ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG VÀ ĐIỂM LEMOINE TRONG TAM GIÁC Đường đối trung tam giác vốn khái niệm quen thuộc hình học Giao đường đối trung điểm Lemoine Bài viết tổng hợp lại kiến thức đường đối trung điểm Lemoine để bạn đọc có nhìn hoàn thiện khái niệm I Đường đối trung tam giác Đường đẳng giác · 1.1 Định nghĩa: Cho góc xAy , hai tia As At gọi x · đẳng giác chúng đối xứng qua tia phân giác góc xAy z 1.2 Định lý: Cho tam giác ABC với hai đường đẳng giác AA1 AA2 t AB BA1.BA2 = Chứng minh AC CA1.CA2 x A A z t y B A1 A2 C Chứng minh: S ABA1 S ACA2 S ABA2 S ACA1 = AB AA1 sin BAA1 BA1 AB BA1 AA2 = ⇒ = (1) AC AA2 sin CAA2 CA2 AC CA2 AA1 = AB AA2 sin BAA2 BA2 AB BA2 AA1 = ⇒ = (2) AC AA1 sin CAA1 CA1 AC CA1 AA2 Nhân vế (1) (2) ta điều phải chứng minh y Đường đối trung 2.1 Định nghĩa: Cho tam giác ABC, đường đối trung kẻ từ A tam giác đường đối xứng với trung tuyến đỉnh A qua phân giác góc A 2.2 Định lý: Cho tam giác ABC, AE đường đối trung BE AB = CE AC Giải: Gọi AM đường đẳng giác với AE Khi theo định lý 1.2 ta có AB BE.BM = AC CE.CM x A z Do AE đường đối trung ⇔ AM trung tuyến ⇔ BM=CM ⇔ BE AB = CE AC A t y Nhận xét: Đường đối trung chia cạnh đối diện tam giác B E M C theo tỉ lệ bình phương tỉ lệ hai cạnh bên 2.3 Các đường đối trung đồng quy điểm gọi điểm Lemoine tam giác Dễ chứng minh tính chất định lý Ceva Ví dụ 1: Chứng minh tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hai đỉnh cắt điểm nằm đường đối trung tam giác qua đỉnh thứ ba B Xét tam giác ABC hình vẽ Ta có IB S ABI S MBI S MAB AB MB sin MBA = = = = IC S ACI S MCI S MAC AC MC sin MCA = AB sin BCA AB = AC sin CBA AC M D I A C Do I chân đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC A Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, đường tròn qua BC cắt cạnh AB, AC M, N Tìm quỹ tích trung điểm MN N' M N M' Giải: B C Gọi M’; N’ điểm đối xứng với M, N qua phân giác góc A Dễ chứng minh M’N’ song song với BC Trung điểm M’N’ thuộc trung tuyến kẻ từ A nên suy trung điểm MN thuộc đường đối trung kẻ tử A tam giác ABC Một số tính chất điểm Lemoine 3.1 Định lý: Cho X điểm nằm đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC CMR khoảng cách từ C đến AB AC tỉ lệ với độ dài AB AC A Giải S AEB d ( X ; AB ) d ( E ; AB ) = = AB d ( X ; AC ) d ( E ; AC ) S AEC AC = X B E C EB AC AB AC AB = = EC AB AC AB AC Từ định lý suy tính chất sau: 3.2 Tính chất: Cho L điểm Lemoine tam giác ABC, đó: d ( L; BC ) d ( L; CA) d ( L; AB) = = BC CA AB 3.3 Tính chất: Cho điểm X nằm tam giác ABC Khi d ( X ; BC ) + d ( X ; CA) + d ( X ; AB ) nhỏ X điểm Lemoine tam giác ABC Chứng minh: A Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ X xuống E F BC, CA, AB Ta có L a XD + b XE + c XF = 2S ABC = const nên S ≤ ( XD + XE + XF )(a + b + c ) B D C XD + XE + XF ≥ 4S a2 + b2 + c2 Dấu “=” xảy XD XE XF = = hay X điểm Lemoine tam giác a b c ABC 3.4 Tính chất: Cho tam giác ABC với L điểm Lemoine D, E, F chân đường cao kẻ từ L xuống BC, CA, AB Khi L trọng tâm tam giác DEF Giải: Vì L điểm Lemoine tam giác ABC nên LD LE LF = = a b c Theo định lý nhím a uuur b uuur c uuur r LD + LE + LF = LD LE LF uuur uuur uuur r hay LD + LE + LF = A E F L C D B nên L trọng tâm tam giác DEF Tam giác DEF gọi tam giác pedal điểm L uuur uuur uuur r Nhận xét: Bằng định lý nhím ta a LD + b LE + c LF = 3.5 Tính chất: Cho X, Y, Z điểm thuộc cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Khi XY + YZ + ZX nhỏ X, Y, Z đỉnh tam giác pedal điểm Lemoin L Chứng minh A Gọi G trọng tâm tâm tam giác XYZ, F XY + YZ + ZX = 3(GX + GY + GZ ) Z Kẻ GD, GE, GF vuông góc với BC, CA, AB, ta có GD + GE + GF ≤ GX + GY + GZ Mà theo tính chất 3.3 GD + GE + GF nhỏ G điểm Lemoine tam giác ABC Từ suy đpcm B E Y G D X C 3.6 Tính chât: Cho tam giác ABC, khoảng cách từ điểm Lemoine L đến cạnh tam giác α a; α b; α c α = 2S ABC a + b2 + c2 Gọi khoảng cách La ; Lb ; Lc , theo tính chất 3.2 ta có La Lb Lc = = ⇒ ( La ; Lb ; Lc ) = α (a; b; c) a b c 2 Mà S = aLa + bLb + cLc ⇒ 2S = α (a + b + c ) ⇒ α = S ABC từ suy đpcm a + b2 + c2 3.7 Tính chất: Độ dài cạnh tam giác pedal điểm Lemoine L 2α ma ; 2α mb ; 2α mc , α = 2S ABC a + b2 + c2 Gọi Lb ; Lc chân đường cao kẻ từ L xuống CA; AB, Áp dụng định lý Cosin cho tam giác LLb Lc , ta có: Lb Lc = LLc + LLb − LLc LLb cos(1800 − A) = α (2(b + c ) − a ) = 4α ma2 Hệ quả: Cho tam giác ABC với điểm X, Y, Z thuộc BC, CA, AB XY + YZ + ZX ≥ 12S a + b2 + c2 Cho X, Y, Z trùng với trung điểm BC, CA, AB ta có 12S (a + b + c ) ≥ ⇔ a + b + c ≥ 3S 2 a +b +c Cho X, Y, Z trùng với chân đường cao kẻ từ A, B, C (a + b + c )(a cos A + b cos B + c cos C ) ≥ 12 S 3.8 Tính chất: Diện tích tam giác pedal điểm L tính S L = 12S ABC (a + b + c ) Hướng dẫn: Ta tính diện tích tam giác theo độ dài ba đường trung tuyến Ví dụ Đường thẳng qua trung điểm cạnh đáy tam giác trung điểm đường cao tương ứng qua điểm Lemoine L Chứng minh: Ta chứng minh toán phương pháp vector, trước hết ta dễ chứng minh nhận xét sau: Cho tam giác ABC, H chân đường cao kẻ từ A Khi HB.cot C = − HC.cot B Chú ý kết với tam giác Gọi A2 chân đường vuông góc kẻ từ A I, K trung A điểm BC, AA2 L điểm Lemoine tam giác ABC Ta chứng minh L thuộc KA1 K Giả sử góc C không vuông, L A2 B cot B a +c −b =− =− cot C a + b2 − c2 A2C A2 chia BC theo tỉ lệ − 2 B A2A1 C a + c2 − b2 nên a + b2 − c2 uuur a + c − b uuur uuur uuur uuur LB + a + b − c LC (a + b − c ) LB + (a + c − b ) LC LA2 = = a2 + c2 − b2 2a 1+ a + b2 − c uur uuur uuur uuur uur uuur 2a LA + (a + b − c ) LB + (a + c − b ) LC LK = LA + LA2 = 2a uur uuur uuur uuur uuur 2a LA + 2b LB + 2c LC + (a − b − c )( LB + LC ) a − b − c uuur uuur = ( LB + LC ) = 2a 2a uur uuur uuur r (do a LA + b LB + c LC = ) Đẳng thức cuối suy L thuộc KA1 A Một số tính chất liên quan tới đường tròn M' M 4.1 Khái niệm đường đối song: tam giác ABC điểm M, N nằm AB, AC cho MN//BC M’, N’ điểm đối xứng với M, N qua phân giác góc A Khi M’N’ gọi đường đối song N' B N C MN Nhận xét: điểm M, N, M’, N’ nằm đường tròn điểm B, C, M’, N’ nằm đường tròn 4.2 Tính chất: Đường đối song qua điểm Lemoine tam giác cắt cạnh bên tam giác tạo thành điểm thuộc đường tròn A Chứng minh: Gọi điểm hình vẽ A2 A3 Xét đường đối song B1C1 Gọi B '; C '; L ' điểm đối xứng với B1;C1;L qua phân giác góc A C1 B1C1//BC L’ thuộc trung tuyến kẻ từ A, L’ L trung điểm B1C1 L trung điểm B1C1 B1 C C3 B2 B Tương tự L trung điểm B2A2; A3C3 Do tứ giác BCC1B1; CAA3C3 nội tiếp nên dễ chứng minh tam giác LA3B3 cân L Từ L cách điểm 4.3 Tính chất: Đường thẳng qua điểm Lemoine tam giác song song với cạnh đáy cắt cạnh bên tạo thành điểm thuộc đường tròn Chứng minh: Gọi điểm hình vẽ Do AHLF hình bình hành nên HF đường đối song A tam giác ABC Do theo 4.1 điểm H,F,E,D F thuộc đường tròn H Tương tự điểm D,G,K,H K,E,F,G thuộc D B E L G K C đường tròn Do ta cần chứng minh HDFG hình thang cân nội tiếp Thật vậy, ta có ·AHF = DEF · · · = BCA = BDG Ví dụ Chứng minh tâm đường tròn tính chất 4.3 trung điểm đoạn thẳng nối điểm Lemoine với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A Chứng minh: Gọi J trung điểm HF Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I trung điểm LO F J H Ta chứng minh OA vuông góc với HF D Ta có ·AOC = ·ABC nên 1800 − ·ABC · OAC = = 900 − ·ABC · mà HFA = ·ABC (HFCB nội tiếp) · · nên OAC + HFA = 900 hay OA ⊥ HF Do JI ⊥ HF hay JI trung trực HF nên trung trực HF qua I Tương tự trung trực DG qua I Từ dễ I tâm đường tròn qua điểm D,E,F,G,H,K Ví dụ B L G I E O K C Cho tam giác ABC với điểm Lemoine L Các đường thẳng LA, LB, LC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm thứ hai D, E, F Chứng minh L điểm Lemoine tam giác DEF Trước hết ta chứng minh số bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G tam giác định góc a;a’;b;b’;c;c’ hình vẽ mà ta kí hiệu [(a;a’); (b;b’); (c;c’)] điểm Lemoine L định góc [(a’;a); (b’;b);(c’;c)] A a' a A a a' L G c' b Bổ đề có hiển nhiên tính chất c' đối xứng trung tuyến đường đối trung b' b B qua phân giác c C B c b' C Bổ đề 2: Cho tam giác ABC trọng tâm G định góc [(a;a’); (b;b’); (c;c’)] tam giác T có góc a’+c; b’+a; c’+b điểm G’ định góc [(a’;c);(b’;a);(c’;b)] G’ trọng tâm tam giác T A a a' c Xét tam giác ABC với đường trung F tuyến AA’; BB’; CC’ C' Từ A kẻ đường thẳng song song với CG cắt với tam giác T trọng tâm E định góc [(a’;c);(b’;a);(c’;b)] Do suy G’ trọng tâm tam giác T c' b E a b' H B' G BG H Dễ chứng minh tam giác AGH đồng dạng D b' B c b A' c' C Bổ đề 3: Tam giác T có góc a’+c; b’+a; c’+b điểm L định góc [(c;a’);(a;b’);(b;c’)] L điểm Lemoine tam giác T Đến ta suy cách chứng minh toán A E a' a F a c a' b' L b b' c' c B c' b D Cuối xin đưa số toán để bạn đọc phát thêm số tính chất đường đối trung điểm Lemoine C Cho tam giác ABC với đường đối trung AK Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC cắt AB P đường tròn ngoại tiếp tam giác AKB cắt AC Q CMR KP=KQ Cho tam giác ABC, lấy điểm D, E, F BC, CA, AB cho DE//AB; DF//AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt BC, CA, AB D 1; E1; F1 M giao điểm DE D1F1, N giao điểm DF D1E1 CMR A, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC với đường đối trung AD E, F thuộc đường thẳng CA; AB cho DE//AB; DF//AC a CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF tiếp xúc với BC (đường tròn Tucker) b CMR AB; AC cắt đường tròn Tucker E’ F’ E’F’//BC Cho tam giác ABC với điểm Lemoine L A 1;B1;C1 đối xứng với L qua BC, CA, AB Chứng minh L trọng tâm tam giác A1B1C1 Cho tam giác ABC, đường đối trung AD, điểm Lemoine L, CMR LA b + c = LD a2 Cho tam giác ABC, đường cao kẻ từ B C cắt đường phân giác góc A P Q Đường thẳng qua P song song AB cắt đường thẳng qua Q song song với AC R CMR AR đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC Cho tam giác ABC trọng tâm G Gọi P, Q, R tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC; QCA; RAB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp O trọng tâm G tam giác ABC trọng tâm điểm Lemoine tam giác PQR Cho tam giác ABC đường đối trung AD Từ D kẻ DM, DN song song với AC; AB (M thuộc AB, N thuộc AC) CMR tứ giác BMNC nội tiếp, gọi A tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Tương tự định nghĩa B1;C1 Chứng minh AA1;BB1;CC1 đồng quy 9 Cho đường tròn (C) (C’) cắt điểm A,B PT tiếp tuyến chung hai đường tròn Tiếp tuyến P, T đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S H đối xứng với B qua PT CMR A, H, S thẳng hàng 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), L điểm Lemoine tam giác K điểm xác định OK OL = R KA, KB, KC cắt (O) điểm thứ hai A’;B’;C’ CMR L điểm Lemoine tam giác A’B’C’ Tài liệu tham khảo Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi – Đỗ Thanh Sơn Các tài liệu sưu tầm mạng Internet  ...2 Đường đối trung 2.1 Định nghĩa: Cho tam giác ABC, đường đối trung kẻ từ A tam giác đường đối xứng với trung tuyến đỉnh A qua phân giác góc A 2.2 Định lý: Cho tam giác ABC, AE đường đối trung. .. đưa số toán để bạn đọc phát thêm số tính chất đường đối trung điểm Lemoine C Cho tam giác ABC với đường đối trung AK Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC cắt AB P đường tròn ngoại tiếp tam giác AKB... X điểm Lemoine tam giác a b c ABC 3.4 Tính chất: Cho tam giác ABC với L điểm Lemoine D, E, F chân đường cao kẻ từ L xuống BC, CA, AB Khi L trọng tâm tam giác DEF Giải: Vì L điểm Lemoine tam giác