ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến 51.2 Đạo hàm 1.2.1 Định nghĩa 51.2.2 Tính chất 61.2.3 Tính đơn điệu dấu đạo hàm 1.3 Định lí Rolle 71.4 Định lí Lagrange 71.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai 1.5.1 Định nghĩa 71.5.2 Định lí 81.5.3 Biểu diễn hàm lồi lõm 81.5.4 Định lí Karamata 1.6 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN hàm số liên tục đoạn [a;b] đạo hàm 10 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương 9 trình 11 2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K 11 2.2 Phương trình cho biến đổi dạng f(u) = f(v) 16 2.3 Hệ phương trình 25 2.4 Áp dụng định lí Rolle 38 2.5 Bài tập 41 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 44 3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 44 3.2 Áp dụng định lí Lagrange định lí Karamata 58 3.3 Bài tập 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Mở đầu Như ta biết, chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chiếm lượng lớn, xun suốt chương trình phổ thơng Nhiều tập giải phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn, nhiên biết sử dụng phương pháp hàm số tập giải dễ dàng Hơn số năm gần đề thi đại học cao đẳng; thi học sinh giỏi thường xuyên gặp toán phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số Chính việc trang bị cho học sinh kỹ ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức cần thiết, giúp em tự tin kỳ thi, nên chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, hệ phương trình " với mục đích - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình , chứng minh bất đẳng thức ứng dụng hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua đó, học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Do q trình nghiên cứu, biên tập cịn nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, mong thầy cô bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình ⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Nhài Chương Kiến thức sở 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x) xác định K ⊂ R(K khoảng, đoạn nửa khoảng) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K với cặp x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 f (x1) < f (x2) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 f (x1) > f (x2) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K (Trích SGK 12 - Nhà XBGD - 2007) 1.2 1.2.1 Đạo hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) xo ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) limo f (xx − f (xo) ) −x o x →x giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu f ′(xo) (hoặc y′(xo)), tức f ′(xo) = xlimo f (xx − f (xo) ) −x o →x Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) xo ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim+ f (xx − f (xo) ) x→xo −x o giới hạn gọi đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu f ′(x+) o Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim− f (xx − f (xo) ) −x o x→xo giới hạn gọi đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm − xo kí hiệu f ′(x ) o Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a;b) có đạo hàm điểm x khoảng Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm đoạn [a;b] có đạo hàm điểm x khoảng (a;b) có đạo hàm bên phải a, có đạo hàm bên trái b 1.2.2 Tính chất Định lí 1.1 Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có (u ± v)′ = u′ ± v′ (u.v)′ = u′v + uv′ ( ) ′ u , u v − uv′ v2 v= (v = v(x) ̸= 0) Định lí 1.2 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u′x hàm số y = f (u) có đạo hàm u y′u hàm hợp y = f (g(x)) có đạo hàm x y′x = y′u.u′x 1.2.3 Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lí 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f ′(x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f ′(x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K Định lí 1.4 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f ′(x) ≥ với x thuộc K f ′(x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) đồng biến K Nếu f ′(x) ≤ với x thuộc K f ′(x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) nghịch biến K Vì c < x + ⇔ > suy c x+1 1 ln(x+1)−lnx > x + ⇔ ln(x+1)−lnx− x + > ⇔ f ′(x) > 0, ∀x > 59 Suy hàm số f(x) đồng biến khoảng (0; +∞) ,do f (x + 1) > f (x), ∀x > ⇔ (1 + x) ln(1 + + x) > x ln(1 + ) x ( Hay + ) 1+x ( )x > + , ∀x > x 1+x Bài tập 3.22 Cho n nguyên dương Chứng minh √ xn − x < √ , ∀x ∈ (0; 1) 2ne Lời giải Ta có √ xn − x < √ , ∀x ∈ (0; 1) 2ne ⇔ x2n(1 − x) < 21 ne ⇔ x2n2n(1 − x) < 1, ∀x ∈ (0; 1) e Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x2n2n(1 − x) [ ]2n+1 = ( = x.x x.x(2n − 2nx) ≤ 2nx +2(2n − 2nx) n+1 ( ) n+1 2n Ta chứng minh 2n1 + Xét hàm số f (x) = ln x [2n; 2n + 1] , f(x) khả vi (2n; 2n + 1) Theo định lí Lagrange tồn c ∈ (2n; 2n + 1) cho f ′(c) = f (2nn+ 1) − f2(2n) ⇔ = ln(2n + 1) − ln(2n) c (2 + 1) − n Do 2n < c < 2n + 1> nên 2n + c √ Vậy xn − x < √ , ∀x ∈ (0; 1) n nguyên dương 2ne 60 Bài tập 3.23 Cho tam giác ABC không nhọn Chứng minh √ tg A + tg B + tg C ≥ 2 − 2 Lời giải π   A      2≥4 AB Giả sử A ≥ B ≥ C Khi   2  + ≥π+π 48 ABC    )+ + ≥π+π+π ( 2π 488 Xét hàm số f (x) = tgx, x ∈ 0; ′ (x) = ) f , f ′′(x) = sin x > 0, ∀x ∈ (0; π ( ) cos2x cos3x π Suy f (x) hàm lồi khả vi 0; Áp dụng bất đẳng thức Karamata,ta có f(A) + f(B ) + f(C ) ≥ f(π ) + f(π ) + f(π ) 2 8 hay tg A + tg B + tg C ≥ 2√2 − 2 Bài tập 3.24 Cho ABC tam giác nhọn Chứng minh ≤ cos A + cos B + cos C ≤ Lời giải Khơng tính tổng quát, ta coi A ≥ B ≥ C Khi A ≥ π , C ≤ π π≥A≥π Vì       π ≥ A + B = π − C ≥ 2π nên π ≥A≥π ππ 2  ππ + ≥A+B ≥ π + π    33 + +0=A+B+C = π + π + π  [ ] 22 333 π Xét hàm số f (x) = cos x với x ∈ 0; ] [ 2π nên ′′ Ta có f (x) = − cos x < 0, ∀x ∈ 0; hàm số f (x) lõm đoạn 61 [ ] π Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có ( ) π 0;( ) π f + f + f (0) ≤ f (A) + f (B) + f (C) ≤ 3f ( ) π hay ≤ cos A + cos B + cos C ≤ Bài tập 3.25 Chứng minh với số thực dương a, b, c, ta có bất đẳng thức + + ≤ + + a + b b + c c + a 2a 2b 2c Lời giải Không tính tổng quát, ta coi a ≥ b ≥ c, tức dãy số (a, b, c) dãy giảm Khi đó, ta có   2a ≥ a + b  Xét hàm số f (x) = 2a + 2b ≥ 2c+ ba++bb++cb + c + c + a a 2a + 2b + = với x x ∈ (0; +∞) Ta có f ′′(x) = > 0, ∀x ∈ (0; +∞) nên hàm số f (x) lồi khoảng x3 (0; +∞) Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata ta nhận bất đẳng thức cần chứng minh Bài tập 3.26 Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh ( ) 1)( 1)( c−1+ a a−1+ b b−1+ c ≤ Lời giải (Trích đề thi IMO 2000) Vì abc = nên ta đặt a = x, b = y , c = z x, y, z > Ta viết bất y zvới x đẳng thức cho theo x, y, z ( ( )( ) x − 1+ z y − 1+ x z − 1+ y ≤ ) y y z z x x ⇔ (x − y + z)(y − z + x)(z − x + y) ≤ xyz Để ý (x − y + z) + (y − z + x) = 2x > 0, ba số x − y + z, y − z + x, z − x + y khơng thể có trường hợp hai số âm Nếu ba số có ba số âm, hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh Trường hợp ba số dương, cách lấy lôgarit hai vế với số e, ta ln(x − y + z) + ln(y − z + x) + ln(z − x + y) ≤ ln x + ln y + ln z Không tính tổng quát, ta coi x ≥ y ≥ z Khi đó, ta có (y − z + x, x − y + z, z − x + y) > (x, y, z) Xét hàm số f (x) = ln x với x > Ta có f ′′(x) = − 12 < 0, ∀x > x nên hàm số f (x) lõm khoảng (0; +∞) Khi theo bất đẳng thức Karamata, ta có ln(y − z + x) + ln(x − y + z) + ln(z − x + y) ≤ ln x + ln y + ln z Đẳng thức xảy x = y = z hay a = b = c = Bài tập 3.27 Cho a, b số thực không âm Chứng minh √ √ √ √ 3 √ √ √ a + a + b + b ≤ a + b + b + a 3 √ Lời giải √ √ √ b ≥ a Giữa số x1 = b + b, x2 = b + a, x3 = a + b, x4 = sử a + a, x1 số lớn nhất, x4 số nhỏ Ta có Giả { √ x1 ≥ x2 x1 + x4 = x2 + x3 Xét hàm số f (x) = x có f ′(x) = √ ; f ′′(x) = −2 < 0∀x > Từ √ √ 33x 93x √ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata cho hàm số f (x) = x hàm lõm +∞) ta có f (x1√+ f ( 4) ≤√(x2) f (x√) √ √) x √ f √ [0; √ 3 3 hay a + a+ b + b ≤ a + b + b + a + 3 Bài tập 3.28 Cho a,b,c,d số thực dương Chứng minh a+b+c Lời giải + b + + d + c + + a + d + + b ≤ 31a + 31b + 31c + 31d c d a Giả sử a ≥ b ≥ c ≥ d Khi   3a ≥ a + b + c  3a + 3b ≥ (a + b + c) + (b + c + d)     3a + 3b + 3c ≥ (a + b + c) + (b + c + d) + (c + d + a) 3a + 3b + 3c + 3d = (a + b + c) + (b + c + d) + (c + d + a) + (d + a + b) 63 Xét hàm số f (x) = f x khoảng (0; +∞) Suy f(x) hàm lồi khoảng (0; +∞).Theo bất đẳng thức Karamata ta có f (3a) + f (3b) + f (3c) + f (3d) ≥ f (a + b + c) + f (b + c + d) + f (c + d + a) + f (d + a + b) Tức a+b+c + b + + d + c + + a + d + + b ≤ 31a + 31b + 31c + 31d c d a Bài tập 3.29 Cho a, b, c ∈ [−1; 1] thỏa mãn a + b + c = −1 Chứng minh a12 + b12 + c12 ≤ + 21 12 Lời giải  a ≤      a ≤  a+b≤ Giả sử a ≥ b ≥ c Khi       a+b+c=− hay  a+b≤1−    a+b+c=1− −1 Xét hàm số f (x) = x 12 đoạn [-1 ;1] f ′(x) = 12.x11; f ′′(x) = 132.x10 ≥ 0∀x ∈ [ − 1; 1] suy f(x) hàm lồi [-1 ;1] Theo bất đẳng thức Karamata ta có f (a) + f (b) + f (c) ≤ f (1) + f (−1) + f (−1) hay a12 + b12 + c12 ≤ + 21 Bài tập 3.3 12 Bài tập 3.30 Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3 Chứng minh 4a + 4b + 2ab − √7 − 3ab ≥ b+1 a+1 Bài tập 3.31 Cho x,y,z số thực khơng âm có tổng Chứng minh x2 + y2 + z2 + xyz ≥ 64 Bài tập 3.32 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3.Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x + + z y Bài tập 3.33 Cho a,b,c số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b12 + c2 + abc Bài tập 3.34 Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2(x2 + 6xy) P = + 2xy + 2y2 Bài tập 3.35 Cho x,y số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x +xy+ y Bài tập 3.36 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn 21ab+2bc+8ac ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + abc Bài tập 3.37 Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh √ 16 x2y2 + y2z2 + z2x2 + + xy + yz y + x + ≥ 28 +z x+ z Bài tập 3.38 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh < xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27 65 Kết luận Khóa luận đạt kết quan trọng sau: - Nghiên cứu số ứng dụng hàm số giải phương trình , hệ phương trình - Nghiên cứu số phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức - Vận dụng vào số tập q trình ơn luyện học sinh giỏi 66 ... kỹ ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức cần thiết, giúp em tự tin kỳ thi, nên chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, hệ phương. .. bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình ⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận,... phương trình " với mục đích - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình , chứng minh bất đẳng thức ứng dụng hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn