , e1 , p2 , e2 , , ek −1 , pk ) Với pi đỉnh ei cạnh W Đặc biệt, graph cho trước graph đơn, ta biểu diễn đường thông qua tập đỉnh nó, chẳng hạn W = ( p1 , p2 , , pk ) Số cạnh đường gọi độ dài Tương tự với xích đơn, ta có định lí sau liên hệ xích đơn đường Định lí 5.1 Nếu có xích đơn nối hai đỉnh a b graph, tồn đường nối a với b graph cho Chu trình GRAPH Khi định nghĩa đường nối hai đỉnh a b graph, ta giả thiết đỉnh a b phải khác Trong trường hợp a b nối với cạnh, thêm cạnh (a, b) vào, ta thu từ đường cho đỉnh graph qua không lần Chu trình kí hiệu việc đưa cạnh cá đỉnh liên tiếp chu trình Chẳng hạn, chu trình C qua đỉnh p1 , p2 , , pk cạnh e1 , e2 , , ek ta viết C = ( p1 , e1 , p2 , e2 , , pk , ek , p1 ) Trong trường hợp graph graph đơn, thay viết rõ cạnh đỉnh, chu trình xác định qua việc gọi tên đỉnh qua Chẳng hạn, chu trình C đề cập viết thành C = ( p1 , p2 , , pk , p1 ) Số cạnh chu trình gọi độ dài chu trình thông thường hay kí hiệu l ( C ) Một khuyên lập thành chu trinfh có độ dài l Một graph cho trước có chu trình có độ dài có cạnh khép Trong graph đơn chu trình có độ dài Một graph không đơn hiển nhiên có chu trình (có độ dài 2) Trong graph đơn lúc ta tìm thấy chu trình Chẳng hạn graph biểu diễn sơ đồ cấp diện, sơ đồ cấp nước chẳng hạn Định lí 6.1 Một graph có bậc đỉnh ≥ có chu trình Định lí 6.2 Một graph đơn với n ≥ đỉnh ≥ n cạnh có chu trình Định lí 6.3 Một graph đơn G với n ≥ đỉnh bậc nhỏ δ ≥ có chu trình C với độ dài l ( C ) ≥ δ + Cầu GRAPH Trong đời sống, không lạ khái niệm “cầu” Khái niệm cầu có mối quan hệ chặt chẽ với khái niệm liên thông Một cạnh e graph liên thông G cho trước gọi cầu bỏ graph thu có số thành phần liên thông nhiều số thành phần liên thông G Một cạnh e graph liên thông G cho trước cầu bỏ graph thu G – e không liên thông Với kí hiệu ω ( G ) cho số thành phần liên thông graph G ta có ω ( G ) < ω ( G − e ) cho cầu e G Trong graph biểu diễn hình cạnh cầu Định lí sau cho ta hình dung vị trí cá đỉnh đầu cuối graph Định lí 7.1 Cho e = ( x, y ) cầu graph G = ( X , E ) Khi x y thuộc thành phần khác graph G – e Định lí 7.2 Nếu e cầu cảu graph cho trước G, ta có ω ( G − e) = ω ( G ) + Định lí 7.3 Một graph liên thông G cho trước có cầu số liên thông cạnh K c ( G ) = Định lí 7.4 Một graph kiên thông G với cầu có số liên thông đỉnh K c ( G ) = Định lí 7.5 Cầu graph G cho trước tất cạnh không nằm chu trình G Đỉnh khớp Chúng ta thấy cầu đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu tính chất liên thông graph cho trước Một cách trực quan, phát biểu sau: Nếu graph liên thông cho trước có cầu cầu chia graph thành hai thành phần, gọi bờ, cho muốn từ bờ tới bờ khác bắt buộc phải qua cầu Trong phần này, nghiên cứu đỉnh graph mà vai trò chúng graph tương tự vai trò cầu Chúng ta khảo sát graph G cho trước đỉnh x nằm graph G Nếu graph G − { x} có nhiều thành phần liên thông số thành phần liên thông graph G, ta gọi đỉnh x đỉnh khớp graph cho trước G Đinh lí sau cho phép ta nhận biest lớp graph liên thông với đỉnh khớp Định lí 8.1 Một graph liên thông G với n ≥ đỉnh có đỉnh khớp số liên thông đỉnh K c ( G ) = Định lí 8.2 Giẳ sử a đỉnh graph cho trước G Khi a đỉnh khớp G a có hai cạnh không thuộc chu trình graph G Định lí 8.3 Cho trước cạnh e1 , e2 e3 graph G Nếu cạnh e1 với e2 với e3 liên thông chu trình, cạnh e1 liên thông chu trình với e3 Một số toán áp dụng Bài 1: Trong hội thảo khoa học tất đại biểu tham dự biết tổng cộng 2n ngôn ngữ n ≥ Mỗi người biết ngôn ngữ hai người biết chung nhiều ngôn ngữ biết với số nguyên k thỏa mãn ≤ k ≤ n − có không k – ngôn ngữ mà ngôn ngữ có không k người biết Chứng minh ta chọn nhóm 2n đại biểu biết tổng cộng 2n ngôn ngữ ngôn ngữ có đại biểu nhóm biết Giải: Lập đồ thị G: đỉnh biểu diễn cho “ngôn ngữ”, cạnh nối hai đỉnh biểu diễn “người biết hai ngôn ngữ đó” Vậy G đồ thị 2n đỉnh Điều kiện “hai người biết chung nhiều ngôn ngữ” nói G đồ thị đơn Điều kiện lại cho biết: với k nguyên ≤ k ≤ n − có không k − đỉnh, đỉnh có bậc nhỏ k (*) Theo đề bài, cần chứng minh: từ tất cạnh G … 2n cạnh thuộc 2n đỉnh đỉnh thuộc hai cạnh … 2n cạnh Để chứng minh điều ta chứng minh: Trong G tồn đường khép kín có độ dài 2n qua tất đỉnh G ( đường ta gọi chu trình H Ta chứng minh điều phản chứng Giả sử G chung trình H Khi tập đỉnh không kề G không rỗng hữu hạn Bằng cách thêm dần hai cạnh nối hai đỉnh không kề ta xây dựng đồ thị 2n đỉnh G thỏa mãn 1) (*), 2) G chu trình H 3) Khi thêm cạnh nối hai đỉnh không kề G ta nhận đồ thị có chu trình H Xét G với v đỉnh G kí hiệu f ( v ) bậc v a) Từ 2) 3) suy hai đỉnh không kề G tồn đường nhận hai đỉnh làm hai đầu mút, qua tất đỉnh G có độ dài 2n − b) Nếu hai đỉnh v v’ G có f ( v ) ≥ n, f ( v ') ≥ n v v’ phải kề Thật vậy, giả sử v v’ không kề có đường v1 , v2 , , v2 n (v1 ≡ v, v2 n ≡ v ' qua tất đỉnh G có độ dài 2n − Giả sử f ( v ) = s ≥ n Kí hiệu vi , vi , , vi (2 = i1 < i2 < < is < 2n) đỉnh kề với v1 ≡ v Khi với j = 1, 2, , s đỉnh v(i ) −1 không kề với v2 n ≡ v ' ngược lại chu trình H G v1v2 v(i )−1v2 n v2 n −1 vi mâu thuẫn với 2) Từ suy f ( v ') ≤ 2n − ( s − 1) ≤ n − (do s ≥ n ), mâu thuẫn với f ( v ') ≥ n Vậy v, v’ phải kều c) Từ b) suy tập v gồm đỉnh v G mà f ( v ) ≤ n − không rỗng, có s j j j max v∈V f ( v ) = m ≤ n − Lấy v1 mà f ( v1 ) = m Điều kiện (*) với k = n − nói có 2n − ( n − 1) + = n + đỉnh có bậc ≥ n , với k = n − nói có đỉnh này, chẳng hạn v2n , không kề với v1 Suy có đường v1 , v2 , , v2 n qua tất đỉnh G có độ dài 2n − Kí hiệu vi , vi , , vi (2 = i1 < i2 < < im < 2n) đỉnh không kề với v1 lập luận b) chứng tỏ với j = → n ta có v(i ) −1 không kề với v2n (chú ý điều kiện (*) với k=1) chứng tỏ đỉnh G có bậc ≥ Áp dụng điều kiện (*) m j với k=m ( ≤ m ≤ n − 1) suy { v( i ) −1 , v( i ) −1 , , v( i m ) −1 } phải có đỉnh vq có f ( vq ) ≥ m + Từ định nghĩa m suy f ( vq ) ≥ n vq , v2 n có f ( vq ) ≥ n , f ( v2n ) ≥ n mà không kề nhau, mâu thuẫn với b) Mâu thuẫn cho ta điều phải chứng minh Bài 2: Xét n điểm A1 , A2 , , An (n>2) không gian, điểm đồng phẳng Mỗi cặp điểm Ai , Aj ( i ≠ j ) nối với đoạn thẳng Tìm giá trị lớn n cho tô tất cá đoạn thẳng hai màu xanh, đỏ thỏa mãn ba điều kiện sau: Mỗi đoạn thẳng tô màu Với i = 1, 2, , n số đoạn thẳng có đầu mút Ai mà tô màu xanh không vượt Với đoạn thẳng Ai , Aj tô màu đỏ tìm thấy điểm Ak (k khác i,j) mà đoạn thẳng Ak Ai Ak Aj tô màu xanh Giải: Xét n điểm A1 , A2 , , An mà tô màu tất đoạn Ai Aj thỏa mãn đề Xét Graph G có tập đỉnh V = { A1 , A2 , , An } tập cạnh đoạn tô màu xanh Dễ thấy G đơn, vô hướng, n đỉnh thỏa mãn: a) d ( Ai ) ≤ 4, ∀i = 1, n ( d ( Ai ) ký hiệu bậc đỉnh Ai ) b) Với hai đỉnh Ai , Aj tồn xích đơn nối chúng có độ dài nhỏ Vấn đề đặt ra tương đương với tìm số đỉnh n lớn Graph G đơn, vô hướng, n đỉnh thỏa mãn a) b) Xét đỉnh Ai theo G Khi đỉnh số n − đỉnh lại phải kề với Ai kề với đỉnh kề với Ai (theo b)) Kết hợp với a) suy n ≤ + + × = 17 1) Xét n = 17 : Khi dễ thấy, phải có d ( Aj ) = G có tất ∀i = 1,17 (*) ×17 = 34 cạnh canh ria A Ai Hinh Xét đỉnh Ai G Từ (*) suy Ai kề với đỉnh khác, giả sử Ai , Ai , Ai , Ai Quy ước gọi tất đỉnh lại G đỉnh rìa, gọi tất cạnh có hai đầu mút hai đỉnh rìa cạnh rìa Từ b) (*) suy đỉnh Aij , ( j = 1, ) (xem H.1) Từ dễ thấy hai đỉnh G với Ai lập thành nhóm ba đỉnh đôi kề nhau, nên G ba đỉnh đôi kề (vì Ai lấy xét đỉnh bất kỳ) Vậy cạnh rìa có hai đầu mút hai đỉnh rìa không kề với đỉnh Aij suy cạnh rìa cho ta chu trình đơn đọ dài qua Ai Mà số cạnh rìa có tất 34 − 16 = 18 , nên từ suy số chu trình đơn độ dài G có tất 18 ×17 ∉ ¢, vô lý Vậy n ≠ 17 2) Xét n=16 Khi dễ thấy, phải có d ( Aj ) = ( 1) ∀i = 1,16 16 × = 32 cạnh Xét đỉnh Ai G Theo (1), Ai kề với đỉnh khác, giả sử Ai1 , Ai2 , Ai3 , Ai4 Tiếp tục phương pháp lập luận Và G có tất 1), ta được: đỉnh Aij , ( j = 1, ) kề với ba đỉnh rìa có đỉnh rìa, tạm gọi Ak , kề với hai đỉnh Ai (xem H.2) Từ đó, Ai nên suy ra: Trong G ba đỉnh đôi kề nhau, suy cạnh rìa không liên thuộc Ak cho ta chu trình đơn độ dài qua Ai , cạnh rìa liên thuộc Ak cho ta hai chu trình đơn độ dài qua Ai Mà số cạnh rìa có tất 32 − 16 = 16 số có hai cạnh liên thuộc Ak (do d ( Ak ) = ), nên suy có tất 14 ×1 + × = 18 chu trình đơn độ dài qua Ai Vì j Ai nên suy số chu trình đơn độ dài G có tất Vậy n ≠ 16 18 ×16 ∈ ¢, vô lý Ai Ak Hình 3) Xét n=15 Ta có G mô tả (H.3) thỏa mãn yêu cầu đặt B A C O N D M E L F K G J H I Hình Vậy nmax = 15 Bình luận: 1.Việc xây dựng G có 15 đỉnh xuất phát từ Graph quen thuộc(Graph Peterson) (H.4)và G mô tả sau(H.5): Có thể xét trường hợp n = 16 cách khác dễ lập luân Tuy nhiên việc xeta trình bày đảm bảo cho lời giải quán phương pháp Hình B A G F K J L O M E H N C I D Hình Bài 3: Trong không gian cho n điểm ( n ≥ ) mà bốn điểm đồng phảng cho ( n − 3n + ) đoạn thẳng mà tất đầu mút chúng nằm số n điểm cho Biết có đoạn thẳng mà sau bỏ (giữ nguyên đầu mút) tồn hai điểm phân biệt mà hai đầu mút đường gấp khúc Hãy tìm số k lớn cho có k đoạn thẳng tạo thành đường gấp khúc khép kín mà đỉnh mút hai đoạn thẳng thuộc đường gấp khúc Giải: Xét graph G có tập đỉnh tập gồm n điểm cho tập cạnh tập gồm ( n − 3n + ) đoạn thẳng cho Từ giả thiết toán ta thấy G tồn cạnh mà sau bỏ G’ không liên thông Giả sử a b hai đỉnh không liên thông với G’/ Gọi Va Vb tập gồm tất đỉnh G’ mà liên thông với a b Giả sử Va = n1 Vb = n2 ( n − 3n + ) cạnh; n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n1 + n2 ≤ n 2 1 n − 3n + ) ≤ n1 ( n1 − 1) + n2 ( n2 − 1) + ( n − n1 − n2 ) ( n − n1 − n2 − 1) hay ( 2 2 ( n1 − 1) ( − n2 ) + ( n − n1 − n2 ) ( − n1 − n2 ) ≥ Do Dễ thấy, G’ có ( n1 − 1) ( − n2 ) =  ( n − n1 − n2 ) ( − n1 − n2 ) = Vậy n1 = n − 1, n2 = n2 = n − n1 = Từ suy G’ có đỉnh cô lập ( n − 1) đỉnh mà bậc đỉnh n − Do G có đỉnh bậc 1, ( n − ) đỉnh mà bậc đỉnh n − đỉnh có bậc n − Bởi chu trình đơn có độ dài lớn G chu trình đơn độ dài n − n ≥ , n = n = Vậy n − kmax =  0 (n ≥ 4) ( n = 2, n = 3) Bài 4: Trong mặt phẳng cho 3n điểm (n>1) mà ba điểm thẳng hàng khoảng cách hai điểm không vượt Chứng minh dựng n tam giác đôi rời thỏa mãn đồng thời điều kiện sau Mỗi điểm 3n điểm cho đỉnh tam giác Tổng diện tích n tam giác nhỏ Hai tam giác gọi rời chúng điểm chung nằm bên bên cạnh tam giác Giải: Gọi 3n điểm cho A1 , A2 , A3n Hiển nhiên mặt phẳng chứa 3n điểm đó, ta dựng đường thẳng ∆ cho Ai ∉ ∆, i = 1,3n, A1 , A2 , A3n nằm phía ∆ ; ∆ không song song với Ai A j ( ∀i ≠ j ∈ { 1, 2, ,3n} ) Kys hieeju d A khoảng cách từ điểm Ai đến ∆ Khi d A ≠ d A ( ∀i ≠ j ∈ { 1, 2, ,3n} ) Không tính tổng quát , giả sử: d A < d A2 < < d A (1) Qua điểm A3i +1 , i = 0, , n − , kẻ đường thẳng ∆ i P∆ dễ dàng suy n tam giác A3 j +1 A3 j + A3 j +3 , i = 0, , n − đôi rời điểm Ai , i = 1,3n đỉnh có tam giác số n tam giác i i j 3n Bây ta chứng minh tổng S diện tích n tam giác nói thỏa mãn S < Thật vậy, xét ∆A3 j +1 A3 j + A3 j +3 , i ∈ { 0,1, , n − 1} gọi Si diện tích Dễ thấy dựng hai đường thẳng a,b vuông góc với ∆ cho 1) A qua ba điểm A3 j +1 A3 j + A3 j +3 b qua hai điểm lại 2) Cả ba điểm A3 j +1 A3 j + A3 j +3 nằm dải phảng ( kể hai biên) bị giới hạn a Thế gọi { A} = a ∩ ∆i , { B} = a ∩ ∆i +1 , { C} = b ∩ ∆ i + , { D} = b ∩ ∆i ta có hình 1 chữ nhật ABCD chứa toàn A3 j +1 A3 j + A3 j +3 Từ Si < S ABCD = AD.CD < di 2 d ∆ ∆ với i khoảng cách hai đường thẳng i i+1 Từ suy n −1 s = ∑ Si < i =0 n −1 1 di < A1 A3n ≤ ∑ i=0 2 (vì A1 A3n ≤ ) Bài toán chứng minh Bài 5: Người ta muốn mời số em học sinh tới dự buổi gặp mặt, mà số em chưa quen với 56 em khác, với cặp hai em chưa quen có em quen với hai em Hỏi số học sinh mời dự buổi gặp mặt nói 65 em hay không? Giải: Giả sử số học sinh mời 65 em Ta đặt tương ứng em với điểm mặt phẳng hai em đặt tương ứng với hai điểm khác Với cặp, hai em chưa quen ta nối hai điểm tương ứng với hai em đoạn thẳng Khi ta Graph đơn, vô hướng, có 65 đỉnh, bậc đỉnh không nhỏ 56 với hai điẻnh kề tồn điểm không kề với hai đỉnh ấy, có 65 đỉnh thỏa mãn A A1 A2 A11 A17 A3 A81 A27 A21 A87 1) Bậc đỉnh không lớn 2) Với hai đỉnh không kề nhau, tồn đỉnh kề với hai đỉnh Xét G : xét đỉnh A G gọi A1 , A2 , , Ak ( k ≤ ) tất đỉnh kề với A Nếu k ≤ có tối đa = 49 đỉnh mà đỉnh kề với đỉnh A1 , A2 , , Ak không kề với A Suy số đỉnh G không vượt 49 + + = 57 < 65 trái với giả thiết Vậy phải có k = suy đỉnh cảu G có bậc Từ đây, kết hợp với 2) ta Ai , Aj không kề ∀i ≠ j ∈ { 1, 2, ,8} i) ii) Mỗi đỉnh Ai , ( i = 1,8 ) , A kề với bảy đỉnh khác kí hiệu Ai , ( t = 1, ) bảy đỉnh t { A , , A } ∩ { A , , A } = ∅ i1 i7 j1 j7 ( ∀i ≠ j ∈ { 1, 2, ,8} ) Từ suy G chu trình đơn độ dài chu trình đơn độ dài Do Ai Ai không kề ( ∀i = 1,8) , ∀t ≠ s ∈ { 1, 2, , 7} , t s Ai kề Aj (i ≠ j ) Ai không kề Ai m ≠ s Từ suy có tất 14 ( 83 ) = 14.7.8 chu trình đơn độ dài qua A Vì A đỉnh G nên số chu trình đơn độ dài G ;à t s t m 14.7.8.65 49.8.65 = ∉ ¢ Điều vô lý Vậy không tồn G không tồn G thỏa mãn đề Bài 6: Ở nước có 25 thành phố Hãy xác định số k bé cho thiết lập đường bay (dùng cho lẫn về) thành phố để hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn Từ thành phố có đường bay trực tiếp đến k thành phố khác Nếu hai thành phố đường bay trực tiếp tồn thành phố có đường bay trực tiếp đến hai thành phố Giải: 1) Giả sử k số cho thiết lập hệ thống đường bay thỏa mãn điều kiện đề Khi đó, tổng số đường bay trực tiếp hai thành phố 25 × k Suy k ≡ ( mod ) Xét thành phố A Theo giả thiết, từ A có đường bay trực tiếp đến k thành phố khác, gọi A1 , A , , Ak Mỗi thành phố Ai , i = 1, k , lại có đường bay trực tiếp đến k – thành phố khác, (không kể A) Hơn nữa, ta lại có: Nếu từ B đến A đường bay trực tiếp B phải có đường bay trực tiếp đến thành phố Ai Từ lập luận suy ra, số thành phố tối đa + k + k ( k –1) = k + Như 25 ≤ k + Kết hợp với k ≡ ( mod ) , suy k ≥ 2) Với k = ta cách thiếp lập hệ thống đường bay thỏa mãn điều kiện cỉa đề Chia 25 thành phố thành năm nhóm, nhóm gồm năm thành phố i i i i i Các thành phố nhóm thứ i, i = 1,5 , ta kí hiệu A1( ) , A2( ) , A3( ) , A4( ) , A5( ) Với thành phố nhóm i , ta thiết lập đường bay A1( i ) A2( i ) , A2( i ) A3( i ) , A3( i ) A4( i ) , A4( i ) A5( i ) , A5( i ) A1( i ) Giữa thành phố thuộc hai nhóm i, j bất kỳ, i ≠ j ∈ { 1, 2,3, 4,5} , xây dựng đường bay sau A1( i ) A1( j ) , A2( i ) A4( j ) , A3( i ) A2( j ) , A4( i ) A5( j ) , A5( i ) A3( j ) Bằng cách xây dựng đường bay trên, ta có: Từ thành phố A có đường bay trực tiếp đến thành phố, nhóm với A có đường bay trực tiếp đến thành phố khác nhóm với A Do từ thành phố có đường bay trực tiếp đến thành phố khác Hơn nữa, với A, B hai thành phố mà chúng đường bay trực tiếp ta thấy: - Nếu A, B thuộc nhóm dễ thấy tồn thành phố nhóm mà từ C có đường bay trực tiếp đến A B - Nếu A, B không nhóm qua hình vẽ dễ dàng kiểm tra tồn thành phố C mà từ C có đường bay trực tiếp đến A B 3) Vậy kmin = Bài 7: Cho số nguyên dương n,k,p với k ≥ k ( p + 1) ≤ n Cho n điểm phân biệt nằm đường tròn Tô tất n điểm hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm tô màu) cho có k điểm tô màu xanh cung tròn mà hai đầu mút hai điểm màu xanh liên tiếp (tính theo chiều quay kim đồng hồ) có p điểm tô màu đỏ Hỏi có tất cách tô màu khác nhau? (Hai cách tô màu gọi khác có điểm tô hai màu khác hai cách đó) Giải: Trước hết, ta chứng minh khẳng định sau: Khẳng định K Cho n điểm phân biệt nằm đường thẳng Tô n điểm hai màu xanh liên tiếp ( tính từ trái qua phải) có p điểm tô màu đỏ (tính từ trái qua phải) có p điểm tô màu đỏ bên phải điểm màu xanh cuối có p điểm tô màu Khi số k cách tô màu khác ( n − kp ) Chứng minh Lần lượt từ trái qua phải, gọi điểm 1, 2, , n Đặt tương ứng cách tô màu với k số nguyên dương ( i1 < i2 < < ik ) , i1 , i2 , , ik điểm tô màu xanh Dễ thấy, tương ứng nói xác lập song anh từ tập gồm tất cách tô màu tới tập Xét ánh xạ f :T → T ' = {( j < j T = { ( i1 < i2 < < ik ) | i j ∈ { 1, 2, , n − p} } ∀i = 1, k < < jk ) | { 1, 2, , n − kp} ∀t = 1, k ( i1 < i2 < < ik ) ∈ T → ( i1 , i2 , , ik − ( k − 1) p ∈ T ') i j +1 − i j > p∀i = 1, k − } Dễ chứng minh f song ánh từ T đến T’ Từ đó, ta có điều phải chứng minh 2) Trở lại toán Lần lượt, theo chiều kim đồng hồ, gọi điểm A1 , A2 , , An Gọi X tập gồm tất cách tô màu khác Xét phân hoạch X = X '∪ X '' Trong X={ x ∈ X | x có điểm màu xanh thuộc { Ai , , Ap } }, X’’=X\X’ Hiển nhiên, với x ∈ X '' x điểm màu xanh thuộc tập { A1 , A2 , , Ap } Do đó, theo khẳng định K ta có cardX’’= ( n −kp ) Xét X’ Kí hiệu X i ' = {x ∈ X ' | x có điểm Ai tô màu xanh, i = 1, p Thế X i '∩ X j ' = ∅ ∀i ≠ j ∈ { 1, 2, , p} X = i =pU Xi ' k k −1 k −1 Với i = 1, p , theo khẳng định K, ta có cardX i ' = ( n −1− p −( k −1) p ) = ( n − kp −1 ) Do cardX ' = p ( ) Vậy cardX = ( ) + p ( k −1 n − kp −1 k n − kp k −1 n − kp −1 ) Bài 8: Trong hội thảo có n, n ≥ 10 người tham dự Biết n + 2 Mỗi người quen với  người tham dự   Hai người A B không quen quen gián tiếp nghĩa có k ( k ≥ 1) người A1 , A2 , , Ak cho A quen A1 , Ai quen Ai +1 , ( i = 1, 2, , k − 1) Ak quen B Không thể xếp n người thành hàng ngang cho hai người cạnh quen Chứng minh chia n người thành hai nhóm: nhóm thứ xếp quanh bàn tròn cho hai người cạnh quen nhau, nhóm thứ hai gồm người đôi không quen Giải: Chuyển toán sang ngôn ngữ Graph, người coi điểm mặt phẳng, quan hệ quen coi cạnh (1 đoạn thẳng với giả thiết đoạn thẳng không cắt trừ hai điểm đầu mút), ta có graph G đơn, vô hướng với tập đỉnh gồm n điểm p = { A1 , A2 , , An } bậc đỉnh A n + 2 d ( A) ≥    Điều kiện “Hai người quen quen gián tiếp chứng tỏ Graph G liên thông Trong G (hữu hạn) xét đường gấp khúc nhiều cạnh Po, giả sử Po có k đỉnh P0 = { A1 , A2 , , Ak } với Ai Ai +1 (i = 1, 2, , k − 1) cạnh ( Ai kề với Ai +1 ) Do điều kiện (3) k ≤ n − Gọi N(A) tập đỉnh kề với đỉnh A Ta có N ( A1 ) ⊂ { A2 , , Ak } N ( Ak ) ⊂ { A2 , , Ak −1} Vì trái lại tồn đường gấp khúc khác có nhiều cạnh Po Giả sử N ( Ai ) = { Ai , Ai , , Ai } , i ∈ { 1, 2, , n} ký hiệu { N ( A ) ={ A } } s N ( Ai ) = Ai1 +1 , Ai2 +1 , , Ais +1 + − i1 −1 i , Ai2 −1 , , Ais −1 B A j+1 Aj-1 A1 Ak + Do k ≤ n − nên tồn đỉnh B ∉ P0 Ta có N ( B ) ∩ N ( Ak ) = ∅ Thật ∃Aj ∈ N ( B ) ∩ N ( Ak ) tồn đường gấp khúc + ( A , , A j −1 , Ak , Ak −1 , , A j +1 , A j , B ) có k+1 cạnh, trái giả thiết P0 Lập luận tương tự có N ( B ) ∩ N ( A1 ) = ∅ Ta có N ( A1 ) ∩ N ( Ak ) = ∅ trái lại − − + − + − + n + 2  n+2  N ( B ) ∪ N ( A1 ) ∪ N ( Ak ) = N ( B ) + B ( A1 ) + N ( Ak ) ≥  > 3 − 1÷ = n −      Suy số đỉnh tập hợp lớn n mà tập hợp không chứa đỉnh B Mâu thuẫn − + Vậy ∃Ai ∈ N ( A1 ) ∩ N ( Ak ) Khi tồn đường gấp khúc khép kín có k – đỉnh thuộc tập Pc \ { Ai } ( A1 , A2 , , Ai −1 , Ak , Ak −1 , , Ai +1 ) Ai Ai-1 A2 Ai+1 Ak+1 A1 Ak Tập lại chứa đỉnh đôi không kề (không có đoạn thẳng nối chung) trái lại, chẳng hạn có B1 , B2 ≠ P0 \ { Ai } mà B1 kề với B2 tính liên thông tồn đường gấp khúc chứa B1 , B2 P0 \ { Ai } có nhiều cạnh P0 mâu thuẫn  ...MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA GRAPH KHI GIẢI TOÁN TỔ HỢP I Những khái niệm bản: Graph mô hình toán học dùng để giải nhiều toán vấn đề toán học Một graph hệ thống đỉnh cạnh... tổng bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Graph Chứng minh: Trong graph tổng bậc đỉnh graph cạnh tính hai lần hai đỉnh Do tổng gấp đôi số cạnh graph Hệ 1:Trong Graph vô hướng G tùy ý số đỉnh bậc lẻ số. .. chẵn Chứng minh: Theo định lý tổng bậc đỉnh số chẵn số đỉnh bậc lẻ số chẵn Hệ 2: Trong graph vô hướng G có số lẻ đỉnh có số lẻ đỉnh có bậc chẵn Chứng minh: Theo hệ số đỉnh bậc lẻ graph G số chẵn