TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 BÀI TOÁN THỰC TIỄN Chủ đề CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH Câu 1: (Chuyên Thái Bình) Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích toàn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích toàn phần hộp sữa bé hai phương án A B V 2 V C 3 6V D 3 2V Hướng dẫn giải Chọn D h h R b Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ V 2V , Stp  2 R  2 Rh  2 R  R R V V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2 R , , R R V V V V Ta có S  2 R    3 2 R  3 2 V (*) R R R R Thể tích không đổi V   R h  h  Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích không đổi V V V V V  V  abh  h  ; Stp  2ab   a  b  h  2ab  2a  2b   ab    ab ab ab b a  V V Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ab; ; a b V V Ta có S  2.3 ab  V (**) a b Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ Vậy diện tích toàn phần hộp sữa bé Stp  3 2V (đvdt) a TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Câu 2: (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15cm , đường kính đáy 6cm , lượng nước ban đầu cốc cao 10cm Thả vào cốc nước viên bi hình cầu có đường kính 2cm Hỏi sau thả viên bi, mực nước cốc cách miệng cốc cm ? (Kết làm tròn sau dấu phẩy chữ số) A 4,81cm B 4, 25cm C 4, 26cm D 3,52cm Hướng dẫn giải Chọn C r 3 Vcoc nuoc   r h   15.32  135 Thể tích V1 cốc nước sau thả viên bi : 290 V1   10.32   13  3 290 115  3 Gọi h1 khoảng cách từ mực nước cốc đến miệng cốc 115 115  32.h1   h1   4, 26cm 27 Câu 3: (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Một bồn hình trụ chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều Thể tích phần trống : V2  V  V1  135  dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại bồn (theo đơn vị m ) 0,5m 0,5m A 12, 637m3 B 114,923m3 C 11, 781m3 Hướng dẫn giải Chọn A C B A H O Nhận xét OH  CH  0,5  R OB  suy OHB là tam giác nửa đều 22   60    HOB AOB  120 D 8,307m3 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S   R   3 OB 3 Mặt khác: S AOB  S HOB  S BOC  ( BOC đều)  4 Vậy diện tích hình viên phân cung AB là   1 3 Suy thể tích dầu được rút ra: V1  5.     3 Thể tích dầu ban đầu: V  5. 12  5 Vậy thể tích còn lại: V2  V  V1  12, 637 m3 Câu 4: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG) Từ miếng tôn hình vuông cạnh dm , người ta cắt hình quạt tâm O bán kính OA  dm (xem hình) để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) Chiều cao phễu có số đo gần (làm tròn đến chữ số thập phân) A 3,872 dm B 3,874 dm C 3,871 dm D 3,873 dm Hướng dẫn giải: O Chọn D Ta có cung AB có độ dài   2 Dựa vào đề ta thấy tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh OA Để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) chu vi C đường tròn đáy độ dài cung AB 2 2 Khi bán kính đáy C  2 R  R   2 Xét tam giác OIA vuông I có OA  dm , IA  R  dm h  OI OI  OA2  IA2  42  12  15  OI  15  3,873 Vậy h  3,873 dm dm h A B I TUYỂN TẬP: TOÁNSVẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Câu 5: (QUỐC HỌC HUẾ) Người ta dựng lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H  hình lục c6 giác cạnh m Chiều cao SO  m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên  H  sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 1m c1 c2 c3 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H  với mặt phẳng  P  vuông góc với SO c5 c4 O 3m lục giác  P  qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần không gian nằm bên lều  H  A 135 ( m3 ) B 96 3 ( m ) C 135 3 ( m ) D 135 3 ( m ) Hướng dẫn giải Chọn D Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A  0;  , B 1;3 , C  3;0  nên có A  0;  x  x6 2 Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” BM Nếu ta đặt t  OM BM   2t  (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “  ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” phương trình y  B 1;3 C  3;0  BM 3  1 S  t      2t   với t   0; 6 2 4 6 37 1 135 Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: V   S  t  dt     2t   dt   2 4 0 Cho khối chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc với Biết OA  , Câu 6: (SỞ QUẢNG NAM) Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón Miệng thùng đường tròn có bán kính hai lần bán kính mặt đáy thùng Bên thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng có chiều cao bằng 20 cm (xem hình minh họa) Biết đổ 4.000 cm3 nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên phễu), tính bán kính đáy r của phễu (giá trị gần r làm tròn đến hàng phần trăm) A r  9, 77 cm B r  7,98 cm C r  5, 64 cm | THBTN – CA D r  5, 22 cm TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Vthung  h S mieng  S day  S mieng S day = h   R   r   R  r    = h  R   r   Rr = h   2r    r   2r.r = h 7 r  h. r 3 1 V pheu  h.S day  h. r 3 Theo giả thuyết Vthung  V pheu  4000  h. r  h. r  4000 3          2h. r  4000 4000 4000 100    2.h. 2.20.  r  5, 64 cm  r2  Câu 7: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Có cốc có dạng hình vẽ, biết chiều cao cốc 8cm , bán kính đáy cốc 3cm , bán kính miệng cốc 6cm Tính thể tích V cốc cm cm cm   A 72 cm3   B 48 cm3 Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức tính thể tích hình cụt V h 2 8 2 R  r  R.r       18  168  cm3  3   C 48 cm3   D 36 cm3 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Câu 8: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r  2m , chiều cao h  6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V A V  32 m  B V  32 m  C V  32 m  D V  32 m  Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử khối trụ có bán kính đáy đường cao r , h '   x  2;  h   h  x   h   x Thể tích khối trụ: V   x h   x   3x   6 x  3 x3 S Ta có: V ( x)  12 x  9 x , V ( x)   x   x  Khi ta suy với x  V đạt giá trị lớn V  Câu 9: h h' x O 2-x B A 32 m  (CHUYÊN SƠN LA) Từ nguyên liệu cho trước, công ti muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml Bao bì thiết kế hai mô hình là: hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông hình trụ Hỏi thiết kế theo mô hình tiết kiệm nguyên vật liệu ? A Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy B Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy C Hình trụ có chiều cao bán kính đáy D Hình hộp chữ nhật có cạnh bên cạnh đáy Hướng dẫn giải Chọn B Gọi: R bán kính đáy hình trụ | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 l chiều cao hình trụ Khi hình trụ tích là: V   R 2l  100ml Diện tích toàn phần hình trụ : Stp  2 Rl  2 R   Rl   Rl  2 R Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm : 2 R ,  Rl ,  Rl ta có: Stp   Rl   Rl  2 R  3  Rl. Rl.2 R  3 2  R 2l. R 2l  3 2 100.100  119.27 1 Dấu "  " xảy   Rl   Rl  2 R  l  R Gọi a độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật Gọi h chiều cao hình hộp chữ nhật Khi thể tích hình hộp chữ nhật là: V  a h  100ml Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là: Stp  2a  4a.h  2a  2a.h  2a.h Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là: 2a , 2a.h , 2a.h Ta có: Stp  2a  2a.h  2a.h  3 2a 2a.h.2a.h  3 8a h.a h  3.2 1002  129.27 2 Dấu "  " xảy  2ah  2ah  2a  h  a Từ 1 ,    Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy tốn nguyên vật liệu Câu 10: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R B  R3 A  R 3 C  R3 D 32 R 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón Giả sử khối nón có đáy hình tròn  C  bán kính r Gọi x với  x  R khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình tròn  C  h  R  x Khi bán kính đáy nón R O x R r r  R  x , suy thể tích khối nón 1 1 V   r h    R  x   R  x     R  x  R  x  R  x     R  x  R  x  R  x  3 3  R  x  R  x  2R  x  32 R Áp dụng BĐT Cô-si ta có V    27 81 ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Câu 11: (Lương Thế Vinh) Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vuông có cạnh dài 230 m Các lối phòng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103 kg / m Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: A 740600 B 76040 C 7406 D 74060 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi cạnh hình chóp a  230 ,chiều cao h  144 Thể tích kim tự tháp : V   2539 200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V  1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp Câu 12: (Lương Thế Vinh) Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật Mỗi bóng tiếp xúc với hai tường nhà Trên bề mặt bóng, tồn điểm có khoảng cách đến hai tường bóng tiếp xúc đến nhà 9, 10, 13 Tổng độ dài đường kính hai bóng là: A 64 B 34 C 32 D 16 Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường trục cạnh góc nhà Do hai cầu tiếp xúc với tường nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, tâm cầu có toạ độ I  a; a; a  với a  có bán kính R  a Do tồn điểm bóng có khoảng cách đến tường nhà 9, 10, 11 nên nói cách khác điểm A  9;10;13 thuộc mặt cầu Từ ta có phương trình: 2   a   10  a   13  a   a2 Giải phương trình ta nghiệm a  a  25 Vậy có mặt cầu thoả mãn toán tổng độ dài đường kính   25  64 x.10.6000  1777440  x  74060 2,5.103 Câu 13: (QUẢNG XƯƠNG 1) Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12  cm  Giá trị lớn thể tích khối trụ là: A 32  cm3  B 8  cm  C 16  cm  D 64  cm3  Hướng dẫn giải Chọn B Gọi r bán kính hình trụ, chiều cao h | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Ta có: 2r  h   h   2r ,   r    r  r   2r  Khi đó: V   r h   r   2r      8   Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 8  cm3  2 Câu 14: (QUẢNG XƯƠNG 1) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a Thể tích lớn khối chóp S ABCD 3a a3 a3 a3 A B C D 8 Hướng dẫn giải S Chọn D Kẻ SH   ABCD  H  H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC cân B AC  BD  H  BD Gọi O giao điểm AC BD Ta có: OB  AB  OA2  a   SA2  SO   SO  SO  OB  OD  SBD a a a B a A H a D O C vuông S  SH BD  SB.SD  V  1 1 SH S ABCD  SH AC.BD  SB.SD AC  a AC SD 3 6 Lại có SD  BD  SB  BD  a BD  4a  BD 2 2 a  4a  BD    BD  a  a 2 2  V  a 4a  BD BD  a   6 Mà AC  2OA  AB  OB  a  Câu 15: (CHUYÊN KHTN) Trong hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính R , hình hộp tích lớn 8 A R B R C R D 8R 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi a , b , c ba kích thước hình hộp chữ nhật Thể tích khối hộp V  abc  abc Ta có abc      Mà (a  b  c)  3(a  b  c )   R  (đường chéo hình hộp đường kính mặt cầu)  a  b  c  3R  3R  8R3 Do abc     3   ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Câu 16: (CHUYÊN KHTN) Xét hình chóp S ABC có cạnh SA  SB  SC  AB  BC  a Giá trị lớn thể tích hình chóp S ABC ? 3a3 a3 a3 a3 B C D A 12 4 Hướng dẫn giải Chọn B  HA2  SA2  SH  Kẻ SH   ABC  H   HB  SB  SH  HC  SC  SH  Mà SA  SB  SC  a  HA  HB  HC  H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Tam giác ABC cân B, gọi P  BH  AC  BP  AC AC PA  PC  AB a  Kẻ HK  AB  K  AB   KA  KB  2 BK BA a Ta có BKH  BPA  BH   BP BP Đặt BP  x   BH  a2 a4 a 4x  a2  SH  SB  BH  a   2x 4x 2x Cạnh AC  AP  AB  BP  a  x 1 1 a 4x2  a2 Do VS ABC  SH S ABC  SH BP AC  x.2 a  x 3 2x 2 2 1  x  a    a  x  a3  VS ABC  a x  a 2 a  x  a  12 12 Dấu "  " xảy  x  a   a  x   x  5a  x  a  x  0 Câu 17: (HÀ HUY TẬP) Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón V Giá trị bé tỉ số V2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D 10 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Câu 77: (QUẢNG XƯƠNG 1) Một xe buýt hãng xe A có sức chứa tối đa 50 hành khách Nếu chuyến xe buýt chở x hành khách giá tiền cho hành khách x   20    (nghìn đồng) Khẳng định là: 40   A Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 3.200.000 (đồng) B Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều có 45 hành khách C Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 2.700.000 (đồng) D Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều có 50 hành khách Hướng dẫn giải Chọn A Số tiền chuyến xe buýt chở x hành khách   x  3x x3  f  x   20 x.    20  x    (  x  50 ) 40  20 1600      x  40 3x x  f   x   20      f x    10 1600   x  120  x y' + 40 50 - 3200000 y Vậy: chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao bằng: 3.200.000 (đồng) Câu 78: (SỞ HẢI PHÒNG) Một sợi dây kim loại dài 0,9m cắt thành hai đoạn Đoạn thứ uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai uốn thành hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Tìm độ dài cạnh tam giác (tính theo đơn vị cm ) cho tổng diện tích tam giác hình chữ nhật nhỏ 60 60 30 240 A B C D 2 32 1 3 8 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi a, b độ dài cạnh tam giác chiều rộng hình chữ nhật Khi 3a  6b  90  cm   b  30  a  cm  TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017   2  a  120 a  1800 a2 a2  30  a  S  S   S   2b   2   4     Để S nhỏ f  a    a  120a  1800 nhỏ với a   0;30    f   a   2  a  120 , f   a    a  60   0;30  2  60  Ta có f    1800 , f  30   900 , f    3600  5400  2   60  Nên f  a   f    3600  5400 a 0;30   2  Vậy a  0 S nhỏ 2 Câu 79: (SỞ QUẢNG NINH) Độ giảm huyết áp bệnh nhân xác định công thức G  x   0, 024 x  30  x  , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp ( x tính mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều A 20 mg B 0,5 mg C 2,8 mg D 15 mg Hướng dẫn giải Chọn A Bài toán tìm x   0;30 để G  x  đạt giá trị lớn G  x   0, 024 x  30  x     G  x    3 18 x  x 125 25 36 x  x 125 25 x  G  x      x  20   0;30  Ta có: G  20  96 ; G  30   ; G    Vậy G  x  đạt giá trị lớn 96 x  20 Câu 80: (NGUYỄN VĂN TRỖI – KHÁNH HÒA) Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, nhà sản xuất đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon thấp nhất, tức diện tích toàn phần vỏ lon hình trụ nhỏ Muốn thể tích lon sữa dm3 nhà sản xuất cần phải thiết kế hình trụ có bán kính đáy R để chi phí nguyên liệu thấp ? 46 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 A  dm  2 B  dm  3 C  dm   D  dm   Hướng dẫn giải Chọn A h R Diện tích toàn phần vỏ lon Stp  2 Rh  2 R (1) Theo giả thiết V   R h  dm3  h  Từ (1) (2)  Stp  Xét hàm số S  R   (2)  R2  2 R R 2  2 R  S   R     4 R R R  S R   R  2 Bảng biến thiên R  S R - 2  + S  R 2  2 4 Vậy Min S  R   2  2 4 R  Câu 81: 2 (LÝ TỰ TRỌNG – KHÁNH HÒA) Có gỗ hình vuông cạnh 120 cm Cắt gỗ có hình tam giác vuông, có tổng cạnh góc vuông cạnh huyền số 120 cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm C 80cm D 40 2cm B 40 3cm Hướng dẫn giải TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Chọn C a  Gọi cạnh góc vuông AB x,   x    cạnh huyền BC  a  x, cạnh góc vuông 2  AC  BC  AB  (a  x )  x hay AC  a  2ax Diện tích tam giác ABC S  x   S ' x  x a  2ax B ax a (a  3x ) a  2ax   2 a  2ax a  ax S '( x )   x  A a C Bảng biến thiên: x S ' x a    a2 S  x Ta thấy diện tích tam giác ABC lớn a 1, a2  0,  m  x   3 Vậy cạnh huyền gỗ là: x  1,  0,  0,8  m   80  cm  Câu 82: (NGUYỄN VĂN TRỖI – KHÁNH HÒA) Một hộp không nắp làm từ mảnh cáctông theo mẫu hình vẽ Hộp có đáy hình vuông cạnh x  cm  , chiều cao h  cm  tích V  500  cm3  Tìm x cho diện tích mảnh các-tông nhỏ A x   cm  B x  10  cm  C x  12  cm  Hướng dẫn giải Chọn B D x  14  cm  TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Gọi S diện tích mảnh các-tông, ta có: S  4hx  x Đặt f  x   4hx  x , x   0;    * Thể tích V  500  x h  h  500 x2 Thay h vào (*) ta có: f  x   500 2000 x  x  x  x x 3 2000  x  10  Ta có f   x   x    y   x  10 x x2 Bảng biến thiên x  f  x f  x 10   mi n  Hàm số f  x  đạt giá trị nhỏ x  10 Hay diện tích S mảnh các-tông nhỏ x  10 Câu 83: (LẠC LONG QUÂN – KHÁNH HÒA) Người ta cần xây hồ chứa nước với dạng khối 500 m Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài hộp chữ nhật không nắp tích gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ 500.000 đồng/m Khi đó, kích thước hồ nước cho chi phí thuê nhân công thấp A Chiều dài 20m chiều rộng 10m chiều cao m 10 B Chiều dài 30 m chiều rộng 15m chiều cao m 27 10 C Chiều dài 10m chiều rộng 5m chiều cao m m D Chiều dài 40 m chiều rộng 20 m chiều cao 24 Chọn C Hướng dẫn giải: Gọi a chiều rộng đáy hồ, suy chiều dài đáy hồ 2a Chiều cao đáy hồ 500 250  2 3.2.a 3a TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Diện tích hồ cần xây dựng S  S xq  S day  250 500 a  2a   2a   2a  m   3a a  500  Theo đề ta có số tiền để xây hồ T    2a  500000  a  Chi phí thuê nhân công diện tích cần xây dựng nhỏ Ta xét hàm f  a   500  2a  a  0 a 500  4a a2 500 f   a    4a    a  a f  a    Bảng biến thiên x f ' a     f  a 150 Từ bảng biến thiên ta thấy chi phí thuê nhân công chiều rộng hồ 5m , 10 chiều dài 10m , chiều cao m Câu 84: (TÔN ĐỨC THẮNG – KHÁNH HÒA) Một ảnh chữ nhật cao 1, mét đặt độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải  gọi xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ? (góc BOC góc nhìn) A AO  2, 4m B AO  2m C AO  2, 6m D AO  3m Chọn A Gọi cạnh AO x  m  Điều kiện: x   lớn tan BOC  lớn Để góc nhìn BOC AOC  tan  AOB tan  1, x   tan  AOC   AOB   Ta có: tan BOC    tan AOC tan AOB x  5, 76  Xét hàm số f  x    1, x x  5, 76 Bài toán trở thành tìm x  để f  x  đạt giá trị lớn 50 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Ta có: f   x   1, 4x  1, 4.5, 76 x  5, 76  f   x    x   2, x  2, y  y Từ bảng biến thiên, ta suy max f  x     84 193 84 x  2, 193 Vậy vị trí cho góc nhìn lớn cách ảnh 2, 4m ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 51 | THBTN TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Chủ đề ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 85: (Chuyên Thái Bình) Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xả lũ 40 phút với tốc độ lưu lượng nước thời điểm t giây v  t   10t  500  m / s  Hỏi sau thời gian xả lũ hồ thoát nước nhà máy thoát lượng nước bao nhiêu? A 5.104  m3  B 4.106  m3  C 3.107  m3  D 6.10  m3  Hướng dẫn giải Chọn C Lượng nước thoát : 2400 2400  10t  500  dt   5t  500t   3.107  m3  Câu 86: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn (phần tô màu), cách khoảng (m), phần lại khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 3.895.000 (đồng) B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D 1.194.000 (đồng) Hướng dẫn giải 4m 4m 4m Chọn B Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường tròn y  R2  x2  2   x  20  x Phương trình parabol  P  có đỉnh gốc O có dạng y  ax Mặt khác  P  qua điểm M  2;4  đó:  a  2   a  Phần diện tích hình phẳng giới hạn  P  nửa đường tròn.( phần tô màu) TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Ta có công thức S1    20  x  x dx  11,94m2 2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Strongco  S  S1  19, 47592654 hinhtron Vậy số tiền cần có Strongxo  100000  1.948.000 (đồng).đồng Câu 87: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Xét hàm số y  f  x  liên tục miền D   a; b có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x  a , x  b Người ta chứng minh diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành xoay b S quanh Ox S  2  f  x    f   x   dx Theo kết trên, tổng diện tích bề a mặt khối tròn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  ln x f x  đường thẳng x  , x  e quanh Ox 2e  4e  4e  16e2  4e  B C A    D  64 16 16 Hướng dẫn giải Chọn D Cách (Giải tự luận) Ta có f  x   2 x  ln x x ln x 1  1     f  x  x    f   x    x    x2   4 4x x 16 x   Lại có f   x   x   0, x  1; e  , nên f  x  đồng biến 1; e Suy 4x f  x   f 1   0, x  1; e Từ ta thực phép tính sau b e  x ln x  1  S  2  f  x    f   x   dx  2     dx  1  x  2  16 x   a 1 e e  x ln x   x ln x   1  S  2    x   d x        x   dx   16 x 2   4x  1 1 e  x ln x     2      x   dx  4x  1 e 1 ln x  1  2   x3  x  x ln x   dx 16 x  1  2  I1  I  I  ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 53 | THBTN TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 e e  x4 x2   2e  e2  I1    x  x  dx       16 2  16  Với e 11 1   I     x ln x  dx   x  2ln x  1   e2  44 16 16   e e e ln x  1 I3     dx   ln x    32 32  16 x  Cách Học sinh e S  2  trực tiếp bấm máy tính tích phân x ln x 1     x2   dx để có kết 2 16 x   x4  2m x  Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình 64 phẳng có diện tích 15     A  B 1 C  D   ; 1 ; 1     Câu 88: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho hàm số y  Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D   x   y   x  4m x  x  x  2m  ; y     x  2m  x   2m  2 Đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu  m  Vì a   nên hàm số đạt cực đại x  suy điểm cực đại đồ thị hàm số A  0;  Đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình d : y  Phương trình hoành độ giao điểm  Cm  d là: 54 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 x   x   x4  2m x      x  m 2  x  4m  x  2 m  Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý hàm số cho hàm chẵn) 2m S  2 m 2m x4 x4  2m x dx    2m x dx  2 2m   x4 2   m x  dx    x5  m 64    m x3   m 15  10 0 Ta có S  Câu 89: m  64  m 1  15  m  1 (QUẢNG XƯƠNG ) Một vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy 10  cm  Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 45o Thể tích khối gỗ bé A 2000  cm3  B 1000  cm3  C 2000  cm3  D 2000  cm3  Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi khúc gỗ bé có đáy nửa hình tròn có phương trình: y  100  x , x   10,10 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x , x   10,10 cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích S  x  (xem hình) Dễ thấy NP  y MN  NP tan 45o  y  100  x Suy S  x   1 MN PN  100  x 2   10 Khi thể tích khúc gỗ bé : V   10 S  x  dx  10 2000 100  x dx  cm3  10     Câu 90: ( (HÀ HUY TẬP) Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip, Elip đường viền có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Hướng dẫn giải Chọn A Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền đường  E1  : x2 y2   Phần đồ 502 302 thị  E1  nằm phía trục hoành có phương trình y  30  x2  f1  x  502 Phương trình Elip đường viền đường  E2  : x2 y2   Phần đồ 482 282 thị  E2  nằm phía trục hoành có phương trình y  28  x2  f2  x  482 Gọi S1 diện tích  E1  hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y  f1  x  Gọi S2 diện tích  E2  hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y  f  x  56 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Gọi S diện tích đường Khi 50 48 S  S1  S   30  50 x2 x2   d x 28 dx  502 482 48 a Tính tích phân I   b  a x2 d x,  a , b     a    Đặt x  a sin t ,    t    dx  a cos tdt 2  Đổi cận x  a  t     ;x  at  2    Khi I   b  sin t a cos t dt  2ab  cos t dt  ab  1  cos 2t  dt         sin 2t   ab  t    ab    Do S  S1  S  50.30  48.28  156 Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S  600000.156  294053000 (đồng) Câu 91: (SỞ BẮC GIANG) Có vật thể hình tròn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V  cm3  vật thể cho A V  12 C V  72  B V  12 D V  72 cm Hướng dẫn giải A Chọn A O B Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol  P  Vì cm parabol  P  qua điểm A  2;  , B  2;  I  0;0  nên parabol  P  có phương trình y  Ta có y  x 2 x  x  y Khi thể tích vật thể ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM I 57 | THBTN TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 2 cho V     0  y  dy  12  cm3   Câu 92: (TT DIỆU HIỀN) Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N (t ) Biết 7000 N (t )  lúc đầu đám vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có t2 khoảng con? A 322542 B 332542 C 312542 D 302542 Hướng dẫn giải Chọn C 7000 dt  7000.ln  t    C mà N    300000  C  300000  7000 ln t2 Nên N  t   7000.ln  t    300000  7000 ln Ta có: N  t    Do đó: N 10   312542 Câu 93: (SỞ VŨNG TÀU) Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vùng vuông góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng dm để làm lu đựng nước Thể tích lu A 500 dm3 B 2296 dm3 15 C 952 dm3 27 D 472 dm3 Hướng dẫn giải: Chọn D Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích R 14 2 V1     R  x  dx     25  x  dx  d 4 14 472 Vậy thể tích lu V  Vc  2V1   53     3 Câu 94: (HÀ HUY TẬP – KHÁNH HÒA) thợ gốm làm chum từ khối cầu có bán kính 5dm cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối Tính thể tích chum biết chiều cao 60cm (quy tròn chữ số thập phân ) 58 | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 3 A 135, 02 dm B 428, 74 dm C 104, 67 dm D 414, 69 dm 6dm Hướng dẫn giải Chọn D Đặt trục với tâm O tâm mặt cầu , đường đứng Ox ,đường ngang Oy Đường tròn lớn có phương trình : Ta có : x  y  25  x  25  y Thể tích chum :  Vcc     25  y dy  414, 69 3 O 5dm ... r  5, 22 cm TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC GIA – 2017 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Vthung  h S mieng... Hướng dẫn giải Chọn B Gọi r bán kính hình trụ, chi u cao h | THBTN – CA TỔNG HỢP – TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM THẦY TÀI: 0977.413.341 TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8 9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC... Bảng biến thi n: x V  x V  x R 3  0 R  4 R3 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chi u cao khối trụ Vmax  4 R 3 2R ; TUYỂN TẬP: TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) TÀI LIỆU LUYỆN THITHPT QUỐC