Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Cơ sở lí luận: Bài toán tìm GTLN, GTNN dạng toán nâng cao phổ biến chương trình THCS Để giải toán dạng đòi hỏi HS phải nghiên cứu làm nhiều lần làm quen Cơ sở thực tiễn: Thực tế gặp toán tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối hướng giải Mặc dù có nhiều tài liệu viết chủ đề thấy phần kiến thức cần phải nghiên cứu nhiều Chính lẽ chọn đề tài : “Một số dạng toán tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số” II Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Môn Đại Số lớp 8; lớp III Mục đích nghiên cứu: Giúp HS giải toán “Tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số” IV Điểm kết nghiên cứu: Bài toán “Tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số” nhiều tài liệu đề cập đến kiến thức phần đề tài chưa cụ thể Điểm đề tài đưa kiến thức vào trước phát triển để nâng cao tập khó làm rõ sai lầm hay mắc phải HS Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -1- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN II: NỘI DUNG I LÍ THUYẾT: Cho biểu thức f(x,y,…) Ta nói a giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x,y, ) kí hiệu Max f(x,y,…) = a đồng thời có điều kiện sau thõa mãn : - Với x, y,… để f(x, y,…) xác định : f(x,y,…)  a ( a số) - Tồn x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = a Cho biểu thức f(x,y,…) Ta nói b giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y, )kí hiệu Min f(x,y,…) = b đồng thời có điều kiện sau thõa mãn : - Với x, y,… để f(x, y,…) xác định : f(x,y,…)  b ( b số) - Tồn x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = b * Chú ý : Nếu xảy điều kiện không kết luận GTNN hay GTLN Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -2- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN : Dạng 1: Tìm GTNN (GTLN) tam thức bậc hai A Lí thuyết: Xét tam thức bậc hai A = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó: A = ax2 + bx + c = a(x2 + với k = c - b2 b2 b b b x)+ c = a(x2 + 2x + ) +(c ) = a(x + ) +k 4a a 2a 4a 2a b2 4a b )  nên : 2a b b - Nếu a >  a(x + )   A  k Khi đó: Min A = k x = 2a 2a b b - Nếu a <  a(x + )   A  k Khi đó: Max A = k x = 2a 2a Vì (x + B Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x2 + 2 x + (Đề thi KSCL Học kì I năm học 2010 - 2011 Môn Toán Huyện Cẩm Xuyên) HD: A = 2(x2 + 2 2 x + ) + = 2(x + ) +2 2 2 )  với x nên A  với x 2 Do Min A = x = Vì 2(x + * Tuy nhiên VD ta biến đổi sau: A = 2x2 + 2 x + = ( x )2 + 2 x + + = ( x + 1)2 +  Do Min A = x = - - Từ VD ta phát triển thêm tập khác tìm GTLN sau: Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức: B = - 2x2 + 2 x + HD: B = - 2x2 + 2 x + = - 2(x2 - Vì - 2(x - 2 ) 2 2 x + ) + = - 2(x ) +4 2  với x Do B  với x Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -3- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Do MaxB = x = 2 *Ở dạng cần lưu ý cho HS phải biến đổi A(x)  k A(x)  k ( k số) Tránh sai sót: biến đổi A(x)  B(x) A(x)  B(x) kết luận Ví dụ: Tìm GTNN A = x2 + Bài giải sai: Ta có: (x - 1)2  với x 2  x - 2x +   x +  2x Rồi kết luận Min A = 2x C.Bài tập: Tìm GTNN biểu thức: a , A = 5x2 - 3x + 2; b, B = 2x2 - 3x + c, C = x(x - 3) d, D = 7x2 + 3x + y e, E = x  xy  x   2012 với x  0; y  HD: Đặt x  a; y  b (với a > 0; b > 0) ta có : b2 b E = 2a - ab - 2a + + 2012 = ……….= a  12   a    2011  2011 2  …………………… x  y  Min E = 2011   f, F = x  xy  y  x  2013,5 với x  0; y  HD : Cách giải giống e   x  ĐS : Min F = 2012   y   Tìm GTLN biểu thức: a, A = - x2 + 3x b, B = - 3x2 - 4x - c, C = - (x - 2)2 - (2x - 1)2 d, D = + 5x - x2 e, E = - 5x2 - y2 - 4xy + 2x HD: E = - ( 2x + y)2 - ( x - 1)2  f, F = 2( x  + 1) - (x - 1)2 (Đề thi HSG Toán Huyện Thạch Hà năm học 2001 - 2002) Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -4- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số HD: Đặt x  = y ta có: y2 = x  = (x - 1)2 Khi : A = 2(y + 1) - y2 Bài toán đưa dạng Dạng 2:Tìm GTNN (GTLN) đa thức bậc cao: Phương pháp: Biến đổi đa thức dạng tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm GTNN f(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + ( Đề thi KSCL GV năm học 2009 - 2010 Huyện Cẩm Xuyên) HD: - Trường hợp 1: Nếu x =  f(x) = - Trường hợp 2: Nếu x  , chia vế cho x2 ta được: f ( x) 1 1 = x2 - 2x + - + = (x2 + + ) - 2( x + ) + x x x x x 2 1 =  x   - 2( x + ) + =  x   1 x x x    2   x2 1 x  1 3   = x  x  =  x        = x 16 2  4    Vậy Min f(x) = x = 16 2    f(x) = x  x   1 = x x   2   *Lưu ý: - Tránh sai sót : Khi ta biến đổi f(x) = x  x  1 ta kết luận: Vì x  x  1  với x nên Min f(x) = 0(Bài giải sai.Vì dấu “ = ” không xảy ra) * Có ta cần đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ 2: Tìm GTNN A = x(x - 2)(x - 3)(x - 5) HD: A = x(x - 5)(x - 2)(x - 3) = ( x2 - 5x)( x - 5x + 6) Đặt y = x2 - 5x +3 ta có: A = ( y- 3)(y + 3) = y2 -  - Min A = -  y =  x2 - 5x +3 =  x1 =  13  13 ; x2 = 2 Bài tập: Tìm GTNN biểu thức sau: a , A = x4 - 6x3 + 8x2 - 6x + b, B = x( x - 2)(x - 5)( x- 7) c, C = (x2 + x + 1)2 Dạng 3: Tìm GTNN( GTLN) biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: A Lí thuyết: Với A biểu thức tùy ý, ta có:  A neá uA0 A  uA0 A neá Một số ý: A  B  B  A với A, B A  B  A  B dấu “ = ” xảy  A.B  A B  A  B dấu “ = ” xảy  A.B  Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -5- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số A  B  A  B dấu “ = ” xảy  A  B  A  B  A  B  A  B dấu “ = ” xảy  A.B  A  B  A  B dấu “ = ” xảy  A.B  A  A với A, dấu “ = ” xảy  A  A  A với A A  với A.dấu “ = ” xảy  A = - A  A  A với A dấu “ = ” xảy  A = B Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = 3x  - HD: Ta có: 3x   với x  3x  -  - với x Vậy MinA = -  3x - = hay x = Từ tập ta cho HS tập 2: Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức : a, B = - 3x  HD: Ta có: 3x   với x  - 3x   với x  - 3x   Vậy Max B =  3x - = hay x = Ví dụ 3: Tìm GTLN C = x2 x với x  0; x  Z HD: Vì x  Z nên : - Với x  -  x +   C  - Với x = -1  C = -1 - Với x   C = C lớn x2 x2 = = 1+ x x x lớn x  x nhỏ Mà x  nên x nhỏ x = C =3 Vậy Max C = x = Ví dụ 4: Tìm GTNN A = 2x  2001 + 2004 2x (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2003- 2004) HD: C/1: Áp dụng kiến thức: A  B  A  B dấu “ = ” xảy  A.B  Ta có: A = 2x  2001 + 2004 2x  2x  2001 2004  2x = = dấu “ = ” xảy  (2x - 2001)(2004 - 2x)   Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm 2001  x  1002 -6- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Vậy MinA = 2001  x  1002 C/2: (Dùng phương pháp xét khoảng) 2001 x 1002 2x - 2001 2004 - 2x + + + + - 2001 ta có: A = 2001 - 2x + 2004 - 2x = 4005 - 4x 2001 Vì x <  4x < 4002  4005 - 4x > 4005 - 4002 = hay A > 2001 - Với  x  1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2004 - 2x = - Với x < - Với x > 1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2x - 2004 = 4x - 4005 Vì x > 1002  4x > 4008  4x - 4005 > 4008 -4005 = hay A > Do Min A =  2001  x  1002 * Nếu toán có từ hạng tử trở lên có chứa giá trị tuyệt đối ta dùng cách giải * Chú ý: Có nhiều toán ta cần sử dụng kiến thức: A  B  B  A Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức : f(x) = x  x  + x  x  (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011) HD: Đk: x  ta có : f(x) = ( x  1)  x   + ( x  1)  x   = x   + x   = x 1 1 + 1 x 1 Đến ta giải tương tự VD Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức A = x   x  HD: A = x   x   ( x  1)  ( x  5) = dấu “ = ” xảy  (x - 1)(x - 5)   x  x  C Bài tập : 1.Tìm GTNN biểu thức sau : a , A = 3x   b, B =  4x  c, C = x2 + y  - d, D = x + x Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -7- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số e , E = 2x  + x  ; f, F = x  1002 + x  1000 h, H = x  + x  + x  i, I = x 3 với x  Z k, K = x  x  + x  x  l, L = x   x   x  m, M = x   x   x  + x  Từ tập tìm GTNN trên, ta thay đổi dấu số hạng tử để toán tìm GTLN Tìm GTLN biểu thức sau : a , A = - 3x  x2 3 b, B = HD: x   với x  x     Vậy Max B = 1  x2 3  x=2 c, C = x - x d , D = 2x  - x  HD: Áp dụng kiến thức: A  B  A  B dấu “ = ” xảy  A  B  A  B  e, E = x   x  Dạng 4: Dạng phân thức: 1.Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ 1: Tìm GTLN A = x  2x  (1) HD: C/1: Từ (1)  Ax2 + 2Ax + 3A - = 0(*) Để tồn giá trị lớn A pt (*) (ẩn x) phải có nghiệm Tức là: / = A - A(3A - 1)    A  Vậy Max A = x = -1 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -8- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Vì (x + 1)2  với x nên (x + 1)2 +  >  ( x  1)  1  ( x  1)  2 Dấu “=” xảy x +1 =  x = - 1.Do Max A = x = - C/2: A = * Lưu ý: - Ta không lập luận : Phân thức có tử không đổi nên biểu thức đạt giá trị lớn mẫu bé mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương - Khi áp dụng tính chất: a  b 1  cần nhớ tới điều kiện a, b dấu a b * Bài tập: x  4x  b, B  x  6x  15 1.Tìm GTLN : a, A  2.Phân thức có tử nhị thức bậc nhất, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P = 2x  x2  (Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2006 - 2007) HD: C/1: Ta có: P = 2x   Px - 2x + 6P - = x 6 (*) Để P tồn GTLN,GTNN phương trình (*)(ẩn x) phải có nghiệm Tức : /   - 6P2 + P +   6P2 - P -   …  1 P 2x  1 ta có : = x=2 2 x 6 1 2x  1 Với P = ta có : = x= -3 3 x 6 1 Vậy Max P = x = ; Min P = x = - 3 Với P = C/2 :      x   x  4x  x2  x  4x  2(2 x  1) 2x  1  x  2 P= = = = =  2 2 2( x  6) 2( x  6) x 6 x 6 2( x  6) 2( x  6) Vì  x  2 2( x  6)  với x nên P  Vậy Max P =  x = 2 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -9- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Ta lại có : P = 3(2 x  1) (6 x  3)  ( x  6)  ( x  x  9) 2x  = = = 3( x  6) 3( x  6) x2  3( x  6)  ( x  6) x  x  ( x  3) ( x  3) 1 1 + = + Vì  với x nên P  2 2 3 3( x  6) 3( x  6) 3( x  6) 3( x  6) 1 Vậy Min P = x = - 3 = * Bài tập: Tìm GTNN, GTLN biểu thức: a, A = 4x  x2 1 (Đề thi HSG Toán Huyện Kì Anh năm học 2003 - 2004) HD: Cách làm C/2 VD  3x ; 4x  13  12 x c, C = x 4 b, B = 3.Phân thức có tử mẫu tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm GTNN A = 3x  x  x  2x  HD: C/ 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu: A= 3x  x  3( x  x  1)  2( x  1)  = = 3 + 2 ( x  1) x  2x  x 1 ( x  1) 2  =   + 2  x 1 11 Vậy Min A = 11  11 11 1   =   +    + + 4 4  x 1  x 1  1 = x=-5 x 1 C/2: Ta đổi biến HD : Ta thấy A = x  x  3x  x  = x  2x  x  12 Đặt y = 1 Khi : x = - y x 1  1   4y2  2y  1 11   (  )    y = ………….= = 4 y  y    A =     16  y  y    y 1 11 11 =  y    Dấu “=” xảy y =  x = - - = -  4 4  11 Vậy Min A = x = - C/3: Dùng công thức nghiệm để giải Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -10- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số * Ngoài với tập dạng ta viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm Chú ý: Tất dạng có chung phương pháp dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để giải ( VD ) với cách giải ta tìm GTLN GTNN biểu thức * Bài tập: 1.Tìm GTNN biểu thức: x2  y2 ; x  xy  y x b, B = x  10 x  25 x2  x  c, C  x  2x  x  x  17 d, D   x  1 a, A = e, E  x  x  34 x 3 Tìm GTNN GTLN của: a, A  x2 x2  5x  x b, B = HD: B = x  x 1 x với x  1   x   2  - Với x = ta có B = - Với x > Ta có : B =  1  1 x x  1      x 2 Vì tử mẫu dương tử số nên B  Dấu “=” xảy Vậy Max B = x   3 x=4 x4 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -11- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Min B =  x = Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN đa thức hai biến quan hệ ràng buộc biến: * Phương pháp giải: C/1( Thường sử dụng): Biến đổi đa thức f(x,y) thành tổng số không âm tổng số không dương số Tức là: f(x,y) = g ( x, y )2  k f(x,y) = - g ( x, y )2  m C/2: Sử dụng tính chất có nghiệm tam thức bậc hai để đánh giá ẩn Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Biết x + y = HD: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = … = x2 + y2 Đến ta có cách giải : C/1 : Sử dụng điều kiện cho để làm xuất biểu thức có chứa A Vì x + y = nên x2 +2xy + y2 = Ta lại có : (x - y)2 = x2 - 2xy + y2  Do 2(x2 + y2)   x2 + y2  Vậy Min A =  x = y = 2 C/2 : Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = - x vào A ta tam thức bậc hai x Từ giải tiếp dạng C/3 : Sử dụng điều kiện có nghiệm để đổi biến Đặt x = + a ; y = - a Khi : x2 + y2 = + 2a2  2 Vậy Min A =  a =  x = y = 2 2 Bài tập : Cho số thực x, y thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 8(x + y) + = 0(1) Tìm Max, Min S = x + y (Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà Tĩnh) HD: C/1: Từ S = x + y  y = S - x Thay vào (1) ta được: x2 + 2(S - x)2 + 2x (S - x) + 8S + = 2 (2)  x - 2Sx + 2S + 8S + = ( Phương trình bậc hai ẩn x) / = - S - 8S - Để tồn Max, Min S pt(2) phải có nghiệm tức /   - S2 - 8S -   S + 8S +   -  S  -  x  y  7  x  7   y  y  Vậy Min S = -   ( Với x + y = - thay vào (1) tính y = 0)  x  y  1  x  1  y  y  Max S = -   C/2: (1)  (x + y)2 + 2(x + y).4 + 16 + y2 = Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -12- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số 2 2  (x + y + 4) + y = Do y  nên (x + y + 4)   -  x + y +   -  x + y  - Đến ta giải tiếp C/1 Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2011 Với giá trị x y M đạt GTNN (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)  y y2 y 3 3  HD : M =  x  x   x      y  y   + 2008 4 2  4 4  y 3 =  x      y  12  2008  2 y Vì  x     ;  y  12  với x, y Do M  2008  2 x  Dấu “ = ” xảy  y  x  y  Vậy Min M = 2008  Cho x2 + 2y2 + 2xy + 4x - y + = (1) Tìm Min S = x+ y 4 Tìm GTNN biểu thức P = 2x2 + y2 - 2xy - 4x + 6y - 5 Tìm x để y lớn thõa mãn : x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y + 13 = 0(1) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010 - 2011) HD : Biến đổi ta : (1)  (x + y - 4)2 + (y + 1)2 =  (y + 1)  ( (x + y - 4)  )  -  y +  Đến ta giải tiếp BT Dạng : Dùng Bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN A.Lí thuyết : Một số BĐT quen thuộc : a , a2 + b2  2ab với a, b Dấu “ = ” xảy a = b a b   Dấu “ = ” xảy a = b b a a b - Với ab < ta có :   2 Dấu “ = ” xảy a = - b b a c, (a + b)2  4ab Từ suy BĐT sau: ab - Nếu a > 0, b > ta có:  ab ab 1   a b ab 1 (a + b)     a b b, - Với ab > ta có : Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -13- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số 11 1     ab 4a b 2.Một số tính chất quen thuộc bất đẳng thức: a, Với a, b, c, d > a > b, c > d a.c > b.d b, Với a > b c > a.c > b.d c, Với a > b c < a.c < b.c d, Với a > b a, b, n > an > bn Ví dụ: Tìm GTNN M = với a > 0; b > 0; a + b =  ab a  b (Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2011 - 2012) HD: M = 1      3   2ab a  b 2ab  2ab a  b  Ta có: (a + b)2  4ab (áp dụng BĐT c)  2ab  a  b 2  ( a + b = 1) 1   Dấu “ = ” xảy a = b = 2ab 1 4     ( a + b = 1) 2 2ab a  b 2ab  a  b a  b 2 Dấu “ = ” xảy a = b = 1    3    3.4 = 14 Dấu “ = ” xảy a = b = M =  2ab  2ab a  b   Vậy Min M = 14 a = b = 2 BĐT Côsi : Cho số không âm a1; a2; ;an ta có: a1 + a2 + + an  n n a1 a2 an Dấu “ = ” xẩy a1 = a2 = = an Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau; + Nếu số không âm có tổng không đổi tích chúng lớn số + Nếu số không âm có tích không đổi tổng chúng nhỏ số *Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A  3x    3x HD: ĐKXĐ: x 3 A2  3x  5  7  3x  3x  57  3x Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 3x - - 3x ta có: Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -14- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số 3x  57  3x  3x    3x  Nên A2    , dấu “=” xảy  3x    3x  x  Vậy MaxA = x = 3x  16 *Ví dụ 2: Cho x > Tìm GTNN biểu thức A  x3 HD: A  16 16 16 3x  16  x   x  x  x   44 x.x.x  4.2  x x x x Dấu “=” xảy x  16 x3  x=2 Vậy minA = x=2 * Ngoài ta áp dụng mệnh đề để làm số tập Ví dụ : Tìm GTNN biểu thức D = HD : D = 1  với x > ; y > x + y = x y 1 x y  = = x y xy xy Vì x + y = (kđ) nên D đạt giá trị nhỏ xy lớn Theo mệnh đề ta có xy lớn x = y Mà x + y =  x = y = 3 Vậy Min D =  * Chú ý : - Ta sử dụng nhiều BĐT toán Ví dụ :Cho x, y số dương thõa mãn : x + y  Tìm GTNN biểu thức : M= 1  (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2012 - 2013) xy x y  1      2 xy  xy x y 1 4 1  Áp dụng BĐT   ta có : 2  = 2 xy x  y  xy ( x  y ) x y a b ab HD : Ta có : M = 1  = 2 xy x y Áp dụng BĐT CôSi cho số dương x, y ta có : 2  xy ( x  y ) Do : M  + =  ( x + y  1) 2 ( x  y) ( x  y) ( x  y) Dấu “ = ” xảy x = y = x + y  xy  (x + y)2  4xy  Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -15- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Chú ý : - Nếu sử dụng nhiều BĐT khác toán ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xẩy dấu hay không Ví dụ :Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = Tìm GTNN 1  1  A =  x+    y   y  x  2 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm x, 1 Ta có: x+  x  (1) x x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm y, 1 Ta có: y+  y  y y y (2) Từ (1) (2) =>A  => Min A = Sai lầm: Đẳng thức (1) xảy Đẳng thức (2) xảy  x  x2  x  y  y  Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) y Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x, y ta có : x+y 1  xy  xy   xy  2 1 Ta có : A = + x +y    +   x y 2 Ta lại có: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  - 1 = (1) 2 (do xy  ) 25 1  2 2   (2) Từ (1) (2) =>A  + +4 = 2 x y x y xy =>Min A = 25 x = y = 2 BĐT BunhiaCop ki : Cho số n ( a1; a2; ;an) (b1 ; b2 ;… ;bn) ta có : (a1 + a22 + +an2)(b12 + b22 + + bn2)  (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 Dấu “ = ” xảy a a1 a    n b1 b2 bn Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -16- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số ( Lưu ý : Nếu bi = = 0) *Ví dụ 1: Cho x  y  10 Tìm GTNN x + y HD: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai số (1;2) ( x; y ) Ta có: 1 x 2 y   1 2   2 x  y   10  5 x  y    x  y   20 y x   x = 4, y = 16 Dấu “=” xảy Vậy Min( x + y) = 20 x = 4, y = 16 Ví dụ : Tìm GTLN A = x  + 10  x (với  x  10 ) HD : Áp dụng BĐT Bunhia Copxki cho số (1 ; 1) ( x  ; 10  x ) ta có : (1 + 1)(x - 2+ 10 - x)  ( x  + 10  x )2 hay A2  16  A  Dấu “ = ” xảy x = Vậy Max A =  x  BĐT Sa- Vac : Cho số a1, a2, ,an b1, b2, ., bn > Ta có : a  a2   an  a a1 a    n  b1 b2 bn b1  b2  . bn a a a Dấu “ = ” xảy    n b1 b2 bn 2 2 Ví dụ : Cho a, b, c số dương thõa mãn : a + b + c  1 1   a  2bc b  2ca c  2ab 1 HD : C/1 : Áp dụng BĐT Sa- vac ta có :    (a  b  c) a  2bc b  2ca c  2ab Do a, b, c > a + b + c  nên < (a + b + c)2    (a  b  c) Tìm GTNN A = Dấu “ = ” xảy a = b = c Vậy Min A =  a = b = c = C/2: Đặt x = a2 + 2bc; y = b2 + 2ca ; z = c2 + 2ab Ta có : x + y + z = (a + b + c)2  1 1 Áp dụng VD BĐT CôSi ta có : (x + y + z)      x y z   Vì < x + y + z  Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -17- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số 1    hay A  Dấu “ = ” xảy x = y = z  a = b = c x y z Vậy Min A =  a = b = c =  Bài tập : 1.Cho x > ; y > thõa mãn : xy = Tìm GTNN biểu thức : A = (x + y + 1)(x2 + y2 ) + x y 2.Cho a > ; b > Tìm GTNN biểu thức: A = a2 b2  b2 a2 3.Cho x2 + y2 = 136 Tìm GTLN B = 3x + 5y HD : Áp dụng BĐT Bunhia- Copxki 4.Cho a > ; b > ; c > Tìm GTNN C = 5.Tìm GTNN M = a b c   bc ca ab x y 2  y x3 với x  3; y  xy 6.Tìm GTLN biểu thức : N = (2 - x)(2x + y)(2 - y) với x , y  0;2 HD : Nhân vế biểu thức với áp dụng mệnh đề Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -18- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN III : KẾT LUẬN I Bài học kinh nghiệm :Trong trình áp dụng đề tài thấy : - Đối với người dạy : Cần kiến thức SGK để từ khai thác, phát triển sâu Khi dạy HS cần làm kĩ dạng cụ thể đặc biệt ý sai lầm HS - Đối với người học : Cần phân tích giả thiết toán để xác định cách làm Tăng cường làm tập, ý nghe giảng Biết khai thác giả thiết phát vấn đề II Kiến nghị : - Đối với cá nhân : Cần nghiên cứu nghiều toán dạng đồng thời tìm phương pháp giải khác cho dạng - Đối với tổ nhà trường : Cần triển khai tổ để đồng nghiệp nghiên cứu phát triển thêm để triển khai cấp cao ( Cấp cụm) Trên dạng toán Tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Với lí mà nêu phần đặt vấn đề, có nhiều cố gắng chắn có nhiều điều thiếu sót, mong góp ý chân thành đồng nghiệp bạn đọc để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -19- .. .Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN II: NỘI DUNG I LÍ THUYẾT: Cho biểu thức f(x,y,…) Ta nói a giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x,y, ) kí hiệu Max f(x,y,…)... C/3: Dùng công thức nghiệm để giải Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -10- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số * Ngoài với tập dạng ta viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm... 6 .Tìm GTLN biểu thức : N = (2 - x)(2x + y)(2 - y) với x , y  0;2 HD : Nhân vế biểu thức với áp dụng mệnh đề Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -18- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số