ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG NGỌC PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HALPERN TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Nguyễn Bường Phản biện : PGS.TS Đỗ Văn Lưu Phản biện : TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp : Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 28 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu chữ viết tắt Chương Một số khái niệm 1.1 Một số khái niệm không gian Hilbert 1.2 Một số tính chất toán tử 1.3 Bài toán tìm điểm bất động 1.4 Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình ∈ T x 10 Chương Phương pháp Halpern cải biên 16 28 2.1 Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 28 2.2 Phương pháp xấp xỉ mềm 34 2.3 Phương pháp Halpern cải biên 42 Tài liệu tham khảo 46 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô khoa Toán - Tin, phòng đào tạo sau đại học Trường Đại Học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên Thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2009 - 2011, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn với thầy, cô Ban giám hiệu Tổ Toán - Tin Trường Trung học phổ thông Trại Cau tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn cao học Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị em học viên cao học toán K3 bạn bè đồng nghiệp động viên, khích lệ cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Tác giả Dương Ngọc Phương Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay Banach vấn đề lớn nhiều nhà toán học giới quan tâm Mục đích luận văn tìm hiểu vận dụng phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Bố cục luận văn gồm 02 chương : Chương I: Các khái niệm Trong chương giới thiệu số kiến thức không gian Hilbert, phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình ∈ T x Chương II: Phương pháp Halpern mở rộng Chương gồm phần: + Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn + Phương pháp xấp xỉ mềm + Phương pháp Halpern cải biên Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình làm luận văn trình sử lý văn chắn tránh khỏi sai sót, Tôi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy cô bạn đọc Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x I A⊂B A⊆B A∪B A∩B A×B convD xk → x xk x ∗ A D(A) R(A) không gian Euclide n-chiều trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa y với x tồn x ánh xạ đồng tập A tập thực tập B tập A tập tập B A hợp với B A giao với B tích Đề-các hai tập A B bao lồi tập D dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x toán tử liên hợp toán tử A miền xác định toán tử A miền giá trị toán tử A Chương Một số khái niệm Trong chương này, đề cập đến vấn đề sau Trong mục 1.1, giới thiệu số khái niệm kiến thức liên quan đến không gian Hilbert Trong mục 1.2, trình bày số tính chất toán tử Mục 1.3 dùng để trình bày toán tìm điểm bất động Mục 1.4 dùng để trình bày phương pháp lặp Solodov-Svaiter giải phương trình ∈ T x 1.1 Một số khái niệm không gian Hilbert Các khái niệm kết phần tham khảo tài liệu [1] [2] 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert Cho X không gian tuyến tính R Một tích vô hướng X ánh xạ , : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Không gian tuyến tính X với tích vô hướng , gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Chuẩn phần tử x kí hiệu x xác định x = x, x Các không gian Rn , L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vô hướng xác định tương ứng là: n x, y = ξi ηi ; x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn ; y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn ; i=1 b ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] ϕ, ψ = a 1.1.2 Một số khái niệm • Cho X không gian Hilbert, dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ X gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ X xn − x → n → ∞ Nếu {xn } hội tụ mạnh tới x ∈ X thì: (i) Mỗi dãy {xnk } ⊂ {xn } hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy { xn − ξ } bị chặn, ξ ∈ X • Dãy {xn } ⊂ X gọi đủ hay Cauchy, với ε > 0, tồn n0 (ε) cho: xm − xn < ε với m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε) • Toán tử A : X → R gọi tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ∀x1 , x2 ∈ X; (ii)A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ X • Toán tử tuyến tính A gọi bị chặn, tồn số M > cho Ax ≤ M x Giá trị số M nhỏ thỏa mãn bất đẳng thức gọi chuẩn A ký hiệu A Mệnh đề 1.1 Cho X không gian Hilbert x0 ∈ X phần tử tùy ý Khi tồn hàm tuyến tính ϕ : X → R cho ϕ = ϕ(x0 ) = x0 • Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu X) ký hiệu X ∗ • Dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ X (viết tắt xn x) φ, xn → φ, x với φ ∈ X ∗ • Cho X không gian Hilbert, C tập X Một ánh xạ T : C → X gọi d-compact, thỏa mãn tính chất với dãy {xn } bị chặn X {T xn − xn } hội tụ mạnh tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ mạnh • T gọi d- đóng điểm p {xn } ∈ D(T ) cho {xn } hội tụ yếu tới x ∈ D(T ) {T (xn )} hội tụ mạnh đến p T (x) = p Định nghĩa 1.1 Nếu dãy {xn } hội tụ yếu tới x ∈ X dãy { xn } bị chặn • Cho X không gian Hilbert, M tập khác rỗng X (i) M gọi lồi với x, y ∈ M, ≤ λ ≤ ta có: λx + (1 − λ)y ∈ M ; (ii) M gọi compact dãy {xn } ⊂ M chứa dãy hội tụ tới điểm thuộc M • Mỗi tập đóng bị chặn M không gian Hilbert compact yếu, tức với dãy bị chặn M trích dãy hội tụ yếu tới phần tử không gian • Tập M ⊂ X gọi tập đóng yếu, {xn } x, x ∈ M Định lý 1.1 (Mazur) Mỗi tập lồi đóng không gian Hilbert đóng yếu Định nghĩa 1.2 Một phiếm hàm ϕ xác định X gọi lồi, ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) với x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] Nếu dấu "=" xảy x = y, ϕ gọi lồi chặt • Nếu tồn hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ( x − y ) với x, y ∈ X ϕ gọi lồi hàm γ(t) gọi modul lồi ϕ • Nếu γ(t) = ct2 (c > 0) phiếm hàm ϕ gọi lồi mạnh Định nghĩa 1.3 Một phiếm hàm ϕ gọi nửa liên tục x0 ∈ X, với dãy {xn } ⊂ X cho xn → x0 ta có: ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ) n→∞ Nếu xn x0 ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ), n→∞ ϕ gọi nửa liên tục yếu x0 Định lý 1.2 Cho phiếm hàm ϕ : X → R Ta nói ϕ khả vi theo hướng h điểm x ∈ X giới hạn ϕ(x + th) − ϕ(x) = V (x, h) t→0 t lim (1.1) Nếu giới hạn (1.1) tuyến tính liên tục theo h, tức V (x, h) = A(x)h A(x) gọi vi phân Gâteaux ϕ điểm x kí hiệu ϕ (x) Trong định nghĩa (1.1) tồn toán tử A : X → X ∗ cho: V (x, h) = Ax, h , ∀x, h ∈ X, toán tử A gọi Gradient hàm ϕ ký hiệu ϕ hay gradϕ Định lý 1.3 (i) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi X ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng thức sau: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X; (ii) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi X thì: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2γ( x − y ), ∀x, y ∈ X; (iii) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi mạnh X thì: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2c x − y , ∀x, y ∈ X Định lý 1.4 (i) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi X ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 10 Chương Phương pháp Halpern cải biên 16 28 2.1 Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 28 2.2 Phương pháp xấp xỉ mềm 34 2.3 Phương pháp Halpern cải biên... Hilbert, phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình ∈ T x Chương II: Phương pháp Halpern mở rộng Chương gồm phần: + Phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn + Phương pháp. .. văn tìm hiểu vận dụng phương pháp Halpern tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Bố cục luận văn gồm 02 chương : Chương I: Các khái niệm Trong chương giới thiệu số kiến thức không