Hệ thức lượng trong tam giác Câu 1. Cho tam giác ABC có: a=10, b=14, c=15. Tính diện tích tam giác S ABC , h a , m a Câu 2. Cho tam giác ABC. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; r a , r b , r c lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng: a) 2 C tan)( 2 B tan)( 2 A tan)( cpbpapr −=−=−= b) ; 2 C tan; 2 B tan; 2 A tan p c rp b rp a r === Câu 3. Tính các góc của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thoã mãn hệ thức: b(b 2 –a 2 )=c(c 2 –a 2 ) (b ≠ c) Câu 4. Cho tam giác ABC thoã mãn điều kiện:      = = −+ −+ Cba b bca bca cos.2 2 333 CMR tam giác ABC là tam giác đều. Câu 5. CMR trong tam giác ta có: S cba CBA 4 222 cotcotcot ++ =++ Câu 6. Cho tam giác ABC thoã mãn: 444 cba += a. CMR tam giác ABC có ba góc nhọn b. Chứng minh rằng: 2sin 2 A=tanB.tanC Câu 7. Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến thoã mãn: 1 ≠= c m b m b c CMR: 2cotA = cotB + cotC Câu 8.Chứng minh rằng với tam giác bất kỳ ta có: 2 C tan 2 B tan 2 A tan.pr = Câu 9. CMR nếu: )cot(cot 2 1 cot CAB += thì ) 22 ( 2 1 2 cab += Câu 10. Giả sử các góc của tam giác ABC thoã mãn hệ thức: sinB = 2sinC.cosA a) CMR ta có: b =2c.cosA b) Suy ra tam giác ABC cân tại B Câu 11. Tam giác ABC có AB =8, AC= 9 và BC =10. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM =7. Tính độ dài đoạn thẳng AM. Câu 12. a) Tam giác ABC có b = 7, c = 5 và cosA =2/5. Tính h a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R b) Tám giác ABC có A =7, b =8, c =6. Tính h a và m a . Câu 13. Các cạnh của tam giác ABC lần lượt là 2, 13,6 + . Tính các góc của tam giác. Câu 14. Trong tam giác ABC ta có a =13, b =4 và cosC =-5/13. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác Câu 15. Tính các cạnh và góc của tam giác, biết rằng độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp và góc lớn nhất gấp 2 lần góc nhỏ nhất. Câu 16. Gọi S là diện tích tam giác ABC, CMR: a) CBARS sin.sin.sin 2 2 = b) C C Sbac sin cos1 4 2 )( 2 − +−= c). sinC)sinBRr(sinAS ++= d) 2 A tan)( appS −= Câu 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a. 2 cos 2 cos 2 cos4 CBA Rp = b. 2 sin 2 sin 2 sin.4 CBA Rr = Câu 18. Cho tam giác ABC có b + c =2a. CMR: a. sinB + sinC = 2sinA b. hchb a h 112 += Câu 19. Cho tam giác ABC. Giả sử 4A=2B=c a. Tính các góc A, B, C b. CMR: cba 111 += Câu 20. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC thoã mãn điều kiện 444 cba += a. CMR 222 acb >+ suy ra các góc của tam giác đều nhọn b. CMR tanB.tanC =2sin 2 A Câu 21. Cho tam giác ABC, I a là đường phân giác trong của góc A. CMR: )( 2 apbcp cb a I − + = Câu 22. Cho tam giác ABC có B =60 0 , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2. Tính bán kính đương tròn qua A, C và tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu 23. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC, ICA, IAB. CMR: R 1 R 2 R 3 =2R 2 .r Ngày 3 Câu 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu: 1 ( )( ) 4 S a b c a c b= + − + − Câu 2. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu: 1 osB 2 sinB 2 2 4 c a c a c + + = − Câu 3. Chứng minh rằng tam gác ABC cân nếu: 2 2 os os 1 2 2 (cot cot ) 2 2 2 sin sin c A c B g A g B A B + = + + Câu 4. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu: 3 2 ( ) 36 S a b c= + + Câu 5. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau: 2 1 1 osAcosB= 4 a b c b a ab c   + − =      Câu 6. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu: 2 3 3 3 3 2 (sin sin sin )S R A B C= + + Câu 7. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau: 3 2 a b c h a + = + Câu 8. Cho tam giác ABC thoã mãn: osB osC sin sin b c a c c B C + = Câu 9. CMR trong mọi tam giác ta có: 2 2 2 a . osA+ac.cosB+ba.cosC= 2 b c bc c + + Câu 10. CMR: 2 2 2 cot 4 b c a gA S + − = Câu 11. Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp nhau tại G. Đặt góc α = AGB . Chứng minh rằng: 2 2 2 cot cot 6 a b c C S α + + − = Câu 12. Cho tam giác ABC (B>C). Gọi M là trung điểm của BC. Đặt · AMB α = . CMR: cot cot 2cotgC gB g α − = Câu 13. Cho tam giác ABC. M là một điểm trong tam giác sao cho · · · MAB MBC MCA α = = = . Chứng minh rằng: cot cot cot cotg gA gB gC α = + + Câu 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 3 điểm M, N, P sao cho: BM = MN =NP. Đặt · · · ; ;BAM MAN NAC α β γ = = = . CMR: 2 (cot cot )(cot cot ) 4(1 cot )g g g g g α β β γ β + + = + Câu 15. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có: 1 2 2 ( sin 2 sin 2 ) 2 S b C c B= + Câu 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC: cotgA=2(cotgB + cotgC) là điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau Câu 17. Cho tam giác ABC thoã mãn hệ thức: ( )h p p a a = − Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Câu 18. Cho tam giác thoã mãn: r r r r c a b = + + Chứng minh rằng tam giác ABC vuông Câu 19. CMR nếu 2 2 2 4 3a b c S+ + = thì tam giác ABC đều. Câu 20.CMR: 4 osCr r r r Rc a b c + + − = Câu 21. CMR: 4r r r R r a b c + + = + Câu 22. CMR: 1 1 1 1 r h h h a b c = + + Câu 23. CMR: 2 osA+bcosB+ccosC pr ac R = Câu 24. 1 osA+cosB+cosC r c R + = Câu 25. CMR: . . .S r r r r a b c = Câu 26.CMR: 2 ab bc ca h h h a b c R + + + + = Câu 27.CMR: 2 r r r r r r p a b b c c a + + = Câu 28. CMR: . . 4 abc r r r p a b c R = Câu 29. CMR: 2 h h h p a p b p c a b c r r r a b c a b c − − −   + + = + +  ÷   Câu 30. CMR: A B C 2 tan tan tan 2 2 2 a b c g g g r r r a b c   + + = + +  ÷   Câu 31. CMR: 2 2 2 2 4 16 2( )a b c r Rr ab bc ca+ + + + = + + Ngày 4 Chứng minh tam giác cân hoặc vuông: Câu 1.Cho tam giác ABC có: 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b− + − + − = Chứng minh rằng tam giác ABC cân Câu 2. Cho tam ABC có: h h h h h h a b c b c a h h h h h h b c a a b c + + = + + Chứng minh rằng tam giác ABC cân Câu 3. Cho tam giác ABC có 2 4 .r r c c = . Chứng minh rằng tam giác ABC cân Câu 4. Cho am giác ABC có: 2 2 os os 1 2 2 (cot cot ) 2 2 2 sin sin c A c B g A g B A B + = + + Chứng minh rằng tam giác ABC cân Câu 5. Cho am giác ABC có 1 osB 2 sinB 2 2 4 c a c a c + + = − Chứng minh rằng tam giác ABC cân Câu 6. Cho tam giác ABC có: a =2bcosC. CMR tam giác ABC cân Câu 7. Cho tam giác ABC có: ( )h p p a a = − Câu 8. Cho tam giác ABC có: 1 2 2 ( ) 4 S a b= + Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân Câu 9. Cho tam giác ABC có: (1 2)p R= + . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân Câu 10. Cho tam gi ác ABC có h r r a b c = chứng minh rằng tam giác ABC cân Câu 11. Cho tam giác ABC có 2 2 2 4 ( )a b p p c R= − Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Câu 12. Cho tam giác ABC có: 2 2 sin sin 2 2 sin sin c b C B C B c b − − = + + . Chứng minh rằng tam gi ác ABC vuông hoặc cân Câu 13. Cho tam giác ABC có: (a+b)(a+c-b)(b+c-a) osA= 2 c abc . CMR tam giác ABC vuông Câu 14. Cho tam giác ABC có: ( )S p p c= − . CMR tam giác ABC vuông Câu 15. Cho tam giác vuông có: ( )( )S p b p c= − − . CMR tam giác ABC vuông Câu 16. Cho tam giác ABC có: r r r r a b c = + + . CMR tam giác ABC vuông Câu 17.Cho tam giác ABC có: 2 2 2 1 os os os 0c A c B c C+ − − = . CMR tam giác ABC vuông Câu 18. Cho tam giác ABC có rR 3 = và 3r r a = . CMR tam giác ABC vuông Câu 19. Cho tam giác ABC có: 2R + r = p. CMR tam giác ABC vuông. Câu 20. Cho tam giác ABC có 1 2 .sin 2 4 S b C= . CMR tam giác ABC vuông. Câu 21. Cho tam giác ABC có a+b osA+cosB= c c . CMR tam giác vuông Câu 22. Cho tam giác ABC có: r r r p b c + + = . CMR tam giác ABC vuông. Câu 23. Cho tam giác ABC không nhọn và có: (1 2)R r= + . CMR tam giác ABC vuông cân. Chứng minh tam giác đều Câu 1. Cho tam giác ABC có: 3 3 r r a m r a =   =  Chứng minh rằng ta giác ABC đều. Câu 2. Cho tam giác ABC có: 3 sin sin 4 3 3 3 2 B C a b c a a b c  =    − −  =  − −  Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Câu 3. Cho tam giác ABC có: 2 2 2( 4 )p r Rr ab bc ca− − = + + . CMR tam giác ABC đều Câu 4. Cho tam giác ABC có: sinB+sinC=2sinA cosB+cosC=2cosA    Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Câu 5. Cho tam giác ABC có: ( )( )( ) 4 a b b c c a R abc r + + + = . CMR tam giác ABC đều. Câu 6. Cho tam giác ABC có: 2 2 2 cot cot cot R r gA gB gC S + + + = Câu 7. Cho tam giác ABC có R=1 và sin sin sin 3 A B C m m m a b c + + = . CMR tam giác ABC đều. Câu 8. Cho tam giác ABC có: 2 p h h h h h h a b b c c a = + + . CMR tam giác ABC đều. Câu 9. Cho tam giác ABC có: 2 2 2 31p R r+ = . CMR tam giác ABC đều. Câu 10. Cho tam giác ABC có: 2 2 2 2 2 4a b c p r Rr+ + = + + . CMR tam giác ABC đều. Câu 11. Cho tam giác ABC có: 2 2 5 16p r Rr+ = . CMR tam giác ABC đều Câu 12. Cho tam giác ABC có: 2 2 2 12 ( )a b c r R r+ + = + . CMR tam giác ABC đều. Câu 13. Cho tam giác ABC có: 2ab bc ca S a b b c c a R + + = + + + . CMR tam giác ABC đều. Câu 14. Cho tam giác có: 2 2 2 9 a b c R r r r r r r a b c + + = − − − . CMR tam giác ABC đều Câu 15. Cho tam giác ABC có: cabcab R c r b r a r ++ =++ 18111 . CMR tam giác ABC đều Câu 16. Cho tam giác ABC có: 3 3 3 a b c abc r r r r a b c + + ≤ . CMR tam giác ABC đều Câu 17.Cho tam giác ABC có: r r r h h h a b c a b c + + = + + . CMR tam giác ABC đều Câu 18. Cho tam giác ABC có: r r r a b c m m m a b c = . CMR tam giác ABC đều Câu 19. Cho tam giác ABC có: 27 2 2 2 2 4 m m m R a c b + + = . CMR tam giác ABC đều Câu 20. . Cho tam giác ABC có: 27 2 2 2 2 4 r r r R a c b + + = . CMR tam giác ABC đều Câu 21.Cho tam giác ABC có: [ ] 2 2 2 4 3 a b c r r r a b c h h h a b c + + = + + . CMR tam giác ABC đều. Câu 22. Cho tam giác ABC có: 1 1 1 1 2 3 h h h h h h a b b c c a r + + = . CMR tam giác ABC đều. Câu 23. Cho tam giác ABC có: 2 2 2 2 2 a 8 4b c R r+ + = + . CMR tam giác ABC đều. Câu 24. Cho tam giác ABC có: 2 2 3 3 5R r S   + =     . CMR tam giác ABC đều. C âu 25. Cho tam giác ABC có: 1 2 2 2 h h h a b c r h h h c a b + + = . CMR tam giác ABC đều. Bài tập về đường trung tuyến Câu 1. Cho tam giác ABC có: 1 ≠= c m b m b c . CMR: 2cotagA=cotgB + cotagC Câu 2. Cho tam giác ABC, cmr hai đường trung tuyến '' CCBB ⊥ thì cotgA=2(cotgB + cotagC) Bài tập về đường cao trong tam giác Câu 1. CMR: r c h b h a h 1111 =++ Câu 2. Chứng minh rằng: a h a r a h a h r a h + = − 2 2 Câu 3. CMR: c r b r a h ≤ Câu 4. CMR: r c h b h a h 9 ≥++ Câu 5. CMR: 3 ≥++ c h c r b h b r a h a r Câu 6.CMR: )2(2 22 r c h b h a hRrp −++=+ Câu 7. CMR: a h c h c h b h b h a hp ++≥ 2 Câu 8. CMR: )( 3 4 222 c r b r a r c h c b h b a h a ++≥++ Câu 9.CMR: 2 2 9 2 2 2 R r ab c h ca b h bc a h ≥++ Bài toán về diện tích tam giác Câu 1. Cho tam giác có 2b =a + c. CMR: 6Rr=ac Câu 2. Cho tam giác CMR: Rr cba 2 1 2 1 2 1 2 1 ≥++ Câu 3. CMR: 2 4 1 2 1 2 1 2 1 rcba ≤++ Câu 4. Cho tam giác ABC. CMR: 2 1 2 )( 1 2 )( 1 2 )( 1 rcpbpap ≥ − + − + − Câu 5. CMR: abc cba abccabbca 2 2 1 2 1 2 1 ++ ≤ + + + + + Câu 6. CMR: Rrcba 2 3111 ≥++ Câu 7. CMR: 2 4 a a rr ≤ Câu 8. CMR: rR 2 ≥ Bài tập về đường kính các đường tròn trong tam giác Câu 1. Chứng minh rằng: 2 4))( 22 ( a Rrr a rp a r =−+ Câu 2. CMR: c r b r a rrS = Các bài tập sử dụng hàm số cosin Câu 1. CMR: 0cos) 22 (cos) 22 (cos) 22 ( =−+−+− CbaabBaccaAcbbc Câu 2. CMR: )( 2 c)( 2 )( 2 a)coscosA(cos cpbpbapCBabc −+−+−=++ Câu 3. Cho tam giác ABC. CMR: A=2B 222 cba +=⇔ Câu 4. Cho tam giác ABC có trọng tâm G Đặt γβα === GCAGBCGAB ;; CMR: S cba 4 ) 222 (3 cotcotcot ++ =++ γβα Câu 5. Cho tam giác ABC và góc       ∈ 2 ,0 π α 1. Tìm điểm M trong tam giác sao cho MAB=MBC=MCA= α 2. CMR: cot α =cotA + cotB + cotC 3. CMR: CBA 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 ++= α 4. CMR: 222222 2 sin accbba S ++ = α Câu 6. Trong tam giác ABC CMR: 2 3 coscoscos ≤++ CBA Câu 7. Cho tam giác ABC bất kỳ CMR: 3cos)1(cos)1(cos)1( ≤−+++−+++−++ AbccbBaccaCabba Câu 8. CMR: rR c r b r a r +=++ 4 Câu 9. . Hệ thức lượng trong tam giác Câu 1. Cho tam giác ABC có: a=10, b=14, c=15. Tính diện tích tam giác S ABC , h a , m a Câu 2. Cho tam giác ABC CMR tam giác ABC là tam giác đều. Câu 5. CMR trong tam giác ta có: S cba CBA 4 222 cotcotcot ++ =++ Câu 6. Cho tam giác ABC thoã mãn: 444 cba += a. CMR tam