MỘT KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN =========== Trong một số bài toán Bất đẳng thức có một số khá nhiều bài toán chứng minh mà các ẩn có điều kiện ràng buộc; dạng: “Cho C ≥ D. Chứng minh A ≥ B” Có một kỹ thuật để chứng minh là ta đi từ chứng minh: (A – B) + (D –C) ≥ 0; Khi đó tử điều kiện C ≥ D ta suy ra được A ≥ B Sau đây là một số ví dụ: Bài toán 1: Cho a + b ≥ 1. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 ≥ 1/2 Giải: Ta có (a 2 + b 2 – 1/2) + (1 – a – b) = a 2 + b 2 – a – b – 1/2 = (a 2 – a + 1/4) + ( b 2 – b + 1/4) = (a – 1/2) 2 + (b – 1/2) 2 ≥ 0. Mà a + b ≥ 1 suy ra: 1 – a – b ≤ 0 => a 2 + b 2 – 1/2 ≥ 0 Hay a 2 + b 2 ≥ 1/2 Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 2 thì a 3 + b 3 ≤ a 4 + b 4 Giải: Ta có: (a 4 + b 4 – a 3 + b 3 ) + ( 2 – a – b) = a 4 – a 3 – a + 1 + b 4 – b 3 – b + 1 = = (a – 1)(a 3 – 1) + (b -1)(b 3 – 1) = (a – 1) 2 (a 2 + a + 1) + (b – 1) 2 (b 2 + b + 1) ≥ 0 Mà a + b ≥ 2 => 2 – a – b ≤ 0 => a 4 + b 4 – a 3 + b 3 ≥ 0 => a 3 + b 3 ≤ a 4 + b 4 Bài toán 3: Cho x, y là các số dương thoả mãn: x 3 + y 4 ≤ x 2 + y 3 . Chứng minh rằng: x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 và x 2 + y 3 ≤ x + y 2 Giải: a/ Ta có: (x 2 + y 2 – x 3 – y 3 ) + (x 3 + y 4 – x 2 – y 3 ) = y 2 – 2y 3 + y 4 = y 2 (y – 1) 2 ≥ 0 Mà x 3 + y 4 ≤ x 2 + y 3 => x 3 + y 4 – x 2 – y 3 ≤ 0 => x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 b/ Ta có: (x + y 2 – x 2 + y 3 ) + (x 3 + y 4 – x 2 – y 3 ) = x – 2x 2 + x 3 + y 2 – 2y 3 + y 4 = = x(1 – x) 2 + y 2 (y – 1) 2 ≥ 0 (vì x > 0) Mà x 3 + y 4 ≤ x 2 + y 3 => x 3 + y 4 – x 2 – y 3 ≤ 0 => x 2 + y 3 ≤ x + y 2 Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu: a + b + c ≥ 3 thì a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b 3 + c 3 Giải: Ta có: (a 4 + b 4 + c 4 – a 3 – b 3 – c 3 ) + (3 – a – b – c) = = (a – 1) 2 (a 2 + a + 1) + (b – 1) 2 (b 2 + b + 1) + (c – 1) 2 (c 2 + c + 1 ≥ 0 Mà: a + b + c ≥ 3 => 3 – a – b – c ≤ 0 => a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b 3 + c 3 Bài toán 5: Cho x, y là các số dương thoả mãn x 3 + y 3 = x – y. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 < 1 Giải: Ta có: 1 – x 2 – y 2 = (1 – x 2 – y 2 ) + (x 3 + y 3 – x + y) = x 4 – x 3 – x + 1 + y 4 – y 3 + y = (x – 1)(x 2 – 1) + y(y 2 – y + 1) = (x + 1)(x – 1) 2 + y(y 2 – y + 1) > 0 ( vì x; y > 0) => x 2 + y 2 < 1 ---- ---- BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1/ Biết rằng x 2 + y 2 ≤ x + y. Chứng minh rằng x + y ≤ 2 2/ Biết rằng ab ≥ 1. Chứng minh rằng a 2 + b 2 ≥ a + b 3/ Biết rằng x 2 + y 2 ≤ x. Chứng minh rằng y(x + 1) ≥ -1