Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C NGUY N DUY KHÁNH BÀI TOÁN N Đ NH H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUY N VÀ NG D NG LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Chuyên ngành: Tốn Gi i tích Mã s : 60 46 01 02 Ngư i hư ng d n khoa h c GS.TSKH Vũ Ng c Phát HÀ N I- 2015 M cl c M đu Các kí hi u dùng lu n văn L i c m ơn Cơ s toán h c 1.1 H phương trình vi phân 61.2 1.3 Lý thuy t n đ nh Lyapunov 1.2.1 Các khái ni m v n đ nh 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 M t s tiêu chu n b n v tính n đ nh 11 Bài toán n đ nh hóa 18 n đ nh h phương trình vi phân phi n ng d ng 22 2.1 n đ nh h phương trình vi phân phi n 23 2.2 n đ nh hóa h phương trình u n phi n 37 K t lu n 42 Tài li u tham kh o 43 L im đ u Trong th c ti n, nhi u toán đ c p v n đ kĩ thu t, u n thư ng liên quan đ n h đ ng l c mô t b i phương trình tốn h c v i th i gian liên t c d ng x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙ t ≥ 0, x(t) bi n tr ng thái mô t đ i tư ng đ u ra, u(t) bi n u n mô t đ i tư ng đ u vào c a h th ng Nh ng d li u đ u vào có tác đ ng quan tr ng có th làm nh hư ng đ n s v n hành đ u c a h th ng Như v y ta có th hi u m t h th ng u n m t mơ hình tốn h c đư c mơ t b i phương trình tốn h c bi u th s liên h vào M t nh ng m c đích c a tốn u n h th ng tìm u n đ u vào cho đ u có nh ng tính ch t mà ta mong mu n Trong đó, tính n đ nh m t nh ng tính ch t quan tr ng c a lý thuy t đ nh tính h đ ng l c đư c s d ng nhi u lĩnh v c h c, v t lý tốn, kĩ thu t, kinh t Nói m t cách hình tư ng, m t h th ng đư c g i n đ nh t i tr ng thái cân b ng n u nhi u nh c a d li u đ u vào c a h th ng không làm cho h th ng thay đ i nhi u so v i tr ng thái cân b ng S nghiên c u toán n đ nh h th ng đư c b t đ u t th k th XIX b i nhà toán h c V Lyapunov đ n không th thi u lý thuy t phương trình vi phân ng d ng Lyapunov xây d ng n n móng cho lý thuy t n đ nh, đ c bi t đưa hai phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a h phương trình vi phân thư ng Đó phương pháp s mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đo n 1953-1962, vi c áp d ng phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a h đ ng l c nh n đư c s quan tâm c a nhi u nhà nghiên c u b i nh ng ng d ng h u hi u c a h th ng d n đư ng hàng không vũ tr mà không th gi i quy t đư c b ng phương pháp khác T đ n lý thuy t n đ nh Lyapunov v n m t lý thuy t phát tri n r t sơi đ ng c a Tốn h c tr thành m t b ph n nghiên c u không th thi u lý thuy t h th ng ng d ng Đ n nh ng năm 60 c a th k XX, v i s phát tri n c a lý thuy t u n, ngư i ta b t đ u nghiên c u tính n đ nh c a h u n hay g i tốn n đ nh hóa h u n Vì v y, vi c nghiên c u tính n đ nh tính n đ nh hóa c a h phương trình vi phân u n b ng c hai phương pháp Lyapunov đ xu t, đ c bi t phương pháp hàm Lyapunov tr thành m t hư ng nghiên c u th i s thu hút s quan tâm c a nhi u nhà nghiên c u nư c qu c t Trên s tài li u v phương trình vi phân lu n văn trình bày m t s k t qu v tính n đ nh, ti m c n, n đ nh mũ c a h v i th i gian liên t c sau d a vào tính ch t n đ nh xây d ng m t s ng d ng gi i tốn n đ nh hóa h phương trình u n phi n Lu n văn g m hai chương: Chương 1: Cơ s toán h c Trong chương này, tơi trình bày m t s khái ni m b n v h phương trình vi phân, lý thuy t n đ nh c a h n tính, phi n b ng phương pháp hàm Lyapunov, đ c bi t m t s tiêu chu n b n v tính n đ nh, đ ng th i đưa nh ng khái ni m đ u tiên v toán n đ nh hóa Chương 2: n đ nh h phương trình vi phân phi n ng d ng Trong chương này, tơi trình bày m t s đ nh lý quan tr ng v tính n đ nh c a h phương trình vi phân phi n, t xây d ng m t s ng d ng gi i tốn n đ nh hóa h phương trình u n phi n Các kí hi u dùng lu n văn - R+: T p s th c dương - Rn: Không gian véctơ th c n chi u v i tích vơ hư ng , chu n Euclide - Rn⋅m: Không gian ma tr n th c có s chi u n ⋅ m - AT : Ma tr n chuy n v c a A − - A 1: ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A - I: Ma tr n đơn v c p n - λmin(A): Giá tr riêng nh nh t c a ma tr n đ i x ng A - λ(A): T p giá tr riêng c a A L i c m ơn L i đ u tiên, xin g i l i c m ơn chân thành sâu s c nh t t i GS TSKH Vũ Ng c Phát Th y tr c ti p hư ng d n t n tình ch b o su t th i gian qua Tôi xin g i l i c m ơn t i th y, khoa Tốn - Cơ - Tin, khoa sau đ i h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i trang b ki n th c t o u ki n thu n l i cho tơi su t q trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n văn M c dù b n thân c g ng r t nhi u th i gian th c hi n không nhi u, ki n th c trình đ cịn h n ch nên lu n văn c a không tránh kh i nh ng thi u sót R t mong nh n đư c s ch b o, góp ý nh ng ý ki n ph n bi n c a quý th y cô b n đ c Hà N i, ngày 27 tháng 10 năm 2015 H c viên Nguy n Duy Khánh Chương Cơ s toán h c Trong chương này, tơi trình bày nh ng ki n th c s v h phương trình vi phân, nghi m c a h phương trình vi phân, khái ni m v tính n đ nh c a h phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a h phi n, đưa m t s tiêu chu n b n v tính n đ nh c a h n tính, đ ng th i trình bày nh ng khái ni m đ u tiên v tốn n đ nh hóa N i dung chương đư c trình bày d a tài li u ([2], [4], [5], [6]) 1.1 H phương trình vi phân Xét phương trình vi phân x(t) = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0, t0 + b] , ˙ x(t0) = x0, x ∈ Rn, t0 ≥ 0, f (t, x(t)) : I ⋅ D → Rn, D = {x ∈ Rn : ||x − x0|| ≤ a} Nghi m x(t) c a phương trình (1.1) hàm x(t) kh vi liên t c th a mãn: a) (t, x(t)) ∈ I ⋅ D, b) x(t) th a mãn phương trình vi phân (1.1) Gi s hàm f (t, x(t)) liên t c I ⋅ D, nghi m x(t) cho b i d ng tích phân: t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 (1.1) Đ nh lý 1.1.1 (T n t i nghi m đ a phương) Xét h phương trình vi phân (1.1) gi s hàm f (t, x) : I ⋅ D → Rn liên t c theo t th a mãn u ki n Lipschitz theo x, t c ∃K > : ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ K||x1 − x2||, ∀t ≥ Khi v i m i (t0, x0) ∈ I ⋅ D ta ln tìm đư c s d > cho h (1.1) ln có nghi m nh t kho ng [t0 − d, t0 + d] Đ nh lý 1.1.2 (T n t i nghi m toàn c c) Gi s f (t, x) : R+ ⋅ Rn → Rn hàm liên t c theo t th a mãn u ki n sau: ∃M0, M1 cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn, ∃M2 cho f (t, x1) − f (t, x2) ≤ M2 x1 − x2 , ∀t ∈ R+, x ∈ Rn Khi h (1.1) ln t n t i nghi m nh t [0; +∞) Đ i v i h n tính x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, ˙ x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.2) A ma tr n h ng s , g(t) : [0; ∞) → Rn hàm kh tích h (1.2) ln có nghi m nh t cho b i cơng th c Cauchy sau: x(t) = e A (t−t0 t ) x 0+ t0 eA(t−t0)g(s)d(s) Đ i v i không d ng x(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, ˙ x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.3) A(t) hàm đo đư c ho c liên t c theo t ||A(t)|| ≤ m(t), v i m(t) hàm kh tích g(t) hàm kh tích h ( 1.3) có nghi m nh t Tuy nhiên, nghi m c a h không bi u di n theo công th c Cauchy h n tính mà thơng qua ma tr n nghi m b n Φ(t, s) c a h thu n nh t x(t) = A(t)x(t), ˙ (1.4) nghi m c a h (1.3) đư c cho b i t x(t) = Φ(t, t0)x0 + Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5) t0 Φ(t, s) ma tr n nghi m b n c a h (1.4) th a mãn h phương trình ma tr n d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, dt Φ(t, t) = I 1.2 (1.6) Lý thuy t n đ nh Lyapunov Trong ph n này, lu n văn trình bày m t s khái ni m, đ nh lý b n v tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính phi n, nghiên c u v tính n đ nh c a chúng b ng phương pháp hàm Lyapunov đ ng th i đưa m t s tiêu chu n đánh giá tính n đ nh c a h n tính 1.2.1 Các khái ni m v n đ nh Xét m t h th ng mô t b i phương trình vi phân x = f (t, x(t)), t ≥ 0, ˙ x(t0) = x0, x ∈ Rn, t0 ≥ 0, x(t) ∈ Rn véctơ tr ng thái c a h f (t, x(t)) : R+ ⋅ Rn → Rn Gi s hàm f (t, x(t)) hàm th a mãn u ki n cho nghi m c a toán Cauchy (1.7) v i u ki n ban đ u x(t0) = x0, t0 ≥ ln có nghi m Khi d ng tích phân c a nghi m đư c cho b i công th c t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Đ nh nghĩa 1.2.1 Nghi m không c a h (1.7) đư c g i n đ nh n u v i m i s ε > 0, t0 ≥ 0, t n t i δ = δ(t0, ε) > cho x(t0) = x0 th a mãn ||x0|| < δ ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 Đ nh nghĩa 1.2.2 Nghi m không c a h (1.7) đư c g i n đ nh ti m c n n u n đ nh t n t i m t s δ > cho ||x0|| < δ lim ||x(t)|| = t→∞ (1.7) Đ nh nghĩa 1.2.3 Nghi m không c a h (1.7) đư c g i n đ nh mũ n u t n t i h ng s α > 0, K > cho m i nghi m c a h (1.7) v i x(t0) = x0 th a mãn ||x(t)|| ≤ K.e − ) α(t−t0 ||x ||, ∀t ≥ t0 Đ ng n g n thay nói h (1.7) n đ nh ta nói nghi m c a h n đ nh Ví d 1.2.1 Xét tính n đ nh c a phương trình vi phân x(t) = ax(t), ˙ t ≥ 0, v i x(t0) = x0 Ta có nghi m x(t) c a phương trình cho b i x(t) = eatx0, t ≥ N u a < h cho n đ nh ti m c n n đ nh mũ N u a = h n đ nh 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Trong ph n này, đ i v i h không gian th c s nghiên c u tính n đ nh c a chúng b ng phương phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp th Lyapunov) m t phương pháp đư c áp d ng nhi u vi c nghiên c u đ nh tính h phương trình vi phân nh t h phi n Xét h phương trình vi phân phi n d ng x(t) = f (x(t)), ˙ f (0) = 0, t ∈ R+ Xét hàm s V (x) : Rn → R đư c g i xác đ nh dương n u a) V (x) ≥ v i m i x ∈ Rn b) V (x) = ch x = Đ nh nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D lân c n m tùy ý c a 0, g i hàm Lyapunov c a h (1.8) n u (1.8) T T A P+PA+PBB P+I+P = 40  −4   −3 < V y h cho n đ nh hóa đư c v i u n  −2 u(t) = − Sau m t s    −1 x(t) ng d ng d a k t qu thu đư c v tính n đ nh b ng cách s d ng phương pháp hàm Lyapunov Xét toán n đ nh hóa h x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, ˙ (2.27) x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, f (t, x(t)u(t)) : R+ ⋅ Rn ⋅ Rm → Rn D a k t qu v tính n đ nh t đ nh lý 2.1.4 ta thu đư c u ki n đ cho tính n đ nh mũ c a h u n phi n (2.27) sau Đ nh lý 2.2.2 Gi s t n t i hàm h(x) : Rn → Rm, h(0) = v i h(x) liên t c theo bi n x cho v i h (2.27) ta có th ch n đư c hàm t a Lyapunov th a mãn (2.9a) (2.9b), h đóng u n phi n x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), ˙ t ≥ h(x) : Rn → Rm n đ nh mũ v i u n ngư c u(t) = h(x(t)) B ng cách s d ng hàm t a Lyapunov suy r ng ta thu đư c k t qu v tính n đ nh mũ c a h x = f (t, x(t)), ˙ t ≥ Áp d ng k t qu thu đư c t đ nh lý 2.1.5 ta có đ nh lý sau: Đ nh lý 2.2.3 Gi s t n t i hàm h(x) : Rn → Rm v i h(0) = h(x) liên t c theo x cho h (2.27) ta có th ch n đư c hàm t a Lyapunov suy r ng th a mãn (2.16a) (2.16b), h u n đóng x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), ˙ t ≥ 0, h(x) : Rn → Rm n đ nh mũ v i hàm u n ngư c u(t) = h(x(t)) 41 K t Lu n Trong lu n văn tơi trình bày l i m t cách có h th ng v vi c nghiên c u tính n đ nh nghi m c a h phương trình vi phân phi n v i th i gian liên t c b ng phương pháp s mũ đ c trưng Lyapunov cho m t s d ng phương trình đ c bi t phương pháp hàm Lyapunov, m r ng đ i v i hàm t a Lyapunov, t a Lyapunov suy r ng v n d ng k t qu gi i tốn n đ nh hóa Ngồi ph n đ c hi u, tơi có đóng góp vi c ch ng minh chi ti t đ nh lý v tính n đ nh c a h phương trình vi phân phi n xây d ng m t s ví d m i minh h a 42 Tài li u tham kh o [1] Vũ Ng c Phát, Nh p mơn lý thuy t u n tốn h c Nhà xu t b n Đ i h c Qu c gia Hà N i, Hà N i, 2001 [2] Nguy n Th Hoàn, Ph m Phu, Cơ s phương trình vi phân lí thuy t n đ nh Nhà xu t b n giáo d c, 2003 [3] N M Linh, V N Phát, Exponential stability of nonlinear time- varying differential equations and applications Electronic Journal of Differential Equations, 2001(2001), No 34, pp 1-13 [4] N P Bhatia, G P Szego, Stability Theory of Dynamical Systems ˝ Springer, Boston, 2002 [5] N Rouche, P Habets, M Laloy, Stability Theory by Lyapunov's Direct Method Springer, New York, 1977 [6] L Boyd, El Ghaaui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory SIAM, Philadelphia, 1994 [7] Lien C H., Global exponential stabilization for Several classes of uncertain nonlinear systems with time - varying delay Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 4(1)(2004) 15-30 [8] Lee E and Markus L., Foundation of Optimal Control Theory John Wiley, New York, 1967 43 ... 11 Bài toán n đ nh hóa 18 n đ nh h phương trình vi phân phi n ng d ng 22 2.1 n đ nh h phương trình vi phân phi n 23 2.2 n đ nh hóa h phương trình u n phi n ... b ng phương phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp th Lyapunov) m t phương pháp đư c áp d ng nhi u vi c nghiên c u đ nh tính h phương trình vi phân nh t h phi n Xét h phương trình vi phân phi n... t qu vào gi i quy t tốn n đ nh hóa h phương trình u n phi n N i dung chương đư c trình bày d a tài li u ([1], [3], [4]) 22 2.1 n đ nh h phương trình vi phân phi n Xét h phương trình vi phân t