Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Ph ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 5 6 d, 13 36 , 3 8 4 e, 3 18 , 8 7 f, 5 24 ,3 16 5 h, 8 30 7 , 2 5 12 k, 6 7 20 a x x x x b x x x x c x x x x g x x x x i x x x x + + + + + + + + + Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ) II- Ph ơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A 2 B 2 = (A B)(A + B) 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1, 5 8 4 2, 2 3 3, 5 8 4 4, 7 6 5, 9 6 16 6, 4 13 9 18 7, 4 8 8 8, 6 6 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 9, 6 486 81 10, 7 6 11, 3 2 12, 5 3 9 13, 8 17 10 14, 3 6 4 15, 2 4 16, 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 12 17 2 17, 4 18, 3 3 2 19, 9 26 24 20, 2 3 3 1 21, 3 14 4 3 22, 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + + + + Các bài toán Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: 2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung Các bài toán Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: III- Ph ơng pháp đổi biến Các bài toán Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử ( ) 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36 3, 4 4, 64 5, 64 1 6, 81 4 7, 4 81 8, 64 9, 4 10, x x x x x x x x x x y x y x x + + + + + + + + + + + 1 7 2 7 5 5 4 5 8 7 5 4 5 10 5 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12 5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 ) 7, 6 11 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xy y x y x a x a x a x a a x x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8, ( ) 3( ) 2 9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20 11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16 x x x x x xy y x y x x x x x xy y x y x x x x + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 3 2 2 2 2 2 2 1, 6 7 6 1 2,( )( ) ( ) x x x x x y z x y z xy yz zx + + + + + + + + + + IV- Ph ơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Giải a, Giả sử thay x bởi y thì P = 2 2 ( ) ( ) 0y y z y z y + = Nh vậy P chứa thừa số x y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z x. Vậy P phải có dạng P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta đợc k = -1 Vy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z) Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + + 2 2 2 ( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + + , vi 2m = a+ b + c. B i 2: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 ) ( )( ) . ) ( 2 ) (2 ) . ) ( ) ( ) ( ). ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1). ) ( ) ( ) ( ) . ) ( a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b c C ab a b bc b c ac a c d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc f f a b c b c a c a b g G a b a b = + + + + = + + = + + + = + + + + + = + + + = + + = 2 2 2 2 4 4 4 ) ( ) ( ). ) ( ) ( ) ( ). b c b c a c c a h H a b c b c a c a b + + = + + 2 2 2 2 2 2 , P = ( ) ( ) ( ) , Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) a x y z y z x z x y b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x + + = V- Ph ong pháp hệ số bất định Các bài toán Bi 1: Phõn tớch cỏc a thc thnh nhõn t 4 3 2 4 3 2 2 2 4 3 2 4 ) 6 12 14 3 ) 4 4 5 2 1 ) 3 22 11 37 7 10 ) 7 14 7 1 ) 8 63 a A x x x x b B x x x x c C x xy x y y d D x x x x e E x x = + + = + + + + = + + + + + = + + = + Chuyờn 2: Xác định đa thức * nh lớ Beout (BờZu) v ng dng: 1) nh lớ BờZu: D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x - a bng f(a) (giỏ tr ca f(x) ti x = a): )()()()( afxqaxxf += (Beout, 1730 - 1783, nh toỏn hc Phỏp) H qu: Nu a l nghim ca a thc f(x) thỡ f(x) chia ht cho x - a. p dng: nh lớ BờZu cú th dựng phõn tớch mt a thc thnh nhõn t. Thc hin nh sau: Bc 1: Chn mt giỏ tr x = a no ú v th xem x = a cú phi l nghim ca f(x) khụng. Bc 2: Nu f(a) = 0, theo nh lớ BờZu ta cú: )()()( xpaxxf = tỡm p(x) thc hin phộp chia f(x) cho x - a. Bc 3: Tip tc phõn tớch p(x) thnh nhõn t nu cũn phõn tớch c. Sau ú vit kt qu cui cựng cho hp lớ. Dng 1: Tỡm a thc thng bng phng phỏp ng nht h s(phng phỏp h s bt nh), phng phỏp giỏ tr riờng , thc hin phộp chia a thc. *Phng phỏp1: Ta da vo mnh sau õy : Nu hai a thc P(x) v Q(x) bng nhau: P(x) = Q(x) thỡ cỏc hng t cựng bc hai a thc phi cú h s phi cú h s bng nhau. Vớ d: 32)( 2 += bxaxxP ; pxxxQ = 4)( 2 . Nu P(x) = Q(x) thỡ ta cú: a = 1(h s ca ly tha 2) 2b = - 4 (h s ca ly tha bc 1) - 3 = - p (h s hng t bc khụng hay hng t t do) *Phng phỏp2: Cho hai a thc P(x) v Q(x) tha món deg P(x) > deg Q(x) Gi thng v d trong phộp chia P(x) cho Q(x) ln lt l M(x) v N(x) Khi ú ta cú: )()().()( xNxMxQxP += (Trong ú: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vỡ ng thc (I) ỳng vi mi x nờn ta cho x ly mt giỏ tr bt kỡ : = x ( l hng s). Sau ú ta i gii phng trỡnh hoc h phng trỡnh tỡm cỏc h s ca cỏc hng t trong cỏc a thc ( a thc thng, a thc chia, a thc b chia, s d). Vớ d: Bi 1(Phn bi tp ỏp dng) Gi thng ca phộp chia A(x) cho x + 1 l Q(x), ta cú: )().1(263 232 xQxaxaxxa +=+ . Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc: = = =++=++ 3 2 060263 22 a a aaaaa Vi a = -2 thỡ 4104)(,4664 223 +=+= xxxQxxxA Vi a = 3 thỡ 69)(,6699 223 =+= xxQxxxA *Phng phỏp 3:Thc hin phộp chia a thc (nh SGK) Bài tập áp dụng Bi 1: Cho a thc 2 3 2 ( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= + . Xác nh a sao cho A(x) chia ht cho x + 1. Bài 2: Phân tích đa thức 4 3 ( ) 2 4P x x x x= thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng: 2 2x dx+ + Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : bxaxx +++ 2 23 chia hết cho đa thức: 1 2 ++ xx . Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau. Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: kxxxxxf +++= 234 219)( chia hết cho đa thức: 2)( 2 = xxxg . Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc: 152)( 23 ++= kkkf chia ht cho nh thc: 3)( += kkg . Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc: baxxxxxf +++= 234 33)( chia ht cho a thc: 43)( 2 += xxxg . Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc: cbxaxxxP +++= 24 )( Chia ht cho 3 )3( x . b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc: 2376)( 234 +++= xaxxxxQ chia ht cho a thc bxxxM += 2 )( . c) Xỏc nh a, b axxxxP ++= 85)( 23 chia ht cho bxxxM ++= 2 )( . Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc: ))()(( 23 cxbxaxcbxaxx =+ (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: a) axx +− 710 2 chia hết cho 32 − x . b) 12 2 ++ axx chia cho 3 − x dư 4. c) 95 45 −+ xax chia hết cho 1 − x . Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) baxx ++ 24 chia hết cho 1 2 +− xx . b) 505 23 −++ xbxax chia hết cho 103 2 ++ xx . c) 1 24 ++ bxax chia hết cho 2 )1( − x . d) 4 4 + x chia hết cho baxx ++ 2 . Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho baxx ++ 3 chia cho 1 + x thì dư 7, chia cho 3 − x thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho cbxax ++ 23 chia hết cho 2 + x , chia cho 1 2 − x thì dư 5 + x . (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: baxxxxxP ++−+= 234 )( và 2)( 2 −+= xxxQ . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức 1)( 34 ++= bxaxxP chia hết cho đa thức 2 )1()( −= xxQ Bài 15: Cho các đa thức 237)( 234 +++−= xaxxxxP và bxxxQ +−= 2 )( . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x). (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm 1321 ,,,, + n CCCC  ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: )())(())(()()( 21212110 nn CxCxCxbCxCxbCxbbxP −−−++−−+−+=  Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị 1321 ,,,, + n CCCC  vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số n bbbb ,,,, 210  . BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: 9)2(,7)1(,25)0( −=== PPP . Giải Đặt )1()( 210 −++= xxbxbbxP (1) Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 11.2.2.18259 18257 25 22 11 0 =⇔+−=− −=⇔+= = bb bb b Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 2519)()1(1825)( 2 +−=⇔−+−= xxxPxxxxP . Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: 1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP Hướng dẫn: Đặt )2)(1()1()( 3210 −−+−++= xxxbxxbxbbxP (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho )3(),2(),1( −−− xxx đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt )3)(2)(1()2)(1()1()( 3210 −−−+−−+−+= xxxbxxbxbbxP (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: )1(),12)(1()1()( 0)1( ++=−− =− xxxxPxP P a) Xác định P(x). b) Suy ra giá trị của tổng )(),12)(1(5.3.23.2.1 * NnnnnS ∈+++++=  . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : 36)2(5.3.2)1()2( 6)1(3.2.1)0()1( 0)0(0)1()0( ,0)2(0)2()1( =⇔=− =⇔=− =⇔=−− =−⇔=−−− PPP PPP PPP PPP Đặt )2)(1()1()1()1()1()1()( 43210 −−++−++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP (2) Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 2 1 )4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30 31.2.3.2.3.336 ,31.2.6 ,00 0 44 33 22 11 0 =⇔−−−−+−−−+−−= =⇔+= =⇔= =⇔= = bb bb bb bb b Vậy, đa thức cần tìm có dạng: )2()1( 2 1 )2)(1()1( 2 1 )1()1(3)1(3)( 2 ++=−−++−+++= xxxxxxxxxxxxxP (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức )0,,(,)( 2 ≠++= cbacbxaxxP . Cho biết 0632 =++ cba 1) Tính a, b, c theo )1(, 2 1 ),0( PPP       . 2) Chứng minh rằng: )1(, 2 1 ),0( PPP       không thể cùng âm hoặc cùng dương. Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: 1985)2( 85)1( 19)0( = = = P P P . (A B)(A + B) 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1, 5 8 4 2, 2 3 3, 5 8 4 4, 7 6 5, 9 6 16 6, 4 13 9 18 7, 4 8 8 8, 6 6 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x. 85 )( 23 chia ht cho bxxxM ++= 2 )( . Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc: ))()(( 23 cxbxaxcbxaxx =+ (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định hằng số