ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ LIỄU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS LÊ HUY CHUẨN HÀ NỘI, 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian H¨ older 6 61.1.2 Không 91.2.2 Toán tử 12 16 20 20 gian Sobolev 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Định nghĩa liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.3 Toán tử quạt không gian L2 1.2.4 Toán tử quạt không gian tích 1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Mô hình chất bán dẫn 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Tính không âm nghiệm địa 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Nghiệm toàn cục 2.3 Tập hút mũ Kết Luận Tài liệu tham khảo phương 30 31 31 34 40 40 42 43 50 51 Mở đầu Trong luận văn này, nghiên cứu mô hình chất bán dẫn nhà Vật lý Shockley đưa vào năm 1950 để mô tả dòng electron lỗ trống chất bán dẫn (xem [10]) Ý nghĩa Vật lý chi tiết mô hình xem thêm tài liệu [6] Cụ thể, mô hình Shockley có dạng sau:  ∂u  = a∆u − µ∇.[u∇χ] + f(1 − uv) + g(x) Ω ⋅ (0, ∞),   ∂t  ∂v = b∆v + ν∇.[v∇χ] + f (1 − uv) + g(x) Ω ⋅ (0, ∞),  ∂t  Ω ⋅ (0, ∞)  0 = c∆χ − u + v + h(x), (1) Trong đó, hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) mật độ electron mật độ lỗ trống thiết bị chất bán dẫn Ω, thời điểm t ≥ Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu tự khuếch tán electron lỗ trống, a b hệ số khuếch tán dương Hàm χ đặc trưng cho điện tĩnh điện xác định phương trình Poisson, c > số điện môi Số hạng −µ∇.{u∇χ} ν∇.{v∇χ} ký hiệu khuếch tán electron lỗ trống phụ thuộc vào điện χ, µ ν hệ số khuếch tán electron lỗ trống Với điều kiện thích hợp electron lỗ trống hình thành với tốc độ f ≥ kết hợp với tốc độ fuv Các hàm g ≥ h hàm ngoại lực biết Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương gồm khái niệm kết Giải tích hàm liên quan đến không gian H¨ older, không gian Sobolev, toán tử quạt Cuối cùng, trình bày chi tiết định lý tồn nghiệm toán tiến hóa nửa tuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu chương Chương nội dung luận văn, chương nghiên cứu toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp Cụ thể, Mục 2.1 chứng minh tồn tại, tính không âm nghiệm địa phương Sự tồn nghiệm toàn cục trình bày Mục 2.2 dựa đánh giá tiên nghiệm Cuối cùng, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Cụ thể, Mục 2.3 xây dựng tập hút mũ cho hệ động lực xác định phương trình (2.1) Tập hút mũ khái niệm đưa nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - Mở Đầu tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn hút quỹ đạo với tốc độ mũ Những nghiên cứu chi tiết tập hút mũ xem [2] Các nội dung luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [11], [5] Trong luận văn chắn tránh khỏi hạn chế sai sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cô bạn đọc Qua tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Lê Huy Chuẩn, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Liễu Bảng ký hiệu { } Rn = x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R, i = 1, n { Rn = x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > + } Χ([a, b]) := {f : [a, b] → R liên tục [a, b]} { Χm([a, b]) = f : [a, b] → R : Dαf ∈ Χ0(Ω), ∀α : |α| ≤ m } Χm([a, b]) := {f ∈ Χm([a, b]) : giá f compact [a, b]} Χm,1(Ω) := không gian hàm khả vi liên tục m lần đạo hàm cấp m liên tục Lipschitz Ω { Λ(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục { ∫ } p Lp(Ω) = f :Ω→C: |f (x)| dx < +∞ , p ≥ Ω { f đo Ω : ess sup|f | < +∞ L∞(Ω) = } } Ω với ess sup|f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω } Ω{ Lloc p (Ω) = f đo Ω : f ∈ L (Ω′ ), ∀Ω′ p compact ⊂ Ω Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết liên quan đến không gian H¨ older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường sử dụng nghiên cứu toán phương trình vi phân đạo hàm riêng Chứng minh chi tiết kết xem [11, 9] Và trình bày số kết liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính sử dụng chương sau luận văn Chúng ta đưa định lý tồn nghiệm hệ phương trính tiến hóa nửa tuyến tính trình bày chi tiết chứng minh định lý Những vấn đề khác liên quan đến phương trình nửa tuyến tính xem [11, Chương 4] 1.1 1.1.1 Những không gian hàm Không gian H¨ older Cho Ω ⊂ Rn tập mở < γ ≤ Định nghĩa 1.1 a) Hàm số u : Ω → R gọi liên tục H¨ older bậc γ tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ, x, y ∈ Ω Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz b) Cho u : Ω → R bị chặn liên tục Ta định nghĩa ∥u∥C(Ω) := sup |u(x)| x∈Ω c) Nửa chuẩn H¨ older bậc γ u : Ω → R [u]C0,γ(Ω) := sup |u(|x)− yu|(y)| − x x̸=y x,y∈Ω γ Chương Kiến thức chuẩn bị chuẩn H¨ older bậc γ ∥u∥C0,γ(Ω) := ∥u∥C(Ω) + [u]C0,γ(Ω) Định nghĩa 1.2 Không gian H¨ older Ck,γ(Ω) gồm tất hàm số u ∈ Ck(Ω), mà chuẩn ∑ ∑α ∥u∥Ck,γ(Ω) := |α|≤k ∥D u∥C(Ω) + α | α| = k [D u]C0,γ(Ω) hữu hạn Như vậy, không gian Ck,γ(Ω) gồm tất hàm số u cho đạo hàm riêng cấp k bị chặn liên tục H¨ older bậc γ Nhận xét: Không gian H¨ older C k,γ (Ω) không gian Banach với chuẩn ∥.∥ k,γ C ( Ω) β,σ((a, b]; X ) Không gian hàm liên tục H¨ older có trọng Φ Cho (X, ∥.∥) không gian Banach, với hai số mũ < σ < β < Không gian β,σ((a, b]; Φ X ) gồm hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau: (1) (t − a)1−βF (t) có giới hạn t → a (2) F hàm liên tục H¨ older với số mũ σ trọng (s − a)1−β+σ, nghĩa sup (s − a)1−β+σ∥F (t) − F (s)∥ a≤s 41ζ Tiếp tục với ζ > cho trước, ta lấy Cζ thỏa mãn điều kiện sau C3 ] ζ ζt2 − Cζt + ≥ 0, ∀t ∈ R 41 Chương Mô hình chất bán dẫn Cụ thể, ta chọn Cζ > 21ζ Khi đó, với u v ta có Cζ(u + v) ≤ ζ(u2 + v2) + C3 ζ Như vậy, với ζ > Cζ > 21ζ ta có ∫ Ω h(x)(u − v )dx ≤ ∥h∥L∞ 2 ∫[ Ω ] ζ(u − v)2(u + v) + ζ(u2 + v2) + C3 dx ζ Từ bất đẳng thức Poincare, ta có ∫( Ω ∫ ) aν|∇u|2 + bµ|∇v|2 dx ≥α Ω (u2 + v2)dx với số dương α Suy ra, lấy ζ > đủ nhỏ Cζ tương ứng, ta nhận ∫ ∫ 1d 2 (νu + µv )dx + α (u2 + v2)dx ≤ C, dt Ω Ω với số C > Từ ta có ∥u(t)∥2 + ∥v(t)∥2 ≤ C[e−δt(∥u0∥2 + ∥v0∥2 2) + 1], ≤ t ≤ TU , L L L (2.26) L với số mũ δ > số C > 2.2.2 Nghiệm toàn cục Định lý 2.3 Với giá trị ban đầu U0 ∈ Κ, toán (2.1) có nghiệm toàn cục không gian hàm  0 ≤ u ∈ Χ((0, ∞); Ho1 (Ω)) ∩ Χ([0, ∞); L2(Ω)) ∩ Χ1((0, ∞); H−1(Ω)), D D o  ≤ v ∈ Χ((0, ∞); H1 (Ω)) ∩ Χ([0, ∞); L2(Ω)) ∩ Χ1((0, ∞); H−1(Ω)) D (2.27) D Chứng minh Theo Định lý 2.1 tồn nghiệm địa phương U(t) [0, TU0] toán (2.1) Với < T1 ≤ TU0 theo đánh giá tiên nghiệm ta có ∥U (t)∥ ≤ C∥U0∥, Xét bái toán ∀t ∈ (0, T1) dV  dt + AV = F (V ), < t < ∞ V (0) = U(T1) (2.28) (2.29) 42 Chương Mô hình chất bán dẫn Theo Định lý 2.1 tồn nghiệm V (t) (2.29) (0, δ) Trong δ > số phụ thuộc vào ∥U(T1)∥ Do (2.28) nên δ phụ thuộc vào ∥U0∥ Đặt  U(t), t ∈ [0, T1], U (t) = (2.30)  V (t − T ) = t ∈ [T , T + δ] 1 Do tính nghiệm nên U(t) nghiệm toán (2.1) [0, T1 + δ) Thay T1 T1 + δ lặp lại trình ta thể mở rộng nghiệm U(t) [0, ∞) Hơn nữa, ta có kết sau Định lý 2.4 Cho giá trị ban đầu U0 ∈ Κ, U(t, U0) nghiệm toàn cục toán (2.1) không gian hàm (2.27) Do (2.26)nên tồn số mũ δ > số C > cho với U0 ∈ Κ, ta có ( ) ∥U (t, U0)∥L2 ≤ C e−δt∥U0∥L2 + , ≤ t < ∞, U0 ∈ Κ 2.3 (2.31) Tập hút mũ Trong phần này, chứng minh tồn tập hút mũ hệ động lực xác định từ toán (2.1) Trước tiên, ta nhắc lại số kết biết tập hút mũ Cho (X, ∥.∥X) không gian Banach Xét Ξ tập compact X, Ξ không gian metric với khoảng cách d(., ) cảm sinh từ ∥.∥X , nghĩa d(x, y) = ∥x − y∥X , ∀x, y ∈ Ξ Cho S(t), ≤ t < ∞, nửa nhóm phi tuyến tác động Ξ Trong S(t) hàm liên tục theo nghĩa: ánh xạ (t, U0) → S(t)U0 liên tục từ [0, ∞) ⋅ Ξ vào Ξ Khi S(t) định nghĩa hệ động lực (S(t), Ξ , X) X với không gian pha compact Ξ Vì không gian pha compact nên tập hợp ∩ Α= S(t)Ξ ⊂ X 0≤t ii t→+ h(S(t)Ξ , Α) = 0, lim ∞ h(B0, B1) = sup d(U, B1) = sup Vinf d(U, V ) U ∈ B0 U ∈ B0 ∈B ký hiệu nửa khoảng cách Hausdorff hai tập B0, B1 Ξ 43 Chương Mô hình chất bán dẫn Định nghĩa 2.1 (Tập hút mũ) (xem Eden, Foias, Nicolaenko Temam [2]) Tập hợp Μ thỏa mãn Α ⊂ Μ ⊂ Ξ gọi tập hút mũ (S(t), Ξ , X) i) Μ tập compact X với số chiều Fractal hữu hạn ii) Μ tập bất biến, nghĩa là, S(t)Μ = Μ, ∀t > iii) Tồn số mũ δ > số C0 > cho h(S(t)Ξ , Μ) ≤ C0.e−δt (2.32) Để xây dựng tập hút mũ, sử dụng phương pháp đưa Efendiev, Mivanville Zelik ([3]) Giả sử ta có hai điều kiện sau: i) Tồn không gian Banach Z nhúng compact X thời điểm t∗ > cho toán tử S(t∗) thỏa mãn điều kiện Lipschitz dạng ∥S(t∗)U0 − S(t∗)V0∥Z ≤ L1∥U0 − V0∥X , U0 , V0 ∈ Ξ , (2.33) L1 > số ii) Ánh xạ (t, U0) → S(t)U0 từ [0, t∗]⋅Ξ → Ξ thỏa mãn điều kiện Lipschitz thường ∥S(t)U0 − S(s)V0∥X ≤ L2(|t − s| + ∥U0 − V0∥X ), t, s ∈ [0, t∗], U0, V0 ∈ Ξ (2.34) Khi đó, định lý cấu trúc tập hút mũ [3] kết hợp với Định lý 3.1 [2] cho định lý sau Định lý 2.5 (Về cấu trúc tập hút mũ) Nếu điều kiện (2.33), (2.34) thỏa mãn hệ động lực (S(t), Ξ , X) có họ tập hút mũ Μ Chúng ta áp dụng Định lý 2.5 để chứng minh tồn tập hút mũ cho hệ động lực xác định toán (2.1) Ở đây, cho X không gian tích H−1(Ω) ⋅ H−1(Ω) xác định D D {( ) } X= (2.35) φ : φ ∈ H−1(Ω), ψ ∈ H−1(Ω) D D ψ Chuẩn X ký hiệu ∥.∥X Xét hai không gian tích sau {( ) } f : f ∈ L2(Ω), g ∈ L2(Ω) , ∆(A1/ ) = g {( ) ∆(A) = u v o o } :u ∈H1 (Ω), v ∈H1 (Ω) , D D 44 Chương Mô hình chất bán dẫn o chuẩn tích L2 tích H1 tương ứng D ∥.∥∆(A1/2) = ∥.∥L2⋅L2, ∥.∥∆(A) = ∥.∥Ho1 ⋅Ho1 D D Xét tập hợp giá trị ban đầu { Κ= () U0 = u0 v0 } : ≤ u0 ∈ L2(Ω), ≤ v ∈ L2(Ω) (2.36) Ta có Κ tập đóng không gian Hilbert tích ∆(A1/2) = L2(Ω)⋅L2(Ω) Theo phần xây dựng nghiệm địa phương, định nghĩa nửa nhóm phi tuyến tác động Κ từ toán (2.7) công thức ( ) u(t) , U ∈ Κ, S(t)U0 = U (t) = v(t) U nghiệm toàn cục hệ (2.7) Ước lượng sau cho nghiệm địa phương cho nghiệm toàn cục 2 ∥u(t)∥L2 + ∥v(t)∥L2 ≤ C e [ −δ ( t ∥u0∥L2 + ∥v0∥L2 + , ∀0 ≤ t ≤ TU0 2 ) ] Điều tồn tập hấp thụ S(t) Cho C∗ số xuất ước lượng xét tập √ Β = {U ∈ Κ : ∥U ∥∆(A1/2) ≤ 2C ∗ } ⊂ Κ (2.37) Khi Β tập hấp thụ, tức là, với tập bị chặn B Κ, tồn thời điểm tB > cho S(t)B ⊂ Β, t ≥ tB Điều nghĩa là, dáng điệu tiệm cận nghiệm toàn cục hệ (2.1) giảm bớt thành nghiệm Β Hơn nữa, Β tập bị chặn Κ nên tất nghiệm Β vào Β có thời điểm cố định tΒ > Từ điều hình thành không gian pha sau ∪ (2.38) Ξ= S(t)Β đóng theo chuẩn X t≥tΒ Mệnh đề 2.2 Ξ tập compact X thỏa mãn Ξ ⊂ Β tập hấp thụ S(t) Chứng minh Vì ∆(A) không gian Hilbert khả li nên Β tập compact yếu theo dãy ∆(A), nghĩa Β trích dãy hội tụ yếu Do Β tập đóng X Ta có ∪ S(t)Β ⊂ Β ⇒ Ξ ⊂ Β = Β t≥ tΒ 45 Chương Mô hình chất bán dẫn Vì Β tập compact X nên Ξ tập compact X Vì Β tập hấp thụ nên Ξ tập hấp thụ Thật vây, Ξ tập hấp thụ với tập bị chặn B nằm Κ, tồn thời điểm tB > cho S(t)B ⊂ Ξ , ∀t ≥ tB Do Β tập hấp thụ nên với t ≥ tB ta có: S(t)B ⊂ Β Từ suy S(tΒ + t)B = S(tΒ).S(t)B ⊂ S(tΒ)Β ⊂ Ξ Điều kéo theo với t ≥ tΒ + tB, ta có S(t)B ⊂ Ξ Mệnh đề 2.3 Tập Ξ tập đóng bị chặn ∆(A1/2) tập đóng bị chặn ∆(A) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2 Ξ ⊂ Β tập bị chặn ∆(A1/2) Ta có Ξ tập đóng ∆(A1/2) Thật vậy, Ξ đóng X nên tồn {fn} ∈ Ξ , fn hội tụ đến f ∆(A1/2) Ta chứng minh f ∈ Ξ Ta có fn hội tụ đến f ∆(A1/2) nên fn hội tụ đến f X, mà Ξ đóng X nên f ∈ Ξ Để kiểm tra Ξ ⊂ ∆(A), ta sử dụng ước lượng thành lập phần xây dựng nghiệm địa phương Với < R < ∞ tùy ý, tồn thời điểm TR > số CR > thỏa mãn ∥S(t)U0∥∆(A) = ∥U ∥∆(A) = ∥u(t)∥Ho1 + ∥v(t)∥Ho1 D D ≤ ∥u(t)∥Ho1 + ∥v(t)∥Ho1 + t−1/2 (∥u(t)∥L2 + ∥v(t)∥L2) D ≤ D t−1/2CR Suy ∥S(t)U0∥∆(A) ≤ t−1/2CR, ∀0 < t ≤ TR, ∥U0∥∆(A1/2) ≤ R √ ∗ ∗ C (2C + 1), theo Mệnh đề 2.1 ta có Sử dụng ước lượng với R = R∗ = ∥u∥2 + ∥v∥2 ≤ C∗(∥u0∥2 + ∥v0∥2 + 1), L L L L Ta có ∀0 ≤ t ≤ TU ∥S(t)U0∥2 (A1/2) = ∥U (t)∥2 ≤ C∗(∥U0∥2 + 1) ≤ C∗(2C∗ + 1), ∀0 ≤ t < ∞ ∆ L (Do U0 ∈ Β ⇒ ∥U0∥∆(A1/2) = ∥U0∥L2 ≤ sup ∥S(t)U0∥2 (A1/2) ≤ ∆ 0≤t thời điểm cố định thỏa mãn T ∗ ≤ tΒ T ∗ ≤ TR∗ Nếu y U1 ∈ t≥tΒ S(t)Β, nghĩa U1 = S(t0)U0 với t0 ≥ tΒ U0 ∈ Β, ∥U1∥∆(A) = ∥S(T ∗)S(t0 − T ∗)U0∥∆(A) ≤ CR∗(T ∗)−1/2, 46 (2.39) Chương Mô hình chất bán dẫn ∥S(t0 − T ∗)U0∥∆(A1/2) ≤ R∗ Vậy ta chứng minh ∪ { S(t)Β ⊂ U ∈ ∆(A) : ∥U ∥∆(A) ≤ CR∗(T ∗)−1/2 } t≥tΒ Vì tập đóng bị chặn ∆(A) compact yếu theo dãy tập đóng X, { } ∗ − Ξ⊂ U ∈ ∆(A) : ∥U ∥∆(A) ≤ CR∗(T ) 1/ Suy Ξ bị chặn ∆(A) Mặt khác Ξ đóng ∆(A) Thật vậy, giả sử {fn} ⊂ Ξ , fn → f ∆(A).Ta chứng minh f ∈ Ξ Do fn → f ∆(A) nên fn → f X, mà Ξ đóng X nên f ∈ Ξ Vậy Ξ đóng, bị chặn ∆(A) Mệnh đề 2.4 Tập hợp Ξ tập bất biến S(t), tức là, S(t)Ξ ⊂ Ξ với t > √ Chứng minh Áp dụng ước lượng cho nghiệm địa phương với R = R∗ = C∗(2C∗ + 1) ta được: √ ∥S(t)U0 − S(t)V0∥X ≤ t∥U (t) − V (t)∥ o1 + ∥U (t) − V (t)∥X D H ≤ CR∗∥U0 − V0∥X , với ≤ t ≤ TR∗, ∥U0∥∆(A1/2) ≤ R∗, ∥V0∥∆(A1/2) ≤ R∗ Từ ước lượng thu ∥S(t)U0 − S(t)V0∥X ≤ (CR∗)j∥U0 − V0∥X , với (j − 1)TR∗ ≤ t ≤ jTR∗, U0, V0 ∈ Β với j = 1, 2, Thật vậy: + Với j = 1, từ (2.39) với U0, V0 ∈ Β ∥U0∥∆(A1/2) ≤ R∗, ∥V0∥∆(A1/2) ≤ R∗ Theo (2.40) (2.41) + Giả sử (2.41) với j, ta chứng minh (2.41) với j + Thật vậy, jTR∗ ≤ t ≤ (j + 1)TR∗ ≤ t − jTR∗ ≤ TR∗ Theo (2.39) ta có ∥S(jTR∗)U0∥∆(A1/2) ≤ R∗, ∥S(jTR∗)V0∥∆(A1/2) ≤ R∗ Suy ∥S(t)U0 − S(t)V0∥X = ∥S(t − jTR∗)S(jTR∗)U0 − S(t − jTR∗)S(jTR∗)V0∥X Áp dụng (2.40) với U0 := S(jTR∗)U0, V0 := S(jTR∗)V0, t := t − jTR∗ 47 (2.40) (2.41) Chương Mô hình chất bán dẫn ta ∥S(t)U0 − S(t)V0∥X ≤ CR∗∥S(jTR∗)U0 − S(jTR∗)V0∥X ≤ (CR∗)j+1∥U0 − V0∥X Vậy (2.41) với j + Suy (2.41) với U0, V0 ∈ Ξ Ξ ⊂ Β Do đó, với t ≥ toán tử S(t) : Ξ → X liên tục với chuẩn tương ứng X Khi ∪ ∪ ∪ S(t)Ξ = S(t) S(τ )Β ⊂ S(t) S(τ )Β ⊂ S(t + τ )Β ⊂ Ξ τ ≥τΒ τ ≥τΒ τ ≥τΒ Vậy S(t) ánh xạ từ Ξ vào Ξ , ∀t > Mệnh đề 2.5 Ánh xạ (t, U) → S(t)U thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương từ [0, ∞) ⋅ Ξ vào Ξ , tức là, với < T < ∞ tồn số CT > cho ∥S(t)U0 − S(s)V0∥ ≤ CT {|t − s| + ∥U0 − V0∥X } , t, s ∈ [0, T ], U0, V0 ∈ Ξ Chứng minh Ta có S(t)U0 − S(s)V0 = {S(t)U0 − S(s)U0} + {S(s)U0 − S(s)V0} Theo (2.41) ta có Với < s < t < T ta có ∥S(s)U0 − S(s)V0∥ ≤ CT ∥U0 − V0∥X ∫ ∥S(t)U0 − S(s)V0∥X = s ∫ t = s ∫ t dS(τ )U0 dτ ≤ dτ t s dS(τ )U0 dτ dτ ∥AS(τ )U0 + F (S(τ )U0)∥X dτ Do theo Mệnh đề 2.3 Mệnh đề 2.4 ta có ∥S(t)U0 − S(s)V0∥X ≤ C(t − s) Vì vậy, xây dựng hệ động lực (S(t), Ξ , X) với không gian pha Ξ tập compact X hút nghiệm Κ∩ thời gian hữu hạn Do không gian pha Ξ compact nên tập hợp Α = S(t)Ξ 0≤t