Đang tải... (xem toàn văn)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A có nghĩa khi A ≥ 0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. A2 = A b. AB = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0) c. A = A ( A ≥ 0; B > 0) d. A2 B = A B ( B ≥ 0) B B e. A B = A2 B ( A ≥ 0; B ≥ 0) e. A B = − A2 B ( A < 0; B ≥ 0) f. A = 1 AB ( AB ≥ 0; B ≠ 0) g. A = A B (B > 0) B B B B h. C = C( A ∓ B) ( A ≥ 0; A ≠ B2 ) A ± B A − B2 i. C A ± = C( B A ∓ A − B2 B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) 3. Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0. Đồ thị: Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(ba;0).
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN PHẦNI: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A ≥ Các cơng thức biến đổi thức a c A = A A b d ( A ≥ 0; B > 0) = AB = A B A B= A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) ( B ≥ 0) A B e f h i B ( A ≥ 0; B ≥ A B= A 0) B A AB ( AB ≥ 0; B ≠ 0) = B C e g B = A±B C A± B = C( A ∓ B) ( A ≥ 0; A ≠ B ) A−B ( A < 0; B ≥ 0) A B = − A2 B A (B > 0) A B = B B C( A ∓ B ) A− B ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đường thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hàm số y = ax (a ≠ 0) - Tính chất: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đường cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt ⇔ a ≠ a' (d) // (d') ⇔ a = a' b ≠ b' (d) ≡ (d') ⇔ a = a' b = b' Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = ax (P) (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) khơng có điểm chung Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) Công thức nghiệm ∆ = b - 4ac Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = −b+ 2a ∆ Công thức nghiệm thu gọn ∆' = b' - ac với b = 2b' - Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ' ' ' −b3 + ∆ −b3 − ∆ a a x = ; x = −b− ∆ 2a ; x = ' Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : - Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép: ' −b −b x1 = x = x1 = x = 2a a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm - Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng - Hệ thức Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) thì: S=x +x = −b a P = x x = c a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x - Sx + P = (Điều kiện S - 4P ≥ 0) + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = − c a Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với toán kết luận Trang B CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A w Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài tốn tính tốn Bài tốn1: Tính giá trị biểu thức A w Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với tốn Rút gọn biểu thức A Bài tốn2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a w Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B w Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A = B ⇔ A - B = - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phương pháp 3: Phương pháp so sánh A = A1 = A2 = = C B = B1 = A=B B2 = = C - Phương pháp 4: Phương pháp tương đương A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ⇔ (*) (*) A = B - Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B w Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: (với a a a a a + a + a + + a n ≥ n a a a a n n Dấu “=” xảy khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn (a b 1 +ab 2 +ab 3 + + a b n n Dấu “=” xảy khi: ) 2 2 2 ≥0) n 2 ≤ (a + a + a + + a )(b + b + b + + b ) n n a1 = a2 = a3 = = an b1 TẬP b2 b3 bn w Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B⇔ A-B>0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B + M > B M ≠ - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương A > B ⇔ A' > B' ⇔ A" > B" ⇔ ⇔ (*) (*) A > B - Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B →A>B - Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B - Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: Bài toán liên quan tới phương trình bậc hai Bài tốn1: Giải phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) w Các phương pháp giải: - Phương pháp 1: Phân tích đưa phương trình tích - Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x = a → x = ± a - Phương pháp 3: Dùng cơng thức nghiệm Ta có ∆ = b - 4ac + Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; x2 −b+ ∆ x = 2a = −b− ∆ 2a + Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép −b = 2a x1 = x2 + Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm - Phương pháp 4: Dùng cơng thức nghiệm thu gọn Ta có ∆' = b' - ac với b = 2b' + Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ' −b + ∆ ' ' ' ; x = −b − ∆ a a + Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép ' −b x1 = x = x1 = a + Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) thì: + x2 = − b a x x = c a Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x Bài tốn2: Biện luận theo m có nghi ệm phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) w Xét hệ số a: Có thể có khả a Trường hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = ⇔ m = m0 ta có: (*) trở thành phương trình bậc ax + c = (**) + Nếu b ≠ với m = m0: (**) có nghiệm x = -c/b + Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định ⇔ (*) vô định + Nếu b = c ≠ với m = m0: (**) vô nghiệm ⇔ (*) vô nghiệm b Trường hợp a ≠ 0: Tính ∆ ∆' + Tính ∆ = b - 4ac Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; x2 −b+ ∆ x 1= 2a = −b− ∆ 2a Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 −b = 2a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm + Tính ∆' = b' - ac với b = 2b' Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ' x1 = ' −b + ∆ a ; x2 ' = ' −b − ∆ a x = x = − b ' Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép: Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận a Bài tốn3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm w Có hai khả để phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm: Hoặc a = 0, b ≠ Hoặc a ≠ 0, ∆ ≥ ∆' ≥ Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện 2 Bài tốn4: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt w Điều kiện có hai nghiệm phân biệt a ≠ a ≠ ' ∆ > ∆ > Bài tốn5: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm w Điều kiện có nghiệm: a ≠ a ≠ a = ∆ = b ≠ 0 ' ∆ = Bài tốn6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép a ≠ w Điều kiện có nghiệm kép: ∆ = a ≠ ' ∆ = Bài tốn7: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm a ≠ w Điều kiện có nghiệm: ∆ < a ≠ ' ∆ < Bài toán8: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm w Điều kiện có nghiệm: a = a ≠ a ≠ ' ∆ = b ≠ ∆ = 0 Bài tốn9 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu ∆' ≥ ∆ ≥ w Điều kiện có hai nghiệm dấu: c P= >0 a c P = > a Bài tốn10 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dương w Điều kiện có hai nghiệm dương: ∆ ≥ c P= >0 a b S=−a >0 ∆' ≥ c P = > a b S=−a >0 Bài tốn11 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm w Điều kiện có hai nghiệm âm: ∆ ≥ c >0 P = a b S=−a