I K H F N D C O B A M S H K F N D C O B A M Bài 1 : Bài 1 : Cho đường tròn(O:R) và điểm M nằm ngồi đường tròn . Vẽ các tiếp tuyến MA ,MB với đường tròn(O)(A,B là các tiếp điểm)và cát tuyến MCD khơng qua O(MC< MD,AC< BC) Gọi I là trung điểm CD. a) Chứng minh các tứ giác MAIO , AIOB là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh IM là tia phân giác của góc AIB . c) Đường thẳng qua C và vng góc với OA cắt AB , AD lần luợt tại N và K .Chứng minh tứ giác CNIB là tứ giác nội tiếp và N là trung điểm của CK . d) Gọi Q là giao điểm của CD và AB .Chứng minh MC QC MD QD = . Bài 2 : Bài 2 : Cho đường tròn(O;R) và điểm M nằm ngồi đường tròn . Vẽ các tiếp tuyến MA ,MB với đường tròn(O)(A,B là các tiếp điểm) .Trên tia đối của tia AB lấy điểm S .Qua M kẻ MH vuông góc SO tại H . Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại C và D .Gọi K là giao điểm của MO và AB 1) Chứng minh : a) Năm điểm M ,A ,B ,O ,H cùng thuộc một đường tròn .Xác đònh tâm I của đường tròn này . b) OH.OS = OK.OM c) SC là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) · · 2 2 CA HA BCH CAH vµ CB HB = = 2) Cho biết MA = 4cm và MH =5cm Tính CD . Các bài toán luyện về tứ giác nội tiếp K I A D C O B M N I K D C O B A M Bài 3 : Bài 3 : Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) .Qua A vẽ dây AD song song MB .Gọi I là trung điểm của MB .Tia AI cắt đường tròn (O) tại C . Gọi K là giao điểm của tia AO và đường thẳng MB a) Chứng minh tam giác BAD cân . b) IB 2 = IC .IA c) Chứng minh ba điểm M , C , D thẳng hàng . d) Gọi N là giao điểm của AB và CD .Chứng minh MC.ND = MD.NC e)Cho MO = 3R .Tính MK theo R Bài 4 : Bài 4 : Cho đường tròn (O; R ) và một điểm A thuộc đường tròn , trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm M sao cho MA = 2R .Qua M tiếp tuyến MB với đường tròn(O)( B là các tiếp điểm).Vẽ dây BD song song MA .Đường thẳng MD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C. a)Chứng minh MO vuông góc AB . Tính độ dài các đoạn thẳng MO , AB b) Chứng minh tam giác ABD cân .Tính diện tích tam giác BAD theo R . c) Đường thẳng BC cắt AM tại I .Chứng minh IA 2 = IB.IC và I là trung điểm của MA d) Gọi K là điểm đối xứng của A qua C .Chứng minh AC 2 = CB.CM và tứ giác AMKB là tứ giác nội tiếp. H F E N D C O B A M F E H D K O C B A Bài 5 : Cho đường tròn (O.R ) . M là một điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OM =2R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) .Gọi H là giao điểm của MO và AB . a) Tính độ dài các đoạn thẳng MA , AH . b) Chứng minh tam giác MAB đều .Tính diện tích tứ giác MAOB . c) Qua M vẽ một cát tuyến MCD với đường tròn (O) ( MC < MD ), cắt AB tại N . Chứng minh MA 2 = MC .MD và MC.MD = MH.MO. d) Chứng minh tứ giác CHOD là tứ giác nội tiếp . e) Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt MA và AB tại E và F .Chứng minh C là trung điểm của EF Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC ).Tia phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) tại D .Kẻ BK vuông góc AD tại K , DE vuông góc với AC tại E . Đường thẳng OD cắt BC tại H . a) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp . b) Chứng minh KH // AC . c) Chứng minh tứ giác KEKC là hình bình hành. d) Kẻ đường cao BF của tam giác ABC .Chứng minh tứ giác FKHE là hình thang cân . 60 ° H N M O F E D C B A D E N M O C B A Bài 7 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC , · 0 60BAC = nội tiếp đường tròn (O; R).Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , Chứng minh : a) Tứ giác BHOC là tứ giác nội tiếp b) Gọi M và N là giao điểm của đường thẳng OH và AB và AC .Chứng minh chu vi ∆ AMN bằng AB +AC c) Chứng minh OH = AC –AB d) So sánh MH v à ON Bài 8 :Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại D . a) Chứng minh tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp . b) Qua A vẽ dây AM của đường tròn (O) song song với BC.Tia DM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N .Chứng minh DC 2 = DN.DM . c) Chứng minh CN.BM = BN .CM d) Tia AN cắt BC tại E .Chứng minh E là trung điểm của BC . P F E N M D H O C B A J N M K I H O D C B A I F H O B C A E Bài 9: Bài 10 : Bài 11; Bài 9 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) , AD là đường kính của đường tròn (O) .Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB và Ac lần lượt tại E và F . a) Chứng minh MD 2 = MC.MB b) Gọi H là trung điểm của BC .Chứng minh tứ giác MDHO là tứ giác nội tiếp . c) Qua B vẽ đường thẳng song song MO , đường thẳng này cắt đường thẳng AD tại P .Chứng minh P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD . d) Chứng minh O là trung điểm của EF . Bài 10: Cho tam giác ABC có AB < AC , AH là đường cao nội tiếp đường tròn (O) AD là đường kính của đường tròn (O) . a) Chứng minh AB.AC = AH .AD b) Gọi M là hình chiếu của C trên AD Chứng minh tứ giác AHMC là tứ giác nội tiếp . c) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. chứng minh ba điểm M , H ,K thẳng hàng. d) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AC tại I , đường thẳng này cắt AD tại J .Chứng minh BJ vng góc AD. e) Gọi N là trung điểm của BC .Chứng minh tam giác HNJ cân . Bài 11:Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã ®- êng cao AH. §êng trßn (0) ®êng kÝnh HB c¾t c¹nh AB t¹i E. TiÕp tun víi ®êng trßn (0) t¹i E c¾t c¹nh AC t¹i F. 1) Chøng minh r»ng: a/ · · HEF HAC= b/Tø gi¸c BEFC néi tiÕp ®ỵc trong ®êng trßn. c/ EF = AH 2) Gọi I là trung điểm của HC .Cho biết diện tích tam giác là 50cm 2 .Tính diện tích của tứ giác OEFI. Bài 12 :Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB không qua tâm .Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại C .Gọi P là điểm trên dây AB sao cho AP = 2 BP.Đường thẳng vuông góc với OP kẻ từ P cắt đường thẳng CA ở E và cắt đường thẳng CB ở D . 1)Chứng minh: a) Các tứ giác OPDB , OPAE nội tiếp . b) P là trung điểm của đoạn thẳng DE . c) CE.CD = CA 2 - AE 2 2) Cho biết AB = R 3 .Tính diện tích tam giác EOC theo R . Bài 13: Cho đường tròn (O,R) , Mlà một điểm sao cho OM = 2R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B thuộc (O) ) . Đường thẳng MO cắt đường tròn tại E và F ( ME < MF ) . 1) Chứng minh : a)MO là đường trung trực của AB và E cách đều ba cạnh của tam giác MAB. b) ∆ MAB đều .Tính diện tích ΔMAB. c)MA = AF và tứ giác MAFB là hình thoi . 2) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O .Đường thẳng MC cắt AB tại S . Chứng minh 3 (MBS) (ASC) R R= Bài 14 ;Từ một điểm I ở ngoài đường tròn ,vẽ hai tiếp tuyến IA và IB với (O( A và B là các tiếp điểm ) .Gọi M là trung điểm của IB , AM cắt (O) tại ø K khác A. 1)Chứng minh IO vuông góc AB . 2)Gọi C là giao điểm của IO và AB .Chứng minh AB 2 = 2AK . AM 3)Gọi D là giao điểm thứ hai của IK và (O) Chứng minh MB 2 = MK.MA và AD // IB . 4 )Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác IKB. . . P F E N M D H O C B A J N M K I H O D C B A I F H O B C A E Bài 9: Bài 10 : Bài 11; Bài 9 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường. biết MA = 4cm và MH =5cm Tính CD . Các bài toán luyện về tứ giác nội tiếp K I A D C O B M N I K D C O B A M Bài 3 : Bài 3 : Cho đường tròn (O; R) và điểm