www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Phương trình chủ đề chương trình toán phổ thông Trong chương trình Toán bậc THCS, phương trình những chuyên đề xuyên suốt năm học, bắt đầu tư những toán “Tìm x biết ” lớp , tìm nghiệm đa thức lớp đến giải phương trình bậc cuối năm học lớp hoàn thiện nội dung phương trình bậc hai học kì II Đại số lớp Trong phương trình vô tỉ (phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn) sách giáo khoa sách tập lướt qua, kì thi tuyển sinh vào lớp10 THPT, thi tuyển vào trường chuyên lớp chọn, kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh lại thường xuyên có toán Nếu giáo viên không ý trang bị tốt kiến thức phương pháp giải hợp lí học sinh khó vượt qua Vấn đề đặt làm thế để giúp học sinh giải tốt dạng phương trình vô tỉ? Khi gặp toán phương trình vô tỉ học sinh cũng có tìm hướng giải hạn chế những sai lầm đáng tiếc trình giải toán Qua thực tế giảng dạy nhiều năm môn Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số sưu tầm, chọn lọc tích luỹ sáng tác thêm số toán mới viết thành đề tài “ Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ” khuôn khổ chương trình toán bậc THCS, nhằm giúp học sinh tránh những sai lầm giải phương trình vô tỉ Tư trang bị cho học sinh số phương pháp để giải toán phương trình vô tỉ Với mong muốn trao đổi kinh nghiệm bạn đồng nghiệp để có thêm chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp hoàn thiện THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong phân phối chương trình TOÁN 9, tiết dạy giành riêng cho giải phương trình vô tỉ (học sinh học vào chương trình đại số 10 THPT) Cụ thể chương “ CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA” có 18 tiết, tiết lý thuyết, tiết luyện tập, tiết đôi vưa dạy lý thuyết vưa luyện tập, tiết ôn tập tiết kiểm tra Giáo viên giảng dạy lớp thường ý rèn kĩ giải dạng phương trình vô tỉ cho học sinh, nếu có tập củng cố nhỏ nhằm hoàn thiện kiến thức sau tiết dạy nên khả vận dụng kiến thức vào giải phương trình vô tỉ học sinh nhiều hạn chế Bài tập vận dụng sách giáo khoa sách tập TOÁN Toàn chương I có 76 tập chia làm nhiều dạng loại khác nhau, dạng tập đề cập đến tìm x (giải phương trình vô tỉ) có tập Sách tập toán có 108 bài, dạng toán liên quan đến giải phương trình vô tỉ cũng có tập Sau dạy lý thuyết nhiều tập dạng toán Kĩ nhận dạng lựa chọn phương pháp giải học sinh đại trà hạn chế Học sinh giỏi tài liệu để đọc tham khảo Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Khi giảng dạy tiết lý thuyết cũng tập giáo viên thường xem nhẹ việc rèn kĩ giải phương trình chứa ẩn dưới dấu thức chưa dưng lại để phân tích những sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải dạng toán Chính vậy gặp phải dạng toán giải phương trình vô tỉ nhiều học sinh đại trà không giải được, có số em giải không đạt điểm tối đa mắc những sai lầm hết sức đáng tiếc Bài toán giải phương trình vô tỉ toán thường gặp kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Đề thi tiềm ẩn dưới nhiều dạng khác nếu học sinh không trang bị tốt kiến thức nắm vững phương pháp giải khó vượt qua Đối với giáo viên nếu dưng lại việc hoàn chỉnh kiến thức sách giáo khoa không sâu nghiên cứu kĩ dạng toán phương trình vô tỉ, gặp phải dạng toán có những hạn chế đinh Tôi xin giới thiệu kết thống kê điểm (bài thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012) cho bạn tham khảo Bài 5: ( 2,0 điểm ) Giải phương trình sau cách : x + = x − x + Điểm SL - 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 Nhận xét giám khảo: Chưa có thí sinh giải hoàn chỉnh toán cách Trên 50% số thí sinh không xác định hướng đựơc cách giải toán 2,0 TS 22 Chính thực trạng nên đòi hỏi phải có giải pháp để giải Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI 2.1 Đối với học sinh: Học sinh khắc phục những sai lầm giải dạng phương trình vô tỉ Học sinh nhận dạng định hướng cách giải cho dạng toán phương trình vô tỉ thuộc phạm vi chương trình toán trung học sở Học sinh giỏi giải toán phương trình vô tỉ thuộc phạm vi chương trình toán trung học sở, giải dạng toán phương trình vô tỉ chương trình toán trung học phổ thông đề thi vào trường Đại học – Cao đẳng 2.2 Đối với giáo viên: Giáo viên sáng tạo toán phù hợp với tưng dạng toán giải phương trình vô tỉ phục vụ cho công tác giảng dạy PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Hệ thống số phương pháp giải phương trình vô tỉ những sai lầm thường mắc phải học sinh giải dạng toán phương trình vô tỉ Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a) Cơ sở lí luận Phương trình vô tỉ phương trình chứa ẩn dấu Bài toán giải phương trình vô tỉ toán khó nhận dạng xác định hướng giải Đối với học sinh muốn giải đòi hỏi phải trang bị kiến thức tốt phương pháp giải hợp lí b) Cơ sơ thực tiễn Qua thực tế dạy học cá nhân nhiều năm môn Toán tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số trường phân công Tôi tổng hợp đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh hàng năm kết hợp với giáo viên tổ phân tích sai lầm tìm phương pháp giải tối ưu cho tưng toán giải phương trình vô tỉ Phân tích hướng dẫn học sinh giỏi giải toán phương trình vô tỉ đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm để phát những sai lầm học sinh giải toán Gợi ý định hướng học sinh giỏi giải toán phương trình vô tỉ toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai đăng tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ” “TOÁN TUỔI THƠ 2” để phát những sai lầm học sinh bước biến đổi Tham khảo tài liệu liên quan đến phương trình vô tỉ, chọn lọc, sắp xếp tìm phương pháp giải tối ưu cho tưng dạng toán viết thành chuyên đề làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, xây dựng thành sáng kiến kinh nghiệm CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP 2.1 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Dựa vào: - Thực tế giảng dạy nhiều năm môn Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số đặc biệt chuyên đề “ Phương trình vô tỉ ” - Sách giáo khoa sách tập toán - Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi liên quan đến phương trình vô tỉ - Các chuyên đề liên quan đến phương trình vô tỉ đăng tải tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ”; tạp chí “TOÁN TUỔI THƠ 2” - Những viết chuyên đề phương trình vô tỉ đăng tải trang mạng toán học - Kết phân tích kiểm tra chương I - Đại số kiểm tra học kì I năm học 2010 – 2011 đối chiếu so sánh giữa lớp, rút nhận xét, kết luận - Kết thi học sinh giỏi tư năm học 2007 – 2008 đến năm học 2010 – 2011, đặc biệt dạng toán giải phương trình vô tỉ để phân tích, so sánh, rút kinh nghiệm 2.2 THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP - Viết dưới dạng chuyên đề dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi tư năm học 2007 – 2008 - Xây dựng thành chuyên đề hoàn chỉnh áp dụng giảng dạy học kì I năm học 2009 – 2010 - Được nhà trường công nhận tài liệu dùng cho giáo viên tổ làm chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tư tháng 12/ 2010 - Dạy thử nghiệm năm học 2009 – 2010 năm học 2010 - 2011 Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ - Triển khai áp dụng toàn trường năm học 2011 - 2012 - Viết thô sáng kiến kinh nghiệm tư tháng 01/ 2012 - Hoàn thiện vào tháng 4/2012 * Tên đề tài “ Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ” Đưa số ví dụ cụ thể ứng với tưng học chương “CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA”, giúp cho giáo viên phát những sai lầm thường gặp học sinh giải dạng toán phương trình vô tỉ để có nhận xét đánh giá rút kinh nghiệm việc vận dụng kiến thức biết vào giải toán Nêu số phương pháp giải phương trình vô tỉ áp dụng cho học sinh THCS, phương pháp xây dựng hệ thống tập tư dễ đến khó Nhằm giúp cho học sinh dễ tiếp cận số phương pháp giải mà tài liệu chưa viết hoàn chỉnh, qua rèn kỹ tư vận dụng kiến thức cách linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá cho học sinh sáng tạo toán mới phương trình vô tỉ Đặc biệt sau dạng tập có nêu toán tổng quát định hướng xây dựng lớp tập phương trình vô tỉ giúp cho giáo viên có thêm nguồn tư liệu phong phú làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giảng dạy chuyên đề “ Phương trình vô tỉ ” Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ II.1a NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Học sinh sai lầm tưởng làm Có nguyên nhân dẫn đến sai lầm giải toán Nhà giáo dục Polia viết “Con người phải biết học sai lầm mình” Vậy giải phương trình vô tỉ học sinh sai lầm đâu? Cần khắc phục nào? Sai lầm 1: Khi giải phương trình vô tỉ học sinh thường ý đến điều kiện đặt điều kiện không xác dẫn đến kết luận phương trình thừa thiếu nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = x + (1) Lời giải học sinh :  x ≥ −4 x + ≥  x ≥ −4  x ≥ −4  ⇔ ⇔ ⇔  x = (1) ⇔  2  x( x + 3) = ( x + 4) = ( x + 2) x + = x + 4x +   x = −3  Tập nghiệm phương trình S = { 0; −3} Nhận xét : x = - nghiệm phương trình, thay x = -3 vào (1) x + = - < Sai lầm: Đặt điều kiện sai dẫn đến kết luận nghiệm thiếu xác Khắc phục: Điều kiện: x ≥ - 2, giải Kết luận: Phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình : x − 20 x + 25 = − x (2) Lời giải học sinh : Vì 4x2 – 20x + 25 = (2x – 5)2 ≥ với mọi x (2) ⇔ 4x2 – 20x + 25 = (5 – 2x )2 ⇔ 4x2 – 20x + 25 = 25 – 20x + 4x2 ⇔ 0x = Vậy phương trình có nghiệm với mọi x ∈ R Nhận xét : phương trình (2) có nghiệm với mọi x thuộc R thay x = vào (2) – 2x = - < (không thoả mãn) mà phương trình (2) có nghiệm x ≤ 2 Sai lầm: Ngộ nhận 4x – 20x + 25 = (2x – 5) ≥ với x, không để ý đến vế phải phương trình, vội vàng bình phương vế 5 Khắc phục: Điều kiện: x ≤ Giải Kết luận: Phương trình có nghiệm với mọi x ≤ 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x − + x − = (3) Lời giải học sinh: Điều kiện : x ≥ (3) ⇔ x – + 2x – + ( x − 1)(2 x − 1) = 25 ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = 27 – 3x (3’) Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ ⇔ 4(2x2 – 3x + 1) = ( 27 – 3x)2 ⇔ x2 – 150x + 725 = ⇔ x1= ; x2 = 145 ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: x1= ; x2 = 145 Nhận xét : x = 145 không nghiệm phương trình (3) Vậy lời giải học sinh sai lầm bước nào? Rõ ràng học sinh không đặt điều kiện phương trình (3’) dẫn đến kết luận nghiệm sai Đây sai lầm thường gặp em học sinh giỏi Khắc phục: ( x − 1)(2 x − 1) = 27 – 3x (3’) 1 ≤ x ≤ 1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x=5  2 4(2 x − x + 1) = (27 − x)  x − 150 x + 725 = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình: x + = x − x + (4) (Đề thi GVDG cấp huyện PGD – ĐT Phù Mỹ năm học 2011- 2012 ) Lời giải thí sinh: Điều kiện: x3 + ≥ ⇔ x ≥ −2 (4) ⇔ 9( x3 + 8) = ( 2x2 – 6x + 4)2 ⇔ ( x2 – 6x – )( 4x2 – 9x + 14) = ⇔ x2 – 6x – = (vì 4x2 – 9x + 14 > 0) ⇔ x1 = + 13 (thỏa mãn); x2 = − 13 (thoả mãn) Vậy phương trình có nghiệm : x1 = + 13 ; x2 = − 13 * Lời giải thiếu sót không? Bài giải có đạt điểm tối đa không? Điều xin giành cho bạn đọc (Đây giải hoàn chỉnh 22 thi) Vậy để tránh những sai lầm trên, dạy “ CĂN BẬC HAI ” giáo viên cần ghi nhớ cho học sinh công thức: A ≥  A = B ⇔ B ≥  A = B2  Ví dụ 5: Giải phương trình : (x + 2) x − = (5) x + =  x = −2 ⇔ Lời giải học sinh : (x + 2) x − = ⇔  x =  x−3 = Vậy tập nghiệm phương trình S = { −2;3} Nhận xét : x = – nghiệm phương trình (3) Sai lầm: Không tìm điều kiện xác định phương trình dẫn đến thừa nghiệm Khắc phục: Điều kiện x ≥ Giải Kết luận : Phương trình có nghiệm x = Ví dụ 6: Giải phương trình: x − − x − = (6) (Đề kiểm tra HKI năm học 2010 – 2011) Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Lời giải học sinh : Điều kiện : x2 – ≥ ⇔ x ≥ hoặc x ≤ −2 x = x =  x−2 =0  ⇔ (6) ⇔ x − 2(1 − x + 2) = ⇔  ⇔  17  x + = x=− 1 − x + =   17   Vậy tập nghiệm phương trình S = 2; −  9  17 Nhận xét : x = nghiệm phương trình Sai lầm: HS tìm điều kiện xác định phương trình chưa xác dẫn đến thừa nghiệm Thực ĐKXĐ phương trình x ≥  x2 − ≥ ⇔ x ≥ Giải Khắc phục: Điều kiện  x − ≥ Kết luận: Tập nghiệm phương trình S = { 2} Phân tích: Trong phương trình (5), giải phương trình học sinh nhận dạng phương trình tích dạng toán quen thuộc nên vội vàng giải bỏ sót điều kiện dẫn đến kết luận nghiệm phương trình thiếu xác Phương trình (6) học sinh tìm ĐKXĐ sai nên dẫn đến thưa nghiệm Khi giải dạng toán cần ghi nhớ công thức: B ≥  A B = ⇔  A =  B =  Ví dụ 7:Giải phương trình x − + x − = x − + x − 12 (7) Lời giải học sinh (7) ⇔ x − + x − = x − + x − ⇔ x − = x − x −1 ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔x=2 x −1 = 2x − x = Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét : x = không nghiệm phương trình x = x − không xác định Sai lầm: Không đặt điều kiện từ ban đầu nên dẫn đến kết luận nghiệm phương trình sai Khác phục: Điều kiện x ≥ Giải Kết luận : Phương trình vô nghiệm Ghi nhớ:  A ≥ A+ B = A+ C ⇔  B = C Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Sai lầm 2: Khi áp dụng đẳng thức Ví dụ 8: Giải phương trình : A2 = A Xét thiếu trường hợp dẫn đến nghiệm x − x + = x + (8) Lời giải học sinh : (8) ⇔ (2 x − 1) = x + ⇔ x − = x + ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét : (8) có nghiệm x = − Sai lầm : Lời giải học sinh bỏ sót điều kiện x + ≥ xét thiếu trường hợp 2x – = - ( x + 3) dẫn đến nghiệm Khác phục: Điều kiện x + ≥ ⇔ x ≥ −3 x = 2 x − = x + ⇔ (8) ⇔ (2 x − 1) = x + ⇔ x − = x + ⇔  x = − 2 x − = − ( x + 3)   Kết luận: Phương trình có nghiệm: x1 = 4; x2 = − Ví dụ 9: Giải phương trình: x + x −1 + x − x −1 = Lời giải học sinh : Điều kiện : x ≥ (9) ⇔ ⇔ x −1 + x −1 +1 + x −1 − x −1 + = ( x − + 1) + ( x − − 1) = x+3 ⇔ x+3 (9) x+3 x −1 +1 + x −1 −1 = x+3 (*) x+3 ( x ≥ ) ⇔ x − = x + ⇔ (x – 1) = (x +3 )2 2 ⇔ x – 10x + 25 = ⇔ x1 = x2 = ( thoả mãn ) Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét : Phương trình (9) có nghiệm x = Sai lầm : HS xét thiếu trường hợp ≤ x ≤ nên dẫn đến nghiệm : Khắc phục : Tư phương trình (*) Trường hợp : x ≥ Giải bổ sung trường hợp : ≤ x ≤ ta có (*) ⇔ = x + ⇔ x = ( thoả mãn) Kết luận : Phương trình có nghiệm : x1 = ; x2 = Chú ý : Khi dạy “ Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = A ” Cần ghi nhớ cho học sinh ⇔ công thức x −1 +1 + x −1 −1 = B ≥ A2 = B ⇔ A = B ⇔   A = ±B Sai lầm 3: Sai lầm vận dụng qui tắc khai phương tích , thương để biến đổi tương đương phương trình học sinh xét thiếu trường hợp dẫn đến thừa thiếu nghiệm Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Ví dụ 10: Giải phương trình: x( x − 1) + x( x − 2) = x( x − 3) (10) Lời giải học sinh: (10) ⇔ x ( x − 1) + x ( x − 2) = x ( x − 3) ⇔ ( x − 1) + ( x − 2) = ( x − 3) Điều kiện x ≥ ta có: x − > x − x − > x − Suy ( x − 1) + ( x − 2) > ( x − 3) Vậy phương trình vô nghiệm Nhận xét: Ta thấy x = nghiệm phương trình mà HS bỏ qua Việc chia vế cho x làm nghiệm phương trình Sai lầm: + Không xét trường hợp x = để suy nghiệm phương trình + Chưa xét đầy đủ trường hợp x > trường hợp x < Khắc phục: Trường hợp: x = ⇔ x = nghiệm phương trình Trường hợp x < (10) viết dạng: − x (1 − x) + − x (2 − x) = − x (3 − x) (10’) Vì − x > nên chia vế (10’) cho − x ta được: − x + − x = − x Do x < nên − x < − x − x < − x Suy − x + − x < − x Do x < Không thoả mãn phương trình Trường hợp x > Giải Kết luận : Phương trình có nghiệm x = Ví dụ 11: Giải phương trình: x( x − 5) + x( x − 2) = x( x + 3) (11) Lời giải học sinh:  x ≤   x ≥ x ( x − 2) ≥   x ≤ −3    x ≤ ⇔  x = Điều kiện:  x( x − 5) ≥ ⇔    x( x + 3) ≥  x ≥   x ≥   x ≤ −3    x ≥ * Ta có x = nghiệm phương trình (11) * Với x ≠ 0, chia vế phương trình cho x ta được: ( x − 5) + ( x − 2) = ( x + 3) ⇔ x – + x – + ( x − 5)( x − 2) = x + 10 − x ≥  x ≤ 10 ⇔ x − x + 10 = 10 – x ⇔  ⇔  2 4( x − x + 10) = (10 − x) 3 x − x − 60 = Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ  x ≤ 10 x =   x = ⇔  ⇔  x = − 10   x = − 10    ( thoả mãn) 10   Vậy tập nghiệm phương trình (11) : S = 0;6; −  3  Nhận xét: Lời giải lôgich chặt chẽ kiểm tra lại x = - 10 không nghiệm phương trình Nguyên nhân dẫn đến việc thưa nghiệm Sai lầm: HS xét trường hợp x ≠ , trường hợp x ≠ phải xét khả xảy x > x < Cụ thể xét trường hợp x ≥ x ≤ −3 Khắc phục: Trường hợp x = nghiệm phương trình 10 Trường hợp x ≥ Giải loại nghiệm x = (không thoả mãn) Bổ sung trường hợp x ≤ −3 (trình bày phần sau) Đó những sai lầm mà học sinh cũng mắc phải vận dụng công thức A.B = A B , giáo viên nếu không để ý cũng khó tìm nguyên nhân đãn đến sai lầm hai ví dụ Khi dạy “Liên hệ phép nhân phép khai phương” cần ghi nhớ cho HS công thức: A.B = A B A.B = − A − B Ví dụ 12: Giải phương trình: A ≥ 0; B ≥ A ≤ ; B ≤ 2x + = (12) x+2 Lời giải học sinh: 2x + = ⇔ 2x + = x + (12) ⇔ x+2 x + ≥  x ≥ −2 ⇔ ⇔ 2 x + = x +  x = −5 Vậy phương trình vô nghiệm Nhận xét: Rõ ràng x = - nghiệm phương trình.Vậy học sinh sai lầm bước biến đổi nào? Sai lầm: Khi áp dụng quy tắc khai phương thương học sinh bỏ sót trường hợp : x ≤ −3,5 nên dẫn đến nghiệm Khắc phục: Xét thêm trường hợp x ≤ −3,5 họăc giải sau: Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 10 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Vậy phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = Qua ví dụ hiểu vận dụng bất đẳng thức vào giải phương trình vô tỉ cần phải linh hoạt, sáng tạo đem đến cho nhiều bất ngờ, thú vị Bên cạnh đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nghiên cứu kĩ kiến thức liên quan Sau tập vận dung Bài 1: Giải phương trình sau a) x − + 10 − x = x − 12 x + 40 b) x2 + 2x + = 3 x + 3x c) x − x + + x + x + 10 = 29 d) − x = x − x + Bài 2: Giải phương trình sau x 7x − + =2 a) x 7x − b) x2 − 2x + + y + x2 + 2x + + y + y = c) 13 x − + x + = 16 x d) − x + − x + + x = II.2 KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 2.1 Thời gian áp dụng: Giải pháp áp dụng giảng dạy chương I Đại số 9: “CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA” cho toàn đối tượng học sinh, ôn luyện thi vào lớp 10 THPT dùng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Với đối tượng học sinh giỏi, phương pháp giải phương trình vô tỉ chìa khóa để mở kho tàng kiến thức tiềm ẩn Tùy thuộc vào tưng dạng tập mà ta vận dụng cách linh hoạt sáng tạo giải pháp 2.2 Khả thay số giải pháp có: a Đối với học sinh đại trà Ví dụ: Nhiều giáo viên giảng dạy chương I Đại số thường sử dụng hình thức củng cố cách cho học sinh ghi nhớ công thức học Theo tôi, để khắc sâu kiến thức cho học sinh lại việc ghi nhớ công thức mà việc vận dụng kiến thức học để luyện tập đem lại hiệu cao Vì vậy sử dụng giải pháp thay thế hệ thống tập sách giáo khoa Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 62 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ đưa thêm số tập nhằm mở rộng nâng cao kiến thức cho học sinh giỏi, phát triển tư nâng cao lực nhận thức giúp cho học sinh hứng thú học tập Chẳng hạn: GIẢI PHÁP CŨ (Các công thức cần ghi nhớ) BÀI §1 CĂN BẬC HAI B ≥  A B = ⇔   A =  B =  §2 CĂN A ≥  A = B ⇔ B ≥  A = B2  1.Giải phương trình a) x + = x + b) x − 20 x + 25 = − x c) x − + x − = d) x + = x − x + Giải phương trình a) (x + 2) x − = b) x − − x − = Giải phương trình a) x − 2011 = 2010 − x b) x − + x − = x − + x − 12 B ≥ A2 = B ⇔ A = B ⇔  A = ±B Giải phương trình a) x − x + = x + A2 = A HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG §4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG ( giải trình bày phần giải pháp) A ≥  A = B ⇔ B ≥ A = B  THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ( A2 ) = ( B ) ⇔ A2 = B ⇔ A = ± B ĐẲNG THỨC §3 LIÊN GIẢI PHÁP THAY THẾ b) x + x − + x − x − = x+3 Giải phương trình a) (4 x − x + 1) = ( x + x + 9) b) x4 + A.B = A B với A ≥ 0; B ≥ A.B = − A − B với A ≤ ; B ≤ A = B A B A −A = B −B với A ≥ 0, B > với A ≤ 0, B < x + 2010 = 2010 Giải phương trình a) ( x − 2)( x − 4) = 12 b) x( x − 1) = 2x – c) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x − 3) Giải phương trình 2x + =1 a) x+2 2x + =1 b) x+2 Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 63 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ §6 BIẾN  A B A ≥ A B = A B = ĐỔI ĐƠN  -A B A < GIẢN BIỂU THỨC  A2 B A ≥ 0; B ≥ CHỨA A B =  CĂN - A2 B A < 0; B ≥ THỨC BẬC HAI Rút gọn ( x − 1) x 2.Giải phương trình ( x − 3)( x − x − 6) = x + x + 12 1.Đưa thưa số vào dấu x ( x − 1) − x2 Giải phương trình x +1 (x – 3)(x + 1) + 3(x – 3) =4 x−3 Giải phương trình  AB A ≥ 0; B > §7 BIẾN x + x +1 4x + A AB  B = =3 a) b) = = ĐỔI ĐƠN x − x − x + B B - AB A < 0; B < GIẢN  B BIỂU THỨC A A B Giải phương trình =5 = B > CHỨA 3x − B B CĂN Giải phương trình C C ( A mB ) THỨC ≠ = ≥ với A A x −1 A − B2 BẬC HAI A±B = 12 b) =2 a) x +1 3x + − B2 Giải phương trình C C( A m B ) = với A ≥ 0, B A− B A± B =3 x − + x − ≥ A ≠ B Giải phương trình §.9 CĂN A = B ⇔ A = B 3 BẬC BA 2.( A + B )( A2 − AB + B ) = A + B a) x − = b) 2x2 – 11x + 21 = 3 x − ( A − B )( A2 + AB + B ) = A – B b Đối với HS giỏi Hầu hết học sinh giỏi đứng trước toán phương trình vô tỉ nghĩ đến số phương pháp thông thường nâng lên lũy thưa, vận dụng đẳng thức A2 = A , đưa dạng bình phương tổng, hiệu hoặc đặt ẩn phụ đơn giản, giải pháp đưa hoàn thiện cho học sinh phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình tích, đặt hai hoặc ba ẩn phụ đưa hệ phương trình, cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovsky, Min – cop – xki….để giải phương trình Tóm lại giải pháp mà tác giả đưa thay thế hoàn thiện cho học sinh phương pháp giải phương trình vô tỉ mà số tài liệu chưa cung cấp đủ, giúp học sinh có đầy đủ kiến thức kĩ thật tự tin gặp toán liên đến rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai giải phương trình vô tỉ Ví dụ 1: Giải phương trình sau cách : x + = x − x + (*) (Đề thi GVDG môn Toán cấp huyện Phù Mỹ năm học 2011 – 2012) Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 64 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Khi đưa học sinh giỏi trình bày hoàn chỉnh theo ba cách giải: Cách 1: Nâng lên luỹ thừa Điều kiện: 2x2 – 6x + ≥ ⇔ x ≤ hoặc x ≥ (*) ⇔ 9( x3 + 8) = ( 2x2 – 6x + 4)2 ⇔ ( x2 – 6x – )( 4x2 – 9x + 14) = ⇔ x2 – 6x – = ( 4x2 – 9x + 14 > ) ⇔ x1 = + 13 ( thỏa mãn ); x2 = − 13 ( thoả mãn ) Vậy phương trình có nghiệm : x1 = + 13 ; x2 = − 13 Cách 2: Đặt hai ẩn phụ đưa phương trình bậc hai (*) ⇔ 2( x2 – 2x + ) – ( x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) Điều kiện : x3 + ≥ ⇔ x ≥ −2 Đặt x + = u ( u ≥ ) ; x2 − 2x + = v ( v > ) Phương trình ( 1) trở thành : 2(v2 – u2 ) = 3uv ⇔ (2v + u )( v – 2u) = Do 2v + u > Suy v – 2u = ⇔ v = 2u Ta có : x − x + = x + ⇔ x – 6x – = ⇔ x1 = + 13 ( thỏa mãn ); x2 = − 13 ( thoả mãn ) Vậy phương trình có nghiệm : x1 = + 13 ; x2 = − 13 Cách 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai Điều kiện: 2x2 – 6x + ≥ ⇔ x ≤ hoặc x ≥ (*) ⇔ 2( x2 – 2x + ) – ( x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) 2 ⇔ x − 2x + − = x − 2x + x+2 x+2 Đặt x2 − 2x + =t x+2 ( t ≥ 0) ( loại) Với t1 = ta có: x2 – 6x – = phương trình có nghiệm : x1 = + 13 ; x2 = − 13 ( thảo mãn) ta có phương trình 2t2 – 3t – = , suy t1 = ( chọn); t2 = - Vậy phương trình có nghiệm : x1 = + 13 ; x2 = − 13 Ví dụ 2: Giải phương trình : x2 + − x = 2x2 − x (Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp tỉnh Bình Định năm học 2004 - 2005) - Năm học 2004 – 2005 đội tuyển học sinh giỏi Toán huyện Phù Mỹ dự thi cấp tỉnh không học sinh giải toán không xác định hướng giải toán Nhưng giải pháp đưa nhiều học sinh giỏi xác định đựơc hướng giải cho toán GIẢI: Điều kiện : x ≤ Đặt : − x = t ( t ≥ 0) Phương trình trở thành: (2 – t2)2 + t = 2(2 – t2)2.t ⇔ – 4t2 + t4 + t = 8t – 8t3 + 2t5 ⇔ (t – 1)(2t4 + t3 – 7t2 – 3t + 4) = Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 65 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ ⇔ ( t – 1)(t2 + t – 1)(2t2 – t – 4) = −1 + −1 − + 33 − 33 Tư tìm : t = 1; t = ;t= (loại); t = ;t= (loại) 2 4 + Với t = ⇒ − x = ⇔ – x = ⇔ x = ( thoả mãn) −1 + ⇒ −1 + ⇔ −1 + ⇔ +1 2–x=( ) x= (thoả mãn) 2− x = 2 2 + 33 ⇒ + 33 ⇔ + 33 ⇔ 33 + + Với t = 2–x=( ) x= − (thoả mãn) 2− x = 4 +1 33 + Vậy phương trình có nghiệm : x1 = ; x2 = ; x3 = − c Đối với giáo viên: Vận dụng giải pháp trình bày xây dựng chuyên đề mơi phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ: Xuất phát tư phương trình bậc hai t – 5t + = giáo viên chọn t để tạo các toán mới Chọn t = x2 ta có phương trình x4 – 5x2 + = chọn t = (2011x + 2011) ta có phương trình (2011x + 2011)2 – (2011x + 2011) + = chọn t = (x2 – 2x + 5) ta có phương trình (x2 – 2x + 5)2 - 5(x2 – 2x + 5) + = + Với t = 2.3 Khả áp dụng: Các giải pháp triển khai áp dụng rộng rãi tất đơn vị trường THCS cho tất giáo viên đối tượng HS Ngoài HS lớp10 THPT cũng sử dụng trình tự học Học sinh trung học phổ thông dùng làm tài liệu để ôn thi Đại học – Cao đẳng II.3 LỢI ÍCH KINH TẾ - XÀ HỘI 3.1 Lợi ích đạt trình giáo dục: Sử dụng giải pháp nêu góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giáo dục Việc áp dụng lồng ghép dạng tập giải phương trình vô tỉ sau học chương “CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA”nhằm rèn luyện kĩ thực xác phép biến đổi thức bậc hai Mọi giáo viên toán THCS dùng làm tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi toán dự thi cấp huyện, cấp tỉnh, thi vào trường chuyên, lớp chọn thi vào trung học phổ thông Ngoài ra, giải pháp nguồn kiến thức bổ trợ quan trọng nhằm góp phần nâng cao lực chuyên môn, tay nghề - hình thức tự học sáng tạo cần thiết để bồi dưỡng lực cho giáo viên Dựa giải pháp trình bày, giáo viên có khả sáng tác toán mới tư đơn giản đến phức tạp phù hợp với đối tượng học sinh lớp giảng dạy Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 66 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Đối với học sinh, học sinh giỏi, giải pháp phương tiện hỗ trợ thật cần thiết cho trình tự học tự rèn Nó khơi dậy phần tiềm ẩn khuất học sinh tiếp cận với những giải pháp mà giáo viên hướng dẫn Những sai lầm HS mắc phải khắc phục, tạo hứng thú tự tin yêu thích toán học học sinh 3.2 Chất lượng, hiệu sử dụng: - Bằng cách áp dụng đồng giải pháp nêu trình thực hiện, trường hai năm qua, phần giáo viên bớt khó khăn mặt thời gian phương pháp hướng dẫn cho học sinh giải phương trình vô tỉ Sau hai năm thực đối chiếu, kết đạt sau: 3.2.1 HỌC SINH ĐẠI TRÀ a) Bài kiểm tra chương I (tiết 18) Năm học Lớp 2009- 2010 Dạy thông thường A1 A2 A3 A7 2009 – 2010 A8 Dạy theo A9 SKKN 2010 – 2011 A1 Dạy thông A2 thường A3 2010 – 2011 A7 Dạy theo A8 SKKN A9 Sĩ số 37 36 37 37 38 37 Giỏi Khá Trung bình SL TL% SL TL% SL TL% 8.1 13.5 12 32.4 13.9 13.9 12 33.3 13.5 16.2 11 29.7 12 32.4 13 35.1 11 29.7 18 47.4 12 31.6 18.4 12 32.4 12 32.4 11 29.7 Yếu, SL TL% 17 45.9 14 38.9 16 43.2 2.7 2.6 5.4 TB trở lên SL TL% 20 54.1 22 61.1 22 59.4 36 97.3 37 97.4 35 94.6 34 34 33 34 34 34 12 20 16 10 11 24 70.6 25 73.5 22 66.7 33 97.1 34 100.0 34 100.0 20.6 17.6 9.1 35.3 58.8 47.0 7 12 20.6 20.6 15.2 35.3 23.5 26.5 10 12 14 9 29.4 35.3 42.4 26.5 17.6 26.5 29.4 26.5 33.3 2.9 b) Bài kiểm tra HKI năm học 2010 – 2011 Đề bài: Giải phương trình: x − − x − = (1) Điều kiện x ≥ (1) ⇒ Đáp án  x−2 =0 x − 2(1 − x + 2) = ⇔  1 − x + = Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh Điểm 0,25 0,25 67 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ x = x = ⇔ ⇔  x+2 =  x = − 17   17 Kết hợp với điều kiện x ≥ x = ( thoả mãn); x = − (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,25 0,25 Kết thống kê Phương pháp giảng dạy Dạy thông thường Dạy theo SKKN Lớp 9A1 9A2 A3 A7 Sĩ số 34 34 33 34 Điểm 0,0 Điểm 0,25 SL TL SL TL 14.7 15 44.1 17.6 12 35.2 12 36.4 13 39.4 2.9 Điểm 0,5 SL TL 20.6 12 35.2 21.2 5.9 Điểm 0,75 SL TL 20.6 8.8 3.0 10 29.4 9A8 34 2.9 8.8 8.8 9A9 34 2.9 11 11.8 Điểm 1,0 SL TL 0 21 61 27 79 25 73 3.2.2 KẾT QUẢ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2008 – 2009 (Chưa dạy theo SKKN) 2009 – 2010 (Dạy theo SKKN – HKII) 2010 – 2011 (Dạy theo SKKN) Cấp huyện SL dự thi Đạt giải (khuyến khích) Cấp tỉnh SL dự thi Đạt giải (1 nhì, giải 3, giải khuyến khích) (1 giải nhì) 2 (khuyến khích) (1 nhì, giải 3, giải khuyến khích) Đặc biệt nhiều học sinh tham gia chuyên mục “Giải kì trước” tạp chí toán học tuổi trẻ thi “giải toán qua thư” tạp chí toán tuổi thơ Có học sinh nêu tên em Nguyễn Trọng Nhất lớp 9A8 khen nêu tên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 407 tháng 5/2011, có lời giải hay độc đáo cho Toán – Lí chuyên mục “Giải kì trước” với toán sau: * Giải phương trình x + x + 17 − x + 17 − x = 34 Lời giải: Điều kiện ≤ x ≤ 17 Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số không âm ta có x + 17 − x ≤ (12 + 42 )( x + 17 − x) = 17 (1) Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 68 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ x + 17 − x ≤ (12 + )( x + 17 − x ) = 17( x + 17 − x ) Cộng theo vế bất đẳng thức (1) (2) ta x + x + 17 − x + 17 − x ≤ 34 x 17 − x Đẳng thức xảy = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = (2) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có x +1 16 + (17 − x) 33 − x x≤ ; 17-x ≤ = 2 x +1  x +1  x + x≤ ≤  + 1÷ = 2  + 17 − x 33 − x  65 − x  ≤ 2 + ÷=   4 Suy x + x + 17 − x + 17 − x ≤ 34 Đẳng thức xảy x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 17 − x ≤ 3.3 Tác động đến điều kiện lao động Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “phương trình vô tỉ” mảng chuyên đề mà giáo viên làm công tác bồi dưỡng ngại phân công phụ trách chuyên đề Học sinh đại trà gần không giải dạng toán liên quan đến phương trình vô tỉ, học sinh giỏi thường bỏ qua toán đề thi học sinh giỏi toán cấp huỵện, cấp tỉnh, thi vào THPT chuyên Lê Quý Đôn Khi áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy, giáo viên tích lũy cho vốn kiến thức quý báu, có hội để trao đổi kinh nghiệm lẫn trình giảng dạy, tiết kiệm thời gian công sức để đầu tư thêm vào chuyên đề khác trình bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp Với học sinh trạng thái thiếu tự tin gặp dạng toán không nữa Ý thức học tập môn toán học sinh nâng lên rõ rệt Học sinh giỏi thi tìm giải toán phương trình vô tỉ đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào THPT Lê Quý Đôn hàng năm toán đăng tạp chí toán học tuổi trẻ toán tuổi thơ Học sinh đại trà thực thành thạo phép biến đổi, rút gọn biểu thức chứa bậc hai, giải phương trình vô tỉ Phần lớn học sinh tự đọc hiểu tài liệu cách rõ ràng, lôgich để tự sáng tác thêm toán mới phương trình vô tỉ để phục vụ cho việc tự học Nhà trường có thêm tư liệu quý góp phần làm phong phú thêm kho tư liệu tích luỹ chuyên môn trường hàng năm, nhờ tổ đỡ vất vả việc phân công giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi Một điều thành công tất giáo viên tổ Toán – Tin trường dạy tốt chuyên đề “phương trình vô tỉ” phân công bồi dưỡng học sinh giỏi Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 69 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 70 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học Trong hoạt động đó, học sinh cần phải cuốn hút vào những hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thông qua học sinh học sinh tự khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu những tri thức sắp đặt sẵn Theo tinh thần này, tiết lên lớp giáo viên người tổ chức đạo cho học sinh tiến hành hoạt động học tập: củng cố kiến thức cũ, tìm tòi phát kiến thức mới, luyện tập vận dụng kiến thức vào tình huống khác nhau… giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành kĩ vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết suy luận, biết cách tự tìm lại những điều quên, biết cách tự tìm tòi phát kiến thức mới Các tri thức phương pháp thường những quy tắc, quy trình, nói chung phương pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên, cũng cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm đoán (ví dụ phương pháp tổng quát Polya để giải tập toán) Học sinh cần rèn luyện thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ quen Việc nắm tri thức phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh tự đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân Nghiên cứu kỹ chương trình toán học trung học sở, sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo, tài liệu liên quan, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, kể chương trình toán học trung học phổ thông giúp cho giáo viên định hướng tốt cho trình thực tiết lên lớp xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Giáo viên phải giúp học sinh sửa sai lời giải để giúp học sinh khắc sâu kiến thức nhớ lâu nếu quên tìm lại Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp Muốn nâng cao chất lượng đào tạo phải nâng cao trình độ chuyên môn cho giáo viên Vì vậy , để có hiệu mong muốn, giáo viên nên thực đảm bảo tính xuyên suốt, liên tục việc xây dựng kế hoạch giảng dạy phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi Nếu giáo viên biết cách tự sáng tạo, tự học tự rèn điều kiện cho phép nổ lực cố gắng thân số giải pháp mới khởi đầu niềm đam mê toán học Có thể sử dụng những giải pháp để sáng tác những toán phát triển tư cao hơn, mở rộng tầm nhận thức người công trình nghệ thuật giáo viên dạy toán mãi những người yêu thích toán Sự thành công giáo viên đường dạy học góp phần tạo hứng thú tự tin cho học sinh Vận dụng giải pháp giáo viên xây dựng chuyên đề khác phục vụ cho nhu cầu giảng dạy cách tương tự Phát sai lầm học sinh thường mắc phải giúp cho học sinh tránh những sai lầm đường học toán Có thể vận dụng giải pháp nêu để tiếp tục phát triển sâu hơn, rộng số phương pháp khác hệ thống tập phương trình vô tỉ dạng tập tương tự Đề xuất, kiến nghị Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 71 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Để có kết mong muốn yêu cầu chung giáo viên phải có lực chuyên môn sư phạm vững vàng đòi hỏi giáo viên phải có lòng say mê, nhiệt tình tâm huyết với nghề nghiệp Dành nhiều thời gian đầu tư cho công tác soạn giảng, nghiên cứu kĩ chương trình toán THCS, đọc nhiều sách tài liệu tham khảo liên quan đến vấn đề trực tiếp giảng dạy để tích luỹ số kinh nghiệm cần thiết, vững vàng tự tin đứng lớp cũng làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi … mới giúp học sinh hoàn thiện kiến thức tạo cho em hứng thú đến học toán Nhà trường mặt phải có biện pháp kích thích, nuôi dưỡng lòng nhiệt tình những giáo viên lớn tuổi đồng thời phải có kế hoạch bồi dưỡng lớp giáo viên trẻ có lực để kịp thời bổ sung vào lực lượng giáo viên cốt cán nhà trường Xuất phát tư đặc điểm tâm sinh lí lứa tuổi, thấy những giáo viên lớn tuổi thường giàu kinh nghiệm, chuyên môn vững vàng, có nhiều tâm huyết, gắn bó với nghề dễ lòng, muốn nghỉ ngơi Còn những giáo viên trẻ nhiệt tình, động, sáng tạo, ham học hỏi, muốn khẳng định thường thiếu kinh nghiệm hay nóng vội Do nhà trường cần phải biết cách hai lực lượng bổ sung, hỗ trợ cho nhau, tạo nên tiềm lực đủ mạnh, đủ bền động để nâng cao chất lượng dạy học Ban giám hiệu kết hợp với tổ chuyên môn hàng năm phân công giáo viên hoặc nhóm giáo viên chọn lọc, tích luỹ viết chuyên đề nâng cao dùng làm tư liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi Sau tổ chức thẩm định đưa vào làm tư liệu chuyên môn cho trường hàng năm hoàn chỉnh thành sáng kiến kinh nghiệm Bộ phân chuyên môn phòng giáo dục chọn lọc sắp xếp phân công cho tổ toán trường viết chuyên đề nâng cao hàng năm có đội ngũ cốt cán thẩm định để tư có thêm số tài liệu cho giáo viên tham khảo giảng dạy cũng thực công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hiệu Trên số kinh nghiệm nhỏ mà thân tích luỹ trình giảng dạy, mong muốn trao đổi bạn đồng nghiệp, hi vọng sáng kiến kinh nghiệm phần cung cấp thêm phương pháp giải phương trình vô tỉ cho bạn đồng nghiệp em học sinh giỏi muốn tìm hiểu sâu thêm kiến thức toán trung học sở, làm tảng cho kiến thức toán trung học phổ thông, đồng thời có ủng hộ góp ý chân thành tất bạn viết hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Phù Mỹ, ngày 02 tháng năm 2012 Người viết Nguyễn Văn Thanh Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 72 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán - Tập I, tập II Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 73 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Ôn kiến thức luyện kĩ Đại số – Tôn Thân (chủ biên) Một số chuyên đề liên quan đến giải phương trình vô tỉ đăng tạp chí Toán học & tuổi trẻ tạp chí Toán tuổi thơ Một số viết liên quan đến giải phương trình vô tỉ đăng tải trang mạng Toán học số tác giả Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn Toán THCS (Tôn Thân – Phan Thị Luyến - Đặng Thị Thu Thuỷ) Một số vấn đề phát triển Đại số – Vũ Hữu Bình MỤC LỤC Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh Trang 74 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ PHẦN A: MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………………… I Đặt vấn đề …………………………………………………………………………… 1 Thực trạng vấn đề …………………………………………………………… Ý nghĩa tác dụng giải pháp mới ………………………………………… Phạm vi nghiên cứu đề tài …………………………………………………… II Phương pháp tiến hành ……………………………………………………………… Cơ sở …………………………………………………………………………… Các biện pháp tiến hành thời gian tạo giải pháp …………………………… PHẦN B: NỘI DUNG …………………………………………………………………………… I Mục tiêu …………………………………………………………………………… II Mô tả giải pháp đề tài …… …………………………………………………… II.1a Những sai lầm thường gặp giải phương trình vô tỉ………………………… II.1b Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ …………………… …………… 19 II.2 Khả áp dụng ……………………………………………………………… 61 II.3 Lợi ích kinh tế xã hội ……………………………………………………………63 PHẦN C: KẾT LUẬN …………………………………………………………………………… 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………… 67 MỤC LỤC ………………………………………………………………………………………… 68 Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 75 www.huongdanvn.com Những sai lầm cần khắc phục số phương pháp giải phương trình vô tỉ Giáo viên : Nguyễn Văn Thanh 76