Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH SƠN MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0) - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH SƠN MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0) - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN PHỤ HY HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy, người tận tình hướng dẫn bảo cho trình làm luận văn Thông qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Toán giải tích Khóa 18 động viên, giúp đỡ hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Phạm Anh Sơn Footer Page of 149 Header Page of 149 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn viết hướng dẫn PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Các thông tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa công bố tạp chí, phương tiện thông tin Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Phạm Anh Sơn Footer Page of 149 Header Page of 149 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach nửa thứ tự 1.1.1 Khái niệm nón không gian Banach 1.1.2 Quan hệ thứ tự không gian Banach 13 1.2 Tính thông ước u0 − chuẩn 13 1.3 Tính u0 - đo khái niệm u0 - chuẩn 15 1.4 Một số nón đặc biệt 19 1.4.1 Nón chuẩn tắc 19 1.4.2 Nón cực trị 25 1.5 Không gian Banach thực nửa thứ tự lp (p > 1) 27 Mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 )lõm quy 32 2.1 Toán tử (K, u0 ) - lõm quy số tính chất sơ cấp 2.1.1 Các định nghĩa 32 32 2.1.2 Một số tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy 33 2.2 Toán tử (K, u0 ) - lõm quy không gian lp (p > 1) 34 2.3 Một mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy 39 Footer Page of 149 Header Page of 149 2.4 Áp dụng 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Footer Page of 149 Header Page of 149 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động phần quan trọng môn giải tích hàm phi tuyến, từ đầu kỷ XIX nhiều nhà toán học giới quan tâm, phát triển sâu rộng trở thành công cụ để giải nhiều toán thực tiễn đặt Năm 1956, nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki M.A nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định Năm 1962, ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón lại Năm 1975, GS TSKH Bakhtin I.A mở rộng kết nghiên cứu công trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, uo ) - lõm, tác dụng không gian Banach thực với nón cố định không gian Banach thực với hai nón cố định chung phần tử khác không Các lớp toán tử nhà toán học Kraxnoxelxki Bakhtin nghiên cứu có tính chất u0 - đo Năm 1987, PGS TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ hướng dẫn tận tình PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy, chọn nghiên cứu đề tài: "Mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, uo )-lõm quy không gian Banach với nón cực trị" Footer Page of 149 Header Page of 149 Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy (không có tính chất u0 - đo được) không gian Banach cách bổ sung điều kiện cho nón: nón cực trị Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu không gian Banach nửa thứ tự, bao gồm: Khái niệm nón, quan hệ thứ tự không gian Banach, tính thông ước u0 - chuẩn, số nón đặc biệt Tìm hiểu nón đặc biệt không gian lp (p > 1) Tìm hiểu toán tử (K, u0 ) - lõm quy tác dụng không gian lp (p > 1) số tính chất sơ cấp Một mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) lõm quy áp dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử (K, u0 ) - lõm quy, điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy không gian Banach nửa thứ tự Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước nước liên quan đến điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy không gian Banach nửa thứ tự Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo liên quan đến điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Đóng góp Trình bày tổng quan không gian Banach nửa thứ tự, toán tử (K, u0 ) - lõm quy (không có tính chất u0 - đo được) tác dụng không gian lp (p > 1), tồn điểm bất động lớp toán tử trên, Footer Page of 149 Header Page of 149 vận dụng lý thuyết tổng quan trình bày vào không gian lp (p > 1) Nội dung Luận văn gồm có chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) lõm quy Footer Page of 149 Header Page 10 of 149 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn trình bày không gian Banach nửa thứ tự số nón đặc biệt Nội dung chương dựa tài liệu tham khảo [1] [2] 1.1 Không gian Banach nửa thứ tự Cho không gian Banach thực E tập khác rỗng K ⊂ E 1.1.1 Khái niệm nón không gian Banach Định nghĩa 1.1 Giả sử E không gian Banach thực K tập khác rỗng không gian E Tập K gọi nón, K thoả mãn điều kiện sau: 1) K tập đóng không gian E ; 2) ∀x, y ∈ K x + y ∈ K ; 3) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R+ tx ∈ K ; 4) ∀x ∈ K\ {θ} −x ∈ / K Định lý 1.1 Nón tập lồi chứa phần tử không không gian Footer Page 10 of 149 Header Page 36 of 149 Định lý 2.2 Nếu A, B toán tử (K, u0 )− lõm quy, A + B toán tử (K, u0 )− lõm quy Chứng minh +) A + B toán tử dương đơn điệu nón K Vì A, B toán tử dương nón K nên (∀x ∈ K) Ax ∈ K, Bx ∈ K ⇒ Ax + Bx ∈ K ⇒ (A + B)x ∈ K ⇒ (A + B)K ⊂ K ⇒ A + B toán tử dương nón K Vì A B toán tử đơn điệu nón K nên: (∀x, y ∈ K : x ≤ y)Ax ≤ Ay, Bx ≤ By ⇒ Ax + Bx ≤ Ay + By ⇒ (A + B)x ≤ (A + B)y ⇒ A + B toán tử đơn điệu nón K +) Ta có (∀x ∈ K\ {θ}) (∀t ∈ (0, 1)) : Atx > tAx, Btx > tBx ⇒ Atx + Btx > tAx + tBx ⇒ (A + B) tx > t (A + B) x +) (∀x, y ∈ K (u0 )) (∀t ∈ (0, 1) : x − ty > θ) , ∃δ1 = δ1 (x, y, t) > để Ax − tAy ≥ δ1 u0 ∃δ2 = δ2 (x, y, t) > để Bx − tBy ≥ δ2 u0 ⇒ Ax − tAy + Bx − tBy ≥ δ1 u0 + δ2 u0 ⇔ (A + B) x − t (A + B) y ≥ (δ1 + δ2 ) u0 = δu0 Vậy (A + B) toán tử (K, u0 )− lõm quy Toán tử (K, u0) - lõm quy không 2.2 gian lp(p > 1) Cho không gian Banach thực lp (p > 1) nửa thứ tự theo nón K xác định công thức K = {x = (x)∞ k=1 ∈ lp : xk ≥ (k = 1, 2, )}, Còn u0 = (uk ) , chọn sau : Footer Page 36 of 149 34 Header Page 37 of 149 I1 = {k ∈ N∗ \ {1} : uk > 0} , I1 = I1 hữu hạn, I2 = {k ∈ N∗ : uk = 0} Xét toán tử A xác định lp (p > 1) sau: ∞ A : x = (xk )∞ k=1 → Ax = (zk )k=1 , ∀x ∈ lp , 0, zk = − xk , xk p với k ∈ I2 với k ∈ I1 Do I1 hữu hạn ∞ ∞ p zk = k=1 k=1 − 3 − = k∈I1 Nên  Ax lp = zk lp − = k∈I1 xk xk p p < +∞  p1  < +∞ Suy ra, Ax ∈ lp Vậy toán tử A : lp → lp Ta chứng minh A toán tử (K, u0 ) − lõm quy *) Chứng minh A toán tử dương đơn điệu nón K +) Chứng minh A toán tử dương ∀x ∈ K, x = (xk )∞ k=1 ∈ lp : xk ≥ (k = 1, 2, ) Với k ∈ I2 , ta có Ax = Với k ∈ I1 , ta có: xk ≤1< ⇒ Ax = − xk Suy ⇒ Ax ∈ K Do A toán tử dương nón K +) Chứng minh A toán tử đơn điệu ∀x, y ∈ K, x = (xk )∞ k=1 ∈ lp : xk ≥ (k = 1, 2, ) y = (yk )∞ k=1 ∈ lp : yk ≥ (k = 1, 2, ) đó, x ≤ y ⇔ xk ≤ yk (∀k ∈ N ∗ ) Footer Page 37 of 149 35 > Header Page 38 of 149 Xét Ax = z = (zk )∞ k=1 , zk = với k ∈ I2 với k ∈ I1 0, xk , − Ay = w = (wk )∞ k=1 , wk = với k ∈ I2 với k ∈ I1 0, yk , − Với k ∈ I2 ta có zk = wk = Với k ∈ I1 ≤ xk ≤ yk ⇒ xk yk ≥ ⇒− xk ≤− nên ta có zk = − 3 xk ≤ − 3 yk = wk Do đó, Ax ≤ Ay ⇒ A toán tử đơn điệu nón K *) Ta có Atx = (zk )∞ k=1 , zk = với k ∈ I2 với k ∈ I1 0, − txk , tAx = (wk )∞ k=1 , wk = 0, t( 43 − xk ), với k ∈ I2 với k ∈ I1 x ∈ K\ {θ} ⇒ ∃k0 : xk0 = Nếu k0 ∈ I2 ⇒ zk0 = wk0 = zk = wk = (k ∈ I2 \ {k0 }), tx x với k ∈ I1 zk = 34 − 31 k , wk = t 43 − 31 k Do k ∈ I1 nên xk ≥ Đặt 4 txk xk f (xk ) = zk − wk = − −t − 3 3 = (1 − t) + t 3 Footer Page 38 of 149 36 xk − txk yk Header Page 39 of 149 Nếu xk = f (xk ) = 43 (1 − t) + t − = 31 (1 − t) > Nếu xk > lấy đạo hàm f (xk ) ta được: f (xk ) = t xk 1 ln − t 3 txk ln = 3 xk txk − t ln Do xk > 0, t ∈ (0, 1) nên xk > txk ⇒ xk < txk ⇒ f (xk ) > ⇒ f (xk ) đồng biến f (xk ) > f (0) = 13 (1 − t) > Vậy Atx > tAx Nếu k0 ∈ I1 xk0 > 0, zk0 = − 3 txk0 =t − 3 , vk = t − 3 , wk0 xk0 zk = wk = (k ∈ I2 ) ; uk = − 3 txk xk (k ∈ I1 \ {k0 }) Chứng minh tương tự trường hợp ta nhận kết quả: zk0 > zk0 , zk > zk (k ∈ I1 \ {k0 }) Do Atx > tAx Vậy (∀x ∈ K\ {θ}) (∀t ∈ (0; 1)) Atx > tAx *) Ta chứng minh ∀x, y ∈ K (u0 ) , ∀t ∈ (0; 1) : x − ty > θ tìm δ = δ (x, y, t) > để Ax − tAy > δu0 Giả sử I1 = {n1 , n2 , , n0 }, (nk ∈ N∗ ) I1 = n1 < n2 < < n0 Khi uk > 0, với k ∈ I1 ,uk = 0với k ∈ I2 = N∗ \I1 dễ dàng chứng minh K (u0 ) = {x = (xk )∞ k=1 ∈ lp : xk > k ∈ I1 , xk = k ∈ I2 } • Trước hết ta tìm điều kiện t để ∀x, y ∈ K (u0 ) , ∀t ∈ (0; 1) : x − ty > θ Footer Page 39 of 149 37 Header Page 40 of 149 +) Với k ∈ I2 ta có uk = xk = yk = ⇒ xk = tyk +) Với k ∈ I1 ta có Khi xk − tyk ≥ (∃k0 ∈ I1 ) xk0 − tyk0 > x − ty > θ ⇔ ⇒0 t < 1, xykk xk0 yk0 = λ ta có xk − tyk > (∀k ∈ I1 ) nên k∈I1 x − ty > θ • Ta chứng minh ∃δ = δ (x, y, t) để Ax − tAy ≥ δu0 Xét biểu thức Ax − tAy sau: Ax − tAy = (vk )∞ k=1 , vk = 0, − với k ∈ I2 xk − t 34 − yk , với k ∈ I1 Với k ∈ I1 xk − tyk > θ ⇒ − 3 xk yk > − (1 − t) + t 3 yk −t − − tyk tyk > −t − 3 yk yk (1 − t) Với k ∈ I2 xk = tyk ⇒ − 3 xk −t − 3 = (1 − t) + t 3 yk = − yk − 3 tyk tyk > −t − (1 − t) Suy ra, ∀k ∈ N ∗ , ta có − 3 xk −t − 3 yk (1 − t) uk ≥ (1 − t) = δuk , max {uk } > k∈N ∗ Footer Page 40 of 149 38 Header Page 41 of 149 với δ = (1−t) max{uk } > Vậy ∀x, y ∈ K (u0 ) , ∀t ∈ (0; 1) : x − ty > θ tồn k∈N ∗ để Ax − tAy ≥ δuk Vậy A toán tử (K, u0 ) − lõm quy 2.3 Một mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0) - lõm quy Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E , toán tử A : E → E,u0 ∈ K\ {θ} Định lý 2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) A toán tử (K, u0 ) lõm quy; 2) Tồn phần tử x0 ∈ K (u0 ) cho x0 ≤ Ax0 , dãy điểm xn = Axn−1 (n = 1, 2, ) bị chặn phần tử z ∈ K (u0 ); 3) K nón chuẩn tắc cực trị Khi toán tử A có điểm bất động K (u0 ) Chứng minh Theo điều kiện 1) 2) dãy điểm xn = Axn−1 (n = 1, 2, ) không giảm theo điều kiện 2) ∃α = α (x0 ) > 0, ∃β = β (u) > cho α.u0 ≤ x0 ≤ xn = Axn−1 ≤ u ≤ βu0 (n = 1, 2, ) Nghĩa dãy (xn )∞ n=1 ⊂ K (u0 ) ⊂ K\ {θ} bị chặn phần tử u theo điều kiện 3) nón K chuẩn tắc nên (∃N > 0) (∀x, y ∈ K\ {θ} : x ≤ y) x ≤ N y ⇒ xn ≤ β u0 (∀n = 1, 2, ) Ta nhận dãy điểm (xn )∞ n=1 ⊂ K (u0 ) không giảm, bị chặn phần tử u0 ∈ K\ {θ} bị chặn theo chuẩn, tồn nhờ tính chất cực trị Footer Page 41 of 149 39 Header Page 42 of 149 ∗ nón K : sup (xn )∞ n=1 = x ∈ K\ {θ} Và hiển nhiên, x0 ≤ xn ≤ x∗ ≤ u0 , ∀n = 1, 2, nên xn ≤ xn+1 = Axn ≤ Ax∗ ,∀n ∈ N∗ Do ∗ sup (xn )∞ n=1 ≤ Ax ⇒ x∗ ≤ Ax∗ (2.1) Từ lập luận suy ra, xn ≥ x0 ≥ αu0 = ⇒ xn − α α βu0 ≥ x∗ (∀n ∈ N ∗ ) β β α ∗ x ≥ θ (∀n ∈ N ∗ ) β Ta xét ánh xạ f :R→E t → f (t) = xn − tx∗ Ta thấy f liên tục nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E nón K tập đóng không gian E , nên tập đóng không gian R với chuẩn thông thường Ta có nhận xét t ∈ f −1 (K) = {t ∈ R : xn − tx∗ ≥ θ} ⇒ t ≤ 1, t > ⇒ xn ≥ tx∗ > x∗ , mâu thuẫn với lập luận xn ≤ x∗ , ∀n ∈ N∗ Đồng thời, α ∈ f −1 (K) β Do tồn (K) ∈ f −1 (K) tn ∈ ( αβ ; 1], ∀n ∈ N ∗ Mặt khác, xn+1 − tn x∗ ≥ xn − tn x∗ ≥ θ,∀n ∈ N∗ Footer Page 42 of 149 40 Header Page 43 of 149 Nên tn+1 ≥ tn , ∀n ∈ N∗ Điều chứng tỏ dãy số thực (tn )∞ n=1 ⊂ (0; 1] không giảm bị chặn Suy tồn lim tn = s ∈ (0; 1] n→∞ Giả sử s < 1, tồn số c = c (x∗ , s) > 0, cho A.s.x∗ ≥ (1 + c) s.Ax∗ Do đó, ∀n ∈ N ∗ : xn+2 = A2 xn ≥ A2 tn x∗ = A2 tn ∗ tn tx > A.s.x∗ ≥ (1 + c) tn x∗ s s ⇒ ∀n ∈ N ∗ : xn+2 ≥ (1 + c) tn x∗ ⇒ tn+2 ≥ (1 + c) tn x∗ , ∀n ∈ N ∗ Đặc biệt, t2k+1 ≥ (1 + c) t2k−1 ≥ ≥ (1 + c)k t1 , t1 ∈ (α.β −1 ; 1], ∀k ∈ N ∗ Suy ra, s = lim tn = lim t2k+1 = +∞, Mâu thuẫn với điều giả sử s < n→∞ k→∞ Nên s = Mặt khác tn A.x∗ < Atn x∗ ≤ A.xn = xn+1 ≤ x∗ , ∀n ∈ N ∗ (2.2) Cho n → +∞ hệ thức ta A.x∗ ≤ x∗ (2.3) Từ (2.1) (2.3) ta có: A.x∗ = x∗ Vậy toán tử A có điểm bất động K (u0 ) Định lý 2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) A toán tử (K, u0 ) − lõm quy; 2) Tồn phần tử y0 ∈ K (u0 ) cho y0 ≤ Ay0 dãy điểm yn = Ayn−1 (n = 1, 2, ) bị chặn phần tử w ∈ K (u0 ); 3) K nón chuẩn tắc cực trị Khi toán tử A có điểm bất động K (u0 ) Footer Page 43 of 149 41 Header Page 44 of 149 Chứng minh Theo điều kiện 1) 2) dãy điểm yn = Ayn−1 (n = 1, 2, ) không tăng theo điều kiện 2) ∃λ = λ (x0 ) > 0, ∃µ = µ (v) > cho λ.u0 ≥ y0 ≥ yn = Ayn−1 ≥ v ≥ µu0 (n = 1, 2, ) Nên dãy (yn )∞ n=1 ⊂ K (u0 ) ⊂ K\ {θ} bị chặn phần tử v (hay µu0 ) Theo điều kiện 3) nón K chuẩn tắc nên (∃N > 0) (∀x, y ∈ K\ {θ} : x ≤ y) x ≤ N y Ta nhận dãy điểm (yn )∞ n=1 ⊂ K (u0 ), không tăng, bị chặn phần tử u0 ∈ K\ {θ} bị chặn theo chuẩn, tồn nhờ tính chất cực trị ∗ nón K : inf (yn )∞ n=1 = y ∈ K\ {θ} Và hiển nhiên, λu0 ≥ y0 ≥ y ∗ ≥ v ≥ µu0 , yn ≥ y ∗ , (∀n ∈ N ∗ ) Nên, yn ≥ yn+1 = Ayn ≥ Ay ∗ ,∀n ∈ N∗ Do đó, y ∗ ≥ Ay ∗ (2.4) Từ lập luận suy ra, yn ≤ y0 ≤ λu0 = λ λ µu0 ≤ y ∗ , (∀n ∈ N ∗ ) µ µ λ ⇒ yn − y ∗ ≤ θ, (∀n ∈ N ∗ ) µ Ta xét ánh xạ f :R→E t → f (t) = yn − ty ∗ Ta thấy f liên tục nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E nón K tập đóng không gian E , nên f −1 (K) tập đóng không gian R với chuẩn thông thường, f −1 (K) bị chặn Footer Page 44 of 149 42 Header Page 45 of 149 nên ta có tn ≥ 1, ∀n ∈ N ∗ Vì yn+1 − tn+1 y ∗ ≤ yn − tn y ∗ ≤ θ, ∀n ∈ N ∗ Nên tn+1 ≤ tn , ∀n ∈ N ∗ , dãy số thực (tn )∞ n=1 không tăng bị chặn Suy ra, tồn lim tn = tvàt ≥ n→∞ Giả sử t > 1, đó, tn+1 ≥ tn ≥ ≥ t ≥ Ta có, yn+1 1+c tn Atn y ∗ y ∗ ≥ Ay ∗ = A y ∗ ≥ tn tn tn ∗ ⇒ Atn y ∗ ≤ y , 1+c tn ∗ t ∗ = Ayn ≤ Atn y ∗ ≤ y ⇒ tn+1 ≤ y 1+c 1+c Suy ra, tn ≤ t1 tn−1 ≤ ≤ 1+c (1 + c)n Do đó, t = lim tn = n→∞ Điều mâu thuẫn với điều giả sử dãy số (tn )∞ n=1 t = Mặt khác, tn Ay ∗ ≥ Atn y ∗ ≥ Ayn = yn+1 ≥ y ∗ , ∀n ∈ N ∗ (2.5) Cho n → ∞, hệ thức ta Ay ∗ ≥ y ∗ Từ (2.5) (2.6) ta có: A.y ∗ = y ∗ Vậy toán tử A có điểm bất động K (u0 ) Footer Page 45 of 149 43 (2.6) Header Page 46 of 149 2.4 Áp dụng Xét toán tử lõm quy A mục 2.2 đây: ∞ A : x = (xk )∞ k=1 → Ax = (zk )k=1 , zk = 0, − xk , với k ∈ I2 với k ∈ I1 Ta chứng tỏ toán tử A thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3 Thật vậy: • Trong mục 2.2 ta chứng tỏ A toán tử lõm quy; • Trong mục 1.5 (định lý 1.16) chứng minh nón K chọn nón cực trị • Với u0 = (u1 , u2 , )(đã chọn mục 2.2) ta có K (u0 ) = {x = (x)∞ k=1 : xn > 0, n ∈ I1 ; xn = 0, n ∈ I2 , x1 ≥ x2 } Ta xét trường hợp u0 = (uk )∞ k=1 = ( , 0, un1 , 0, 0, ) với un1 = 2, uk = (∀k = n1 ) x0 = (xn )∞ n=1 = ( , 0, xn1 , 0, 0, ) , xn1 = Ta có I1 = {1} , I2 = N\ {1} ; Ax0 = (wn ) = w, Trong đó,wn1 = 0, ∀n ∈ N∗ \ {1} ,w1 = − < = x n1 Ta có I1 = {1} , I2 = N\ {1} ; Ax0 = x(1) = x(1) = (wn ) = w, n Trong đó, wn = 0, ∀n ∈ N∗ \ {1} , w1 = − 3 < = x1 Do đó, x0 > Ax0 Footer Page 46 of 149 44 Header Page 47 of 149 dãy xn = Axn−1 xn−1 = − , n = 2, 3, dãy giảm bị chặn dưới, tồn giới hạn lim xn = t n→∞ Trong t nghiệm phương trình f (t) = t + t − = Phương trình có nghiệm đoạn [0, 2] f (0) f (2) < Do đó, dãy {xn } bị chặn phần tử u = (t, 0, 0, ) ∈ K (u0 ) Như tất điều kiện Định lý 2.3 thỏa mãn Vậy toán tử A có điểm bất động khác không không gian lp (p > 1) Footer Page 47 of 149 45 Header Page 48 of 149 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: * Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, giới thiệu số nón chứng minh tính chất chúng; * Giới thiệu toán tử (K, u0 ) - lõm quy không Banach tổng quát không gian lp với p > 1, chứng minh số tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy * Mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy (không có tính chất u0 đo được) không gian Banach cách bổ sung điều kiện cho nón, nón cực trị Do lực nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, xếp trình bày kết theo mục đích luận văn đề Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Footer Page 48 of 149 46 Header Page 49 of 149 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các điểm bất động toán tử lõm quy, Tạp chí toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số 1, trang 27-32 [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các véc tơ riêng toán tử lóm quy, Tạp chí toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số 1, trang 17-23 [3] Nguyễn Phụ Hy (2002), Sự phụ thuộc liên tục véc tơ riêng giá trị riêng lớp toán tử phi tuyến, Thông báo khoa học trường đại học, tập Toán-Tin, trang 62-64 [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012 trang 157-167 [6] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các véc tơ riêng dương toán tử (K, u0 )lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHP Hà Nội 2, số 24/2013 trang 118-127 Footer Page 49 of 149 47 Header Page 50 of 149 Tài liệu tiếng Nga [7] Bakhtin I.A (1959), Về phương trình tuyến tính với toán tử lõm lõm đều, Liên Xô (cũ), T.126, số 1, trang 9-12 [8] Bakhtin I.A (1984), Các nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm, Voronegio [9] Kraxnoxelxki M.A (1962), Các nghiệm dương phương trình toán tử, NXB Toán-Lý, Moskva Footer Page 50 of 149 48 ... ANH SƠN MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0) - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... số tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm quy 33 2.2 Toán tử (K, u0 ) - lõm quy không gian lp (p > 1) 34 2.3 Một mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) - lõm quy 39 Footer... tài: "Mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử (K, uo ) -lõm quy không gian Banach với nón cực trị" Footer Page of 149 Header Page of 149 Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định