SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP HỆ THỨC TRUY HỒI ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP Chuyên để tổ hợp toán rời rạc nội dung khó chương trình thi chọn học sinh giỏi cấp, có nhiều tài liệu viết nội dung với nhiều cách tiếp cận khác Bài toán đếm tổ hợp dạng toán thường xuyên xuất kỳ thi, với toán tồn tổ hợp, toán tối ưu tổ hợp,… Có nhiều cách giải toán đếm phương pháp song ánh, phương pháp hàm sinh,…; viết xin trình bày phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi để giải số toán đếm, ý tưởng chung phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi phép đếm cần tính Sn với Sn −1 , S n− , từ suy Sn Trước hết ta xét ví dụ mở đầu sau Bài ( HSG-VT-2009-2010) Cho số nguyên dương n Gọi M n tập số tự nhiên (viết hệ thập phân) có n chữ số, chữ số lớn khơng có hai chữ số nhỏ đứng liền Tính số phần tử tập M n Lời Giải: Kí hiệu un = M n , Gọi X n , Yn tập số tự nhiên theo thứ tự : Có chữ số tận nhỏ số có tận lớn Ta có: M n = X n ∪ Yn , X n ∩ Yn = ∅ Lấy phần tử M n +1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử M n Ngược lại, xét phần tử x M n - Nếu x có tận nhỏ có cách thêm chữ số vào vị trí đầu ta phần tử X n +1 có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử Yn +1 - Nếu x có tận lớn thì có cách thêm vào chữ số cuối để để tạo phần tử X n +1 có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử Yn +1  X n +1 = X n + Yn  Yn +1 = X n + Yn Vậy :  ⇒ M n +1 = ( X n + Yn ) + Yn = ( X n + Yn ) + 12 ( X n −1 + Yn −1 ) ⇒ un +1 = 4un + 12un −1 , n ≥ Từ tìm un = ( ) ( ) 1 n −1 n −1 15.6n −1 + ( −2 ) ⇒ M n = 15.6n −1 + ( −2 ) 2 Nhận xét: • Số có n chữ số viết hệ thập phân có chữ số đầu số • Cần xây dựng dãy mối quan hệ X n với X n +1 & Yn +1 ; Yn với X n +1 & Yn +1 • Cần phải có khả việc gọi X n , Yn để xây dựng hệ thức truy hồi • Bài tốn đếm số phần tử mà có biến n chưa cụ thể ta thường sử dụng phương pháp • ? Phải có cách gọi X n , Yn Một số toán vận dụng Bài (Romania 2003) Cho số nguyên dương n Có số tự nhiên có n chữ số lập từ chữ số { 2,3, 7,9} chia hết cho Lời Giải: Gọi M n tập hợp gồm tất số có n chữ số lập từ chữ số { 2,3, 7,9} Gọi An , Bn , Cn tập hợp gồm tất số có n chữ số mà chia cho dư 0,1,2 Khi ta có M n = An ∪ Bn ∪ Cn , An ∩ Bn = ∅, Bn ∩ Cn = ∅, An ∩ Cn = ∅ ⇒ M n = An + Bn + Cn Lấy phần tử thuộc vào M n +1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử thuộc M n Với x ∈ M n ta có • Nếu x ≡ ( mod 3) hay x ∈ An cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc An +1 , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Bn +1 , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Cn +1 • Nếu x ≡ 1( mod 3) hay x ∈ An cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc An +1 , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Bn +1 , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Cn +1 • Nếu x ≡ ( mod 3) hay x ∈ An cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc An +1 , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Bn +1 , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Cn +1  An +1 = An + Bn + Cn  Vậy ta có hệ  Bn +1 = An + Bn + Cn   Cn +1 = An + Bn + Cn ⇒ M n +1 = M n = = 4n M n +1 n n n n −1 Ta có M = ⇒ M n +1 = ⇒ M n = ⇒ An +1 = + An = + + + + A1 Có A1 = ⇒ An = + ( + 42 + + 4n −1 ) = + 4n −1 − 4n + = 3 Nhận xét: • Lời giải giúp ta tìm số…chia dư 1; dư Bài ( THTT 5/2010) Từ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có n chữ số cho số chứa số lẻ chữ số số chẵn chữ số ( n số nguyên dương cho trước)? Lời Giải: Với số nguyên dương n , kí hiệu M n tập tất số tự nhiên có n chữ số lập từ số 1,2,3,4,5,và An ; Bn ; Cn ; Dn tập số tự nhiên có n chữ số lập từ số 1,2,3,4,5 theo tứ tự chứa số lẻ chữ số chẵn chữ số 2, chứa số lẻ chữ số lẻ chữ số 2, chứa số chẵn chữ số chẵn chữ số 2, chứa số chẵn chữ số lẻ chữ số Dễ thấy An , Bn , Cn , Dn đôi rời M n = An ∪ Bn ∪ Cn ∪ Dn , 5n Mn = 4 Lấy phần tử M n +1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử M n , ngược lại lấy phần tử x M n An = Bn = Cn = Dn = -Nếu x ∈ An có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử -Nếu x ∈ Bn có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử An +1 - Nếu x ∈ Cn có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử An +1 - Nếu x ∈ Dn khơng có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử An +1 n Vậy An +1 = An + Bn + Cn = An + ( An + Bn + Cn + Dn ) = An + Từ A1 = 1, An +1 = An + 5n ⇒ An +1 = A1 + + 52 + + 5n = 5n +1 − 5n − ⇒ An = 4 Bài Từ số 3,4,5,6 lập bao nhiếu số tự nhiên có n chữ số mà chữ số chia hết cho 3( n số nguyên dương cho trước)? Lời Giải: Gọi M n tập tất số tự nhiên có n chữ số tạo thành từ số 3,4,5,6 An , Bn , Cn tập M n mà chia cho có số dư 0,1,2 Ta có M n = An ∪ Bn ∪ Cn , An ∩ Bn = Bn ∩ Cn = Cn ∩ An = ∅ Lấy phần tử M n +1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử M n , ngược lại lấy phần tử x M n - Nếu x ∈ An có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử An +1 cách thêm vào chữ số cuối để phần tử Bn +1 , Cn +1 - Nếu x ∈ Bn có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử Bn +1 có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử An +1 , Cn +1 - Nếu x ∈ Cn có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử Cn +1 có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử An +1 , Bn +1  An +1  - Vậy ta có hệ  Bn +1   Cn +1 Từ ta có M n +1 = An+1 + = An + Bn + Cn = An + Bn + Cn = An + Bn + Cn Bn +1 + Cn +1 = ( An + Bn + Cn ) = M n n +1 n n Mà M = ⇒ M n +1 = ⇒ M n = ⇒ An +1 = An + Từ tính An = 4n + Bài Có người ngồi thành hàng ngang vào ghế Hỏi có cách lập hàng cho người mà cách lập hàng mới: người giữ ngun vị trí mình, đổi chỗ cho người liền bên trái, đổi chỗ cho người liền bên phải Lời Giải: Đánh số thứ tự vị trí ghế từ trái qua phải 1,2,3,…,n Gọi Sn số cách lập hàng cho n người thỏa mãn đề Dễ thấy S1 = 1, S2 = Với n ≥ : Xét cách lập hàng thỏa mãn điều kiện Có hai loại hàng lập: Loại 1: Người vị trí số giữ nguyên vị trí Rõ ràng số hàng lập loại Sn-1 cách Loại 2: Người vị trí số đổi chỗ, người vị trí số xếp vào vị trí số người vị trí phải chuyển sang vị trí Số hàng loại Sn-2 Từ ta có Sn = Sn −1 + Sn − , n ≥ Vậy: S1 = 1,S2 = 2,Sn + = Sn +1 + Sn , n ∈ ¥ * Bài (Trung quốc 1989) Có thể chia 1989 điểm thành 30 nhóm có cỡ nhóm khơng số tập hợp gồm điểm mà điểm chọn từ nhóm khác lớn Lời Giải: Giả sử cỡ 30 nhóm a1 < a2 < a3 < < a30 Ta gọi nhóm có cỡ ak vắn tắt nhóm k Giả sử ak ≤ ak +1 − Khi xét việc thay ak ak + ak +1 ak +1 − ta cịn nhóm có cỡ khơng Số tất ba mà khơng có phần tử thuộc nhóm k k+1 khơng bị ảnh hưởng, có ba có phần tử thuộc nhóm k k+1 bị Nhưng số ba có phần tử thuộc nhóm k phần tử thuộc nhóm k+1 tăng lên, ak ak +1 < ( ak + 1) ( ak +1 − 1) Như khoảng trống lớn Giả sử có hai khoảng trống độ dài Ta giả sử a j + < a j +1 < ak < ak +1 − Bây ta thay a j ak +1 a j + ak +1 − Lập luận giống trước số ba tăng lên Vậy có nhiều hai khoảng trống độ dài Điều đủ cho ta xác định cỡ Giả sử cỡ tạo thành dãy đơn giản có tất khoảng trống Nếu thành phần n thành phần sau n+ 29 tổng 30 ( 2n + 29 ) Nhưng tổng khơng thể 1989 1989 khơng bội Do ta giả sử cỡ tạo thành dãy dơn giản có tất khoảng trống ngoại trừ thành phần bị bỏ qua, để có khoảng trống 2.Nếu thành phần v thành phần bị bỏ qua m ta có: 30 ( 2n + 29 ) − m = 1989 Nếu n ≤ 50 m ≤ 2015 − 1989 = 26 ,số q nhỏ ta phải có m n n +30 Nếu n ≥ 52 m ≥ 2077 − 1989 = 88 , số lớn Vậy n=51 m =57 Suy cỡ là: 51,52, 56, 58, 59,60, 81 Bài 7( Dự tuyển IMO lần thứ 38) : Trong thành phố a có n cô gái n chàng trai cô gái quen biết chàng trai Trong thành phố B có n gái g1 ; g ; ; g n 2n-1 chàng trai b1 ; b2 ; ; b2 n −1 Các cô gái gi quen chành trai b1 ; b2 ; ; b2i −1 không quen biết chàng trai khác Kí hiệu A(r), B(r) số cách thức khác để r cô gái từ thành phố A thành phố B khiêu vũ với r chàng trai từ thành phố họ tạo thành r cặp, cô gái với chàng trai mà cô quen biết Chứng minh A(r) =B(r) Lời Giải: Ta kí hiệu A(r) B(r) A(n, r) B(n, r) Ta chọn r gái n cô gái thành phố A Cnr cách Ta chọn r chàng trai n chàng trai thành phố A Cnr cách Vì gái A quen với chàng trai nên nhóm gồm r gái chọn xếp cặp với r chàng trai nên ta có A ( n, r ) = Cnr Cnr r ! = Cnr n! ( n − r) ! Cho n ≥ < r bn xn ≥ bn + = an + ≥ Tn + xn + bn Tn + Tn + 1 ≥ = Tn + 2 T v b b ≥ Do n n+1 số nguyên n +1 Tn + Từ (*) suy Tn+1 > Tn, thời điểm thứ n có số bn = Tn Tn+1 = Tn, có học Vậy ta có bn +1 ≥ sinh khác B có số kẹo Tn Vậy dãy ( Tn ) dãy tự nhiên không giảm, bn = Tn < an đến thời điểm thứ n + có bn +1 ≥ Tn + nên số Tn lần, tiếp tục chuyển kẹo sau hữu hạn lần số Tn hết hết nghĩa dãy ( Tn ) tăng thực Do dãy ( M n ) dãy tự nhiên khơng tăng cịn dãy ( Tn ) dãy tự nhiên khơng giảm có lúc tăng thực nên đến thời điểm phải có M k = Tk , lúc số keojcuar học sinh Bài 10 (VMO-2002) Cho tập S gồm tất số nguyên đoạn: [1; 2002] Gọi T tập hợp gồm tất tập không rỗng S Với tập X thuộc T kí hiệu m(X) trung bình cộng tất số thuộc X Đặt m = ∑ m( X ) tổng lấy theo tất tập T hợp X thuộc T Tìm m Lời Giải: Với k thuộc {1, 2, , 2002} đặt mk = ∑ m ( X ) tổng lấy theo tất tập hợp X thuộc T mà X = k k Xét số a thuộc tập S Dễ thấy a có mặt C2001 tập X thuộc T mà X = k k −1 k −1 Suy ra: k mk = ( + + + + 2002 ) C2001 = 1001.2003.C2001 ( ) k −1 2003 22002 − C2001 2003 2002 k nên ∑ m ( X ) = ∑ mk = 1001.2003.∑ = ∑ C2002 = k k =1 k =1 k =1 2002 2002  ∑ m ( X )  2003 = ÷ ÷ T   2002 Vì T = − nên m =  Bài 11: Xếp n học sinh ngồi quanh bàn tròn Ngăn hàng đề có tất m loại đề thi Hỏi có cách phát đề cho học sinh cho khơng có học sinh ngồi cạnh có đề thi? Lời Giải: Gọi Sn số cách phát đề cho học sinh cho khơng có học sinh ngồi cạnh có đề thi Cố định học sinh làm vị trí học sinh bên tay phải học sinh vị trí thứ 2, thứ 3,…, thứ n.( học sinh vị trí thứ n ngồi cạnh học sinh vị trí thứ nhất) Ta thấy: +) Nếu học sinh vị trí thứ học sinh vị trí thứ n-1 có đề thi khác có m-2 cách phát đề cho học sinh vị trí thứ n +) Nếu học sinh vị trí thứ học sinh vị trí thứ n-1 có đề thi giống có m-1 cách phát đề cho học sinh vị trí thứ n Do ta có hệ thức:Sn = (m-2)Sn-1 + (m-1)Sn-2 , (n ≥ 4) Sử dụng phương pháp sai phân để tính Sn Xét phương trình đặc trưng: x2 - (m-2)x - (m-1) = ⇔ x = -1, x = m-1 Sn = a(-1)n + b(m-1)n Do S2 = m(m-1), S3 = m(m-1)(m-2), suy ra: a+ b(m-1)2 = m(m-1) -a +b(m-1)3= m(m-1)(m-2) Do đó: a = m-1 b = Vậy Sn = (m-1)(-1)n + (m-1)n (n≥2) Bài 12 ( IMO-2011): Giả sử n > số nguyên Cho cân đĩa cân có trọng lượng 20 , 21, , 2n −1 Ta muốn đặt lên cân n cân, một, theo cách để đảm bảo đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái Ở bước ta chọn cân chưa đặt lên đặt lên đĩa bên phải, đĩa bên trái, tất cân đặt lên đĩa Hỏi có cách để thực việc đặt cân theo mục đích đề ra? Lời Giải: Gọi Sn số cách thực việc đặt n cân lên đĩa thỏa mãn yêu cầu đề Xét cách đặt n + cân có trọng lượng 20 , 21, , 2n Do cân có trọng lượng nên cách đặt cân thỏa mãn ln đặt đĩa cân bên trái Nếu cân 2n chọn để đặt cuối ( có cách đặt, 2n đặt lên đĩa bên trái ) số cách đặt n cân lại Sn Nếu cân 2n đặt bước thứ i ( i = 1,2,…,n) Do có n cách chọn , trường hợp cân có trọng lượng 2n −1 có cách đặt ( đặt lên đĩa bên phải hay đĩa bên trái thỏa mãn) , số cách đặt n+1 cân trường hợp 2nSn Vậy ta có hệ thức truy hồi Sn +1 = 2nSn + Sn = (2n + 1)Sn Ta có S1 = nên Sn = (2n − 1)(2n − 3) 3.1 Bài 13: Cho A = {1, 2, …, 2n} Một tập A gọi tốt có hai phần tử x, y |x – y| ∈ {1, n} Tìm số tập hợp {A 1, A2, …, An} thoả mãn điều kiện Ai tập tốt với i = 1, 2, …, n A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = A Lời giải: Từ giả thiết, ta viết lại toán sau (các bạn tự kiểm tra tính tương đương toán so với ban đầu): “Cho hình chữ nhật kích thước chia thành ô vuông đơn vị Đánh số ô từ trái qua phải 1,2, ,n (hàng 1) n + 1,n + 2, ,2n (hàng 2) Lát chúng quân domino * cho chúng phủ kín hình chữ nhật khơng có qn đè lên Ngoài ra, với n lẻ, ta bổ sung thêm quân domino "đặc biệt" phủ kín n n + Đếm số cách lát thỏa mãn đề bài” Với toán này, xét Sn số cách lát thỏa mãn đề với hình chữ nhật kích thước * n Ta tìm cách xây dựng cơng thức truy hồi cho Sn Giả sử ta lát hình chữ nhật * (n + 1) quân domino Xét qn domino phủ lên vng n Có khả xảy ra: 1/ Quân domino phủ lên ơ: Rõ ràng phần cịn lại hình chữ nhật kích thước * n, số cách lát tình Sn 2/ Quân domino phủ lên (n, n + 1) Như vậy, buộc phải có quân domino phủ lên ơ(2n-1,2n) đó, phần cịn lại hình chữ nhật kich thước * (n 1) Tức số cách lát tình Sn-1 3/ Qn domino phủ lên (n, n+1) (với n lẻ) Khi đó, phần cịn lại lát quân domino nằm ngang (nếu có qn domino nằm dọc chia hình chữ nhật thành phần, phần có số lẻ ô chưa lát (do quân domino "đặc biệt" gây ra)) Tức trường hợp có cách lát Như ta xây dựng công thức truy hồi sau: S2k = S2k −1 + S2k − − (lưu ý n chẵn khơng có qn domino "đặc biệt" nên phải bớt cách S2k-1) (lập luận tương tự với quân domino “đặc biệt”) Và quy nạp ta thu , Fk số Fibonacci thứ k dãy Fibonacci xác định công thức Cuối ta công thức tổng quát : n  +   −   − ( −1) Sn =  ÷ − ÷ +        n n Bài 14: Cho tập hợp S = {1, 2, 3, …, n} Tìm số cách chia tập S thành tập khác rỗng cho tập không chứa hai số nguyên liên tiếp Lời Giải: Kí hiệu S(n) số cách chia tập S thành tập khơng chứa khác rỗng mà tập không chứa phần tử liên tiếp Ta tìm cách tính S(n+1) theo S(n) Giả sử ta chia tập tổng số phần tử chúng n Bổ sung thêm phần tử n+1 Sẽ có khả xảy ra: - Khả 1: n+1 không tạo thành tập (tức tập chứa n + có phần tử khác) Khi đó, rõ ràng ta có cách bổ sung n+1 (vào tập không chứa n) Vậy số cách xây dựng tập trường hợp 2S(n) - Khả 2: n+1 tạo thành tập Khi đó, n số từ đến n phải nằm tập hợp cịn lại Có thể thấy có cách chia thỏa mãn (1 tập chứa số 10 chẵn tập lại chứa số lẻ) Do đó, số cách trường hợp cách Vậy Mặt ta thu công thức truy khác, kiểm tra trực tiếp ta hồi S(n+1)=2S(n)+1 có S(3)=1, nên : Như vậy, sô cách chia tập hợp thỏa mãn đề S(n) = 2n − − 1, S(1) = S(2) = Bài 15: Cho A E đỉnh đối tâm hình bát giác Một ếch bắt đầu nhảy từ A Tại đỉnh trừ E, ếch tới đỉnh kề Nếu ếch nhảy tới E dừng lại Tính số cách để ếch nhảy từ A tới E n bước (n>4) Lời giải: Gọi an số cách để ếch nhảy từ A đến E n bước.(n>4) Dễ thấy a2n-1=0, n≥1 (vì để nhảy từ A tới E cần số chẵn bước nhảy) Sau bước nhảy, ếch đên B C trở A Do đó: a2n= 2(a2n-2+ b2n-2), đó: bn số cách nhảy để ếch nhảy từ B( C) đến E n bước Từ B (hoặc C), sau bước nhảy ếch trở B đến A (do n>4) Suy ra:b2n = 2b2n-2 + an-2 Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: a2n = 4a2n-2 – 2a2n-4 Giải hệ thức suy a 2n = (  2+ 2  ) n −1 ( − 2− ) n −1   C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 11 ( VMO – 1997): n đường tròn chia mặt phẳng làm phần cặp đường trịn có hai điểm chung khơng có đường trịn có điểm chung ( Estonia 2007): Xét lưới ô vuông 10 x 10 Với nước ta tơ màu hình vuông đơn vị nằm giao hàng cột Một nước hợp lệ hình vng trước khơng tơ Hỏi số nước lớn để tơ tồn lưới vng bao nhiêu? Cho số k, n ∈ ¥ * n > Cho đa giác lồi A 1A2 An Hỏi có tất cách tơ màu n đỉnh đa giác lồi k mầu cho cách tơ khơng có hai đỉnh kề tơ màu Có cách chia n kẹo cho k em bé ( k < n)c cho em bé có kẹo Các số 1,2,3, ,n ( n > 4) viết liên tiếp vịng trịn Hai số khơng kề gọi liên thông hai cung tạo chúng chứa tồn số bé chúng Tìm số cặp liên thông 12 ... Bài 11: Xếp n học sinh ngồi quanh bàn tròn Ngăn hàng đề có tất m loại đề thi Hỏi có cách phát đề cho học sinh cho khơng có học sinh ngồi cạnh có đề thi? Lời Giải: Gọi Sn số cách phát đề cho học. .. đề cho học sinh cho khơng có học sinh ngồi cạnh có đề thi Cố định học sinh làm vị trí học sinh bên tay phải học sinh vị trí thứ 2, thứ 3,…, thứ n.( học sinh vị trí thứ n ngồi cạnh học sinh vị trí... Nếu học sinh vị trí thứ học sinh vị trí thứ n-1 có đề thi khác có m-2 cách phát đề cho học sinh vị trí thứ n +) Nếu học sinh vị trí thứ học sinh vị trí thứ n-1 có đề thi giống có m-1 cách phát đề