PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM: (8,0 điểm) Chọn đáp án ghi vào giấy thi (V.dụ: – A) Câu Phân tích đa thức thành nhân tử: x + xy + y − , ta được: A (x + 2)(x + 3y – 2) B (x + 3)(x + 2y – 3) C (x + 3)(x + 3y – 2) D (x + 2)(x + 2y – 2) Câu Phân tích đa thức: 3x – 8x + thành nhân tử là: A (x – 2)(3x – 2) B (x + 2)(3x – 2) C.(x – 3)(2x – 3) D (x + 3)(2x + 3) Câu Giải phương trình: x – x – 12x = nghiệm là: A x1 = 1; x2 = - 2; x3 = B x1 = 3; x2 = - 4; x3 = C.x1 = 4; x2 = - 3; x3 = D Kết khác 2+ x x2 2−x x − 3x Câu Điều kiện xác định biểu thức: A = ( − − ):( ) là: − x x − + x x − x3 A x ≠ - 2; x ≠ 0; x ≠ B x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ C x ≠ - 2; x ≠ D x ≠ 2; x ≠ Câu Điều kiện để biến đổi tương đương giải phương trình 2x 13x − = là: 3x − x + 3x + x + A x ≠ x ≠ C x ≠ x ≠ B x ≠ x ≠ D x ≠ - x ≠ -  − x3  − x2   − x : Câu Cho biểu thức   − x − x + x với x ≠ -1 x ≠ Sau rút gọn, được:  1− x  A (1 - x)2 (1 + x) B (1 + x2)(1 - x) C (1 + x)2 (1 + x2) D (1 - x2) (1 + x2) Câu Một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12 cm Tam giác cân có diện tích là: A 60 cm2 B 120 cm2 C 75 cm2 D 57 cm2 Câu Cho ∆ ABC có độ dài ba cạnh : AB = 20 cm, AC = 34 cm, BC = 42 cm Diện tích tam giác là: A 630 cm2 B 633 cm2 C 363 cm2 D 336 cm2 µ =2C µ , AB = cm, BC = 10 cm Tính AC Câu Cho ∆ ABC có B A 12 cm B 21 cm C 13 cm D 31 cm Câu 10 Giá trị nhỏ M = 2x – 8x + là: A Mmin = - ⇔ x = B Mmin = - ⇔ x = C Mmin = - ⇔ x = D Mmin = - ⇔ x = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Câu 11 Tỉ số cạnh bé hai tam giác đồng dạng 2/5 Tính chu vi P P’ hai tam giác biết P’ – P = 18 cm 162 36 cm; P = cm 7 A P’= 48cm; P = 30 cm B P’= C P’= 30cm; P = 12cm D P’’ = 21cm; P = 3cm Câu 12 Rút gọn biểu thức (x + y)2 + (x - y)2 - 2x2 ta kết A 2y B 2y2 C - 2y2 Câu 13 Phương trình m(x - 1) = - (m - 1)x vô nghiệm : A m = B m = C m = D 4x + 2y2 D m = Câu 14 Giá trị nhỏ đa thức A = 4x2 + 4x + 11 A -10 x = -1/2 B -11 x = -1/2 C x = -1/2 D 10 x = -1/2 Câu 15 Bất phương trình x + 2x + > có tập nghiệm : A Mọi x ∈ R B x ∈ φ C x > -2 D x ≥ -2 Câu 16 Phương trình x + − = x có nghiệm : A {-2; 13 } B {-2; −157 } C {-2; } D {-2; − } II PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho n số nguyên không chia hết cho Chứng minh P = 32n + 3n + chia hết cho 13 Câu (3,0 điểm) a) Biết a – 2b = tính giá trị biểu thức B = 3a − 2b 3b − a + 2a + b −5 b) Cho x, y, z số khác không Chứng minh rằng: 1 x6 + y + z = xyz Nếu x + y + z = + + = x y z x + y3 + z3 Câu (3,5 điểm) 1 1 + + = x y 2xy b) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ 10 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : P = 2x + y + + x y a) Giải phương trình nghiệm nguyên : Câu 4: (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M điểm nằm B C Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N P thuộc đường thẳng CD) Chứng minh tam giác AMN vuông cân AN2 = NC NP Tính tỉ số chu vi tam giác CMP chu vi hình vuông ABCD Gọi Q giao điểm tia AM tia DC Chứng minh tổng điểm M thay đổi cạnh BC - Hết - http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1 + không đổi AM AQ2 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HSNK LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán I PHẦN TRẮC NGHIỆM: Mỗi câu cho 0,5 điểm Riêng câu đáp án không cho điểm Câu Đáp án Câu Đáp án B A A 10 D C 11 C C, D 12 B A 13 B B 14 D C 15 A II PHẦN TỰ LUẬN: Câu (2,0 điểm) Theo giả thiết n không chia hết có dạng n = 3k + n = 3k + + Nếu n = 3k + P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + = (33k+1)2 + 33k+1 + = 9.272k + 3.27k +1 Vì 27 chia cho 13 dư nên 27k 272k chia cho 13 dư hay 9.272k 3.27k chia cho 13 dư Khi P chia cho 13 có số dư 13 Vậy P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + chia hết cho 13 + Nếu n = 3k + chứng minh tương tự P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + chia hết cho 13 Câu (3,0 điểm) a) Biết a – 2b = tính giá trị biểu thức 3a − 2b 3b − a + B= 2a + b−5 2a + (a − 2b) b − ( a − 2b) = + 2a + b−5 2a + b − = + =1+1= 2a + b − b) Cho x, y, z số khác không Chứng minh rằng: 1 x6 + y + z = xyz Nếu x + y + z = + + = x y z x + y3 + z3 1 Ta có + + = ⇔ xy + yz + zx = x y z Khi chứng minh được: x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 mà x + y + z = suy x3 + y3 + z3 = 3xyz từ x + y + z ( x3 + y + z ) − 2( x y + y z + z x ) = x3 + y + z x3 + y + z (3xyz )2 − 2.3 x y z x y z − x y z = = = xyz 3xyz xyz http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 D 16 D 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (3,5 điểm) Giải phương trình 1 1 + + = x y 2xy a) ĐKXĐ : x ≠ , y ≠ 0.25 => 2y + 2x + = xy  xy - 2x - 2y - =  x(y - 2) - (2y - 4) - =  (y - 2)(x - 2) = Vì x, y ∈ Z => x - 2, y - ∈ Z Do ta có bảng giá trị : x-2 -1 -5 y-2 -5 -1 x -3 y -3 Thử lại chọn chọn chọn chọn Vậy phương trình có nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 30 + x y y 30 = x+ x+ y+ + + 5 5 x y 30 y = (x + y)+ ( x + ) + ( + ) 5 x y 0.25 0.25 0.5 0.25 P = 2x + y + b) 0.5 Vì x, y > nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có : 30 30 x+ ≥2 x =12 x x y y + ≥2 =2 y y 30 y x , y x (1) (2) 0.5 Từ (1), (2) từ giả thiết x + y ≥ 10 => P ≥ + 12 + = 22  x,y > 6  x = 30 x = x 5 Dấu "=" xảy   y  y =  = 5 y   x + y =10 0.5 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 22  x = y = Câu 4: (3,5 điểm) B A M N D P http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.25 C Q 0.25 *) Chứng minh tam giác AMN vuông cân · · - Chứng minh DAN = BAM - Chứng minh ∆ ADN = ∆ ABM (g.c.g) => AN = AM (hai cạnh tương ứng) · - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) MAN = 90o (giả thiết) => Tam giác AMN vuông cân A *) Chứng minh AN2 = NC NP - Tam giác AMN cân A (chứng minh trên) AP ⊥ MN (giả thiết) · => AP tia phân giác MAN => 1· · · NAP = MAP = MAN = 45o · - Vì ABCD hình vuông (giả thiết) => ACD = 45o · ACN = 45 hay 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 o - Chứng minh ∆ ACN ∽ ∆ PAN (g.g) => AN CN = => AN2 = NP.NC PN AN - Chứng minh PM = PN - Chu vi tam giác CMP : CM + MP + CP = CM + PN + CP (vì MP = NP) = CM + PD + DN + CP = (CP + PD) + (BM + CM) (BM = DN ∆ ADN = ∆ ABM) = CD + CB = 2BC - Chu vi hình vuông ABCD 4BC => Tỉ số chu vi tam giác CMP chu vi hình vuông ABCD : 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2BC = 4BC - Tam giác ANQ vuông A, có đường cao AD => AN.AQ = AD.NQ (=2SABC) => 0.5 NQ NQ = => = AD AN.AQ AD2 AN2 AQ Mà NQ2 = AN2 + AQ2 (ĐL Py-ta-go tam giác vuông ANQ) => AN2 + AQ2 1 1 = = + = + 2 2 2 AD AN AQ AN AQ AM AQ (vì AM = AN) Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi 1 => AM + AQ = AD không đổi M thay đổi cạnh BC 2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.25 0.25 ... http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1 + không đổi AM AQ2 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HSNK LỚP NĂM HỌC 2016- 2017 Môn: Toán I PHẦN TRẮC NGHIỆM: Mỗi câu cho 0,5 điểm Riêng câu đáp án không cho điểm Câu Đáp án... cạnh bé hai tam giác đồng dạng 2/5 Tính chu vi P P’ hai tam giác biết P’ – P = 18 cm 162 36 cm; P = cm 7 A P’= 48cm; P = 30 cm B P’= C P’= 30cm; P = 12cm D P’’ = 21cm; P = 3cm Câu 12 Rút gọn biểu... Phương trình m(x - 1) = - (m - 1)x vô nghiệm : A m = B m = C m = D 4x + 2y2 D m = Câu 14 Giá trị nhỏ đa thức A = 4x2 + 4x + 11 A -10 x = -1/2 B -11 x = -1/2 C x = -1/2 D 10 x = -1/2 Câu 15 Bất phương