Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs số dạng toán vận dụng tam thức bậc hai (I):giải phơng trình : A:Kiến thức bản: Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phơng trình ta đa phơng trình dạng phơng trình bËc hai d¹ng :ax 2+ bx + c = cách đặt biến đổi Khi đa phơng trình dạng phơng trình bậc hai ẩn ta đà có công cụ giải lớp Đó công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phơng trình bậc hai B :Một số dạng toán : : Phơng trình trùng phơng a :Kiến thức : Phơng trình trùng phơng có d¹ng : a x4 +bx2 +c =0 (a 0 ) Để đa phơng trìng dạng phơng trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x2= t (t ) Ta đợc phơng trìng bậc hai : at2 +bt +c = b:Ví dụ : Giải phơng trình : 2x4-3x2-2=0 Giải : Đặt x2 =t Điều kiện t ta đợc phơng trình bậc hai ẩn t 2t2 - 3t - =  =9 +16 = 25; =5 Phơng trình có hai nghiệm: t1=   ; t2=  4 t2=2 thoả mÃn điều kiện t2 0 víi t=t2=2 ta cã x2=2  x1 = ; x2=- Vậy phơng trình có inghiƯm : x1 = ; x2=- 2: Ph¬ng trìng đối xứng bậc chÃn : a: kiến thức : Ta xét phơng trình bậc bốn dạng : a x4 + bx3 +c x2 +bx +a = (a ; hệ số ẩn cách số hạng ) x= nghiệm phơng trình nên chia hai vế phơng trình cho x2 ta có : ax x2 §Ỉt x+ x y ta cã : + bx2  cx2  bx2  a2 0 x x x x b a a x2 + bx +c -  0 x x 1  a ( x  )  b ( x  )  c 0 x x 1 x +  ( x  )   y  x x (1) Do phơng trình ( 1) có dạng phơng trình bậc hai : ay2 + by +c -2a = (2) Giải phơng trình bậc hai với ẩn số y ta tìm đợc y từ suy x b : ví dụ : Giải phơng trình : 2x4 + 3x3 - x2 +3x +2 = Gi¶i : NhËn thấy x= không nghiệm phơng trình , với x chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng : 2x2 + 3x -1 +  22 0 x x Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs 1 )  3( x  )  0 x x 1  2( x  )  3( x  )  0 x x 2( x tới ta nhận thấy phơng trình có dạng bậc hai đặt x + x đa phơng trình dạng : 2y2 + 3y -5 = giải phơng trình ta đợc : y1 =1 ; y2 = - y víi x víi x + 1 ta cã : x +   x x x2 + -x = vô nghiệm + 5x + = giải phơng trình ta đợc hai nghiệm : x1 = -2 ; x2 = - C : nhËn xÐt : phơng trình đối xứng bậc chẵn m nghiệm m nghiệm phơng trình Nếu phơng trình có dạng : a x5 +bx4 cx3 +cx2 +bx +a = đợc gọi phơng trình đối xứng bậc lẻ , phơng trình nhận -1 làm nghiệm Do hạ bậc để đa phơng trình phơng trình đối xứng bậc chẵn mà ta trình bày cách giải : Phơng trình hồi quy : a x4+ bx3+cx2+dx +k = (a 0) v× x= nghiệm nên ta chia hai vế cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng : a: phơng trình có dạng : k d ) + b(x + )  c 0 bx ax + d t  x  d2 t  d bx b b x a(x2 + ®ã : hay k d ( ) a b ®Ỉt x x2 + k t  d phơng trình đà cho đợc đa vể dạng phơng trình bậc ax b hai ẩn t : at2 + bt + c +2 ad b 0 b : ví dụ : Giải phơng trình : 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = Giải : x = nghiệm phơng trình nên chia hai vế cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng : 2(x2 + x §Ỉt x + t  x  25 t x2 25 )  21( x  ) 74 x x 10 phơng trình có dạng phơng trình bậc hai Èn t 2t2 - 21t +54 = Ngun Xu©n Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs Giải phơng trình bậc hai ta đợc hai nghiệm : t1 = vµ t2 = 4,5 víi t1 = ta cã x  6 hay x2 - 6x + = x giải phơng trình ta đợc : x1 = ; x2 =5 víi t2 = 4,5 ta cã : x + 4,5 hay x2 - 4,5x + = x Giải phơng trình ta đợc x3 = ; x4 =2,5 phơng trình đà cho có nghiệm : x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 =2,5 C : nhận xét : Phơng trình hồi quy ®ã k ( d ) ; k 0 cã Èn phơ d¹ng a b d bx t =x + : Phơng trình dạng : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m hc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx2 a: ví dụ1: Giải phơng trình : ( x + )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3 Gi¶i : ( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) =  ( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) =  (x2 + 5x +4 )(x2 +5x+6) = Đặt : x2 +5x + = t ta đợc phơng trình bậc hai với ẩn t : t(t + 2) =  t2 +2t-3 = Giải phơng trình bậc hai ẩn t ta ®ỵc : t1 =1 ;t2 = -3 víi t1 = ta cã : x2 +5x+4 =  x2+5x +3 =0 Giải phơng trình ta đợc : x1;2 =   13 t2 = -3 ta cã : x2+5x+4= -3  x2+ 5x + = ; phơng trình vô nghiệm (vì = 25 - 28 < ) phơng trình đà cho cã nghiÖm : x1;2 =   13 Ví dụ : giải phơng trình : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (1) Giải : Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ë bËc thcs (1)  4(x2+17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2  4(x +17 + 60 x2 )(x + 16 + 60 x ) = (v× x ) Đặt x+16 + 60 = y x Ta đợc phơng trình bậc hai ẩn y : 4y2 + 4y - = Phơng trình có hai nghiệm / = + 12 = 16 Giải phơng trình ta đợc : y1 = ; y2 = víi y1 = ta cã :  2x2 + 31x +120 = gi¶i phơng trình ta đợc x1 = - ;x2 = - 15 víi y2 = - ta cã : 2x2 + 35x + 120 = gi¶i phơng trình ta đợc : x3;4 = 35 265 phơng trình đà cho có nghiệm : x1 = - ; x2 =  15 ; x3;4 =  35  265 c: nhËn xét : Đối với tphơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ®ã a + d = b +c ta nhãm  ( x  a)( x  d ) ( x  b)( x c) m từ ta đặt ẩn phụ để đa phơng trình đà cho dạng phơng trình bậc hai ẩn Đối với phơng trình d¹ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 ®ã :ad = bc ta nhãm  ( x  a)( x  d ) ( x  b)( x  c) mx Èn phô cã thể đặt : y= x + ad x y = (x + a)(x + d) Đối với phơng trình dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx ®ã d = a  b  c m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d nghiệm phơng trình y y =0 5: Phơng trình vô tỉ : a) sở lí thuyết : Trong trình giải phơng trình vô tỉ ta gặp phơng trình ta dùng phơng pháp bình phơng hai vế để phá thức bậc hai dẫn đến phơng trình bậc cao mà việc giải phơng trình không đơn giản Song khéo léo đặt ẩn phụ ta qui phơng trình phơng trình bậc hai sau ta xÐt mét vµi vÝ dơ: b) vÝ dơ : VÝ dụ 1: Giải phơng trình : 2x2 - 8x - x  x  = 12 (2) Gi¶i : (2)  2( x  x  5)  x  x -2=0 Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs = t (t 0) ta quy phơng trình bËc hai víi Èn t : 2t2 - 3t - = Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm t1 = ; t2 = - Đặt x  4x  víi t2 = - loại ( t 0) với t1 = ta giải phơng trình : x 4x = hai vế không âm phơng trình tơng đơng với x2 - 4x - =  x2 - 4x - = gi¶i phơng trình ta đợc hai nghiệm : x1;2 = 13 ví dụ : Giải phơng trình : (4x - 1) x  = 2x2 + 2x + Giải : Nếu bình phơng hai vế để phá thức ta quy phơng trình bậc bốn đầy đủ việc giải gặp khó khăn , đặt t = x ( t 1) x2 = t2 - phơng trình trở thành (4x - 1)t = 2(t2 - 1) + 2x + ta quy phơng trình bậc hai ®èi víi Èn t : 2t2 -(4x - 1)t + 2x - =  = (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2 t1;2 = x  (4 x  3) t1 = 2x - ; t2 = < (lo¹i) víi t = 2x - thay t = x ta đợc phơng triình: 4x2- 4x + = x2+ (t 1)  3x2 - 4x = Giải phơng trình ta đợc x1 = ; x2 = (lo¹i) vËy x = nghiệm phơng trình đà cho 6: Giải biện luận phơng trình : a)Kiến thức : Đối với phơng trình bậc cao với tham số phơng trình đặc biệt nên việc giải khó khăn, phơng trình đà cho có tham số bậc hai ta đa phơng trình dạng phơng trình bậc hai ẩn tham số: b) Ví dụ: Giải biện luận phơng trình : x4 - 10x3 - 2(a - 11)x2 +(5a + 6)x + 2a + a2 = Giải : Phơng trình viết dới dạng: a2 - 2(x2 - 5x - 1)a + (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = / a = (x2 - 5x - 1)2 - (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = (x - 1)2 a1 = x2 - 4x - ; a2 = x2 - 6x - Víi a = x - 4x -  x2 - 4x - - a = ta cã : = 4+ 2+ a = + a Nguyễn Xuân Mạnh - Thä Xu©n VËn dơng tam thøc bËc hai vào giải toán bậc thcs *Nếu / a phơng trình có hai nghiệm x1;2 =   a * NÕu / < a nªn a   0;2 th× : max f(a) = max  f (0), f (2) víi a   0;2 ta cã : f(0) = b2 +(3 - b)2 - =2(b - 1)(b - 2) a = th× b + c =  c = - b c 2  3  b 2  b 3  b 2  (b - 1)(b - 2) 0  f(0) 0 f(2) = - 4(3 - b) +b2 +(3 - b )2 - = 2b(b - ) a = th× b +c =  b, c 1  b(b - 1) 0  f(2) 0 Nh vËy f(0) 0 ; f(2) 0  max  f (0), f (2) 0  maxf(a) 0  f(a) 0 víi a   0;2 VÝ dơ 2: T×m m cho < x < nghiệm hệ bất phơng trình : x  x   m    x  4x  m  Gi¶i: Do < x < nghiệm hệ bất phơng trình nên : x  x   m    x  4x  m  mäi < x < hay :  f ( x)   2 x 3   min f ( x )    2 x 3 ®ã : (*) f1(x) = 4x2 - 4x+5 - m f2(x) = x2+ 4x+ m Nhng hoành độ đỉnh parabol x1 =   2;3 ; x2 = -2  (2;3) hay  f (2) 0  f (3) 0   (*)   f (2) 0  f (3) 0 13  m 0 29  m 0    12  m 0   21  m 0 vËy :-12 m 13 3: Dùng định lí dÊu cđa tam thøc bËc hai VÝ dơ : Chøng minh bất đẳng thức : Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs x2+2y2-2xy +12x- 4y+3 > Giải : Ta nhËn thÊy cã d¹ng tam thøc bËc hai ®èi víi Èn x : f(x) = x2 - 2(y - 1)x+(2y2 - 4y+3) ta cã :  =(y - 1)2 - (2y2 - 4y+3) = -y2 +2y - = -(y - 1)2 - < ®ã f(x) cïng dÊu víi hƯ sè cđa x tøc lµ f(x) > C: NhËn xÐt : Khi thùc hiÖn cách ta phải quy số bậc hai ẩn qua ta sử dụng, tính chất điều kiện dấu tam thøc bËc hai : Tam thøc bËc hai: f(x) = ax2+bx+c (a 0) *NÕu  < th× f(x) dấu với a với giá trị x *NÕu  = th× f(x) cïng dÊu víi a với giá trị x trừ x = - b 2a *Nếu > : f(x) trái dấu với a với giá trị x nằm kho¶ng hai nghiƯm f(x) cïng dÊu víi a với giá trị x nằm khoảng hai nghiệm III: Các toán cực trị A:Kiến thức Để tìm cực trị biĨu thøc ta cã thĨ vËn dơng c¸c tÝnh chÊt điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai Nh vËy ta cã thĨ biÕn ®ỉi biĨu thøc ®Ĩ ®a vỊ d¹ng tam thøc bËc hai B: Mét số ví dụ: 1) Đổi biến để đa tam thức bậc hai biến dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A= x + x Giải: Điều kiện: x §Ỉt  x = y ta cã : y2 = - x  x = - y2 VËy : A = - y2 + y = -(y2 - y + ) + = -(y maxA = y= ) +  12  x= 4 x= 2: Đổi biến để đa bất phơng trình bậc hai biến : ví dụ : Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn A = x2 + y2 biÕt : x2 (x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = (1) Gi¶i : Tõ (1)  ( x + y ) - 4(x + y ) + = - x2  A2 - 4A +   (A - 1)(A - 3)   1A 3 minA =  x = ®ã y = 1 maxA =  x = ®ã y =  vËy : 2 2 NguyÔn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x  x 2 2000 (x 0) x Gi¶i: A= x  x  2000 x2 = = x 2 x 2000   x2 x2 x 1-  2000 x x2 v× x 0 = x 1999 2000 BiĨu thøc có dạng tam thức bậc hai ta đặt ta cã : A = - 2y + 2000y2 = 2000(y VËy: A  minA = 2000 )2 + y 1999 2000 1999  y 2000 2000 hay x = 2000 3: Đa phơng trình bậc hai sử dụng điều kiện Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + Giải : Giả sử A giá trị biểu thức phơng trình : 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + = A có nghiệm x, y Đa phơng trình bậc hai ẩn x ta cã : 2x2 + 2(y - 1)x + (y2 + 2y + - A) = cã nghiÖm / x 0  (y - 1)2 - 2(y2 + 2y + - A) bất phơng trình : y2 + 6y + - 2A 0 cã nghiÖm y:  / y = - (3 - 2A) 0  2A + 0  A  DÊu " = " x¶y y = -3 x = 1 y = 2 VËy minM = -3 x = ; y = -3 VÝ dô 2: Cho A = 2( x 2 x 1) x Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức A giá trị tơng ứng x Giải: Nguyễn Xuân Mạnh - Thä Xu©n 10 VËn dơng tam thøc bËc hai vào giải toán bậc thcs Vì x2 + > víi mäi x :Do ®ã A = 2( x 2 x  1) x 1  (x2 + 1)A = 2x2 + 2x +  (A - 2)x2 - 2x + (A -2) = (1) A = th× x = A để (1) có nghiệm , điều kiện cần đủ - (A - 2)2 (A - 2)2 1  A  VËy minA = x=- vµ maxA = x = / tức : A Đặt vấn đề I Lời mở đầu: Toán học môn học có vai trò quan trọng trờng THCS Qua toán học giúp cho ngời học nâng caođợc khả t , khả suy luận việc vận dụng kiến thức vào môn học khác Qua giúp ngời học phát triển hoàn thiện nhân cách Chính lẽ việc lĩnh hội tiếp thu môn toán vấn đề mà không ngời giáo viên dạy toán không quan tâm Đặc biệt hoạt động dạy học môn toán đòi hỏi ngời dạy nh ngời học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đa phơng pháp giảng dạy, cách lĩnh hội phù hợp Để giúp ngời học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống vấn đề đợc đặt Nhất thực hành việc giải toán mang tính vận dụng đòi hỏi ngời học phải nắm vững hệ thống kiến thức khả vận dụng linh hoạt công cụ toán học có tính hệ thống, kĩ năng, kĩ sảo thực Trong chơng trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò quan Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân 11 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs trọng, nên việc hiểu nắm vững đợc việc làm vô cần thiết, làm tiền đề sau cho c¸c em c¸c em tiÕp tơc häc lên bậc cao Trong chơng trình toán học lớp đà làm quen với phơng trình bËc hai vµ hµm sè bËc hai Song viƯc øng dụng vận dụng phơng trình bậc hai, hàm số bậc hai việc giải loại toán khác nh cha đợc quan tâm nhiều Chính lẽ trình giảng dạy cho em đặc biệt học sinh giỏi em chuẩn bị cho kì thi vợt cấp nhận thấy điều cần quan tâm Để giúp em hiểu sâu tam thức bậc hai việc vận dụng vào việc giải loại toán khác; mạnh dạn nêu lên vấn đề:" vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc THCS" Với đề tài này, hi vọng giúp em nắm vững kiến thức môn học có đủ tự tiên thực hành giải toán Từ phát huy đợc khả vận dụng kiến thức linh hoạt, khả sáng tạo nh t độc lập đặc biệt giúp em có hành trang tốt chuẩn bị cho cấp học cao Tuy khuôn khổ đề tài nh kinh nghiệm hạn chế gặp thiếu xót không mong muốn, mong đóng góp xây dựng quí đồng nghiệp Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xu©n 12 ... có dạng phơng trình bậc hai ®èi víi Èn t 2t2 - 21t +54 = Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs Giải phơng trình bậc hai ta đợc hai nghiệm : t1 = vµ t2 =... dÊu cđa tam thøc bËc hai VÝ dụ : Chứng minh bất đẳng thức : Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc thcs x2+2y2-2xy +12x- 4y+3 > Giải : Ta nhận thấy có dạng tam thøc... f(x) > C: NhËn xÐt : Khi thực cách ta phải quy số bậc hai ẩn qua ta sử dụng, tính chất điều kiện vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai : Tam thøc bËc hai: f(x) = ax2+bx+c (a 0) *NÕu  < f(x) dấu với a